Ejercicios de Vectores en el espacio

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Geometría analítica
Vectores en el espacio
1. Indicar para qué valores de t los vectores u=(1,1,1), v=(2,2,t) y w=(t,0,0) no forman una base en V3.
2. Hallar para qué valores de a los vectores u=(a,1,-2), v=(1,a,2) y w=(2a,1,0) son linealmente independientes.
3. Determinar los valores de a y b para que el vector (1,4,a,b) esté en el subespacio engendrado por los vectores
(1,2,-1,2) y (0,1,2,1).
4. Dados los vectores a=(k,8,4), b=(-1,2,0) y c=(0,1,2), hallar k para que el vector a se pueda expresar como
combinación lineal de b y c.
5. Sean los vectores
u = (-1,2,3), v = (2,5,-2), x = (4,1,3) y z = (4,1,-8)
(1) ¿Se puede expresar x como combinación lineal de u y v? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así,
explica por qué.
(2) ¿Se puede expresar z como combinación lineal de u y v? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así,
explica por qué.
(3) ¿Son u, v y z linealmente independientes? Justifica la respuesta.
6. Comprueba que los vectores a, b y c forman una base en V3 y expresa w como combinación lineal de ellos:
1. a = (1,-2,0) , b = (0,-1,3) , c = (1,0,-5) , w = (-1,1,0)
2. a = (1,-5,2) , b = (3,4,-1) , c = (6,3,-5) , w = (24,-26,-6)
7. Comprueba si los vectores u = (1,-3,2), v = (-2,6,-4) y w = (2,0,1) son independientes, buscando una relación entre
ellos en caso contrario.
8. Hallar x para que los vectores u = (3,-5,1) y v = (7,4,2) y w = (1,14,x) sean coplanarios.
9. Dados los puntos A(2,3,1), B(-1,0,4) y C(-2,1,5), hallar las coordenadas de un cuarto punto D con la condición de que
el cuadrilátero ABCD sea un paralelogramo.
10. Dados los vectores a=(1,2,-1), b=(2,0,-1) y c=(2,-1,0), indicar cuales de ellos son ortogonales.
11. Dado el vector a=(1,2.-1), encontrar:
a) Dos vectores que sean paralelos.
b) Dos vectores que sean ortogonales.
c) Un vector que sea ortogonal y unitario.
12. Hallar m para que los vectores u = (1,m,1) y v = (-2,4,m) sean:
a) Paralelos.
b) Perpendiculares.
13. Dados los vectores a=(1,-3,1) y b=(2,1,-1), determinar un vector x que sea coplanario con a y b y ortogonal al vector
c=(1,2,2).
14. Dados los vectores a=(1,0,1), b=(2,-1,-2) y c=(1,-3,2), determinar el vector que siendo coplanario con a y b, sea
ortogonal a c y, además, sea unitario.
15. Dados los vectores a=(2,-1,α) y b=(β,-2,2), determinar los valores de α y β que hacen que a y b sean ortogonales y
a = b .
16. Dados los vectores a=(3,-1,5) y b=(1,2,-3), calcular el vector c, que es perpendicular al eje OZ y verifica las
igualdades: c·a = 9 y c·b = -4.
17. Dados los vectores a = u1 - 2αu2 + u3 y b = 2u1 + u2 - βu3, referidos a la base ortonormal u1 , u2 , u3 ,
determinar los valores de α y β para que:
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1) a y b sean paralelos.
2) a y b sean ortogonales.
18. Hallar el ángulo que forman los vectores a= 0,1, 3 y b=(0,-1,0).
19. Hallar x para que los vectores u = (1,-1,0) y v = (2,0,x) formen un ángulo de 60º. ¿Para qué valor de x serán
ortogonales?
20. Dados los puntos A(1,2,0), B(1,0,3) y C(0,-2,-2), calcular el ángulo interno del vértice A, en el triángulo ABC.
21. Dados los vértices A, B y C, tal que A(1,α,0), B(3,0,1) y C(0,-5,2), determinar el valor de α para que el triángulo ABC
sea rectángulo en A.
22. Comprobar si es rectángulo el triángulo de vértices A(4,3,5), B(1,1,1) y C(-1,10,-2).
23. Calcular u+v , sabiendo que u = 4, v = 2 y 
∧
u,v = 60º.
24. Calcular el ángulo que forman los vectores u y v, sabiendo que u = 3, v = 5 y u+v = 7
25. Dados los vectores u1=(2,0,0), u2=(0,1,-3) y u3 = au1 + bu2, ¿qué relación debe existir entre a y b para que el módulo
de u3 valga la unidad?
26. Los módulos de los vectores a, b y c son, respectivamente, 3, 1 y 4. Determinar el valor de a·b + b·c + c·a,
sabiendo que la suma de los vectores es 0.
27. Siendo e1,e2,e3 una base del espacio euclídeo tridimensional constituido por vectores unitarios que forman entre
sí ángulos de 60º, calcular el coseno del ángulo que forman u = e1 + e2 y v = e1 - e2 + e3.
28. Dados los vectores a=(1,0,-2) y b=(4,-2,0) hallar el vector proyección ortogonal de a sobre b, proyba.
29. Dados los vértices del triángulo ABC, A(1,3,0), B(3,0,-3) y C(0,1,2), calcular el ángulo interno del vértice C y la
proyección ortogonal del lado BA sobre el lado BC.
30. Calcular a∧b y b∧a, siendo a=(1,0,-1) y b=(2,-1,1).
31. Hallar el área del triángulo ABC, siendo:
1. A(0,0,0), B(3,0,0) y C(0,2,2). 2. A(1,3,0), B(3,0,-3) y C(0,1,2).
32. Hallar un vector u que tenga la misma dirección que el vector v = (1,-2,3) y forme con el vector w = (-2,4,-1) un
paralelogramo de 25 u2 de área.
33. Hallar un vector que sea perpendicular a los vectores:
1. u = (1,-2,0) y v = (1,-1,3) 2. u = (2,-2,1) y v = (2,-1,2)
34. Calcular a y b para que el vector w = (a,b,1) sea ortogonal a los vectores u = (3,2,0) y v = (2,1,-1).
35. Calcular los vectores de longitud unidad, ortogonales a los vectores:
1. u = (2,-2,3) y v = (3,-3,2). 2. u = (2,3,1) y v = (-1,3,0).
36. Dados los vectores a=(-1,-1,2) y b=(0,2,1), hallar un vector que sea ortogonal a ambos y tenga de módulo 2.
37. Si a y b son dos vectores del espacio vectorial V3, demostrar que los vectores a+b y a∧b son ortogonales.
38. Dados los vectores u=(-1,2,3) y v=(-2,1,4), referidos a la base ortonormal B= e1,e2,e3 , hallar:
a) El producto vectorial u∧v.
b) El área del paralelogramo construido sobre dos representantes de u y v con un origen común.
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c) Comprobar que el vector u∧v es perpendicular a los vectores u y v.
39. Siendo a y b dos vectores cualesquiera del espacio, probar: a - b ∧ a + b = 2 a∧b .
40. Dados los vectores a = 3i-2j+k y b = i-3j+5k referidos a un sistema de referencia ortonormal i,j,k , se pide:
a) Demostrar que forman un triángulo con el vector c = 2i+j-4k.
b) Hallar el área de dicho triángulo.
41. Calcular u,v,w , siendo:
1. u=(1,0,0), v=(3,-1,0) y w=(1,1,-2). 2. u=(1,0,-2), v=(2,-1,0) y w=(-1,0,-1).
42. Hallar el volumen del paralepípedo definido por los vectores:
1. u = (1,-2,1), v = (1,-1,2) y w = (0,1,1) 2. u = (1,-1,1), v = (1,0,-2) y w = (2,1,-1)
43. Calcular el volumen del tetraedro de vértices:
1. A(0,2,-1), B(2,0,1), C(1,-2,0) y D(2,2,1). 2. A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0) y D(0,0,1)
44. Determinar el valor de a para que los vectores u = (3,-5,1), v = (2,1,-7) y w = (1,4,a) definan un paralelepípedo de 9
u3 de volumen.
