resumen de estadística

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Intervalo 
El intervalo semiabierto por la 
derecha [a, b) es el conjunto de 
todos los números reales mayores 
o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x R| a ≤ x < b}
Sector circular y ángulo 
central
Un sector circular es la porción 
de círculo comprendido entre 
dos radios, y queda determinado 
por el ángulo que forman estos 
radios. Este ángulo se llama 
central. 
Estudio estadístico 
y variable estadística
Se hace un estudio estadístico 
cuando se quiere obtener 
información sobre algún tema 
relacionado con un grupo de 
elementos similares. 
La información se obtiene a partir 
de una pregunta llamada 
variable estadística.
Parámetros estadísticos
Son valores que sintetizan la 
información contenida en una 
variable estadística. Algunos 
de ellos son la media, la mediana, 
la moda, la desviación típica, 
etcétera.
¿Recuerdas qué es…?
11
TÍTULAR (PUEDE SER 
DE DOS LÍNEAS)
Texto de introducción (ajustar la mancha de 
color al texto). Un libro de recetas de cocina 
indica que, para la elaboración de una tarta 
de manzana para 4 personas se necesitan 
los siguientes ingredientes: 200 g de masa, 
6 manzanas reineta, 150 g de azúcar, 3 cu-
charadas de mermelada de albaricoque y 
200 g de crema pastelera. Si lo que se desea 
es hacer una tarta para 8 personas, es lógico 
suponer que la cantidad necesaria de cada 
uno de los ingredientes es el doble de la indi-
cada para una tarta de 4 personas. Pero si se 
quiere que la tarta sea de cinco, seis o siete 
raciones, ¿cuál sería la cantidad necesaria 
de cada ingrediente?
En esta Unidad, vas a ver cómo puedes cal-
cular la cantidad de cada uno de los ingre-
dientes para hacer una tarta con las raciones 
que desees a partir de la receta dada.
(Objetivos o contenidos)
Los objetivos de esta Unidad son:
 Que aprendas a determinar la constante 
de proporcionalidad.
 00. La Tierra
 A. Los movimientos de la Tierra
11
ESTADÍSTICA
La Estadística, o «ciencia del Estado», se 
empleó en su origen para la descripción de 
datos. Resulta lógico que los Estados quieran 
estudiar distintas características de las 
poblaciones y sus recursos. 
El primer objetivo de la Estadística es hallar 
procedimientos para representar y sintetizar 
la información proporcionada por ciertos 
datos. La rama denominada Estadística 
descriptiva se encarga de este objetivo.
Posteriormente, la Estadística abordó un 
objetivo mucho más ambicioso: realizar 
predicciones fiables sobre la población 
a partir de una muestra extraída. De ello se 
encarga la llamada Estadística inferencial.
El desarrollo de las técnicas de análisis 
de muestras permite relacionar variables 
físicas y sociales, incluso antes de encontrar 
el principio que explica su relación. 
Los objetivos de esta Unidad son:
• Dominar los conceptos elementales 
de la Estadística descriptiva.
• Aplicar las técnicas y cálculos estadísticos 
a un conjunto de datos.
202
11
En la práctica, los términos 
carácter y variable se emplean 
como si fueran equivalentes. 
Así, hablamos de variables 
cualitativas y cuantitativas.
Otros aspectos asociados 
a distintas poblaciones son, 
por ejemplo, «el número 
de horas que entrenan unos 
deportistas» o «la profesión de 
los integrantes de un club 
de ajedrez».
Supón, a modo de ejemplo, que deseamos estimar el tiempo que puede so-
brevivir una determinada especie vegetal sin ser regada. No parece razonable 
dejar sin agua a todas las plantas de esa especie, pero sí se puede seleccionar 
un grupo de éstas y someterlas a esta prueba. Pues bien, el conjunto de todas 
las plantas de esa especie se denomina población, y el grupo de plantas que 
se somete a la prueba se denomina muestra. Del estudio de la muestra se 
pretende obtener conclusiones referidas al total de la población.
1 NOCIONES DE ESTADÍSTICA
Población es un conjunto de elementos que, por un motivo u otro, estamos 
interesados en estudiar.
Individuo es cada uno de los elementos de la población.
Muestra es una parte de la población.
La Estadística es la ciencia que, mediante el uso de modelos matemáticos, 
organiza datos asociados a una cierta población y permite obtener conclu-
siones a partir de muestras.
En una población determinada se pueden estudiar distintos aspectos. Así, en 
el ejemplo que abre esta sección, el aspecto que estudiamos es «tiempo de 
vida de una planta sin ser regada».
Los distintos aspectos o rasgos de una población se llaman caracteres 
estadísticos, o simplemente caracteres.
Un carácter es cualitativo si toma valores no numéricos. Por ejemplo, el 
«lugar de nacimiento» es un carácter cualitativo, pues los valores que toma, 
Madrid, Segovia, Badajoz…, no son numéricos. Los valores que toma un ca-
rácter cualitativo reciben el nombre particular de modalidades. 
Un carácter es cuantitativo si toma valores numéricos. Así, «la edad de una 
persona» que toma valores como 5 años, 6 años, 30 años…, es un carácter 
cuantitativo.
El conjunto de valores que toma un carácter estadístico se denomina va-
riable estadística, o, si no hay confusión, variable.
Una variable cuantitativa es discreta si los valores que toma son aislados. Por 
ejemplo, «el número de hermanos» o «el número de páginas de un libro». Si 
la variable puede tomar todos los valores de un intervalo, se denomina con-
tinua. Son variables continuas «la talla», «el peso» o «el tiempo que tarda un 
corredor en concluir una maratón». 
 Pon dos ejemplos de variable discreta, e in-
dica los valores aislados que pueden tomar.
 Piensa en dos ejemplos de variable continua, 
e indica los valores que pueden tomar.
 Pon dos ejemplos de carácter estadístico cua-
litativo y dos de carácter estadístico cuantitativo.
 A unos alumnos se les pregunta por el depor-
te que practican. ¿Es un carácter cuantitativo?
Ejercicios
 1 
 2 
 3 
 4 
Reflexiona
Ten en cuenta
http://descartes.cnice.mec.
es/materiales_didacticos/
iniciacion_estadististica_
fjgarcia/01VariablesEstadisticas.
htm
En esta página de F. J. 
