vectores plano

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Espacio Vectorial
1. Espacios vectoriales
En el plano, consideramos el sistema de referencia cartesiano, dos rectas perpendiculares
que se cortan en el punto O(0, 0). El eje OX es el eje de abscisas y OY es el eje de ordenadas.
Con este sistema, cada punto P del plano se puede representar por dos números que llamamos
coordenadas y representamos entre paréntesis, P (x, y). Dichas coordenadas reciben los nombres
de abscisa y ordenada, respectivamente.
O(0, 0)
X
Y
P (x, y)
x
y
Figura 1: Sistema de referencia cartesiano.
Dados dos puntos A(a1, a2) y B(b1, b2) en el plano, la distancia entre ellos viene dada por
la expresión
d(A, B) =
√
(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2
la cual se puede demostrar fácilmente a partir del Teorema de Pitágoras.
Si consideramos el segmento AB, es obvio que su longitud coincide con la distancia entre
A y B. Además, las coordenadas de su punto medio son:
M = (
a1 + b1
2
,
a2 + b2
2
)
2. Vectores en el plano
Los vectores sirven para representar magnitudes geométricas y f́ısicas que tienen módulo,
dirección y sentido, como traslaciones, velocidades y fuerzas.
Un vector fijo
−→
AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B
(extremo). Un vector fijo es nulo cuando su origen y su extremo coinciden. Si A = (a1, a2) y
B = (b1, b2), las coordenadas del vector
−→
AB son (b1 − a1, b2 − a2).
1
Un vector fijo consta de:
- Módulo: Es la longitud del segmento AB y se representa por |−→AB|. Un vector con módulo
1 se dice que es unitario. Dado un vector cualquiera ~u, el vector
~u
|~u| es unitario.
- Dirección: Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela
a ella.
- Sentido: El que va del origen A al extremo B.
El ángulo entre dos vectores es el ángulo que forman las rectas que los contienen.
Dos vectores son equivalentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo
sentido. Al conjunto de todos los vectores equivalentes entre śı se le llama vector libre.
Operaciones con vectores:
Consideremos los vectores ~u = (u1, u2) y ~v = (v1, v2):
Suma/Resta de vectores: ~u± ~v = (u1 ± v1, u2 ± v2).
Producto por un escalar: k · ~u = (ku1, ku2), ∀k ∈ <.
~u
~v
~u + ~v ~u
−~v
~u − ~v
~u
3~u
a) b) c)
Figura 2: Operaciones con vectores: a) Suma, b) resta y c) producto por escalar.
Consideremos el sistema de referencia cartesiano y en él dos vectores unitarios {~i,~j} según las
direcciones OX y OY (respectivamente) en sentido positivo (ver Figura 3). Entonces, cualquier
vector ~u = (u1, u2) puede expresarse de la forma ~u = u1~i + u2~j. A u1 y u2 se les llama
componentes del vector ~u.
Si denotamos por α al ángulo que forma ~u con la semieje positivo OX+, entonces
α = arctan
(
u2
u1
)
y
{
u1 = |~u| cos(α)
u2 = |~u| sin(α)
.
Aśı mismo, se llama vector de posición de un punto A al vector
−→
OA.
Observación: Dado un vector cualquiera ~u = (u1, u2), ~u puede ser considerado como el vector
de posición del punto U = (u1, u2) ∈ <2 y por lo tanto |~u| = |−→OU | =
√
u21 + u
2
2.
3. Producto escalar
Dados los vectores ~u = (u1, u2) y ~v = (v1, v2), se define el producto escalar de ~u y ~v (y se
denota ~u · ~v) como el escalar:
~u · ~v = |~u| · |~v| · cos(α) = u1v1 + u2v2,
O
X
Y
~i
~j
~u = u1~i + u2~j
u1
u2
α
Figura 3: Componentes de un vector.
siendo α el ángulo que forman ~u y ~v.
De la definición de producto escalar, obtenemos una expresión para el ángulo de dos vectores:
cos(α) =
~u · ~v
|~u| · |~v| =
u1v1 + u2v2√
u21 + u
2
2 ·
√
v21 + v
2
2
Observemos que dos vectores son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es
nulo y que son paralelos (es decir, α = 0 ó α = π) si sus coordenadas son proporcionales.
Propiedades del producto escalar:
1. Conmutativa: ~u · ~v = ~v · ~u
2. Asociativa: k · (~u · ~v) = (k · ~u) · ~v, ∀k ∈ <
3. Distributiva: ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w
4. ~u · ~u = |~u|2
NOTA: Todas las definiciones anteriores se generalizan de forma natural al espacio
eucĺıdeo tridimensional.
4. Producto vectorial
El producto vectorial de dos vectores ~u = (u1, u2, u3) y ~v = (v1, v2, v3) en el espacio
tridimensional es otro vector ~u ∧ ~v definido del siguiente modo (ver Figura 4):
~u
~v
~u ∧ ~v
α
Figura 4: Producto vectorial. Regla de avance del sacacorchos.
- Módulo: |~u ∧ ~v| = |~u| · |~v| · sen(α), siendo α el ángulo que forman ~u y ~v.
- Dirección: la de una recta perpendicular a los vectores ~u y ~v (o equivalentemente, perpen-
dicular al plano que los contiene) .
- Sentido: el de avance de un sacacorchos que gira de ~u a ~v describiendo el menor ángulo.
Observemos que el producto vectorial es anticonmutativo, esto es, ~u ∧ ~v = −(~v ∧ ~u).
Expresión anaĺıtica del producto vectorial:
Consideremos el sistema de referencia cartesiano en el espacio eucĺıdeo tridimensional y en
él tres vectores unitarios {~i,~j,~k} según las direcciones OX, OY y OZ (respectivamente) en
sentido positivo. Entonces, dados ~u = (u1, u2, u3) y ~v = (v1, v2, v3):
~u ∧ ~v =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣∣