U1 pp 26 serie geométrica

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Serie geométrica
En matemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre sus
términos sucesivos permanece constante.
Por ejemplo la serie
es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior
por .
Razón común
Suma
Fórmula
Convergencia
Véase también
Referencias
Enlaces externos
Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos
permanece constante.
El comportamiento de los términos depende de la razón común r :
Si los términos decrecen y se acercan a cero en el límite. En tal caso, la serie converge.
Si los términos de la serie se incrementan en magnitud. La suma de los términos también aumenta y la
serie no tiene suma. La serie diverge.
La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los
términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero,
las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas,
permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie
sea infinita. La suma puede ser obtenida utilizando las
propiedades autosimilares de la serie.
Cada uno de los cuadrados púrpuras
tiene 1/4 del área del cuadrado
anterior más grande (1/2 × 1/2 = 1/4,
1/4 × 1/4 = 1/16, etc.). La suma de
las áreas de los cuadrados púrpuras
es 1/3 del área de todo el cuadrado
grande.
Índice
Razón común
Suma
Ilustración de una suma autosimilar.
Fórmula
https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Autosimilaridad
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:GeometricSquares.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:GeometricCircles.png
https://es.wikipedia.org/wiki/Autosimilaridad
Para , la suma de los primeros n términos de una serie geométrica es:
donde a es el primer término de la serie y r la razón común.
Demostración
í
Ejemplo:
Dada la serie geométrica:
La razón común de esta serie es y el primer término es .
Así la suma de los primeros 10 términos de la serie es:
 
, por lo que .
La serie geométrica real de término inicial no nulo y de razón es convergente si y solamente si . En tal
caso, su suma vale:
Demostración
ó
Convergencia
Ejemplo:
Dada la serie geométrica:
La razón común de esta serie es y el primer termino es . Así por el resultado anterior
, por lo que .
Este resultado se puede utilizar para evaluar cualquier serie geométrica convergente.
Serie
Criterio de d'Alembert
Progresión geométrica
Razón (matemáticas)
Weisstein, Eric W. «Geometric Series» (http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html). En Weisstein, Eric
W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
geometric series (http://planetmath.org/1188) en PlanetMath.
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Véase también
Referencias
Enlaces externos
https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_d%27Alembert
https://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research
http://planetmath.org/1188
https://es.wikipedia.org/wiki/PlanetMath
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikilibros
https://es.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_en_una_variable/Serie
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Serie_geom%C3%A9trica&oldid=118536631
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