Álgebra lineal Selectividad CCSS 2006

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Álgebra lineal
Selectividad CCSS 2006
1. [ANDA] [JUN-A] Sean las matrices A = x 1
1 x+1
 y B = 0 1
1 1
.
a) Encuentre el valor o valores de x de forma que B2 = A.
b) Igualmente para que A-I2 = B
-1.
c) Determine x para que A·B = I2.
2. [ANDA] [SEP-B] El cajero de un banco sólo dispone de billetes de 10, 20 y 50 euros. Hemos sacado 290 euros del banco y el
cajero nos ha entregado exactamente 8 billetes. El número de billetes de 10 euros que nos ha dado es el doble del de 20 euros.
Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema para obtener el número de billetes de cada tipo que
nos ha entregado el cajero.
3. [ARAG] [JUN-B] Discuta y resuelva el siguiente sistema para todos los valores el parámetro a. (Utilice el método de Gauss para
su resolución) 
4x+ay-2z = -1
x+y-az = -1
x+y+(2a+2)z = 6-a
4. [ARAG] [SEP-A] Se consideran las matrices A = 2 1
3 -1
 y B = 4 20
16 5
.
a) Calcule A2 y A2 -1.
b) Despeje X en la ecuación matricial A2X = B.
c) Calcule X.
5. [ASTU] [JUN] Sean las matrices A = 3
1
, B = x m , C = 1
5
, D = 1
9
, E = -y+2m+2
-2x-my+5
.
a) Si (AB)(2C-D) = E, plantea un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (representadas por x,y) en función de m.
b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿Cuándo es única? Resuelve el sistema para m = 4.
6. [ASTU] [SEP] Sean las matrices A = x
y
, B = m 1 , C = 1
1
, D = x+m
my+m
, E = my
2y+1
.
a) Si (AB)C = D-E, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (x,y) en función de m.
b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿Cuándo es única?
7. [C-LE] [JUN-A] Una familia dispone de 80 euros mensulaes para realizar la compra en una carnicería. El primer mes compran 10kg
de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y 3 kg de ternera y le sobran 3,1 euros. El siguiente mes adquieren 10 kg de carne de
pollo, 7 kg de carne de cerdo y 2 kg de carne de ternera y le sobran 5,1 euros. El tercer mes compran 11 kg de carne de pollo, 6kg
de carne de cerdo y 2 kg de carne de ternera, abonando en total 72 euros y 30 céntimos. Suponiendoi que no ha variado el precio
de la carne en estos meses, ¿cuánto cuesta el kilo de carne pollo, cerdo y ternera?
8. [C-LE] [SEP-A] En una fábrica trabajan 22 personas entre electricistas, administrativos y directivos. El doble del número de
administrativos más el triple del número de directivos, es igual al doble del número de electricistas.
a) ¿Es posible saber con estos datos el número de electricistas que hay?
b) Si además se sabe que el número de electricistas es el doble del de administrativos, ¿cuántas personas hay de cada tipo?
9. [C-MA] [JUN] a) Despeja la matriz X en la ecuación: A·X - X = B·X + C.
b) Halla la matriz X sabiendo que A = 
1 1 0
1 0 1
1 1 1
, B = 
2 0 0
-1 1 2
0 0 1
 y C = 
-2 2 0
2 -4 -3
1 2 -3
.
10. [C-MA] [JUN] Un hombre le dice a su esposa: ¿Te has dado cuenta que desde el día de nuestra boda hasta el día del nacimiento
de nuestro hijo transcurrieron el mismo número de años que desde el día del nacimiento de nuestro hijo hasta hoy? El día del
nacimiento de nuestro hijo la suma de nuestras edades era de 55 años. La mujer le replicó: “Me acuerdo que en ese día del
nacimiento de nuestro hijo, tú tenías la edad que yo tengo ahora y además recuerdo que el día de nuestra boda el doble de laedad
que tu tenías excedía en 20 años a la edad que yo tengo hoy. Halla las edades actuales de ambos.
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11. [C-MA] [SEP] a) Despeja la matriz X en la ecuación: X·A2 - B = X .
b) Halla la matriz X sabiendo que A = 
1 1 0
0 1 -1
-1 1 1
 y B = 
0 -2 1
-1 -1 3
1 -2 4
.
12. [C-MA] [SEP] Para la compra de un artículo de precio 10,70 euros se utilizan monedas de 1 euro, de 50 céntimos de euro y de 20
céntimos de euro. El número total de monedas excede en una unidad al triple de monedas de 1 euro. El 30% de la suma del número
de monedas de 1 euro con el doble del número de monedas de 50 céntimos coincide con el número de monedas de 20 céntimos.
Halla el número de monedas que se utilizan de cada clase.
13. [CANA] [JUN-A] Un agricultor compra semillas de garbanzos a 1,30 € el kilo, de alubias a 1,20 € el kilo y de lentejas a 0,80 € el
kilo. En total compra 45 kilos de semillas y paga por ellas 43 €. Sabiendo que el peso de las lentejas es el doble de lo que pesan
conjuntamente, los garbanzos y las alubias, calcular qué cantidad de semillas ha comprado de cada legumbre.
14. [CANA] [SEP-A] En una tienda hay un total de 150 teléfonos móviles de tres tipos: A, B y C. Si el número de los del tipo C duplica
la suma de los otros dos tipos y el número de los de tipo A es igual a la quinta parte de los de tipo C:
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.
b) Determinar el número de teléfonos móviles de cada tipo que hay en la tienda.
15. [CATA] [JUN] Dadas las matrices A = 2 3
1 2
 y B = 1 3
2 6
, averigüe si existe una matriz C que verifique B•C = A, y en su caso,
calcúlela.
16. [CATA] [JUN] Discuta en función del parámetro p el sistema de ecuaciones lineales de matriz ampliada 
1 3 -2
0 p+5 7
0 0 p-1
8
5
0
17. [CATA] [SEP] Discuta en función del parámetro a el siguiente sistema: 
x+y+z = 5
5x+y-z = 11
3x-y+az = 2
.
18. [CATA] [SEP] Indique TODOS los productos de dos matrices distintas que se pueden hacer con las siguientes matrices: A =
a b
c d
, B = 
a b
c d
e f
, C = a b c
d e f
, D = a
b
, E = a b .
19. [EXTR] [JUN-B] Determina la matriz X que verifica la ecuación matricial A·X+B = C, donde:
A = 3 5
-1 -2
 ; B = -1 0 1
2 1 0
 y C = 1 -1 2
0 1 3
.
Justificar la respuesta.
20. [EXTR] [SEP-B] Dadas las matrices A = 
2 1 0
-1 0 3
1 1 -2
, B = 
x 0 1
y 1 0
3 -2 z
 y C = 
-2 0 2
11 -6 -1
-6 4 1
, determinar los valores de x, y, z que hacen
posible la igualdad matricial A·B = A+C. Justificar la respuesta.
21. [MADR] [JUN-B] Encontrar todas las matrices cuadradas 2x2 que satisfacen la igualdad AX = XA en cada uno de los siguientes
casos:
a) A = 1 0
0 3
.
b) A = 0 1
3 0
.
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22. [MADR] [SEP-B] Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a: 
x+y+2z = 2
-2x+3y+z = 1
-x+ay+3z = 3
.
a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.
b) Resolver el sistema para a = 2.
23. [MURC] [JUN] La suma de las tres cifras de un número es 6 y si se intercambian la primera y la segunda, el número aumenta en90
unidades. Finalmente si se intercambian la segunda y la tercera, el número aumenta en 9 unidades. Calcular dicho número.
24. [MURC] [SEP] Estudiar para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de soluciones del sistema: 
x+y+z = a-1
2x+y+az = a
x+ay+z = 1
 y
resolverlo cuando sea compatible indeterminado.
25. [RIOJ] [JUN] Encuentra el valor de a que hace que la siguiente matriz no tenga inversa: A = 
1 3 3
1 2 3
2 5 a
.
26. [VALE] [JUN-A] Tres constructoras invierten en la compra de terrenos de la siguiente forma: la primera invirtió medio millón de
euros en terreno urbano, 250.000 euros en terreno industrial y 250.000 euros en terreno rústico. La segunda, invirtió 125.000,
250.000 y 125.000 euros en terreno urbano, industrial y rústico, respectivamente, y la tercera, 100.000, 100.000 y 200.000
euros en estos mismos tipos de terreno, respectivamente. Transcurrido un año, venden todos los terrenos. La rentabilidad que
obtiene la primera constructora es del 13,75%, la de la segunda del 11,25% y, finalmente, la de la tercera es del 10%. Determinala
rentabilidad de cada uno de los tipos de terreno por separado.
27. [VALE] [JUN-B] Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer: 
x+y-2z = -6
x+z = 5
2x-y = 11
.
28. [VALE] [SEP-A] Determina la matriz A que verifica la ecuación AB+A = 2Bt , donde B = 3 -1
0 2
 y Bt representa la matriz
transpuesta deB.
29. [VALE] [SEP-B] En el primer curso de bachillerato de un instituto hay matriculados un total de 65 alumnos divididos en tres
grupos: A, B y C. Comen en el centro 42 de ellos, que corresponden a la mitad de los del grupo A, las cuatro quintas partes de los
del B y las dos terceras partes de los del C. A una salida fuera del centro acudieron las tres cuartas partes de los alumnos del
grupo A, todos los del B y las dos terceras partes de los del C, sumando en total 52 estudiantes. ¿Cuántos alumnos hay en cada
grupo?
 Soluciones
1. a) 1 b) 0 c) -1 2. 2, 1, 5 3. a = -2
3
: inc; a = 4:c.i. -1-7k
7
,k, 3
14
; a -2
3
,4 :c.d. 3-a
2
3a+2
,4a-5
3a+2
, 7-a
3a+2
 4. a) 7 1
3 4
, 1
25
4 -1
-3 7
 b) X = A2 -1B c) 0 3
4 -1
. 5. a)
3x+y = 2-m
3x+my = 5-m
 b) m=1: inc; m1: c.d.; m=4: (-1,1) 6. a) x+y = 1
3y = m-1
 b) c.d. m 7. 2'5, 5'1, 7'1 8. no; 12, 6, 4 9. (A-I-B)-1C ; 
1 0 0
0 2 0
0 0 3
 10. 35, 30 11. B A2-I -1;
-1 0 0
-1 -1 0
-1 -1 -1
 12. 6, 7, 6 13. 10, 5, 30 14. 
x+y+z = 150
2x+2y-z = 0
5x-z = 0
 ; 20, 30, 100 15. no 16. p= -5: inc; p = 1: c.i.; p{-5,1}: c.d. 17. a = -3: inc; a  -3: c.d. 18. AC, AD, BA,
BC, BD, CB, DE, EA, EC, ED 19. -6 -2 17
4 1 -10
 20. -1, 2, 1 21. a) a 0
0 d
 b) d b
3b d
 22. a) a = 4: c.i; a  4: c.d. b) (0,0,1) 23. 123 24. a=1: inc; a=2: c.i. (1-k,0,k);
a{1,2}: c.d. 25. 6 26. 16'25, 11'25, 6'25 27. 3, -5, 2 28. 1
6
9 3
-3 7
 29. 24, 20, 21
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