Guía n7 Matemática II Medio

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Prof. Javier Andrade S. Dpto. Matemática Colegio San José
 
mailto:profalejandroquinteros@gmail.com
https://youtu.be/pZTuEHrnOMg
https://youtu.be/C0BIfEB0eJM
https://youtu.be/6kiXVr3mVp8
https://youtu.be/m5qBf1qJjEo
https://youtu.be/iYxfaDPLKbU
https://youtu.be/EiOFGGhWLlY
https://youtu.be/a809midc2Sc
https://youtu.be/z5WDNFfSifo
https://youtu.be/MjSs6QGNqYk
https://youtu.be/4SyYGHwuktU
II. Propiedades de los Logaritmos 
 
Al igual que las potencias y raíces, los logaritmos tienen una serie de propiedades que 
nos ayudan a desarrollar en forma mas sencilla cualquier operación que contenga 
logaritmos, en esta guía estudiaremos y utilizaremos las propiedades de los logaritmos como 
parte importante del desarrollo de las operaciones. 
 
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1 El logaritmo de a en base a es 1. 
Ejemplo: 
𝑙𝑜𝑔5 5 = 1 ⇒ 5
1 = 5, 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 
𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0 El logaritmo de 1 en base a es 0. 
Ejemplo: 
 
𝑙𝑜𝑔3 1 = 0 ⇒ 3
0 = 1, 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑚 ⋅ 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑚 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑛 El logaritmo de una multiplicación es igual a la suma del 
logaritmo de sus factores. Ejemplo: 
𝑙𝑜𝑔2 10 
= 𝑙𝑜𝑔2 2 ⋅ 5 
= 𝑙𝑜𝑔2 2 + 𝑙𝑜𝑔2 5 
= 1 + 𝑙𝑜𝑔2 5 
𝑙𝑜𝑔𝑎
𝑚
𝑛
= 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑚 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑛 
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el 
logaritmo del numerado y el logaritmo del denominador. 
Ejemplo: 
𝑙𝑜𝑔3
3
5
 
= 𝑙𝑜𝑔3 3 − 𝑙𝑜𝑔3 5 
= 1 − 𝑙𝑜𝑔3 5 
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏)
𝑛 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 El logaritmo de una potencia es igual al producto del 
exponente por el logaritmo de la base. Ejemplo: 
𝑙𝑜𝑔2 16 
= 𝑙𝑜𝑔2 2
4 
= 4 ⋅ 𝑙𝑜𝑔2 2 
= 4 ⋅ 1 
= 4 
 
 
Prof. Javier Andrade S. Dpto. Matemática Colegio San José
 
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑛 =
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑛
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎
 
Cuando el logaritmo no se puede calcular utilizando alguna 
propiedad o descomposición, este se puede calcular 
utilizando una base distinta y calculando el cociente entre 
logaritmo buscado y el logaritmo de la base. Ejemplo: 
𝑙𝑜𝑔5 3 =
𝑙𝑜𝑔2 3
𝑙𝑜𝑔2 5
 
Este tipo de descomposición es utilizada en el desarrollo de 
ecuaciones y otras operaciones algebraicas. 
 
Ejercicios: 
1. Realice las actividades de las paginas 58 y 59 del libro de texto. 
 
2. Utilizando las propiedades de los Logaritmos, calcule: 
Ejemplo 
𝑙𝑜𝑔𝑎 1 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏
𝑛 + 𝑙𝑜𝑔𝑐
1
𝑐𝑛
 
0 + 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑐
−𝑛 
0 + 𝑛 ⋅ 1 + −𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑐 
0 + 𝑛 + (−𝑛 ⋅ 1) 
0 + 𝑛 − 𝑛 
0 
a) 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎
2 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏
3 b) 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎
𝑎
𝑏
 
c) 𝑙𝑜𝑔𝑎
√3 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 √𝑏
3
+ 𝑙𝑜𝑔𝑐 √𝑐
4
 d) 𝑙𝑜𝑔 1000 − 𝑙𝑜𝑔3 9
2 
e) 𝑙𝑜𝑔 0 , 1 − 𝑙𝑜𝑔 0,01 f) 𝑙𝑜𝑔1
4
1 + 𝑙𝑜𝑔2
3
3
2
+ 𝑙𝑜𝑔9
1
3
 
g) 𝑙𝑜𝑔2
3 + 𝑙𝑜𝑔1
2
3 h) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔
1
𝑎
 
