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MasMates.com Colecciones de ejercicios Álgebra lineal Selectividad CCNN Castilla y León 1. [2014] [EXT-A] a) Resolver la siguiente ecuación matricial X·A = B-C, siendo A = 5 2 3 1 , B = 2 1 3 -2 y C = 1 -1 1 2 . b) Sean F1, F2 y F3 las filas de una matriz cuadrada de orden 3 cuyo detereminante vale 5. Calcular razonadamente el valor del determinante de la matriz cuyas filas son respectivamente 3F1-F3, F2 y 2F3. 2. [2014] [EXT-B] Sea el sistema de ecuaciones lineales mx-y = 1 -x+my = 1-2m . a) Discutir el sistema según los valores de m. b) Hallar los valores de m para los que el sistema tenga alguna solución en la que x = 2. 3. [2014] [JUN-A] Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m: mx+y = 1 x+my = m 2mx+2y = m+1 4. [2014] [JUN-B] Sea la matriz A = a a+1 a+2 a a+3 a+4 a a+5 a+6 . a) Discutir su rango en función de los valores de a. b) Para a = 1, resolver la ecuación matricial AtX = 0 0 0 , siendo At la matriz traspuesta de A. 5. [2013] [EXT-A] a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m: 3x-y+mz = 0 x+y = m mx-3y+mz = -2m b) Resolverlo para m = 0. 6. [2013] [EXT-B] Sea la matriz M = 1 1 1 0 2 1 -1 -2 -2 . a) Calcular M-1. b) Calcular la matriz X que cumple X·M + M = 2M2. 7. [2013] [JUN-A] Sean las matrices A = 2 1 a , B = 3 -1 -4 y C = 1 2 1 . a) Calcular, cuando sea posible, las matrices C·Bt, Bt·C, B·C. b) Hallar a para que el sistema x·A + y·B = 4·C de tres ecuaciones y dos incónitas x e y, sea compatible determinado y resolverlo para ese valor de a. 8. [2013] [JUN-B] Sea la matriz A = a -2 0 0 -2 0 0 1 a . a) ¿Para qué valores de a la matriz A es inversible? b) Estudiar el rango según los valores de a. c) Hallar a para que se cumpla A-1 = 1 4 A. 9. [2012] [EXT-A] Se considera el sistema x+ay-z = 2 2x+y+az = 0 x+y-z = a+1 , donde a es un parámetro real. Se pide: Página 1 de 7 14 de marzo de 2015 MasMates.com Colecciones de ejercicios Álgebra lineal Selectividad CCNN Castilla y León a) Discutir el sistema en función del valor de a. b) Hallar la solución del sistema para a = 1, si procede. 10. [2012] [EXT-B] a) Determinar, en función del valor del parámetro real a, el rango de la matriz A = 1 a -1 1 0 -1 3 a a . b) Sea C una matriz 2x2 de columnas C1 y C2 y de determinante 5, y sea B una matriz 2x2 de determinante 2. Si D es la matriz de columnas 4C2 y C1-C2, calcular el determinante de la matriz BD -1. 11. [2012] [JUN-A] Se considera el sistema de ecuaciones ax+y+z = (a-1)(a+2) x+ay+z = (a-1)2(a+2) x+y+az = (a-1)3(a+2) a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. b) Resolver el sistema para a = 1. c) Resolver el sistema para a = -2. 12. [2012] [JUN-B] Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M2 - 2M = 3I, donde I denota la matriz identidad. a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo expresar M-1 en términos de M e I. b) Hallar todas las matrices M de la forma a b b a que cumplen la ecuación M2 - 2M = 3I. 13. [2011] [EXT-A] a) Averiguar para qué valor de m la matriz A = -1 0 1 -1 1 -m 0 m -2 no tiene inversa. b) Calcular la matriz inversa de A para m = 0. c) sabemos que el determinate de una matriz cuadrada A vale -1 y que el determinate de la matriz 2·A vale -16. ¿Cuál es el orden de la matriz A? 14. [2011] [EXT-B] Discutir según los valores de m y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales mx+y = 2 x+my = m x+y = 2 . 15. [2011] [JUN-A] a) Calcular el rango de la matriz A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 . b) Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3x3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinate de 5B y el de B2. 