Álgebra lineal Selectividad CCNN Cataluña

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1. [2014] [EXT] Considere el sistema de ecuaciones lineales mx-y = m
3x+(m-4)y = m+2
, para m.
a) Discuta el sistema de ecuaciones para los diferentes valores del parámetro m.
b) Resuelva el sistema en aquellos casos en que el sistema sea compatible.
2. [2014] [EXT] Considere la ecuación matricial X·A = B, en que A = 
1 -1 1
a -3 a-1
-1 0 1
 y B = -3 -2 -4
5 -2 5
.
a) Para qué valores del parámetro a la ecuación matricial tiene una única solución?
b) Encuentre la matriz X que satisface la ecuación matricial cuando a = 3.
3. [2014] [JUN] Considere la matriz M = 
1 a a2
1 a+1 (a+1)2
1 a-1 (a-1)2
, para a.
a) Calcule el rango de la matriz M en función de los valores del parámetro a.
b) Discuta y resuelva el sistema de ecuaciones M·
x
y
z
 = 
1
1
1
, según los valores del parámetro a.
4. [2014] [JUN] Responda a las siguientes cuestiones:
a) Demuestre que si A es una matriz cuadrada que cumple la igualdad A2 = I, donde I es la matriz identidad, entonces A es
invertible y A-1 cumple A-1 2 = I.
b) Calcule la expresión generral de las matrices de la forma A = a b
c 2
 con b  0 que cumplen la igualdad A2 = I.
5. [2013] [EXT] Sean las matrices: A = 
2 a 1
1 b 4
3 c 5
, B = 
5 b 8
1 c 3
4 a 3
, C = 
2 4 7
-1 5 5
-b -a -2
, donde a, b y c son parámetros reales. Calcule el valor
de estos parámetros para que ninguna de las tres matrices tenga inversa.
6. [2013] [JUN] Sabemos que el vector (2,1,-1) es solución del sistema 
ax+by+cz = a+c
bx-y+bz = a-b-c
cx-by+2z = b
.
Calcule el valor de los parámetros a, b y c.
7. [2013] [JUN] Sea A = 
1
2
1
3
1
6
0
1
3
- 
2
6
p - 
1
3
- 
1
6
a) ¿Qué significa que la matriz B sea la matriz inversa de A?
b) Encuentre el valor del parámetro p para que la matriz inversa de A y la matriz transpuesta de A coincidan.
Nota: No aproxime las raíces mediante valores con decimales; trabaje con los radicales.
8. [2012] [EXT] Determine el rango de la matriz A = 
1 1 k
1 k 1
k 1 1
 en función del parámetro k.
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9. [2012] [EXT] Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
x+y-3z = 2
2x+ay-5z = 2a+3
2x-3y+(a-2)z = 9
a) Calcule el valor o los valores del parámetro a para el cual o para los cuales el sistema es compatible indeterminado.
b) ¿Cuántas soluciones tiene este sistema cuando a = -3?
10. [2012] [JUN] Dadas las matrices A = 3 2
-1 1
 y B = 1 -2
1 3
,
a) Compruebe que se cumple la igualdad (A+B)(A–B) = A2 – B2.
b) ¿Es cierta esta igualdad para cualquier par de matrices cuadradas A y B del mismo orden? Responda razonadamente utilizando
las propiedades generales de las operaciones entre matrices, sin utilizar matrices A y B concretas.
11. [2011] [EXT] Dada la matriz M = 
k+1 1 1
0 k-2 1
0 k-2 -k
:
a) Calcule los valores del parámetro k para los cuales la matriz M no es invertible.
b) Para k = 0, calcule M-1.
12. [2011] [EXT] Sea la matriz A = 
-1/2 - 3/2 0
3/2 -1/2 0
0 0 1
.
a) Calcule A2 y A3.
b) Deduzca el valor de A101.
Nota: Trabaje con radicales, no utilice la representación decimal de los elementos de la matriz.
13. [2011] [JUN] Dada la matriz invertible A y la ecuación matricial A·X+B = c:
a) Despeje la matriz X.
b) Encuentre la matriz X cuando A = 1 -2
-1 1
, B = 1 1
-2 1
 y C = 3 1
1 -1
.
