Álgebra lineal Selectividad CCNN Murcia

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Álgebra lineal
Selectividad CCNN Murcia
1. [2014] [EXT-A] a) Compruebe que la matriz A = 1 1
-2 -3
 es regular (o inversible) y calcule su matriz inversa.
b) Resuelva la ecuación matricial AXA = B, siendo A la matriz anterior y B = 5 -2
3 -1
.
2. [2014] [EXT-B] a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: 
ax +2z = 0
ay-z = a
x-y+z = 0
.
b) Si es posible, resuélvalo para el valor de a = 0.
3. [2014] [JUN-A] Sabiendo que 
1 1 1
x y z
0 2 4
 = 4, calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus, los siguientes determinantes,
indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes se está utilizando.
a) 
3x 3y 3z
1 1 1
0 1 2
 b) 
x y z
3x 3y+2 3z+4
x+2 y+2 z+2
.
4. [2014] [JUN-B] a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: 
ax+3y+z = a
x+ay+az = 1
x+y-z = 1
b) Si es posible, resuélvalo para el valor de a = -1.
5. [2013] [EXT-A] Clasifique y resuelva, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones: 
2x+3y+z = 1
2x+2y+z = 1
4x+5y+2z = 2
.
6. [2013] [EXT-B] Sabiendo que 
a b c
6 0 3
1 1 1
 = 2, calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus, los siguientes determinantes,
indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes está utilizando.
a) 
1 1 1
2 0 1
3a 3b 3c
.
b) 
a b c
2a+6 2b 2c+3
a+1 b+1 c+1
.
7. [2013] [JUN-A] Discuta, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones: 
x+y+z = 1
x-ay+z = 1
ax+y+z = 4
.
No hay que resolverlo en ningún caso.
8. [2013] [JUN-B] a) Compruebe que la matriz A = 4 1
-3 -1
 es regular (o inversible) y calcule su matriz inversa.
b) Resuelva la ecuación matricial AX + A2 = B, siendo A la matriz anterior y B = 1 2
3 4
.
9. [2012] [EXT-B] a) Dada la matriz A = 
0 3 4
1 -4 -5
-1 3 4
, calcule las potencias A2, A3 y A4.
b) Calcule A2012.
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10. [2012] [JUN-A] a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: 
x+y+z = 2
x+ay+a2z = -1
ax+a2y+a3z = 2
.
b) Resuelva el sistema cuando sea compatible.
11. [2012] [JUN-B] Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si cumple que At·A = I, donde I denota la matriz identidad y At
es la traspuesta de A.
Determine para qué valores de los parámetros a y b la siguiente matriz es ortogonal: A = 
a -a b
a a 0
0 b -1
.
12. [2011] [EXT-A] Sabiendo que 
1 1 1
a b c
x y z
 = 6, sin utilizar la regla de Sarrus, el valor del siguiente determinante, indicando en cada
caso qué propiedad (o propiedades) de los determinantes se está utilizando: 
5 5 5
a b c
x
2
+3a y
2
+3b z
2
+3c
.
13. [2011] [EXT-B] a) Determine para qué valor del parámetro a la matriz A = 
a2 a a
a a2 1
a 1 a2
 es regular.
b) Estudie el rango de la matriz A en los casos en los que no sea regular.
14. [2011] [JUN-A] Demuestre, sin utilizar la regla de Sarrus y sin desarrollar directamente por una fila y/o columna que
x x+1 x+2
x x+3 x+4
x x+5 x+6
 = 0.
Indique en cada caso qué propiedad (o propiedades) de los determinantes está utilizando.
15. [2011] [JUN-B] Discuta, en función de los parámetroa a y b, el siguiente sistema de ecuaciones. No hay que resolverlo:
x+ay+2z = 3
x-3y-z = -1
-x+8y+4z = b
16. [2010] [EXT-A] Definición de rango de una matriz. Calcular el rango de la matriz A = 
1 1 -1
0 2 1
1 3 0
1 1 k
 en función del parámetro k.
17. [2010] [EXT-B] Discutir y resolver el sistema siguiente en función de los posibles valores del parámetro k 
x+2y+4z = 0
-2x-4z = 0
x-y+z = k
.
18. [2010] [JUN-A] Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A = 
1 2 0
1 1 1
-1 0 -1
.
19. [2010] [JUN-B] Enunciar el teorema de Rouche-Fröbenius. Aplicar dicho teorema para discutir si el sistema siguiente tiene
solución y si la solución es única en función de los posibles valores del parámetro k (no es necesario resolver el sistema):
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x-y+z = k
3x-3y = 0
x+ky+3z = 1 
.
20. [2009] [EXT] Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A = 
-1 2 1
1 0 -1
2 1 -1
.
21. [2009] [EXT] Clasificar el sisguiente sistema según los valores del parámetro: 
ax+y-z = 0
3x+2y+z = 0
-3x+z = 0
.
22. [2009] [JUN] Calcular el rango de la matriz A según los valores del parámetro. A = 
1 2 1 a
1 -2 3 1
0 4 -2 1
23. [2009] [JUN] Estudiar si el siguiente sistema tiene solución y, en ese caso, resolver por Cramer: 
x-y+z = -3
-x-y = 1
x-2z = -1
.
24. [2008] [EXT] Calcular el rango de la matriz A según los valores del parámetro a: A = 
1 -1 -2 0
2 0 -4 2
-3 4 6 a
.
25. [2008] [EXT] i) Enunciar el teorema de Rouche-Fröbenius.
ii) Resolver, si es posible, el sistema de ecuaciones lineales siguiente: 
-2x+y-z = 1
-x+3y+2z = 2
x-y-2z = 3
26. [2008] [JUN] Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A = 
1 2 -2
-1 3 -1
0 -2 1
.
27. [2008] [JUN] Calsificar el siguiente sistema, según los valores de los parámetros a y b: 
x-y-z = b
-x+y = 2
x+ay+2z = -2
.
28. [2007] [EXT] i) Enunciar el teorema de Rouche-Fröbenius.
ii) Estudiar y resolver, cuando sea posible, el sistema siguiente: ax+by = 0
x+y = a
.
29. [2007] [EXT] Calcule, si es posible, la inversa de la matriz A = 
1 0 -1
1 1 -1
2 1 0
.
30. [2007] [JUN] i) Definiciñon de rango de una matriz.
ii) Calcular el rango de A según los valores del parámetro k: A = 
1 3 3 1
k k 3 -1
-1 3 3 0
.
iii) Estudiar si podemos formar una base de 3 con las columnas de A según los valores del parámetro k. Indique con qué
columnas.
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31. [2007] [JUN] i) Clasificar el siguiente sistema según los valores del parámetro k: 
kx+y-2z = 0
-x-y+kz = 1
x+y+z = k
.
ii) Resolver el sistema por Cramer para k = 2.
32. [2006] [EXT] i) Definición de rango de una matriz.
ii) Calcule el rango de la matriz A en función de los valores del parámetro k: A = 
1 k 1 2
2 0 -1 1
-1 1 1 0
.
iii) ¿Podemos formar una base de 3 usando los vectores formados con las columnas de A? ¿Con cuáles?
33. [2006] [EXT] i) Definición de matriz inversa de una matriz cuadrada.
ii) Calcule la inversa de la matriz B = 
1 2 2
1 0 1
-1 1 -1
.
34. [2006] [JUN] i) Enuncie el teorema de Rouche-Fröbenius.
ii) Estudie, según los valores del parámetro a, el sistema de ecuaciones lineales siguiente: 
ax+ay = a
x-y+az = a
x+2y+3z = a
.
35. [2005] [EXT] (a) Enunciado del terorema de Rouche-Fröbenius.
(b) Los sistemas 
ax + y + bz = -4
bx + ay + cz = -9
cx + by + az = -11
 y 
x - 2y + 3z = 1
x + z = -1
x - z = 3
 son equivalentes. Hallar a, b y c.
36. [2005] [JUN] Estudiar, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 ay + z = a-1
-ax + (a+1)y = a
ax - y + (2a-1)z = 2a+1
37. [2005] [JUN] (a) Para qué valores del parámetro k admite inversa la matriaz A = 
1 2 0
-1 1 k
0 1 2
.