16. [2011] [JUN-B] Discutir y resolver, cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m: x+y+z = 1 x-y-z = 0 3x+my+z = m+1 . 17. [2010] [EXT-A] Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema: ax+y-z = 1 x+2y+z = 2 x+3y-z = 0 . 18. [2010] [EXT-B] a) Si se sabe que el determinante a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 vale 5, calcular razonadamente : Página 2 de 7 14 de marzo de 2015 MasMates.com Colecciones de ejercicios Álgebra lineal Selectividad CCNN Castilla y León a1 2a2 3a3 b1 2b2 3b3 c1 2c2 3c3 y a1 b1 c1 a2+a3 b2+b3 c2+c3 a2 b2 c2 b) Si A es una matriz cuadrada de tamaño 2x2 para la cual se cumple que A-1 = At (At = traspuesta de la matriz A), ¿puede ser el determinante de A igual a 3? 19. [2010] [JUN-A] a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3x3 que verifica que B2 = 16I, siendo I la matriz unidad. Calcular el determinante de B. b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación 0 1 0 1 X = 0 0 1 0 0 2 . 20. [2010] [JUN-B] Consideramos el sistema de ecuaciones lineales: 2x - y + az = 1+a x - ay + z = 1 x + y + 3z = a a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a. b) Resolver el sistema para a = 1. 21. [2009] [EXT-A] Resolver la ecuación: -x -1 2x 2x -x -1-x -1 2x 0 = 0. 22. [2009] [EXT-B] Estudiar, en función del parámetro real , el rango de la matriz A = 2- 1 1 1 - -1 1 -1 2- . 23. [2009] [JUN-A] Sea A una matriz cuadrada tal que det(A) = -1 y det (-2)A = 32. Calcular el tamaño de la matriz A. 24. [2009] [JUN-A] Calcular la matriz X que verifica AX = BBt, donde A = 2 1 3 -2 y B = 0 1 0 3 -1 2 , siendo Bt la matriz traspuesta de B. 25. [2009] [JUN-B] Sea el sistema de ecuaciones lineales: x-y = 5 y+z = x-2z = 3 . Se pide: a) Discutirlo en función del parámetro . b) Resolverlo cuando sea posible. 26. [2009] [JUN-B] Resolver la ecuación: x+1 x x x x+1 x x x x+1 = 0. 27. [2008] [EXT-A] Sea a un parámetro real. Se considera el sistema x+ay+z = 2+a (1-a)x+y+2z = 1 ax-y-z = 1-a a) Discutir el sistema en función del valor de a. b) Resolver el sistema para a = 0. c) Resolver el sistema para a = 1. 28. [2008] [EXT-A] Sea A una matriz 3x3 de columnas C1, C2 y C3 (en ese orden). Sea B la matriz de columnas C1+C2, 2C1+3C3 y C2 (en ese orden). Calcular el determinante de B en función del de A. Página 3 de 7 14 de marzo de 2015 MasMates.com Colecciones de ejercicios Álgebra lineal Selectividad CCNN Castilla y León 29. [2008] [EXT-B] Sea a un número real. Discutir el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores de a: ax+y = 0 2x+(a-1)y = 0 30. [2008] [JUN-A] Sean las matrices B = 5 3 3 2 y C = 13 8 8 5 . Calcular la matriz A, sabiendo que A2 = B y A3 = C. 31. [2008] [JUN-B] Se considera el sistema x-y+z = -1 y+z = 2a x+2z = a2 donde a es un parámetro real. a) Discutir el sistema en función del valor de a. b) Resolver el sistema para a = 0. c) Resolver el sistema para a = 1. 32. [2008] [JUN-B] Calcular el rango de la matriz A = 1 3 -1 -5 -1 1 -3 -3 2 4 0 -6 3 2 4 -1 . 33. [2007] [EXT-A] Se considera el sistema x+y+az = 4 ax+y-z = 0 2x+2y-z = 2 , donde a es un parámetro real. a) Discutir el sistema en función del valor de a. b) Resolver el sistema para a = 1. 34. [2007] [EXT-A] Sean X una matriz 2x2, I la matriz identidad 2x2 y B = 2 1 0 1 . Hallar X sabiendo que BX+B = B2+I. 35. [2007] [EXT-B] Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz A = 2 1 m 1+m 2 3 -2 -1 2 . 36. [2007] [JUN-A] Hallar para qué valores de a es inversible la matriz A = a 4+3a 1 a y calcular la inversa para a = 0. 