U10 pp 228 triángulos rectángulos

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Triángulo rectángulo
En geometría euclídea plana se denomina triángulo rectángulo a
cualquier triángulo con un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90
grados.1 2 Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un
triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya
conocido por los babilonios.3 
Terminología y casos especiales
Propiedades
Tipos de triángulo rectángulo
Relaciones métricas
Teorema de Pitágoras
Teorema de la altura
Otra forma del mismo teorema
Teorema del cateto
Demostración
Corolario
Razones trigonométricas
Área
Área máxima
En tres dimensiones
Véase también
Referencias
Enlaces externos
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al
ángulo recto. Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman
el ángulo recto; cada cateto se opone a un ángulo agudo. Sólo si la medida
de los tres lados son números enteros, éstos constituyen un trío de nombre
terna pitagórica.
Si los catetos son iguales se llama triángulo rectángulo isósceles ( 45-90-
45); siendo
0. 
Triángulo rectángulo
Índice
Terminología y casos especiales
Un triángulo rectángulo y sus elementos.
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_recto
https://es.wikipedia.org/wiki/Grado_sexagesimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
https://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusa
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_recto
https://es.wikipedia.org/wiki/Catetos
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteros
https://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitag%C3%B3rica
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Rtriangle.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Triangulo-Rectangulo.svg
Un triángulo rectángulo escaleno muy conocido, es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la hipotenusa, y estos dos
lados forman un ángulo agudo de 30º y el otro ángulo de 60º, (30-90-60) y se obtiene al bisecar un triángulo equilátero por su
altura; resultan estas razones entre dichos lados. Si admitimos que el lado del triángulo equilátero es y mediante una altura se
obtienen dos triángulos rectángulos, tal que en cada uno la hipotenusa es ; cateto opuesto al ángulo de 30º, y cateto opuesto
al ángulo de 60º, , se obtienen los siguientes valores de los respectivos senos:
1. 
2. 4 
En todo triángulo rectángulo se cumple que:
Tiene dos ángulos agudos.
La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.
La longitud del cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de la longitud de los cuadrados de los catetos.
La suma de la longitud de la hipotenusa y el diámetro de un círculo inscrito en el triángulo es igual a la suma de
la lngitud de los catetos.
Para efectos de área, un cateto cualquiera se puede considerar como base y el otro cateto como altura.5 
La mediana de la hipotenusa descompone un triángulo rectángulo escaleno en dos triángulos: uno obtusángulo
y otro acutángulo, no congruentes pero equivalentes.
La mediana de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles lo descompone en dos triángulos rectángulos
isósceles congruentes y equivalentes6 
Dos triángulos rectángulos, con hipotenusa común, y los ángulos rectos en semiplanos opuestos determinados
por la recta que contiene a la hipotenusa, forman un cuadrilátero birrectángulo.7 
La mediana que parte del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.
La altura que parte del vértice del ángulo recto, coincide con un cateto, con tal de considerar al otro cateto como
una base.
Existen dos tipos de triángulo rectángulo:
Triángulo rectángulo isósceles: los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores son de 45-45-
90. En este tipo de triángulo, la hipotenusa mide veces la longitud del cateto.
Triángulo rectángulo escaleno: los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Un caso particular es
aquél cuyos ángulos interiores miden 30-60-90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble del cateto
menor, y el cateto mayor veces la longitud del cateto menor.
Triángulo rectángulo
isósceles.
 
Triángulo rectángulo
escaleno.
Propiedades
Tipos de triángulo rectángulo
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Triangle-45-45-90.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:30-60-90_triangle.svg
Triángulo rectángulo de lados consecutivos: las medidas de sus lados tienen 3, 4 y 5 unidades de longitud.
Aparece en las culturas del cercano oriente: Babilonia y Egipto. Histórico, útil y didáctico, adaptable a un
geoplano.8 Sin lados consecutivos es el triángulo de lados que miden 5,12 y 13 unidades de longitud, menos
conocido que el anterior.
Las relaciones métricas del triángulo rectángulo son cuatro. Los tres triángulos formados al trazar la altura relativa a la hipotenusa
son rectángulos y semejantes.
La hipotenusa es igual a la suma de las
proyecciones.
Por semejanza de triángulos, tenemos que:
El cuadrado de la altura relativa de los
catetos.
El cuadrado de un cateto, es igual al producto
entre su proyección (que se encuentra de su
lado) y la hipotenusa.
El producto entre la hipotenusa y la altura relativa a ella, es igual al producto de los catetos.