García aparecen distintos 
tipos de variables que hay 
que identificar, pudiéndose 
comprobar la respuesta.
WEB
203
2 TABLAS DE FRECUENCIAS
El primer problema de la Estadística es la ordenación y tabulación de los da-
tos obtenidos en ciertas observaciones para extraer conclusiones sobre las 
características de una población. Las tablas de frecuencia de una variable 
estadística permiten ordenar los datos estadísticos y proporcionar una lectura 
clara de los mismos. Distinguiremos dos tipos de tablas.
VARIABLES DISCRETASA
Supongamos una variable discreta que toma los valores x1, x2, ..., xi, ... Asocia-
dos a estos datos, definimos:
— Frecuencia absoluta del valor xi: es el número de veces que se repite el 
valor xi. Se representa como fi.
— Tamaño de la población: es N = f1 + f2 + ... + fn = 
n
i = 1
fi .
— Frecuencia relativa hi del valor xi: es el cociente entre la frecuencia
 absoluta y el tamaño de la población o de la muestra, esto es, hi = 
fi
N
.
— Porcentaje del valor xi es el tanto por ciento de aparición del valor xi. Se 
representa como pi, y se calcula con la expresión pi = 100 · hi.
Con lo anterior, se construye la denominada tabla de frecuencias.
El conjunto de datos obtenidos 
en un estudio estadístico se 
llama distribución de datos.
Definición
El símbolo , que no es más 
que la letra griega sigma, en 
matemáticas se llama sumatorio 
y sirve para escribir de manera 
abreviada sumas. Así, la 
expresión x1 + x2 + ... + xn se
abrevia como 
n
i = 1
fi .
Definición
En el Ejemplo 1, el dato 0 
aparece 2 veces, por lo que su 
frecuencia es f1 = 2. Igualmente 
con el resto de datos.
Ten en cuenta
A un grupo de 20 socios de una biblioteca se les ha preguntado sobre el número de libros que 
han leído el mes pasado. Las respuestas son las siguientes:
4, 2, 1, 0, 3, 1, 4, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 4, 3, 4, 1, 2.
El tamaño de la población es N = 20, y la tabla de frecuencias queda así:
xi fi hi pi
0 2 2/20 = 0,1 10%
1 6 6/20 = 0,3 30%
2 6 6/20 = 0,3 30%
3 2 2/20 = 0,1 10%4 4 4/20 = 0,2 20%
Total N = 20 1 100%
Ejemplo 1
 Copia en tu 
cuaderno y com-
pleta la tabla de 
frecuencias de 
las edades de los 
miembros de un 
club de ajedrez:
 Construye la tabla de frecuencias de las si-
guientes distribuciones de datos, señalando situa-
ciones reales a las que se puedan asociar:
a) 4, 3, 2, 2, 0, 1, 4, 1, 1, 3, 0, 0, 0, 4, 5.
b) 18, 23, 22, 19, 23, 23, 24, 21, 23, 19, 18, 23, 23, 
24, 23, 22, 23, 21.
Ejercicios
 5 6 xi fi hi pi
 9 0,15
10 9
11 40 %
Total 20
204
11 VARIABLES CONTINUASB
Si la variable es continua, o el número de valores distintos de la variable es 
muy elevado, conviene elaborar una tabla de frecuencias agrupando los datos 
en intervalos o clases.
El punto medio de cada clase se denomina marca de clase y se designa 
como xi.
Una vez distribuidos los datos en intervalos y calculadas las marcas de clase, 
el modo de proceder es análogo al de las variables discretas, sustituyendo la 
totalidad del intervalo por su marca de clase.
Los intervalos suelen ser 
del mismo tamaño, aunque 
no siempre es así.
Ten en cuenta
A modo de ejemplo, la marca 
de clase de [10,15) es:
10+15
2
 = 12,5
Ten en cuenta
 Copia y completa en tu cuaderno la siguiente 
tabla de frecuencias:
Clases
Marca 
x1
f1 h1 pi
[0, 10) 10 0,20
[10, 15) 30 %
[15, 20) 5
[20, 25)
[25, 30) 2 4 %
Total N = 50
 El número de personas que acudieron a un 
servicio médico a lo largo del último mes es: 
24 26 30 29 31
23 35 43 27 35
28 32 27 21 32
41 22 28 40 38
22 25 41 24 43
22 26 34 29 40
Agrupa los datos anteriores en intervalos de am-
plitud 5 y elabora la tabla de frecuencias de esta 
distribución.
Ejercicios
 7 8 
Una fábrica elabora varillas de hierro de diferentes longitudes. 
La longitud, en milímetros, de 30 de ellas es la siguiente:
15 12 11 14 24 17 10 6 10 23
10 15 17 18 19 16 12 23 12 19
24 18 12 13 24 8 21 15 11 14
Se trata de una distribución de variable continua. El dato menor 
es 6 mm y el mayor es 24 mm, por lo que podemos formar estas 
cuatro clases: [5, 10), [10, 15), [15, 20) y [20, 25). Efectuando el 
recuento de los datos y agrupándolos en estas clases, se elabora 
la tabla de frecuencias:
Clases
Marca de 
clase x1
fi hi pi
[5, 10) 7,5 2 2/30 6,66 %
[10, 15) 12,5 12 12/30 40 %
[15, 20) 17,5 10 10/30 33,33 %
[20, 25) 22,5 6 6/30 20 %
Total N = 30 1 100 %
Ejemplo 2
http://descartes.cnice.mec.
es/materiales_didacticos/
Recuento_y_agrupacion_datos/
organizacion_datos.htm
Página de J.A. González que 
permite la visualización de 
la construcción paso a paso 
de una tabla de frecuencias 
finalizando con el cálculo 
de la media.
http://descartes.cnice.
mec.es/materiales_
didacticos/iniciacion_
estadististica_fjgarcia/
02TablasDeFrecuencias.htm
Esta página de F. J. García 
permite construir tablas de 
frecuencia de variable discreta 
controlando el tamaño de los 
intervalos.
WEB
205
3 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
Los parámetros estadísticos son un pequeño número de valores que resu-
men la información de una variable estadística. Se dividen en parámetros de 
centralización (los datos se agrupan en torno a éstos) y parámetros de disper-
sión (informan sobre la intensidad con que se agrupan los datos en torno a 
los valores centrales). 
MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICAA
Considera una variable estadística X, de tamaño N, con la tabla de frecuencias 
del margen. Los valores x1, x2, xi, ... xn son los valores de la variable, si ésta es 
discreta, o las marcas de clase, si es continua.
La media aritmética de X es:
–x = 
f1x1 + f2x2 + … + fnxn
f1 + f2 + … + fn
 = 
n
i = 1
fi xi
n
i = 1
fi 
 = 
n
i = 1
fi xi
N
La media aritmética (o por simplicidad, la media) es un valor en torno al cual 
se concentra la distribución, y se mide en las mismas unidades que los datos. 
La varianza de X es Var = 2 = 
n
i = 1
fi (xi – –x)2
N
 = 
n
i = 1
fi xi2
N
 – –x 2 ≥ 0
La desviación típica de X es = Var ≥ 0.
Parámetros de centralización:
Media, moda, mediana, 
cuartiles, percentiles…
Parámetros de dispersión:
Varianza, desviación típica y 
coeficiente de variación.
Vocabulario
xi fi
x1 f1
x2 f2
· ·
· ·
xn fn
Total N
xi fi fi xi
0 2 0
1 5 5
2 5 10
3 1 3
4 2 8
Total N = 15 26
xi fi fi xi fi xi
2
0 2 0 0
1 5 5 5
2 5 10 20
3 1 3 9
4 2 8 32
Total N = 15 26 66
La varianza se mide en unidades cuadradas, mientras que la desviación típica 
lo hace en las mismas unidades que los datos.
A partir de la distribución del ejemplo 3, multiplicando la columna 
xi por la columna fixi obtenemos fi xi2, lo que nos permite calcular:
Var = 
 
n
i = 1
fi xi2
N
 – –x 2 = 
66
15
 – 
26
15
 
2
 1,3955...
 = Var = 1,3955... = 1,1813...
Ejemplo 4
En la distribución del margen se ha añadido una columna con 
los valores de los productos fixi, lo que facilita el cálculo de la
media. Como N = 15 y 
n
i = 1
fi xi = 26, la media es –x = 
26
15
 1,73...
Ejemplo 3
En la pestaña Actividades/
Unidad 11, encontrarás la 
actividad Relación 2 unidad 11, 
para calcular la media.
CD
206
11 COEFICIENTE DE VARIACIÓNB
La desviación típica representa una medida de la dispersión de los datos 
respecto a la media. Ahora bien, como media y desviación típica tienen uni-
dades, el que la desviación sea «grande» o «pequeña» es poco relevante si 
se desconoce lo «grande» o «pequeña» que es la media. En particular, la des-
viación típica por sí sola no permite comparar grados de dispersión de dos 
distribuciones de datos. Para resolver este problema, se define el coeficiente 
de variación (o de dispersión).
El coeficiente de variación CV de una variable X es el cociente entre la 
desviación típica y la media. Es decir, CV = –x . 
El coeficiente de variación 
es una magnitud sin unidades 
y representa una medida 
relativa de la dispersión.
Ten en cuenta
 Halla la media, la desviación típica y el coefi-
ciente de variación de estas distribuciones:
a) 27, 22, 29, 30, 21, 22, 27, 18, 23, 26, 33, 35, 20, 
26, 29.
b) 26, 21, 27, 31, 19, 24, 26, 19, 20, 24, 31, 32, 18, 
23, 30.
¿Cuál de las dos distribuciones tiene mayor grado 
de dispersión?
 Calcula la media, la varianza, la desviación 
típica y el coeficiente de variación de las distribu-
ciones asociadas a los ejercicios 7 y 8.
 Estudia la variable estadística continua 
«talla en centímetros», aplicada a dos grupos 
distintos de tu clase, y calcula la media, la va-
rianza, la desviación típica y el coeficiente de 
variación. Decide en cuál de los dos grupos es 
mayor la dispersión en la talla. 
Ejercicios
 9 11 
 10 
Dos vendedores de enciclopedias efectúan, durante la úl-
tima semana, las ventas siguientes:
Vendedor A 4, 3, 8, 0, 4, 6, 8
Vendedor B 4, 6, 4, 2, 1, 6, 6
Para decidir cuál de los dos es más regular en las ventas 
se calculan los respectivos coeficientes de variación. La 
media, la desviación típica y el coeficiente de variación 
de A son:
–xA = 
33
7
, A = 
205
7
 – 
33
7
 
2
 2,66
CVA = 
A
–xA
 
2,66
4,714
 0,56 = 56 %
La media, la desviación típica y el coeficiente de variación de B son:
–xB = 
29
7
, B = 
145
7
 – 
29
7
 
2
 1,88
CVB = 
B
–xB
 
1,88
4,14
 0,45 = 45 %
Como el coeficiente de variación CVB es menor que CVA, 
se puede concluir que el vendedor B es más regular que 
el vendedor A en la venta de enciclopedias.
Ejemplo 5
Ventas
xi
Vendedor A
fi fi xi fi xi
2
0 1 0 0
3 1 3 9
4 2 8 32
6 1 6 36
8 2 16 128
Total N = 7 33 205
Ventas
xi
Vendedor B
fi fi xi fi xi
2
1 1 1 1
2 1 2 4
4 2 8 32
6 3 18 108
Total N = 7 29 145
207
Fn = N
MEDIANA Y MODAC
Estudiamos en esta sección la mediana y la moda. Para definir y calcular la 
mediana es necesario el concepto de frecuencia absoluta acumulada.
En una tabla de frecuencias, la frecuencia acumulada asociada a xi, repre-
sentada como Fi, es la suma Fi = f1 + f2 + … + fi. El valor de Fi es la suma de 
las frecuencias absolutas de x1, x2, … y xi.
 Halla la media, la mediana y la desviación 
típica de la distribución: 3, 5, 2, 4, 6, 6, 4, 3, 5, 7, 4.
 Calcula la mediana delas distribuciones del 
ejercicio 11.
Ejercicios
 12 13 
Ten en cuenta
Para definir la mediana, es 
imprescindible que los datos 
de la distribución aparezcan 
ordenados. Hecho esto, la 
mediana deja el 50 % de la 
población antes de ella, y 
detrás, el otro 50 %.