45. Hallar las componentes de un vector u que sea ortogonal a los vectores v = (1,2,3) y w = (1,-1,1) y se cumpla: u,v,w
= 19.
46. Demostrar que ∀a,b,c∈V3, los vectores a-b, b-c y c-a son linealmente dependientes, utilizando las propiedades
del producto mixto.
47. Demostrar la identidad a+c,b,a+b = - a,b,c , ∀a,b,c ∈V3.
48. Demostrar, ∀a,b,c∈V3, la identidad a+b,b+c,c+a = 2 a,b,c .
49. Demostrar, ∀a,b,c∈V3 y ∀α,β∈ℜ: a,b,αa+βb+c = a,b,c .
50. El vector c es perpendicular a los vectores a y b, que determinan entre sí un ángulo de 30º. Sabiendo que a =6,
b =3 y c =3, calcular el producto mixto a,b,c .
51. Determinar si son linealmente dependientes o no los vectores a, b y c, utilizando el producto mixto:
1. a=(2,-1,2), b=(1,2,-3), c=(3,-4,7) 2. a=(3,-2,1), b=(2,1,2), c=(3,-1,-2) 3. a=(2,3,-1), b=(1,-1,3), c=(1,9,-11)
4. a=(1,0,-1), b=(2,-1,3), c=(2,2,-1)
52. Sea A la matriz dada por A=
1 3 -7
2 a b
c -a d
. Hallar a, b, c y d sabiendo que:
(i) El vector cuyas coordenadas son las que aparecen en la primera columna de A es ortogonal al vector (1,-1,1).
(ii) El producto vectorial del vector cuyas coordenadas son las de la tercera columna de A por el vector (1,0,1) es el
vector (-2,3,2).
(iii) El rango de la matriz A es 2.
53. Se sabe que la matriz A=
a 0 -a
0 -1 0
b 0 b
 verifica que det(A) = 1 y sus columnas son vectores perpendiculares dos a dos.
(1) Calcula los valores de a y b.
(2) Comprueba que para dichosvalores se verifica que A-1 = At donde At denota la matriz traspuesta de A.
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 Soluciones
1. 0 , 2 2. a ∉ -1 , 1
2
 3. -5 , 0 4. -3 5. No ; z = -2u + v ; No 6.1. w = 2a - 5b - 3c 6.2. w = 6a - 2b + 4c 7. v +2u + 0w = 0 8. 0 9.
D(1,4,2) 10. a y c 12. -2 ; 2
5
 13. x = (-8k,3k,k), ∀k∈ℜ 14. -5 83
83
 , 3 83
83
 , 7 83
83
 y 5 83
83
 , -3 83
83
 , -7 83
83
 15. -2 ; 1 16. (2,-3,0)
17. 2α + β = 2 18. 240º 19. ±2 , No 20. 83º 2' 51'' 21. 0 , -5 22. en B 23. 2 7 24. 60º 25. 4a2 + 10b2 = 1 26. -13 27. 6
6
 28.
4
5
 , -2
5
 , 0 29. 95º 46' 5'' ; 24 35
35
 30. a∧b = (-1,-3,-1) ; b∧a = (1,3,1) 31.1. 3 2 31.2. 194
2
 32. u1 = 5 , -2 5 , 3 5 y u2 =
- 5 , 2 5 , -3 5 33.1. (-6,-3,1) 33.2. (-3,-2,2) 34. 2 , -3 35.1. 2
2
 , 2
2
 , 0 y - 2
2
 , - 2
2
 , 0 35.2. -3 91
91
 , - 91
91
 , 9 91
91
 y
3 91
91
 , 91
91
 , -9 91
91
 36. - 30
3
 , 30
15
 , -2 30
15
 y 30
3
 , - 30
15
 , 2 30
15
 38. u∧v = (5,-2,3) ; 38 40. 7 6
2
 41.1. 2 41.2. 3 42.1. No
42.2. 6 43.1. No 43.2. 1 44. -9 45. 5
2
 , 1 , - 3
2
 50. 27 51.1. dep. 51.2. indep. 51.3. dep. 51.4. indep. 52. - 6
5
 ; -2 ; 1 ; -4 53.
2
2
 , - 2
2
 y - 2
2
 , 2
2
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