El teorema de Pitágoras establece que:
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.
Fórmulas para calcular un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.
Relaciones métricas
Ilustración de los principales elementos del triángulo
rectángulo: 
a es la hipotenusa, 
b el cateto mayor, 
c el cateto menor, 
h la altura relativa a la hipotenusa, 
m la proyección del cateto b y 
n la proyección del cateto c.
Teorema de Pitágoras
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Elementos_do_tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg
(1)
(h2)
(h3)
 
El teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:
Teorema de la altura (forma 1)
En cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la
media geométrica entre las proyecciones ortogonales de los catetos
sobre la hipotenusa.
Demostración
La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que
Multiplicando los dos miembros de la igualdad por se tiene:
por lo que
La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a
los valores m y n de la ecuación (1 (https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo#Equation_1)) del
presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.
 ; 
lo que al simplificar en el último término de la ecuación (h2 (https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngul
o#Equation_h2)) la raíz con los cuadrados nos conduce a:
Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la hipotenusa. 
Teorema de la altura
Figura 1: Teorema de la altura.
Otra forma del mismo teorema
https://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusa
https://es.wikipedia.org/wiki/Media_geom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_ortogonal
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulos_semejantes
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo#Equation_1
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_cateto
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo#Equation_h2
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg
La ecuación (h3 (https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo#Equation_h3)) nos permite establecer el
enunciado (forma 2) del teorema:
Teorema de la altura (forma 2)
En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es
igual al producto de sus catetos b y c divididos por la hipotenusa a.
El teorema del cateto establece lo siguiente:
Teorema del cateto
Entodo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al
producto de la hipotenusa por la proyección ortogonal de ese cateto
sobre la hipotenusa.
Este teorema (véase Figura 1) puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:
Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.
Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos
m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.
Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:
1. Todos tienen un ángulo recto.
2. Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados
perpendiculares.
3. Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.
Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:
Por la semejanza entre los triángulos ΔACH y ΔABC
Teorema del cateto
Demostración
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo#Equation_h3
https://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusa
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
https://es.wikipedia.org/wiki/Semejanza_(geometr%C3%ADa)
de donde,
Por la semejanza entre los triángulos ΔBCH y ΔABC
y el teorema queda demostrado.
“En todo triángulo rectángulo la
longitud de la proyección ortogonal
de cualquier cateto sobre la
hipotenusa es igual al cuadrado de la
longitud de ese mismo cateto dividido
por la longitud de la hipotenusa.”
Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir el «corolario 1» basta con despejar en cada una de ellas, la
respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo éstas m y n:
en las que al despejar respectivamente m y n producen las ecuaciones del «corolario 1»:
donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la hipotenusa c (véase figura 1) y n es la proyección ortogonal del cateto a
también sobre la hipotenusa c.
Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos. La medida de un
cateto es la media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección
sobre ella.
 , también se cumple: 
La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que
determina sobre la hipotenusa.
 , es decir: 
Figura 1 - Los segmentos m y n son las
respectivas proyecciones de los lados b y a sobre
la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente
a la hipotenusa.
Corolario
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg
(A1)
Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calcularse como:
 ; ; 
donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que ha, hb y hc son las alturas sobre los respectivos lados.
En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo, con vértice en 'A, con medida ', son:
El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,
; su inverso multiplicativo, si
existe, se denomina cosecante
El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,
; su inverso multiplicativo si
existe, se llama secante.
La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,
; el inverso de la razón anterior, si es posible, se nombra
cotangente.9 
Se puede considerar el área de un triángulo rectángulo como la mitad del
área de un rectángulo partido por su diagonal, véase fig. ar1, (o un
cuadrado si el triángulo rectángulo es además isósceles).
donde a y b de la ecuación (A1 (https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1
ngulo_rect%C3%A1ngulo#Equation_A1)) representan las medidas de los
dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas
del rectángulo (véase fig. ar1). 
En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva altura del otro. Asumiendo que a = cateto1 y b
= cateto2 se puede escribir una versión equivalente de ecuación (A1 (https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%
A1ngulo#Equation_A1)) de la siguiente manera:
Razones trigonométricas
Área
fig. ar1: Relación entre el rectángulo y
dos de las tres alturas (la de los catetos)
de un triángulo rectángulo.
https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Seno_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Cateto
https://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusa
https://es.wikipedia.org/wiki/Coseno
https://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Diagonal
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo#Clasificaci%C3%B3n_de_los_tri%C3%A1ngulos
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo#Equation_A1
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo#Equation_A1
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tri%C3%A1ngulo-en-c%C3%ADrculo.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Rectangle.svg
La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho más general que vale para todo triángulo (no solo
para los triángulos rectángulos); Y esta es la "proposición I.4110 de Euclides, la cual se basa en el concepto más general de
paralelogramo y no se restringe al rectángulo. Dicha proposición I.41 extiende la validez de la ecuación (A1 (https://es.wikipedi
a.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo#Equation_A1)) a todo triángulo.