Reflexiona
xi fi Fi
0 9 9
1 7 9 + 7 = 16
2 4 16 + 4 = 20
3 1 20 + 1 = 21
4 1 21 + 1 = 22
Consideremos la siguiente tabla de frecuencias a la que se aña-
de la columna de frecuencias absolutas acumuladas:
xi fi Fi
0 3 3
1 2 3 + 2 = 5
2 3 5 + 3 = 8
3 1 8 + 1 = 9
4 1 9 + 1 = 10
Ejemplo 6
La distribución (ordenada) 1, 3, 5, 7, 10 tiene 5 datos. La mediana es el dato que ocupa la posi-
ción tercera. Esto es, Me = 5.
La distribución 9, 10, 12, 15, 15, 16, 19, 24, 30, 45 consta de 10 datos. Los datos centrales, en 
las posiciones quinta y sexta, son 15 y 16. Por tanto, la mediana es: 
Me = 
15 + 16
2
 = 15,5
Ejemplo 7
En la tabla de frecuencias del margen, el número de datos es 
N = 22, que es un número par. Como la mitad del tamaño de la
población es 
N
2
 = 11, las posiciones centrales son la 11.ª y 12.ª, y
como ambas están asociadas al valor xi = 1, la mediana es: 
Me = 
1 + 1
2
 = 1
Ejemplo 8
Podemos abordar ya la definición de mediana de una distribución de datos. 
Supongamos que el número de datos es pequeño. Tras ordenar los datos en 
orden creciente, la mediana Me es el dato que ocupa la posición central. En 
el caso en que el número de datos sea par, la mediana Me es la media de los 
dos valores centrales.
208
11 Supongamos ahora que los datos se agrupan en intervalos. Denominamos clase mediana al primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada es mayor o igual que la mitad del tamaño de la población. Designamos Fi a esta 
frecuencia absoluta acumulada, y xi a la marca de la clase mediana. Existen 
dos posibilidades:
— Si Fi > 
N
2
, entonces la mediana es Me = xi.
— Si Fi = 
N
2
, entonces la mediana es Me = 
xi + xi + 1
2
.
Otro parámetro que puede calcularse es la moda. A la vista de la tabla del 
ejemplo anterior, se observa que la clase con mayor frecuencia absoluta es 
[40, 60). Esta clase se denomina clase modal. La marca de la clase modal 
se denomina moda. Así pues, la moda de esta distribución de alturas es 
M0 = 50 cm.
Si la distribución de datos no necesita agrupación por intervalos (variables 
discretas con pocos valores), la moda M0 es el valor (o valores) de la variable 
con mayor frecuencia absoluta.
 Halla la mediana y la moda de las distribucio-
nes A y B asociadas al ejemplo 5.
 Inventa una distribución de datos con media-
na 2 y moda 3.
 Halla la mediana y la moda de las distribucio-
nes de los ejercicios 7 y 8.
 Calcula la media, la mediana y la moda de la 
distribución: 3, 7, 5, 4, 3, 3, 6, 8, 10, 9.
Ejercicios
 14 16 
 15 17 
De este mismo modo, se 
puede calcular la mediana 
de una distribución de 
variable discreta con los datos 
presentados en una tabla 
de frecuencias.
Ten en cuenta
Altura xi fi Fi
[0, 20) 10 12 12
[20, 40) 30 16 28
[40, 60) 50 20 48
[60, 80) 70 4 52
xi fi Fi
0 3 3
1 2 5
2 3 8
3 1 9
4 1 10
N = 10
La tabla del margen proporciona la altura, en centímetros, de las 
plantas de un invernadero. 
La mitad de la población es 
N
2
 = 26, por lo que la clase mediana
 es [20, 40), con Fi = 28 > 
N
2
. 
La mediana es la marca de clase de [20, 40), esto es, Me = 30 cm.
Ejemplo 9
Consideramos la distribución: 0, 1, 3, 0, 2, 1, 0, 2, 4, 2. Al elaborar 
la tabla de frecuencias, situada al margen, se observa que los va-
lores 0 y 2 tienen frecuencia 3, que es la mayor de todas. Por tanto, 
la distribución tiene dos modas: M0 = 0 y M0 = 2.
Respecto a la mediana, teniendo en cuenta que 
N
2
 = 5 coincide
con la frecuencia absoluta acumulada F2 de x2 = 1, se sigue que:
Me = 
x2 + x3
2
 = 
1 + 2
2
 = 1,5
Ejemplo 10
209
CUARTILES Y CENTILESD
Anteriormente se ha comentado que, tras ordenar los datos, la mediana divide 
éstos es dos partes iguales, dejando a su izquierda la mitad de los datos. Si 
en vez de dividir la distribución en dos partes iguales, lo hacemos en cuatro 
partes iguales, los tres puntos de separación asociados se denominan cuar-
tiles y se representan por Q1, Q2 y Q3.
— El primer cuartil, Q1, deja a su izquierda la cuarta parte de la distribución, 
es decir, el 25 %.
— El segundo cuartil, Q2, deja a su izquierda la mitad de la distribución y, por 
tanto, coincide con la mediana, es decir, Q2 = Me. 
— El tercer cuartil, Q3, deja a su izquierda tres cuartas partes de la distribución, 
es decir, el 75 %.
De la misma forma, si deseamos dividir una distribución en 100 partes iguales, 
aparecen 99 puntos de separación denominados centiles o percentiles. El 
percentil de orden k, representado como pk, deja a su izquierda k centésimas 
partes de la distribución. 
Se verifica: p25 = Q1, p50 = Q2 = Me y p75 = Q3.
En el caso de las distribuciones con datos agrupados en intervalos, los cuartiles 
se calculan de modo totalmente análogo a como se hace con la mediana. 
Por ejemplo, para calcular Q1 se busca el primer intervalo cuya frecuencia 
absoluta acumulada supera la cuarta parte de los datos. Hallado éste, se iden-
tifica Q1 con su marca de clase. Análogamente, se repite el mismo proceso 
para Q3.
 Halla los percentiles p65 y p93 para la distribu-
ción del ejemplo 11.