14. [2011] [JUN] Considere el siguiente sistema de ecuaciones: 
x+2y-az = -3
2x+(a-5)y+z = 4a+2
4x+(a-1)y-3z = 4
.
a) Calcule los valores del parámetro a para que el sistema no sea compatible determinado.
b) ¿Existe algún valor de a para el cual x = 1, y = -3, z = -1 sea la única solución del sistema?
15. [2010] [EXT] Considere la matriz A = 2 1
7 3
.
a) Compruebe que cumple la igualdad A2–5A = I2, donde I2 es la matriz identidad de orden 2.
b) Utilice esta igualdad para calcular la matriz inversa de A.
c ) Resuelva la ecuación matricial A·X = 0 1
-2 0
, utilizando la matriz inversa de A.
16. [2010] [JUN] Dado el sistema de ecuaciones lineales: 
x+2y-z = -1
2x+y+z = 4
x-y+(p-3)z = 5
a) Estudie su carácter (es decir, si es compatible o no y si es determinado o no) en función del parámetro p.
b) Compruebe que si p  5, la solución del sistema no depende del valor de este parámetro.
17. [2010] [JUN] Sea A = x 3
-2 y
. Encuentre los valores de las variables x e y para que se cumpla que A2 = A.
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18. [2009] [EXT] Considere el siguiente sistema de ecuaciones: 
x+5y+z+a = 0
(a-2)z+x+2y-1 = 0
(a-1)y+(1-a)x+z+a+2 = 0
.
a) Explique, razonadamente, si se trata de un sistema lineal homogéneo.
b) Construya su matriz de coeficientes y su matriz ampliada.
c) Encuentre los valores del parámetro a para los cuales el sistema no es compatible determinado, y estudie el caracter del
sistema en cada uno de estos casos.
d) Resuélvalo solamente cuando el conjunto de sus soluciones sea una recta de 3.
19. [2009] [EXT] Considere la matriz A = a 0
1 -b
. Calcule le valor de los parámetros a y b para que A2 = 1 0
-2 1
.
20. [2009] [JUN] Sean A = 
0 1 0
0 0 1
1 0 0
 y B = 
0 0 1
1 0 0
0 1 0
.
a) Comprueba que la inversa de A es A2.
b) Comprueba también que A518 = B.
21. [2009] [JUN] En la resolución por el métoido de Gauss de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas nos hemos
encontrado la matriz siguiente: 
3 -5 2
0 0 0
0 3 -6
 
-5
0
6
.
a) Explica, razonadamente, cuál es el tipo de sistema inicial.
b) Si es compatible, encuentra la solución.
22. [2008] [EXT] Considere la matriz A = 
0 0 1
1 0 0
0 -1 0
.
a) Calcule A2 y A3.
b) Determine, razonadamente, el valor de A60124.
23. [2008] [EXT] Considere un sistema de dos ecuaciones con tres incógntas.
a) ¿Puede ser incompatible?
b) ¿Puede ser compatible determinado?
Razone las respuestas.
24. [2008] [JUN] Considere las matrices A = 1 -3
2 2
 y B = 1 3
2 -2
.
a) Encuentre la matriz M, cuadrada de orden 2, tal que M·A = B.
b) Compruebe que M2 = I2 (matriz identidad de orden 2) y deduzca la expresión de M
n.
25. [2008] [JUN] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los valores del parámetro m:
x+y+(m-1)z = 1
x+(m-1)y+z = m-1
(m-1)x+y+z = m+2
26. [2007] [EXT] Considere la matriz A = 0 1
p q
. Encuentre los valores de p y q que hacen que se verifique
A2 = A. En este caso, razone sin calcular qué vale A10.
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27. [2006] [EXT] Considere el sistema de ecuaciones 
px+7y+8z = 1370
x+y+z = 200
7x+py+8z = 1395
a) Discútalo en función del parámetro p.
b) De la interpretación geométrica en los casos en los que el sistema es incompatible.
c) Resuelva el sistema para p = 6.