El triángulo rectángulo de mayor área que se puede inscribir en una semicircunferencia es el triángulo rectángulo isósceles, es
decir, el que tiene los catetos iguales y de longitud donde R es el radio de la semicircunferencia circunscrita y la hipotenusa
coincide con el diámetro.
Demostración
Trabajando sobre la semicircunferencia y usando
la función área donde la base
tomada es la hipotenusa y la altura es
perpendicular a la misma. Entonces claramente
A(x) es máxima cuando h sea máximo, ya que
2R es constante; como el máximo valor de h se
obtiene sobre la semicircunferencia cuando h=R
se tiene por simetría que el triángulo rectángulo
es isósceles.
Un triángulo rectángulo que gira, teniendo como eje uno de sus catetos y como generatriz su hipotenusa, genera un cono de radio
igual el cateto no axial y altura igual al cateto axial.
Si dos triángulos rectángulos semejantes engendran dos conos, en las condiciones del enunciado precedente, entonces sus
volúmenes son proporcionales a los cubos de cualquier par de lados correspondientes. También las áreas son proporcionales a los
cuadrados de cualquier par de lados correspondientes.
Si ambos conos tienen el mismo eje, y un plano secante que interseca ambos conos genera dos elipses, dichas elipses tienen ejes
proporcionales entre sí (es decir, son semejantes).11 
Teorema de Pitágoras
Triángulo
Cateto
Hipotenusa
Triángulo de Kepler
Teorema de la altura
Triángulo sagrado egipcio
1. Weisstein, Eric W. «Triángulo rectángulo» (http://mathworld.wolfram.com/RightTriangle.html). En Weisstein, Eric
W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
2. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2014). «Triángulo rectángulo» (htt
p://dle.rae.es/Tri%C3%A1ngulo). Diccionario de la lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa. ISBN 978-84-
670-4189-7.
3. Hofmann: "Historia de la Matemática" (2003), Limusa Noriega Editores, México, D.F. pg. 11
Área máxima
En tres dimensiones
Véase también
Referencias
https://es.wikipedia.org/wiki/Paralelogramo
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo#Equation_A1
https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Generatriz
https://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo
https://es.wikipedia.org/wiki/Cateto
https://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusa
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_de_Kepler
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_alturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_sagrado_egipcio
https://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/RightTriangle.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research
https://es.wikipedia.org/wiki/Real_Academia_Espa%C3%B1ola
https://es.wikipedia.org/wiki/Asociaci%C3%B3n_de_Academias_de_la_Lengua_Espa%C3%B1ola
http://dle.rae.es/Tri%C3%A1ngulo
https://es.wikipedia.org/wiki/Diccionario_de_la_lengua_espa%C3%B1ola
https://es.wikipedia.org/wiki/Editorial_Espasa
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-84-670-4189-7
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:AngleSemicircle.gif
4. A. V. Pogorélov «Geometría elemental»
5. Nichols. Palmer. Schacht: Geometría Moderna, Cecsa México décimo tercera impresión (1989)
6. Comprobable directamente, sobre la base de la definición de mediana, etc
7. Benítez. «Geometría plana»
8. Esta nota se basa en Matemáticas, publicación de la revista Life
9. Álgebra y trigonometría con geometría analítica ISBN 968-880-222-0
10. Euclides Los Elementos, proposición I.41 → "Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está
contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo".
11. Stanley Clemens; Phares O'Daffer; Thomas J Cooney (1984). Geometria Con Aplicaciones Y Solución De
Problemas. Addison Wesley. ISBN 0-201-64407-X.
Sitio web: Disfruta las matemáticas [1] (http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/triangulos-rectangulos.
html).
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Teorema de Gudea: Triángulos rectángulos sin raíces cuadradas (http://www.geocities.ws/ccalvimontesr/TRIANG
ULOS.html)
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Enlaces externos
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9688802220
https://es.wikipedia.org/wiki/Los_Elementos
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-201-64407-X
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/triangulos-rectangulos.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikimedia_Commons
https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Right_triangles
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