 Halla los cuartiles Q1 y Q3 para las distribucio-
nes de los ejercicios 7 y 8.
Ejercicios
 18 19 
En realidad, los cuartiles y 
percentiles así calculados son 
sólo aproximados. El cálculo 
exacto es algo más complejo.
Ten en cuenta
Clase fi Fi
1 1 1
2 2 3
3 5 8
4 10 18
5 4 22
6 6 28
7 3 31
Total 31
Consideramos la distribución definida por la tabla del margen. 
Vamos a calcular Q1, Q2, Q3 y P7, 
La cuarta parte de los datos es 
31
4
 = 7,75. 
El primer valor cuya frecuencia absoluta acumulada supera la 
cuarta parte de los datos es 3. Luego Q1 = 3. 
La mitad de los datos es 15,5, de donde se desprende que la 
mediana es Me = Q2 = 4. 
Por último, las tres cuartas partes de los datos son 3 · 
31
4
 = 23,25,
por lo que se tiene Q3 = 6.
Veamos ahora cómo calcular, a modo de muestra, el percentil 
p7. Siete centésimas partes de los datos son 7 % de 31 = 2,17. El 
primer valor cuya frecuencia absoluta acumulada supera 2,17 
es 2. Por tanto, p7 = 2.
Ejemplo 11
http://www.aulademate.com/
contentid-255.html
Página interactiva, al introducir 
los valores de la variable y 
sus frecuencias, el programa 
construye una tabla y calcula 
los parámetros estadísticos.
WEB
210
11
Los gráficos son formas sencillas de representar las frecuencias absolutas y 
relativas de una distribución de datos asociada a cierto estudio estadístico. 
Según sea la variable que vamos a estudiar, se emplea uno u otro tipo de 
gráficos.
4 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
DIAGRAMA DE BARRASA
Los diagramas de barras se emplean, generalmente, para variables cuanti-
tativas con pocos valores diferentes. En unos ejes de coordenadas, señalamos 
los valores de la variable en el eje de abscisas. Tras esto, sobre cada valor de la 
variable se levanta una barra cuya altura sea la frecuencia (absoluta o relativa, 
según proceda) correspondiente.
Hemos preguntado a 36 parejas el número de veces que salen 
a comer o cenar fuera mensualmente. Los datos aparecen re-
cogidos en la tabla:
N.º de veces que salen 1 2 3 4 5 6
N.º de parejas 3 9 2 8 10 4
El diagrama de barras asociado a esta distribución es el del 
margen.
Ejemplo 12
POLÍGONO DE FRECUENCIASB
Al igual que los diagramas de barras, los polígonos de frecuencias se asocian 
a variables de pocos valores. En unos ejes de coordenadas se representa un 
punto por cada valor de la variable. La abscisa de cada punto representa el 
valor de la variable, mientras que la ordenada representa la frecuencia. Unien-
do estos puntos mediante segmentos rectilíneos se obtiene el denominado 
polígono de frecuencias. 
Es bastante habitual la representación conjunta del diagrama de barras y el 
polígono de frecuencias.
El gráfico del margen es elpolígono de frecuencias de la dis-
tribución del ejemplo 12. 
Ejemplo 13
 Construye en tu cuaderno el diagrama de ba-
rras y el polígono de frecuencias de la distribución 
siguiente:
Valor 1 2 3 4 5
Frecuencia 2 5 9 0 7
 La distribución siguiente corresponde al nú-
mero de hermanos que tiene cada alumno de una 
clase. Construye en tu cuaderno el diagrama de 
barras y el polígono de frecuencias asociados.
Hermanos 0 1 2 3 4
Frecuencia 6 9 7 4 1
Ejercicios
 20 21 
Valor1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Frecuencia
1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Frecuencia
Valor
211
A un valor xi de frecuencia 
relativa hi le corresponde un 
sector circular con ángulo 
central de i = 360 · hi grados 
sexagesimales. 
Ten en cuentaDIAGRAMA DE SECTORESC
El diagrama de sectores se emplea habitualmente con variables asocia-
das a caracteres cualitativos, aunque también es posible su uso con caracte- 
res cuantitativos. En este gráfico, se descompone un círculo en tantos sectores 
circulares como valores tome la variable. El ángulo central de cada sector 
es proporcional a la frecuencia del valor correspondiente. En este tipo de 
gráficos se suele indicar el porcentaje asociado a cada sector.
Los 500 empleados de una oficina acuden al trabajo en distintos medios de transporte.
Transporte fi hi pi Grados i = 360 · hi
Coche 200 0,40 40 % 144º
Metro 150 0,30 30 % 108º
Autobús 30 0,06 6 % 21,6º
Bicicleta 20 0,04 4 % 14,4º
A pie 100 0,20 20 % 72º
Total 500 1 100 % 360º
Ejemplo 14
Coche
Metro
Autobús
Bicicleta
A pie
40 %
30 %
6 %
4 %
20 %
HISTOGRAMAD
El histograma se emplea con variables cuantitativas de datos agrupados en 
intervalos. Asumiendo que éstos son de igual longitud, sobre cada uno se 
levanta un rectángulo cuya altura es la frecuencia del intervalo correspon-
diente.
Pedro ha hecho un recuento del número de personas que viven en cada una de las calles de 
un barrio de su pueblo. Los resultados aparecen agrupados en la tabla, y el histograma es:
Ejemplo 15
Personas fi
[50, 55) 3
[55, 60) 2
[60, 65) 5
[65, 70) 4
Total 14 50 55 60 65 70
0
1
2
3
4
5
6
Frecuencia
Número de personas por calle
 Construye el histograma asociado a la 
distribución siguiente:
5, 8, 13, 23, 4, 16, 7, 24, 21, 1, 0, 4, 15, 11, 9, 2, 
4, 11, 22, 21, 7, 6, 2, 1, 0, 4, 9, 14, 12, 22, 25, 0
 Dibuja un diagrama de sectores que represen-
te las preferencias literarias de 100 lectores:
Género Policiaco Aventuras Terror
Frecuencia 50 20 30
 22 23 
Ejercicios
212
EJERCICIOS RESUELTOS11
 Un jardinero revisa los rosales de su invernadero y anota las alturas 
de los mismos, representando los datos obtenidos en este histograma. 
