Guía n1 Matemática I Medio

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Profesor: Alejandro Quinteros 
Guía N° 3 Matemática 
Primerio Medio 
1° Semestre 
 
 
Nombre: __________________________________________________ Curso: ________ 
Fecha: _______________ 
 
 
 
I. El Conjunto de los Números Racionales (Q): 
 
 
El conjunto de los números racionales está definido como: 
 
 
 
El conjunto de los números racionales es un conjunto ordenado, es decir cada número tiene una 
posición definida y posee infinitos números. Entre dos números racionales existen infinitos 
números racionales. 
 
Un número racional es aquel que se escribe como una fracción, considerando que numerador y 
denominador deben ser un número entero (Z) y que el denominador debe ser distinto de 0. 
 
Es decir, se considera que cualquier número que puede ser escrito como una fracción, pertenece 
al conjunto de los números racionales. 
Objetivos para evaluar: 
OA01: Calcular operaciones con números racionales. 
-Identificando el tipo de número, racional, entero y natural, y las operaciones involucradas. 
-Realizando operaciones mixtas con números racionales, respetando la jerarquía de las operaciones y los 
paréntesis. 
-Reduciendo expresiones numéricas de números racionales, aplicando las propiedades de conmutatividad, 
asociatividad y distributividad. 
-Transformando expresiones del lenguaje natural a expresiones matemáticas y viceversa. 
Habilidad: Demostrar, calcular, identificar y comunicar. 
Instrucciones: Lee con atención, contesta en forma clara y con respuestas coherentes, no olvides CONTESTAR 
LO QUE SE TE PIDE, si necesitas ayuda, levanta la mano para ir en tu ayuda. Utiliza lápiz grafito para contestar 
tu evaluación. 
 
II. Propiedades de los Números Racionales (Q) para la Adición y la Multiplicación: 
a) Clausura de Q: 
Es decir, al sumar o multiplicar dos números racionales, su resultado también será un número 
racional. 
b) Conmutativa: 
c) Asociativa: 
d) Elemento Neutro: 
 
Neutro Aditivo Neutro Multiplicativo 
 
 
Para toda adición de números racionales 
existe 0 tal que, al sumarlo con cualquier 
número su resultado es el mismo número. 
 
 
Para toda multiplicación de números 
racionales existe 1 tal que, al multiplicarlo 
con cualquier número su resultado es el 
mismo número. 
 
e) Elemento Inverso 
 
Inverso Aditivo Inverso Multiplicativo 
 
 
Para todo número racional a, existe -a tal 
que su suma es igual a 0. 
 
 
Para todo número racional a, existe tal que 
su multiplicación es igual a 1. 
 
 
f) Distributiva: 
 
 
Si a, b, c son números racionales, si un número multiplica a una suma, su resultado será igual a 
la suma de sus productos individuales. 
 
 
 
 
III. Clasificación de los números Racionales 
 
 
a) Fracciones: los números fraccionarios pueden ser clasificados en dos grupos: 
a. Fracciones Propias: son aquellas donde el denominador es mayor que el numerador. 
Dependiendo del signo de número, estas siempre representaran un número entre 0 y 1. 
 
 
 
b. Fracciones Impropias: Son aquellas donde el numerador es mayor que el denominador, 
siempre representan a un número mayor a 1 o menor a -1, dependiendo de su signo. Este 
tipo de fracción también puede escribirse como un número mixto. 
 
 
b) Decimales: Los números decimales pueden ser clasificados en tres grupos. 
a. Decimales Finitos: son todos aquellos números decimales que poseen una cantidad 
limitada de dígitos en su parte decimal. 
Ejem: 3,5 – 45,789 – 0,007 – 1,0239543. 
 
b. Decimales Infinitos Periódicos: son todos aquellos números decimales que poseen una 
cantidad limitada de dígitos en su parte decimal, los cuales se repiten infinitamente, esta 
parte que se repite se denomina periodo. 
Esto números pueden ser escritos por extensión o por 
comprensión 
 
c. Decimales Infinitos Semiperiódicos: son todos aquellos números decimales que poseen 
una cantidad limitada de dígitos finitos y otra parte infinita de dígitos los cuales se repiten 
infinitamente. 
Esto números pueden ser escritos por extensión o por 
comprensión 
 
c) Transformación de Números decimales a Fracción: todos los números decimales finitos, 
periódicos o semiperiódicos, pueden ser escritos como fracción o viceversa. Ya que 
pertenecen al mismo conjunto numérico. 
a. De fracción a Decimal: 
Toda fracción se puede transformar a número decimal, solo haciendo la división del 
numerador por el denominador. 
 
b. De decimal a Fracción: 
Para poder transformar un número decimal en fracción, este primero debe ser clasificado 
de acuerdo con su tipo. 
i. Decimal Finito: 
- Escribir el número decimal sin la coma. 
- Poner como denominador una potencia de 10, que tenga tantos 0 como dígitos 
tenga el decimal. 
 