37. [2007] [JUN-B] Sean las matrices A = 1 2 3 , B = 7 2 -2 , C = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 , D = 0 2 2 y E = 2 5 3 . a) Hallar la matriz ABt, donde Bt indica la matriz traspuesta de B. ¿Es invertible? b) Hallar el rango de la matriz AtD. c) Calcular M = x y z que verifique la ecuación ABt+C M = E. 38. [2006] [EXT-A] Sea m un número real. Discútase, en función de m, el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de los coeficientes es A = 1 1 1 1 m m 2 m+1 2 . 39. [2006] [EXT-B] Discútase, en función del parámetro real k, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: kx+3y = 0 3x+2y = k 3x+ky = 0 . Resuélvase el Página4 de 7 14 de marzo de 2015 MasMates.com Colecciones de ejercicios Álgebra lineal Selectividad CCNN Castilla y León sistema cuando sea posible. 40. [2006] [EXT-B] Dada la matriz P = 1 2 a 2 a+1 0 3 4 5 , determínense los valores del número real a para los cuales existe la matriz inversa de P. 41. [2006] [JUN-A] Hállense las matrices A cuadradas, de orden 2, que verifican la igualdad: A 1 0 1 1 = 1 0 1 1 A. 42. [2006] [JUN-B] Se considera el sistema de ecuaciones lineales x+2y+z = 3 (1+a)y+z = 4 x+2y+az = 4 . a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. b) Resuélvase el sistema para a = 2. 43. [2006] [JUN-B] Dadas las matrices P = 1 1 0 -1 0 1 -1 -1 1 y A = -1 0 0 0 -1 0 0 0 2 , hállese razonadamente la matriz B sabiendo que BP = A. 44. [2005] [EXT-A] Sea la matriz A = a b 0 c . Calcúlese el determinante de A sabiendo que A2-2A+Id = O, donde Id es la matriz identidad y O la matriz nula. 45. [2005] [EXT-A] Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz 1 2 1 2 1 3 0 1 a . 46. [2005] [EXT-B] Sea k un número real. Considérese el sistema de ecuaciones lineales kx+y+z = 1 x+ky+z = k x+y+kz = k2 (a) Discútase según los valores de k e interprétese gemétricamente el resultado. (b) Resuélvase el sistema para k = 2. 47. [2005] [EXT-B] Sea A = 1 2 2 3 . Determínense los valores de m para los cuales A+mId no es invertible (donde Id denota la matriz identidad). 48. [2005] [JUN-A] (a) Discútase el sistema x+ay-z = 2 2x+y+az = 0 3x+(a+1)y-z = a-1 , en función del valor de a. (b) Para el valor a = 1, hállese, si procede, la solución del sistema. 49. [2005] [JUN-A] Sea A una matriz 2x2 de columnas C1, C2 y determinante 4. Sea B otra matriz 2x2 de determinante 2. Si C es la matriz de columnas C1+C2 y 3C2, calcúlese el determinante de la matriz B·C -1. 50. [2005] [JUN-B] Dadas las matrices A = 1 0 0 1 0 0 1 0 0 , C = 1 0 0 2 1 0 3 2 2 , hállense las matrices X que satisfacen XC+A = X+A2. Página 5 de 7 14 de marzo de 2015 MasMates.com Colecciones de ejercicios Álgebra lineal Selectividad CCNN Castilla y León 51. [2004] [EXT-A] Sea A una matriz cuadrada de orden 4 cuyo determinante vale 3, y sea la matriz B = 4 3A. Calcúlese el determinante de la matriz B. 52. [2004] [EXT-B] Se considera el sistema de ecuaciones lineales x+2y+3z = 1 x+ay+3z = 2 2x+(2+a)y+6z = 3 . a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema es incompatible? b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema es compatible determinado? c) Resúelvase el sistema para a = 0. 53. [2004] [EXT-B] Dadas las matrices P = 1 1 1 -1 0 1 0 -1 1 y A = -1 0 0 0 -1 0 0 0 2 , hállese la matriz B sabiendo que B-1PB = A. 54. [2004] [JUN-A] Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1, C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son -C2, C3+C2, 3C1. Calcúlese razonadamente el determinante de A -1 en caso de que exista esa matriz. 55. [2004] [JUN-B] Se considera el sistema x+y+z = x+y+z = 1 x+y+z = 1 a) Discútase según los valores del parámetro . b) Resuélvase para = -3. c) Resuélvase para = 1. 56. [2004] [JUN-B] Dada la matriz B = 1 3 2 -1 -1 2 , hállese una matriz X que verifique la ecuación XB+B = B-1. 57. [2003] [EXT-A] a) Discutir en función de los valores de m: 2x-3y = 0 x-y+z = 0 x+2y+mz = m b) Resolver en los casos de compatibilidad el sistema anteiror. 58. [2003] [EXT-A] Se consideran las matrices A = 1 2 m 1 -1 -1 y B = 1 3 m 0 0 2 , donde m es un número real. Encontrar los valores de m para los que AB es inversible. 59. [2003] [EXT-B] Si A y B son dos matrices cuadradas que verifican AB = B2, ¿cuándo se puede asegurar que A = B? 60. [2003] [JUN-A] Estudiar el rango de la matriz A, en función de los valores del parámetro m: A = 1 1 1 1 2 2 1 2 m . 61. [2003] [JUN-B] Dadas las matrices A = -1 0 1 2 1 0 3 2 -1 y B = 1 0 -1 1 1 1 -2 0 0 , se defina la matriz C = A+mB. a) Hallar para qué valores de m la matriz C tiene rango menor que 3. b) Para m = -1, resolver el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es C. Página 6 de 7 14 de marzo de 2015 MasMates.com Colecciones de ejercicios Álgebra lineal Selectividad CCNN Castilla y León 62. [2003] [JUN-B] Si A es una matriz cuadrada, ¿la matriz A+At es igual a su traspuesta? Razonar la respuesta (At es la matriz traspuesta de A). Soluciones 1. a) 5 -8 -14 24 b) 30 2. m=-1: inc; m=1: c.i.; m{-1,1}: c.d. b) m=1: (2,1); m = -3 2 : (2,-4) 3. m=1: c.i. (1-k,k); m1: inc. 4. a) 2, a b) (k,-2k,k) 5. a) m{0,1}: c.i.; m{0,1}: c.d. b) (0,0,k) 6. a) 2 0 1 1 1 1 -2 -1 -2 b) 1 2 2 0 3 2 -2 -4 -5 7. a) CBt= 3 -1 -4 6 -2 -8 3 -1 -4 ; BtC = -3 b) -1; 28 5 ,-12 5 8. a) a0 b) a=0: 1; a0: 3 c) 2 9. a) a=-2: inc; a = 1: c.i; a{-2,1}: c.d. b) (-2-2k,4+3k,k) 10. a) a{-3,0}: 2; a{-3,0}: 3 b) -1 10 11. a) a{-2,1}: c.i; a{-2,1}: c.d. b) (k,m,-k-m) c) (k,k,k) 12. a) 1 3 (M-2I) b) -1 0 0 -1 , 3 0 0 3 , 1 2 2 1 , 1 -2 -2 1 13. a) -2,1 b) 1 2 -2 0 -1 -2 2 -1 0 0 -1 c) 4 14. m = 0: c.d. (02); m 0: inc. 15. a) 2 b) 1000, 16 16. m = 1: c.i. 1 2 ,1-2k 2 ,k ; m 1: c.d. 1 2 ,1,-1 2 17. a = 1 5 : inc; a 1 5 : c.d.; 9 5a-1 ,2a-4 5a-1 ,6a-3 5a-1 18. a) 30, -5 b) |A| = 1 19. a) 64 b) a b c 0 0 1 20. a) a{0,5}: inc; a{0,5}: c.d. b) (1,0,0) 21. 1 22. {-1,2,3}: 2; {-1,2,3}: 3 23. 5 24. 1 7 1 12 5 -31 25. = -1 2 : inc; -1 2 : c.d. 12+3 2+1 , 2-2 2+1 , 3 2+1 26. -1 3 27. a) a = -1: inc; a = : comp. ind; a{-1,0}: comp.det b) (2-k,-1-k,k) c) 3 2 ,2,-1 2 28. -3A 29. a{-1,2}: comp. ind: a{-1,2}: comp. det. 30. 2 1 1 1 31. a) a = 1: comp. ind; a 1: incomp. b) inc. c) (1-2k,2-k,k) 32. 2 33. a) a = -1 2 : inc. ; a = 1: c.i. ; a - 1 2 ,1 : c.d. b) (k,2-k,2) k 34. 1 2 3 1 0 2 35. m{-2,3}: 2 ; m{-2,3}: 3 36. a{-1,4} ; 1 4 0 4 1 0 37. a) 7 2 -2 14 4 -4 21 6 -6 , no b) (10) , 1 c) -7/6 1 -3 38. m=1: c.i. m1: c.d. 39. k = 0: c.d. 0,0 ; k = 3: c.d. 3,-3 ; k = -3: c.d. -3 5 ,-3 5 ; k {-3,0,3}: inc 40. cualquier valor 41. a 0 c a ; a,c 42. a) a{-1,1}: inc. a{-1,1}: c.d. b) 0,1,1 43. -1 1 -1 0 -1 1 2 0 2 44. 1 45. a = -1 3 : 2; a -1 3 : 3 46. (a) k = 1: comp.ind. planos coincidentes ; k = -2: incomp. planos que se cortan dos a dos ; k {-2,1}: comp. det. los planos se cortan en un punto. (b) -3 4 , 1 4 ,9 4 47. -2 5 48. (a) a 0, 1 2 : incomp; a 0, 1 2 : comp.det. (b) -6,10,2 49. 1 6 50. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 51. 9 52. a) 2 b) no c) 2-3k,-1 2 ,k 53. 0 1 1 1 0 1 1 1 0 54. -1 6 55. a) = 1: comp. ind; 1: comp. det. b) (-1,-1,-1) c) (k,m,1-k-m) 56. 4 4 4 4 57. m = 7: inc. ; m 7: c.d. ; -3m m-7 ,-2m m-7 , m m-7 58. m -2, 1 2 59. Si existe B-1 60. m = 2: 2 ; m 2: 3. 61. a) 1 b) (k,-2k,k) k 62. Si Página 7 de 7 14 de marzo de 2015
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