Halla la media, la desviación típica, la mediana y la moda de la distribu-
ción de alturas.
 1 
Altura xi fi fi xi fi xi
2 Fi
[20, 40) 30 10 300 9 000 10
[40, 60) 50 8 400 20 000 18
[60, 80) 70 12 840 58 800 30
[80, 100) 90 5 450 40 500 35
[100, 120) 110 7 770 84 700 42
Total N = 42 2 760 213 000
La clase modal es [60, 80), con frecuencia fi = 12. Por tanto, la moda, que es la 
marca de clase de [60, 80), es M0 = 70 cm.
Respecto a la mediana, observa que la mitad de la población es 
N
2
 = 21. La
primera clase que supera 
N
2
 = 21 es también [60, 80), por lo que Me = 70 cm.
Por último, la media es –x 
n
i = 1
fi xi
N
 = 
2 760
42
 = 65,71 cm, y la varianza es:
2 
n
i = 1
fi xi2
N
 – –x2 = 
213 000
42
 – 
2 760
42
2
 753,623 cm2 , por lo que se tiene que 
 la desviación típica es:
 = 2 753,623 27,452 cm.
20 40 60 80 100 120
0
Frecuencia absoluta
Altura de los rosales en cm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2 7 8 10 9
17 13 5 14 16
12 20 14 9 10
19 4 6 16 15
18 12 17 22 0
22 0 24 13 7
Venta de lavadoras
 Los datos del margen corresponden a la venta de lavadoras de un 
establecimiento cada día del último mes.
a) Calcula el número medio de lavadoras vendidas en este periodo.
b) Halla la moda.
c) Halla la mediana, así como el primer y el tercer cuartiles.
 2 
Para calcular los parámetros estadísticos pedidos, es necesario elaborar la 
tabla de frecuencias ampliada con las columnas adecuadas. 
213
Lavadoras
vendidas por día
xi fi fi xi Fi
[0, 5) 2,5 4 10 4
[5, 10) 7,5 7 52,5 11
[10, 15) 12,5 8 100 19
[15, 20) 17,5 7 122,5 26
[20, 25) 22,5 4 90 30
Total 375
a) Puesto que los datos varían entre 0 y 24, para elaborar la tabla de frecuencias 
parece razonable distribuirlos en las clases [0, 5), [5, 10), [10, 15), [15, 20) y 
[20, 25). A la vista de la tabla de frecuencias, la venta media de lavadoras es: 
–x = 
n
i = 1
fi xi
N
 = 
375
30
 = 12,5
b) La clase modal es [10, 15), con frecuencia 8. Por tanto, la moda es
M0 = 12,5.
c) El número de datos es 30, y su mitad es 15. La clase mediana es [10, 15), ya 
que su frecuencia absoluta acumulada excede por primera vez la mitad 
de los datos. Tomamos como aproximación de la mediana la marca de 
esta clase, Me = 12,5.
 La cuarta parte de los datos es 7,5. La clase que contiene el primer cuartil 
es [5, 10), ya que su frecuencia absoluta acumulada excede por vez primera 
la cuarta parte de los datos. Luego el primer cuartil es la marca de [5, 10), 
es decir, Q1 = 7,5. Análogamente se halla Q3 = 17,5.
 A una proyección cinematográfi ca asisten 50 niños, 75 jóvenes,
60 adultos y 40 ancianos. Representa estos datos en un diagrama de 
sectores.
Primero se elabora la tabla de frecuencias, incluyendo los grados:
Categoría fi pi Grados
Niños 50 22 % 79,2º
Jóvenes 75 33 % 118,8º
Adultos 60 27 % 97,2º
Ancianos 40 18 % 64,8º
Total 225 100 % 360º
Ancianos
18 %
Niños
22 %
Adultos
27 % Jóvenes
33 %
Para calcular los grados se puede emplear una regla de tres. 
 100 % 360º
 22 % 
Así, al 22 % se le asocia el ángulo = 
7 920
100
 = 79,2º, y procedemos de igual 
modo con el resto
 3 
 
214
EJERCICIOS PROPUESTOS11
Nociones de Estadística
 A los empleados de una ofi cina se les pregunta 
por los aspectos siguientes:
• Estado civil.
• Número de libros que leen al mes.
• Preferencias cinematográfi cas.
• Color de pelo.
• Años de antigüedad en la empresa.
• Distancia entre la ofi cina y su vivienda.
a) Indica si los caracteres anteriores son cualitativos o 
cuantitativos.
b) Señala modalidades posibles de los caracteres cua-
litativos.
c) Señala posibles valores de la variable estadística en 
el caso de los caracteres cuantitativos.
 Determina, para cada uno de los estudios esta-
dísticos siguientes, el individuo, la población, la variable 
estadística, y si ésta es continua o discreta:
a) ¿Cuántos alumnos aprueban matemáticas en tu clase?
b) ¿Cuántos libros lee cada uno de los habitantes del 
barrio en que vives?
c) ¿Cuál es el gasto mensual en comestibles de cada 
uno de los vecinos de un bloque de pisos?
 Diseña un estudio estadístico relativo al uso de 
medios de transporte. Describe una variable estadística 
relacionada con este estudio y la población estudiada.
 Inventa una variable estadística discreta y una 
variable estadística continua, señalando los posibles va-
lores que pueden tomar.
 Señala un carácter que pueda adoptar una for-
ma cualitativa y cuantitativa.
Tablas estadísticas
 Construye la tabla de frecuencias para la si-
guiente distribución de datos:
0 0 0 1 1 2 3 2 1 4 0
 El número de hijos de los empleados de una 
ofi cina es el siguiente:
0 2 1 1 2 3 2 1 4 0
2 0 3 1 4 2 1 1 2 1
Elabora la tabla de frecuencias de esta distribución de 
datos.
 Las calificaciones de matemáticas de los 20 
alumnos de una clase son:
0 2 4 5 5
1 7 5 2 8
7 5 1 1 3
8 4 4 3 0
Construye en tu cuaderno la tabla de frecuencias de esta 
distribución de datos.
