8_Matemática_8__10(1)

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Misión: Garantizar a todas las personas una educación de calidad como bien público y derecho humano a lo largo de la vida. 
Visión: Institución que brinda educación integral de calidad basada en valores éticos y democráticos, que promueve la participación, inclusión 
e interculturalidad para el desarrollo de las personas y la sociedad. 
 
8º 
EEB - 3º Ciclo 
ÁREA: MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: Matemática 
CAPACIDAD: Utiliza el proceso de factorización de expresiones algebraicas 
polinómicas en diferentes contextos. 
UNIDAD TEMÁTICA: Operaciones y expresiones algebraicas. 
TEMA: Trinomio cuadrado perfecto (Cuadrado de un Binomio). 
INDICADORES: 
✓ Aplica la regla para hallar el cuadrado de un binomio. 
✓ Identifica polinomios con las características de un trinomio cuadrado perfecto. 
✓ Factoriza trinomios cuadrados perfectos. 
Observación: Queda a criterio del docente agregar más indicadores (1 punto por 
indicador). 
Atención: Recuerda la importancia de lavarse las manos correcta y frecuentemente, 
además de utilizar el ángulo interno del codo al toser o estornudar, para evitar la 
propagación del Coronavirus: ¡Quédate en casa!, Epyta nde rógape! 
DESARROLLO DE ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS: 
“No hay rama de la matemática, por lo abstracta que sea, que no pueda 
aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real.” 
Lobachevski 
El Cuadrado Binomio 
Al elevar un binomio al cuadrado, estamos indicando que lo multiplicamos por 
sí mismo. Para comprenderlo analicemos las siguientes situaciones: 
(𝒂 + 𝒃)𝟐 Vemos que se trata de un binomio al 
cuadrado 
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒃) Entonces expresamos la potencia como 
multiplicación del binomio por sí mismo. 
𝒂 ∙ 𝒂 + 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃 ∙ 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒃 Aplicamos la propiedad distributiva para 
resolver la multiplicación. 
𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 Efectuamos las multiplicaciones y 
reducimos los términos semejantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Misión: Garantizar a todas las personas una educación de calidad como bien público y derecho humano a lo largo de la vida. 
Visión: Institución que brinda educación integral de calidad basada en valores éticos y democráticos, que promueve la participación, inclusión 
e interculturalidad para el desarrollo de las personas y la sociedad. 
 
8º 
EEB - 3º Ciclo 
Ahora veremos qué sucedería si la expresión fuese (𝒂 − 𝒃)𝟐 
(𝒂 − 𝒃)𝟐 Vemos que se trata de un binomio al 
cuadrado 
(𝒂 − 𝒃)(𝒂 − 𝒃) Entonces expresamos la potencia como 
multiplicación del binomio por sí mismo. 
𝒂 ∙ 𝒂 − 𝒂 ∙ 𝒃 − 𝒃 ∙ 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒃 Aplicamos la propiedad distributiva para 
resolver la multiplicación. 
𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 Efectuamos las multiplicaciones y 
reducimos los términos semejantes. 
Resumamos: 
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 
(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 
Observamos que, al desarrollar la potencia, el resultado es igual al cuadrado del 
primer término, más o menos el doble producto del primer término por el 
segundo término, más el cuadrado del segundo término. De esto podemos 
deducir la regla para hallar el cuadrado de un binomio. 
Ejemplo 1: 
(𝒖 + 𝟒)𝟐 
Para aplicar la regla del cuadrado 
de un binomio. 
Elevamos al cuadrado el primer término. 𝑢2 = 𝑢2 
Calculamos el doble producto del primer 
término por el segundo término. 2 ∙ 𝑢 ∙ 4 = 8𝑢 
Elevamos al cuadrado el segundo término. 42 = 4 ∙ 4 = 16 
Formamos el trinomio con los resultados 
parciales. (𝑢 + 4)
2 = 𝑢2 + 8𝑢 + 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Misión: Garantizar a todas las personas una educación de calidad como bien público y derecho humano a lo largo de la vida. 
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EEB - 3º Ciclo 
Ejemplo 2: 
(−𝒑 + 𝟏𝟐)𝟐 
(𝟏𝟐 − 𝒑)𝟐 
Ordenamos el binomio para aplicar 
la regla del cuadrado de un 
binomio. 
Elevamos al cuadrado el primer término. 122 = 12 ∙ 12 = 144 
Calculamos el doble producto del primer 
término por el segundo término. 2 ∙ 12 ∙ ൫−𝑝൯ = −24𝑝 
Elevamos al cuadrado el segundo término. (−𝑝)2 = 𝑝2 
Formamos el trinomio con los resultados 
parciales, teniendo en cuenta que el signo 
del segundo término es negativo porque 
los signos del binomio son distintos. 
൫12 − 𝑝൯
2
= 144 − 24𝑝 + 𝑝2 
 
Ejemplo 3: 
(
𝟏
𝟑
𝒙𝟐 − 𝒚𝟑)
𝟐
 
Ordenamos el binomio para aplicar la 
regla del cuadrado de un binomio. 
Elevamos al cuadrado el primer 
término. (
1
3
𝑥3)
2
= (
1
3
)
2
൫𝑥3൯
2
=
1
9
𝑥6 
Calculamos el doble producto del 
primer término por el segundo término. 2 ∙
1
3
𝑥2 ∙ (−𝑦3) = −
2
3
𝑥2𝑦3 
Elevamos al cuadrado el segundo 
término. (−𝑦
3)2 = (−𝑦)3∙2 = (−𝑦)6 = 𝑦6 
Formamos el trinomio con los 
resultados parciales. (
1
3
𝑥2 − 𝑦3)
2
=
1
9
𝑥4 −
2
3
𝑥2𝑦3 + 𝑦6 
 
Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) 
Se llama trinomio cuadrado perfecto (TCP) al polinomio de tres términos que 
resulta de elevar al cuadrado un binomio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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e interculturalidad para el desarrollo de las personas y la sociedad. 
 
8º 
EEB - 3º Ciclo 
El trinomio cuadrado perfecto, también es un caso de factorización de polinomios 
en el que se realiza el proceso opuesto al desarrollo del cuadrado de un binomio, 
es decir tenemos el trinomio correspondiente al desarrollo y hallamos el binomio 
que se elevó al cuadrado. 
Para identificar una expresión algebraica factorizable por este caso se deben 
cumplir las siguientes características : 
a) El polinomio debe tener tres términos. 
b) Dos de sus términos deben ser cuadrados perfectos, es decir se puede 
calcular su raíz cuadrada exacta y son siempre positivos. 
c) El término restante es igual al doble producto de las raíces cuadradas de los 
otros dos. Este término puede ser positivo o negativo. 
Pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto. 
1) Ordenar el trinomio respecto a una letra. 
2) Extraer las raíces cuadradas del primer y tercer términos. 
3) Con estas raíces formar un binomio, separándolas por el signo del segundo 
término. 
4) Elevar el binomio al cuadrado. 
Ejemplo 1: 
𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 
Observamos que este polinomio ya se 
encuentra ordenado. Primero debemos 
verificar que se trate de un trinomio 
cuadrado perfecto. 
ඥ𝒂𝟐 = 𝒂
𝟐
𝟐ൗ → 𝒂 ඥ𝒃𝟐 = 𝒃
𝟐
𝟐ൗ → 𝒃 
Extraemos las raíces del primer y tercer 
términos. 
𝟐° 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 = 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 
𝟐𝒂𝒃 = 𝟐𝒂𝒃 
Comprobamos que el segundo término 
sea igual al doble producto de dichas 
raíces 
𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = (𝒂 − 𝒃)𝟐 
Ahora que ya comprobamos que se trata 
de un trinomio cuadrado perfecto, para 
factorizarlo escribimos las raíces en un 
paréntesis, separadas por el signo del 
segundo término, este binomio se eleva al 
cuadrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Misión: Garantizar a todas las personas una educación de calidad como bien público y derecho humano a lo largo de la vida. 
Visión: Institución que brinda educación integral de calidad basada en valores éticos y democráticos, que promueve la participación, inclusión 
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Ejemplo 2: 
𝟏𝟎𝒙𝟐𝒚𝟑 + 𝒙𝟒 + 𝟐𝟓𝒚𝟔 = 
Vemos que en este ejemplo el trinomio 
está desordenado, entonces. 
𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟐𝒚𝟑 + 𝟐𝟓𝒚𝟔 = Ordenamos el polinomio. 
ඥ𝒙𝟒 = 𝒙
𝟒
𝟐ൗ = 𝒙𝟐 
ට𝟐𝟓𝒚𝟔 = ඥ𝟐𝟓 ට𝒚𝟔 = 𝟓𝒚
𝟔
𝟐ൗ = 𝟓𝒚𝟑 
Para comprobar que se trata de un TCP, 
extraemos las raíces del primer y tercer 
términos. 
𝟐° 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 = 𝟐 ∙ 𝒙𝟐 ∙ 𝟓𝒚𝟑 
𝟏𝟎𝒙𝟐𝒚𝟑 = 𝟏𝟎𝒙𝟐𝒚𝟑Y comprobamos que el segundo término 
sea igual al doble producto de dichas 
raíces. 
𝟏𝟎𝒙𝟐𝒚𝟑 + 𝒙𝟒 + 𝒚𝟔 = ൫𝒙𝟐 + 𝟓𝒚𝟑൯
𝟐
 