(b) Calcular A-1 en función de k.
38. [2004] [EXT] a) Definición de rango de una matriz.
b) Discutir, según los valores del parámetro a, el rango de la matriz 
1 a 1 a
0 1 a 1
1 a 0 1
.
c) Una matriz de tres filas y cuatro columnas verifica que su segunda columna es toda ceros y la tercera columna es igual a la
primera más la cuarta. ¿Cuál es el rango máximo que puede tener?
39. [2004] [JUN] a) Estudiar, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x+ay - z= a
2ax - y+az= 1
3x - y+ z=0
b) Resolverlo, si es posible, utilizando la regla de Cramer, para a = -1.
40. [2003] [EXT] a) Estudie, en función de los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
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2x + ay + z = 5
x + ay + z = 1
2x + (a+1)y + (a+1)z = 0
b) Resuélvalo para a = 2, utilizando la regla de Cramer.
41. [2003] [JUN] a) Enuncie elteorema de Rouche-Fröbenius.
b) Discuta, en función de los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
x + ay + z = a
2x + ay + az = 1
x + y + az = 1
 Soluciones
1. a) 3 1
-2 -1
 b) 68 25
-49 -18
 2. a) a=3: inc; a=0: c.i.; a{0,3}: c.d. b) (k,k,0) 3. -12, 8 4. a) a{-1,2}: c.i.; a{-1,2}: c.d. b) (k+1,0,k) 5. c.i. 1-k
2
,0,k 6. a) -2 b) 2 7.
a=1: inc; a=-1:c.i.; a{-1,1}:c.d. 8. a) 1 1
-3 -4
 b) 0 5
-12 -21
 9. a) 
-1 0 1
1 4 4
-1 -3 -3
; -I; -A b) A2 10. a) a-2: inc; a=-2: c.i. b) (1-2k,1+k,k) 11.  2
2
, 0 12. 15 13.
a{-1,0,1} b) a = 1: 1; a = 0: 2 15. a = 2, b = 5, c.i; a = 2, b  5: inc; a  2: c.d. 16. k=-1: 2; k-1: 3 17. k=0: c.i. (-2,-,); k0: inc. 18. 
1 -2 -2
0 1 1
-1 2 1
 19. k=-1: inc;
k-1: c.d. 20. -1
2
1 3 -2
-1 -1 0
1 5 -2
 21. a=6: c.i; a6: c.d. 22. a=2: 2; a2: 3 23. -9
5
,4
5
,-2
5
 24. a = 1: 2; a  1: 3. 25. 17
10
, 5
10
,-19
10
 26. 
-1 -2 -4
-1 -1 -3
-2 -2 -5
 27. a = -1: b = -2:
comp.ind; b  -2: inc. a  -1: comp. det. 28. b) a=b: a{-1,1}: c.i. (a-k,k) ; a{-1,1}: inc. ; ab: c.d. ab
b-a
, a
2
a-b
 29. 1
2
1 -1 1
-2 2 0
-1 -1 1
 30. b) rg(A) = 3, k c) k = -3: 1ª,2ª,3ª
; k  -3: 1ª,3ª,4ª. 31. a) k = 1: inc ; k = -1: c.i. ; k {-1,1}: c.d. b) (1,0,1) 32. ii) k =3: 2; k  3: 3 iii) k  3; 1ª,2ª,3ª 33. ii) 
-1 4 2
0 1 1
- -3 -2
 34. ii) a = -6: inc. ; a = 0: c.i. ;
a{-6,0}: c.d. 35. (b) 3, 2, 1. 36. a = 1: incomp; a = 0: comp. ind.; a  {0,1}: comp.det. 37. (a) k6 (b) 1
6-k
2-k -4 2k
2 2 -k
-1 -1 3
 38. b) a = 0: 2; a  0: 3 c) 2 39. a) a  {-4,1}:
incomp; a  {-4,1}: comp. det. b) -2
3
,-5
6
,7
6
 40. a) a{-1,1}: inc. ; a{-1,1}: c.d. b) 4,-1
3
,-7
3
 41. b) a = 1: c.i. ; a  1: c.d.
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