Guía n3 Matemática II Medio

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1) Ejemplos de algunos números irracionales conocidos y utilizados con frecuencia en 
matemática. 
a) Pi (π): Es la contante de proporcionalidad entre el perímetro de una circunferencia y su 
diámetro. 
 
b) Base Exponencial o Número de Euler (e): es una constante de la base exponencial, muy 
utilizado en biología, cálculos de ingeniería y otros tantos. Su valor aproximado es de 
2,71828182845……, se han calculado infinitos decimales. 
 
c) FI o constante aurea (φ): “La proporción áurea es un número irracional que descubrieron 
pensadores de la Antigüedad al advertir el vínculo existente entre dos segmentos 
pertenecientes a una misma recta. Dicha proporción puede hallarse en la naturaleza (flores, 
hojas, etc.) y en figuras geométricas y se le otorga una condición estética: aquello cuyas 
formas respetan la proporción áurea es considerado bello.” (Gardey, 2013). 
 
mailto:profalejandroquinteros@gmail.com
Algo para leer “Las Matemáticas y la belleza- La Divina Proporción) 
 
http://www3.uah.es/libretics/concurso2017/files2017/Trabajos/UM2017-
UAH_paper_3.pdf 
 
2) Operaciones con números reales 
 
a) Sumas y Restas: Debes recordar la típica frase que te han dicho siempre, peras con peras – 
manzanas con manzanas. 
Que básicamente significa, que no puedes sumar o restar términos de distinto grado o 
carácter literal. 
 
Ejemplos: 
a. 3 + 5𝑏 = 3 + 5𝑏 No hay nada que sumar, ya que ambos términos son 
diferentes 
b. 2𝑎 + 3𝑏 − 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 4𝑏 Se suman los términos de “a” separados de los 
términos de “b” 
 
Basado en los ejemplos anteriores, los números reales se pueden sumar o restar de la 
misma forma que si fuera una suma algebraica. Especialmente cuando estos no puedan ser 
transformados a otros conjuntos numéricos. 
Es decir, en general, los números enteros se suman con números enteros, los racionales 
con racionales e irracionales con irracionales. Pero en general, la mayoría de los números 
pueden ser transformados a otro conjunto. 
 
Ejemplos: 
Número Conjunto Numérico Símbolo 
0, 1, 2, 3,…., 345,…+ ∞ Naturales 
 
-∞,…., -2, -1, 0 ,1, 2,…. +∞ Enteros 
 
−∞; … ; −2,03; −
3
7
; 0; 1,5; … ; +∞ 
Racionales 
 
𝜑; 𝜋; ℮; √2 Irracionales 
 
Todos los números Naturales o Enteros pueden ser escritos 
como un número racional, ya que ellos están contenidos 
dentro del conjunto de los Números Racionales. 
 
(−5) −
5
1
 
 
Dado lo anterior, estos números pueden ser sumados, 
restados, multiplicados y divididos, solo transformándolos a un 
solo conjunto “RACIONALES”. 
http://www3.uah.es/libretics/concurso2017/files2017/Trabajos/UM2017-UAH_paper_3.pdf
http://www3.uah.es/libretics/concurso2017/files2017/Trabajos/UM2017-UAH_paper_3.pdf
Pero números irracionales solo pueden ser sumados entre ellos mismo, tal cual fuesen 
expresiones algebraicas. 
Ejemplos: 
𝜋 + 𝜑 + 3𝜋 − 2𝜑 + √3 +
3
5
− 2 4𝜋 − 𝜑 + √3 − 1,4 
El resultado es tal que 
solo se sumó o resto 
aquellos que era de un 
mismo tipo. 
√32 + √2 − √48 
√16 ∙ 2 + √2 − √12 ∙ 4 
√16 ∙ √2 + √2 − √3 ∙ 4 ∙ 4 
4√2 + √2 − √3 ∙ √4 ∙ √4 
5√2 − 2 ∙ 2√3 
5√2 − 4√3 
 
Se descomponen las 
raíces de forma que 
tengan el menor 
subradical. 
5√2 − 4√3 
El resultado en este caso 
esta en función de dos 
raíces de distinto índice. 
 
Un poco de ayuda 
i. https://www.youtube.com/watch?v=2BVgn1wk5ko 
ii. https://www.youtube.com/watch?v=WL19g0YFRUQ 
 
b) Ejercicios 
I. Realice las siguientes Sumas y Restas de números reales. 
 
a. 2√3 − 5√3 + 2√2 + √84 
b. 
c. 2√12 − 3√75 + √27 
d. 
e. √24 − 5√6 + √486 
f. 
g. 2√5 − √45 + √180 − √80 
h. 
i. √54
3
− √16
3
+ √250
3
 
j. 
k. 2√3 − 5√3 + 2√2 + √84 
l. 
m. 4√2 − 5√6 + √128 − √45 
n. 
o. 
p. 
q. 
r. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=2BVgn1wk5ko
https://www.youtube.com/watch?v=WL19g0YFRUQ