Ahora que ya comprobamos que es un 
TCP, lo factorizamos separando las raíces 
por el signo del segundo término del 
trinomio ordenado y elevando este 
binomio al cuadrado. 
Te invitamos a ver los siguientes enlaces para reforzar los temas desarrollados: 
Cuadrado de un binomio: 
https://aprendizaje.mec.edu.py/dw-
recursos/system/content/9d03cba/math/algebra/multiplying-factoring-
expression/multiplying-binomials/special-products-of-polynomials-1.html 
https://aprendizaje.mec.edu.py/dw-
recursos/system/content/9d03cba/math/algebra/multiplying-factoring-
expression/multiplying-binomials/special-products-of-polynomials-2.html 
 
Trinomio Cuadrado Perfecto: 
https://aprendizaje.mec.edu.py/dw-
recursos/system/content/9d03cba/math/algebra/multiplying-factoring-
expression/factoring-special-products/factoring-perfect-square-trinomials.html 
 
Recuerda: Los ejercicios propuestos podrás transcribirlos (copiarlos) en tu cuaderno. 
El docente del grado estará atento a las consultas que la familia requiera realizar. 
 
https://aprendizaje.mec.edu.py/dw-recursos/system/content/9d03cba/math/algebra/multiplying-factoring-expression/multiplying-binomials/special-products-of-polynomials-1.html
https://aprendizaje.mec.edu.py/dw-recursos/system/content/9d03cba/math/algebra/multiplying-factoring-expression/multiplying-binomials/special-products-of-polynomials-1.html
https://aprendizaje.mec.edu.py/dw-recursos/system/content/9d03cba/math/algebra/multiplying-factoring-expression/multiplying-binomials/special-products-of-polynomials-1.html
https://aprendizaje.mec.edu.py/dw-recursos/system/content/9d03cba/math/algebra/multiplying-factoring-expression/multiplying-binomials/special-products-of-polynomials-2.html
https://aprendizaje.mec.edu.py/dw-recursos/system/content/9d03cba/math/algebra/multiplying-factoring-expression/multiplying-binomials/special-products-of-polynomials-2.html
https://aprendizaje.mec.edu.py/dw-recursos/system/content/9d03cba/math/algebra/multiplying-factoring-expression/multiplying-binomials/special-products-of-polynomials-2.html
https://aprendizaje.mec.edu.py/dw-recursos/system/content/9d03cba/math/algebra/multiplying-factoring-expression/factoring-special-products/factoring-perfect-square-trinomials.html
https://aprendizaje.mec.edu.py/dw-recursos/system/content/9d03cba/math/algebra/multiplying-factoring-expression/factoring-special-products/factoring-perfect-square-trinomials.html
https://aprendizaje.mec.edu.py/dw-recursos/system/content/9d03cba/math/algebra/multiplying-factoring-expression/factoring-special-products/factoring-perfect-square-trinomials.html
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Misión: Garantizar a todas las personas una educación de calidad como bien público y derecho humano a lo largo de la vida. 
Visión: Institución que brinda educación integral de calidad basada en valores éticos y democráticos, que promueve la participación, inclusión 
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EEB - 3º Ciclo 
ACTIVIDADES: 
1. Halla el cuadrado de los binomios: 
𝑎) (𝑚2 + 5)2 
𝑏) (𝑎2𝑏 − 3𝑝3)2 
𝑐) (
1
2
𝑢 − 3𝑣)
2
 
 
2. Comprueba y factoriza los trinomios que sean cuadrados 
perfectos: 
𝑎) 𝑎2 − 14𝑎 + 49 = 
𝑏) 𝑥2 + 11𝑥 + 121 = 
𝑐) 
64
169
𝑥4 +
16
13
𝑥2𝑦5 + 𝑦10 = 
 
 
MEDIOS DE VERIFICACIÓN: Queda a criterio del docente los medios de 
verificación que utilizará. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Misión: Garantizar a todas las personas una educación de calidad como bien público y derecho humano a lo largo de la vida. 
Visión: Institución que brinda educación integral de calidad basada en valores éticos y democráticos, que promueve la participación, inclusión 
e interculturalidad para el desarrollo de las personas y la sociedad. 
 
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BIBLIOGRAFÍA: 
Baldor, A. (2013). Álgebra. México: Patria S.A. 
Carreño Campos, X., & Cruz Schmidt, X. (2006). Álgebra (Segunda ed.). Santiago 
de Chile, Chile: Arrayán Editores S.A. 
Ministerio de Educación y Cultura. (2014). Programa de Estudio: Matemática - 8º 
grado. Educación Escolar Básica. Asunción, Paraguay: MEC. 
 
 
 
 
 
 
 
Coordinador Prof. Mtr. César José Ocampos Acuña 
Responsable del contenido Prof. Lic. María G. Vergara de Del Puerto 
Responsables de la revisión Prof. Mtr. Edy Marina Centurión Galindo 
Responsable de la diagramación Prof. Mtr. Omar J. Morales Fernández 
Responsable de la corrección Prof. Dra. María Laura Carreras Llamosa 
Prof. Dr. Félix Enrique Ayala