3. Utilizando las propiedades de los Logaritmos reduzca las siguientes expresiones: 
Ejemplo 
1
2
𝑙𝑜𝑔 𝑎
−
1
2
− 𝑙𝑜𝑔 𝑏 −
1
2
𝑙𝑜𝑔 𝑐 
𝑙𝑜𝑔 𝑎1∕2 − 𝑙𝑜𝑔 𝑏1∕2 − 𝑙𝑜𝑔 𝑐1∕2 
𝑙𝑜𝑔 √𝑎 − (𝑙𝑜𝑔 √𝑏 + 𝑙𝑜𝑔 √𝑐) 
𝑙𝑜𝑔 √𝑎 − 𝑙𝑜𝑔 √𝑏 ∙ √𝑐 
𝑙𝑜𝑔 √𝑎 − log √𝑏𝑐 
𝑙𝑜𝑔
√𝑎
√𝑏𝑐
 
 
𝑙𝑜𝑔 √
𝑎
𝑏𝑐
 
 
Prof. Javier Andrade S. Dpto. Matemática Colegio San José
 
a) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔 𝑐 b) 
1
2
𝑙𝑜𝑔𝑎 +
2
3
𝑙𝑜𝑔 𝑏 −
1
2
𝑙𝑜𝑔 𝑐 −
1
2
𝑙𝑜𝑔 𝑑 
c) 
1
3
𝑙𝑜𝑔 𝑎 −
2
3
𝑙𝑜𝑔 𝑏 +
1
3
𝑙𝑜𝑔 𝑐 d) 
1
2
𝑙𝑜𝑔 𝑥 −
1
3
𝑙𝑜𝑔 𝑦 −
1
4
𝑙𝑜𝑔 𝑧 
 
4. Aplicando las propiedades de los logaritmos escriba en forma extendida las siguientes 
expresiones con logaritmos 
Ejemplo: 𝑙𝑜𝑔
3𝑎𝑏2
𝑐−1
 
log 3𝑎𝑏2 − log 𝑐−1 
𝑙𝑜𝑔 3 + 𝑙𝑜𝑔 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔 𝑏 − (−1) 𝑙𝑜𝑔 𝑐 
𝑙𝑜𝑔 3 + 𝑙𝑜𝑔 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔 𝑏 + 𝑙𝑜𝑔 𝑐 
 
a) 𝑙𝑜𝑔 (
𝑏√𝑐
𝑎
)
4
 b) 𝑙𝑜𝑔 (
𝑎 √𝑏
2
√𝑐
)
3
 
c) 𝑙𝑜𝑔 (
𝑎2𝑏3
√𝑎𝑐
)
−2
 d) 𝑙𝑜𝑔 √
𝑎 √𝑏
3
𝑐 √𝑎3
2 
 
5. Conteste las siguientes preguntas. 
a) Si la base del logaritmo es mayor que 1, ¿qué signo tienen los logaritmos de los números 
mayores que 1, y de los números menores que 1? 
 
b) Si la base del logaritmo es menor que 1, ¿qué signo tienen los logaritmos de los números 
mayores que 1, y de los números menores que 1? 
 
 
AUTOEVALUACIÓN 
Marca con una x en la columna que corresponda a cada afirmación. 
 
Criterios No Logrado 
Parcialmente 
Logrado 
Logrado 
Comprendí la utilización de las Propiedades de 
los Logaritmos 
 
Relacione las propiedades de los logaritmos 
con las Propiedades de las potencias. 
 
Logre utilizar las propiedades para calcular y/o 
reducir expresiones con logaritmos. 
 
Pude utilizar con facilidad las propiedades de 
las potencias y raíces para poder desarrollar 
los ejercicios. 
 
Busque información adicional NO SI 
Pedí ayuda cuando la necesité NO SI 
Desarrolle todos los ejercicios NO SI 
Que conceptos algebraicos debo reforzar: 
 
 
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