 La tabla siguiente corresponde al número de 
cigarrillos que un grupo de fumadores (que intentan 
dejar de fumar) consume al día:
N.º de cigarrillos xi fi hi pi
2 1
3 5 0,2
4 24 %
5
6 16 %
7 2
8 o más 4 0,16
Total N = 25
Copia en tu cuaderno completando esta tabla y respon-
de a las cuestiones:
a) ¿Cuántosfuman más de 5 cigarrillos?
b) ¿Qué porcentaje de fumadores fuma menos de 6 ci-
garrillos?
 1 
 2 
 3 
 4 
 5 
 6 
 7 
 8 
 9 
215
 Copia en tu cuaderno y calcula las marcas de 
clase asociadas a esta tabla:
Clase Marca de clase
[0, 5)
[5, 13)
[13, 19)
[19, 30)
 Al fi nal de una semana, una zapatería hace ba-
lance de sus ventas. La tabla siguiente refl eja las ventas 
según el precio: 
Clase Marca de clase
[40, 50) 60
[50, 60) 40
[60, 70) 65
[70, 80) 82
[80, 90) 120
[90, 100) 95
[100, 500) 54
Elabora la tabla de frecuencias, sin olvidar las marcas 
de clase.
 En el estudio de una variable continua X se ha 
obtenido la siguiente tabla de frecuencias que, por des-
gracia, está incompleta. ¿Serías capaz de completarla en 
tu cuaderno?
 En el reconocimiento médico al que se somete 
a los profesores de un pequeño colegio, se han medido 
sus alturas. Éstos son los resultados obtenidos (en cen-
tímetros):
150 152 153 170 172 168
174 171 172 167 163 155
169 175 178 180 174 181
Agrupa los datos en intervalos y construye la tabla de 
frecuencias, que debe incluir marcas de clase, frecuen-
cias absolutas y relativas, y porcentajes.
Clases Marca xi fi hi pi
[0, 10) 0,20
[10, ) 12,5 30 %
[15, 20)
Total N = 50
Clases Marca xi fi hi pi
[0, 10) 0,20
[10, ) 12,5 30 %
[15, 20)
Total N = 50
 El empleado de un videoclub selecciona una 
muestra de sus clientes y anota el número de películas 
que cada uno de ellos ha sacado durante el último tri-
mestre. Los datos que ha obtenido son:
12 14 11 20 24 19
16 21 17 25 29 28
23 24 29 21 20 13
15 15 24 23 26 24
Agrupa los datos de cinco en cinco y construye la tabla 
de frecuencias.
Parámetros estadísticos
 Calcula la media y la desviación típica de las 
siguientes distribuciones:
a) 7, 3, 4, 5, 6, 9, 0, 3, 4, 2, 1
b) 2, 1, 8, 6, 5, 3, 3, 2, 10, 3, 7
Decide cuál de las dos distribuciones tiene un mayor 
grado de dispersión.
 Calcula la mediana, los cuartiles y la moda de 
las distribuciones del ejercicio anterior.
 Calcula la media, la desviación típica, el coefi -
ciente de variación y los cuartiles de las distribuciones 
de los ejercicios 6, 7 y 8.
 Escribe en tu cuaderno una distribución cuya 
media sea 5.
 Escribe en tu cuaderno una distribución de me-
diana 4.
 Escribe en tu cuaderno una distribución de me-
dia 0 y me diana 3.
 Calcula los parámetros estadísticos de la si-
guiente distribución:
xi 1 2 3 4 5 6 7
fi 10 5 6 9 4 7 2
 10 
 11 
 12 
 13 
 14 
 15 
 16 
 17 
 18 
 19 
 20 
 21 
216
EJERCICIOS PROPUESTOS11
 Calcula la media, la desviación típica, el coefi -
ciente de variación, la mediana, los cuartiles y la moda 
de las distribuciones de los ejercicios 13 y 14.
 El número de faltas de ortografía cometidas por 
un grupo de alumnos en una redacción aparece refl eja-
do en la tabla:
N.º de faltas 0 1 2 3 4 5
N.º de alumnos 3 7 8 7 9 6
 
a) Halla la media, la desviación típica y el coefi ciente de 
variación.
b) Halla la mediana y la moda.
c) Halla los cuartiles.
 Dada la distribución 2, 4, 5, 8, 2, 1, 0, calcula su 
media. A continuación, suma un valor constante a todos 
los datos de la distribución anterior y calcula la media de 
estos nuevos datos. ¿Qué observas?
 Sea –x la media de una distribución de datos. 
Prueba que si a cada uno de los datos de esta distribu-
ción le sumamos una constante k, la media de la nueva 
distribución es –x + k.
 Halla los cuartiles y los percentiles p10 y p30 para 
la distribución del ejercicio 11.
 Copia en tu cuaderno y completa la tabla sa-
biendo que –x = 1,75.
xi 0 1 2 3 4
fi 2 3 1 2
 Calcula la media, la mediana y la moda de la 
distribución del ejercicio 11.
 Halla la media, la desviación típica, la mediana 
y la moda de la siguiente distribución:
Intervalos [0 ,2) [2, 4) [4, 6)
Frecuencia 10 5 6
 22 
 23 
 24 
 25 
 26 
 27 
 28 
 29 
 El tiempo, en minutos, que un grupo de socios 
de una biblioteca dedica cada día a leer es:
30 45 11 90 123 67
52 56 60 69 29 89
23 145 96 100 126 34
a) Agrupa y construye la tabla de frecuencias.
b) Halla la media, la desviación típica y el coefi ciente de 
variación.
c) Halla la mediana y la moda.
d) Halla el primer y tercer cuartiles.
e) ¿Cuál es el percentil de una persona que dedica
60 minutos a leer?
f) Calcula un percentil que no coincida con ninguno de 
los cuartiles. 
Jul
io
Ver
ne
 El peso medio de los corredores de fondo de 
un club de atletismo es 55 kg, y su desviación típica es 
2,5 kg. Por otra parte, el peso medio de las corredoras 
es 49 kg y la desviación típica es 2,1 kg. Compara la dis-
persión de los pesos de ambos grupos.
 30 
 31 
217
Gráfi cos estadísticos
 En una población de 30 familias se ha estudiado 
el número de móviles de cada una de ellas. Los datos 
recopilados son los siguientes:
2 3 0 4 1
5 1 2 2 3
3 4 6 3 2
3 2 1 2 5
2 2 0 1 3
6 2 1 2 6
a) Construye en tu cuaderno la tabla de frecuencias de 
esta distribución.
b) Traza el diagrama de barras.
c) Elabora el polígono de frecuencias.
d) Calcula la media y la desviación típica.
e) Halla la mediana y la moda.
f) Calcula los cuartiles Q1 y Q3.