28. [2006] [JUN] Averigue si el siguiente sistema puede ser compatible indeterminado para algún valor de m: 
x+3y+2z = 0
2x+4y+3z = 0
x+y+mz = 0
. ¿Es
incompatible para algún valor de m?
29. [2006] [JUN] Dadas las matrices A = 1 -1
2 -1
 y B = 1 1
4 -1
a) Calcule A·B y B·A.
b) Compruebe que (A+B)2 = A2+B2.
30. [2005] [EXT] En un sistema encontramso, entre otras, las dos ecuaciones siguientes:
x+2y-3z = 5 y 2z+4y-6z = -2.
¿Qué puede decir de las soluciones del sistema?
31. [2005] [JUN] De tres números x, y, z, sabemos lo siguiente: que el primero más el segundo suman 0; que el primero más el
tercero suman 1; que la suma de los tres vale 0 y , por último, que el primero multiplicado por un número k más el doble de la suma
del segundo y del tercero da 1.
a) ¿Qué puede decir del valor de k?
b) ¿Cuánto valen los tres números?
32. [2005] [JUN] Dadas las matrices A = 1 a
0 1
 y B = 1 b
0 1
, donde a y b son números reales, halle los valores de a y b que hacen que
las dos matrices conmuten, es decir, que hacen que se cumpla A·B = B·A.
33. [2004] [EXT] Dadas las matrices A = 3 -2
-2 1
, B = 1 1
1 1
:
a)Halle una matriz X tal que A·X = B.
b) Calcule B100. Razone la respuesta.
34. [2003] [JUN] ¿Para cuál o cuáles valores del parámetro real  el sistema de ecuaciones 
x+2y+(+2)z = 0
x+2y+3z = 9
2x-z = 4
 es compatible e
indeterminado?
 Soluciones
1. a) m=3: inc; m=1: c.i.; m1,3}: c.d. b) m=1: (k+1,k); m{1,3}: m-2
m-3
, m
m-3
 2. a) a 7
2
 b) -31 11 5
20 -6 -3
 3. a) 3, a b) (1,0,0) 4. b) 
-2 b
-3
b
2 5. -1, 3, 2 6. 3, 1, 2
7. b) 2
2
 8. k=1: 1; k=-2: 2; k{-2,1}: 3 9. a) 1 b) inc. 11. a) -1, 2 b) 1
2
2 -2 3
0 0 -1
0 2 -2
 12. a) 
1 3/2 0
- 3/2 -1/2 0
0 0 1
, 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 b) A2 13. a) (C-B)A-1 b) -2 -4
-1 -4
 14. a)
2, 9 b) no 15. b) -3 1
7 -2
 c) -2 -3
4 7
 16. a) p=5: c.i; p5: c.d. b) (3,-2,0) 17. (-2,3), (3,-2) 18. a) no b) A = 
1 5 1
1 2 a-2
1-a a-1 1
; A* = 
1 5 1 -a
1 2 a-2 1
1-a a-1 1 -a-2
 c) a = 3
2
: inc;
a = 2: c.i. d) a=2: (1-2k,k,-3-3k) 19. -1, 1 21. a) c.i. b) 5+8k
3
,2+2k,k 22. a) 
0 -1 0
0 0 1
-1 0 0
; -I b) 
0 0 -1
-1 0 0
0 1 0
. 23. a) si b) no 24. a) 1
4
-2 3
4 2
 b) M , n imparI2 , n par
 25.
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m = 2: incomp; m = -1: comp. indet; m{-1,2}: comp. det. 26. p=0, q=1 ; A10=A 27. a) p{7,9}: inc ; p{7,9}: c.d. b) p=7: dos planos paralelos cortados por otro; p=9: se
cortan dos a dos c) 85,60,55 28. m = 1: c.i. m 1: c.d. 29. a) AB= -3 2
-2 3
, BA= 3 -2
2 -3
 b) 4 0
0 4
 30. sistema incompatible 31. a) 3 b) 1, -1, 0 32. cualquier valor
33. a) -3 -3
-5 -5
 b) 2
99 299
299 299
 34.  = -7
2
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