En el ejemplo anterior el denominador es 100, ya que el numero decimal tenia dos 
dígitos en su parte decimal. 
ii. Decimal Periódico: 
La fracción tendrá como numerador el número dado sin la coma, menos la parte 
entera, y por denominador, un número formado por tantos nueves como cifras tiene el 
período. 
 
Por ejemplo: 
El número tiene dos cifras periódicas, por lo tanto, . 
 
El número tiene una cifra periódica así que 
 
iii. Decimal SemiPeriódico: 
La fracción tendrá como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera 
seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un numero formado 
por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras 
tenga la parte decimal no periódica. 
Por ejemplo: 
El número tiene tres cifras periódicas y dos cifras en su parte no periódica, por 
lo tanto, . 
El número tiene una cifra periódica así que 
 
IV. Operaciones Aritméticas de los Números Racionales: 
a) Adición y Sustracción de Números Racionales. 
Nota: Existen varios métodos de suma o resta de fracciones, uno de ellos es el que has 
estudiado anteriormente usando el mínimo común múltiplo y el siguiente que 
utiliza el máximo común divisor. 
Al sumar o restar dos fracciones obtenemos una fracción cuyo numerador corresponde a la 
suma o resta de dos enteros y cuyo denominador corresponde al máximo común divisor 
entre los denominadores iniciales. 
Por ejemplo: 
 
La adición o sustracción se define entonces de la siguiente forma: 
 
Si los denominadores son iguales se tiene: 
 
b) Multiplicación y división de Números Racionales. 
a. Multiplicación 
Al multiplicar dos fracciones obtenemos una fracción cuyo numerador corresponde al 
producto de los numeradores iniciales y el denominador corresponde al producto de los 
denominadores iniciales. 
Por ejemplo: 
 
La multiplicación de racionales se define entonces se la siguiente forma: 
 
b. División: 
Al dividir dos fracciones obtenemos una fracción cuyo resultado corresponde a la 
multiplicación cruzada de los numeradores y denominadores de las fracciones. 
Por ejemplo: 
 
La división de racionales se define entonces se la siguiente forma: 
 
 
V. Ejercicios 
1) Ordena de menor a mayor: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
2) Transforma a fracción los siguientes números. 
 
a) b) c) d) 
e) f) g) h) 
i) j) k) l) 
 
3) Expresa como número decimal las siguientes fracciones y reconoce el tipo de decimal: 
a) b) c) d) 
e) f) g) h) 
 
 
4) Resuelve: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
 
5) Resuelve los Siguientes Problemas: 
a) Por la compra de un televisor en $130000 se ha pagado ¼ al contado y el resto en 6 cuotas de 
igual valor. ¿Cuál será el valor de cada cuota? 
b) Un frasco de jugo tiene una capacidad de 3/8 de litro. ¿Cuántos frascos se pueden llenar con 
cuatro litros y medio de jugo? 
c) Mario va de compras con $1800. Gasta 3/5 de esa cantidad. ¿Cuánto dinero le queda? 
d) He gastado las tres cuartas partes de mi dinero y me quedan 900 pesos. ¿Cuánto dinero tenía? 
e) De un depósito de agua se saca un tercio del contenido y, después 2/5 de loque quedaba. Si 
aún quedan 600 litros. ¿Cuánta agua había al principio? 
f) Un frasco de perfume tiene la capacidad de 1/20 de litro. ¿Cuántos frascos de perfume se 
pueden llenar con el contenido de una botella de ¾ de litro de perfume? 
g) Una tinaja de vino está llena hasta los 7/11 de su capacidad. Se necesitan todavía 1804 litros 
para llenarla completamente. ¿Cuál es la capacidad de la tinaja? 
h) De una pieza de género de 52 metros se cortan 3/4. ¿Cuántos metros mide el trozo restante? 
i) Los 3/5 de un grupo de personas tienen más de 30 años. Las ¾ partes del resto tiene entre 15 y 
30 años (inclusive). Si el número de personas menores de 15 años son 6 personas. ¿Cuántas 
personas forman el grupo? 
j) El perímetro de un rectángulo mide 80 cm. ¿Cuánto mide su largo si su ancho es ¾ del largo?