 Hemos preguntado a un grupo de personas 
cuánto tiempo dedican semanalmente a la práctica de 
algún tipo de ejercicio físico. Éstos son los resultados 
obtenidos:
N.º de horas N.º de personas
[0, 1) 6
[1, 2) 13
[2, 3) 20
[3, 4) 18
[4, 5) 120
[5, 8) 9
a) Construye en tu cuaderno la tabla de frecuencias 
correspondiente.
b) Dibuja el histograma asociado.
c) Halla la media y la desviación típica.
d) Halla la mediana y la moda.
e) ¿Qué porcentaje dedica menos de dos horas al ejer-
cicio físico?
 Construye en tu cuaderno el histograma aso-
ciado a los datos de los ejercicios 29 y 30.
 33 
 34 
 35 Una clínica médica que ofrece consultas de
distintas especialidades, anota el número de perso -
nas que acude a cada una de ellas una mañana concre-
ta.
Especialidad N.º de personas
Medicina general 30
Neumología 15
Neurología 14
Ginecología 18
Medicina interna 7
Radiología 20
a) Confecciona un diagrama de sectores para esta dis-
tribución. 
b) ¿Qué tanto por ciento de personas acuden a Medici-
na general o a Radiología?
 Representa en tu cuaderno las distribuciones 
de los ejercicios 13 y 14.
 Analiza el histograma siguiente:
10 20 30 40 50 60
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Frecuencia
a) Elabora la tabla de frecuencias asociada a este histo-
grama.
b) Calcula la media y la desviación típica. ¿Cuál es el 
coefi ciente de variación?
c) Halla los cuartiles Q1 y Q3.
 37 
 36 
 32 
218
PARA REPASAR 
EN GRUPO11
Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos 
de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos.
CONCEPTO DEFINICIÓN
Población Conjunto de individuos sometidos a estudio.
Muestra Es una parte de la población.
Carácter estadístico Rasgo de una población que nos interesa estudiar.
Variable estadística
Conjunto de valores que toma un carácter. Se dividen en 
cuantitativas y cualitativas.
Frecuencia absoluta Número de veces que se repite un valor determinado.
Marca de clase Valor central de cada intervalo de valores.
Media aritmética –x = 
n
i = 1
fi xi
N
Varianza Var = σ 2 = 
n
i = 1
fi (xi – –x )
2
N
 = 
n
i = 1
fi xi
2
N
 
– –x 2 
Desviación típica σ = Var ≥ 0
Coefi ciente
de variación
Es el cociente CV = σ–x . 
Moda
Si la variable es discreta, es el valor con mayor frecuencia. Si 
la variable es continua, es la marca de clase del intervalo de 
mayor frecuencia.
Mediana
La mediana es el valor que divide los datos de una 
distribución en dos partes iguales.
Gráfi cos 
estadísticos
Son formas sencillas de representar las frecuencias de 
una variable estadística. Algunos tipos de gráfi cos son 
los diagramas de barras, los polígonos de frecuencias, los 
diagramas de sectores y los histogramas.
En la pestaña Actividades/
Unidad 11, encontrarás la 
actividad Relación 1 unidad 11, 
para repasar los conceptosmás 
importantes de la unidad.
En la pestaña Mapa del CD/
Unidad 11, encontrarás el Test 
de autoevaluación.
En la pestaña Mapa del 
CD/Juegos matemáticos, 
encontrarás la Animación de 
Estadística. 
CD
CD
CD
219
CURIOSIDADES, 
JUEGOS Y DESAFÍOS
El desconocimiento de la teoría estadística conduce, en muchas ocasiones, 
a que amplios sectores de la población den por buenas conclusiones que, 
aunque a simple vista parecen correctas, son erróneas.
Un buen ejemplo lo encontramos en un fenómeno denominado la paradoja 
de Simpson, también conocido como efecto Yule-Simpson. Este fenómeno apa-
rece con frecuencia en estudios estadísticos de la Medicina, la Sociología, etc.
Un caso real, y muy conocido, que ilustra la paradoja de Simpson tuvo lugar 
cuando una prestigiosa universidad estadounidense fue demandada por 
discriminación contra las mujeres que solicitaban ingreso. Las cifras sobre 
admisión en el otoño de 1973 mostraban que el porcentaje de admisión era 
favorable a los hombres y, siendo la diferencia notable, se juzgó que no se 
debía al azar.
DESAFÍO MATEMÁTICO
Trata de encontrar una situación real que ponga de manifi esto la paradoja de 
Simpson. Si lo necesitas, pide ayuda a tu profesor.
Hombres Mujeres
Departamentos Solicitantes % admitidos Solicitantes % admitidos
A 825 62 % 108 82 %
B 560 63 % 25 68 %
C 325 37 % 593 34 %
D 417 33 % 375 35 %
E 191 28 % 393 24 %
F 272 6 % 341 7 %
Sin embargo, al examinar las solicitudes distinguiendo los distintos depar-
tamentos, se observaba que ninguno discriminaba signifi cativamente a las 
mujeres y que, de hecho, la mayor parte de los departamentos favorecía, 
en todo caso, a las mujeres.
N.º de solicitantes % admitidos
Hombres 8 442 44 %
Mujeres 4 321 35 %
La explicación resulta ser que las mujeres tendían a presentar solicitudes 
en departamentos con bajos porcentajes de admisión, mientras que la ten-
dencia de los hombres era la contraria. 
Al dividir los datos en especialidades, hemos introducido unas variables 
(lurking variables, en la literatura científi ca) que, si son omitidas, pueden 
conducirnos a una conclusión errónea.
La paradoja de Simpson pone de manifi esto que debemos ser precavidos 
cuando hagamos deducciones basándonos en la asociación de dos varia-
bles. Es imprescindible tener en cuenta las lurking variables si se pretende 
establecer relaciones de causa y efecto. 
Edward H. Simpson, Karl 
Pearson, Udny Yule, además 
de otros, describieron este 
fenómeno.
Sabías que...