Tema-II-Factorizacion-eBook

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ÁREA DE APOYO ACADÉMICO 
MATERIALES DE INSTRUCCIÓN SUPLEMENTARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
FACTORIZACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 
Caracas ,2021 
 
2 
 
 
 
1 Definición 
Tabla de Contenido 
2 
3 
Métodos 
Ejercicios Propuestos 
 
https://stock.adobe.com/es/images/calculatrice/766049
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introducción 
En los problemas matemáticos, la multiplicación al ser una 
operación básica da como resultado (productos) y para 
ello pueden aplicarse los, anteriormente estudiados, 
productos notables. 
En esta ocasión, se presenta el procedimiento inverso 
conocido como factorización. Esta es aplicada para la 
simplificación 
de 
problemas y 
la posterior 
resolución de 
los mismos. 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
También se define como el proceso que implica la 
transformación de un polinomio a un producto notable. 
 
Definición 
 
Son expresiones algebraicas que, cumplen con ciertas 
características y permiten ser expresadas como productos de 
dos o más factores. 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos 
 
1 F a c t o r C o m ú n 
 
 
 
 
2𝑥3 + 6𝑥 
 
Se toma el máximo común divisor (de la expresión 
algebraica), tanto de los coeficientes como de la parte literal, 
con el menor exponente. 
Métodos 
 
1 
2𝑥(𝑥2 + 3) 
 
2𝑥3 + 6𝑥 = 2𝑥3 + 2𝑥(3) 
 
Se halla el factor común de la expresión que, en este caso, 
es 𝟐𝒙 y se escribe la expresión como se vería antes de la 
aplicación de la propiedad distributiva. 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑚2𝑛(21𝑚3 − 27𝑚𝑛2 − 7𝑚2𝑛 + 9𝑛3) 
 
 
Ejemplos 
 
𝑚2𝑛(−3𝑚 + 𝑛)(−7𝑚2 + 9𝑛2) 
Se halla el factor común de la expresión que, en este caso, 
es 𝒎𝟐𝒏 y se escribe la expresión como se vería antes de la 
aplicación de la propiedad distributiva. 
21𝑚5𝑛 − 27𝑚3𝑛3 − 7𝑚4𝑛2 + 9𝑚2𝑛4 
2 . F a c t o r c o m ú n p o r a g r u p a c i ó n 
1 
2 Ahora se pueden hallar dos binomios que, multiplicados 
entre sí, den como resultado la expresión anterior. 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
 
 
Ejemplo 
 
 
 
 
 
(𝑎)2 − (𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) 
 
Métodos 
 
1 
 
 
2 D i f e r e n c i a d e C u a d r a d o P e r f e c t o 
Se presenta cuando es el cuadrado de otra cantidad, es 
decir, es el producto de dos factores iguales. Siendo el 
segundo término, en uno de los binomios positivo y en el otro 
negativo. 
16𝑧2 − 144 
Se halla la raíz de ambos términos: 
Raíz del primer término: 4z 
Raíz del segundo término: 12 
 
 2 
(4𝑧 + 12)(4𝑧 − 12) 
Ahora se escribe la expresión en dos binomios que se 
encuentran multiplicando entre ellos. Teniendo en cuenta 
la diferencia de signos del segundo término. 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃)𝟐 
 
Métodos 
 
𝑦2 (
1
16
𝑦2 −
5
2
𝑦 + 25) 
Ejemplo 
 
1
16
𝑦4 −
5
2
𝑦3 + 25𝑦2 
 
T r i n o m i o C u a d r a d o P e r f e c t o 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 
 
 
 
Se presenta cuando el primer término y tercero son cuadrados 
perfectos positivos o tienen raíz cuadrada exacta y el segundo 
término es el doble producto de sus raíces cuadradas. 
1 Se toma el valor común de la expresión 𝒚𝟐 
 
9 
 
 
 
 
 
 
(
1
16
𝑦2 −
5
2
𝑦 + 25) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
−2 (
1
4
𝑦) 5 = −
5
2
𝑦 
 
(Es un trinomio cuadrado perfecto) 
 
 
(
1
4
𝑦 − 5)
2
(𝑦2) 
 
2 Ahora se resuelve el trinomio al cuadrado y se aparta, 
momentáneamente, el factor común. 
 
3 Se halla la raíz cuadrada del primer y tercer término: 
Raíz del primer término: 
𝟏
𝟒
𝒚 
Raíz del tercer término: 5 
 
 
4 Se evalúa para verificar que el trinomio sea, 
efectivamente, un trinomio cuadrado perfecto. 
 
Para ello, multiplicamos dos veces la raíz del primer 
término por la raíz del segundo y ese resultado se 
multiplica por el signo del segundo término de la expresión 
que, en este caso, es negativo (-). 
 
Si el resultado nos da igual al segundo término, 
presentado en el ejercicio, se considera un trinomio 
cuadrado perfecto. 
 
5 Resultado. 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T r i n o m i o d e l a F o r m a 
 
 
 
4 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 
 
𝑡2 − 11𝑡 + 28 
 
Métodos 
 
Ejemplos 
 
28 + 𝑡2 − 11𝑡 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 
 
 
1 
Se hallan dos números que al multiplicarlos den el término 
independiente (en este caso 28) y al sumarlos den el 
segundo término (en este caso -11). 
2 
Se suele ordenar desde el término con el mayor 
exponente hasta el término independiente. 
−4 𝑦 − 7 (respectivamente) 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 . S e g u n d o e j e m p l o 
2𝑥2 + 11𝑥 + 5 
 
2 
Se multiplica toda la expresión por 1. Para hacerlo, 
utilizaremos el número 
2
2
 porque el coeficiente del término 
cuadrático es 2. 
 
Se hallan dos números que, al multiplicarlos den el término 
independiente y al sumarlos den el segundo término (en este 
caso 11). 
Se halla la raíz cuadrada del número que se encuentra 
multiplicando a la variable de mayor exponente, en este 
caso es 2. 
Se escribe la expresión de la siguiente forma: la raíz 
cuadrada del número que se encuentra multiplicando a la 
variable con mayor exponente multiplicando a la variable 
sumada de uno de los números antes hallados, esto por la 
raíz cuadrada y por la variable más el segundo número que 
encontramos. 
1 
 
2 
 
3 
 
2
2
 (2𝑥2 + 11𝑥 + 5) 
 
(4𝑥2 + 2(11𝑥) + 10)
2
 
 
3 Luego se escribe la expresión de la siguiente forma: la variable 
más uno de los números (antes mencionados), luego se 
multiplica por la variable, más el otro número hallado. 
(𝑡 + (−4))(𝑡 + (−7)) = (𝑡 − 4)(𝑡 − 7) 
 
1 𝑦 10 (respectivamente) 
 
(2𝑥 + 1)(2𝑥 + 10)
2
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos 
 
2 
5 
2(−6𝑎4) = −12𝑎4 es diferente de − 28𝑎4 en − 16𝑎4 
 
Expresión simplificada. 4 
 
𝑎8 − 12𝑎4 + 36 − 16𝑎4 
1 
3 
Entonces sumamos y restamos ese valor a la expresión 
para no afectarla. 
Se obtiene una expresión que pueda resolver el trinomio 
cuadrado perfecto. 
 
2 
Raíz del primer término: 𝒂𝟒 
Raíz del término independiente: 6 
 
 
5 
2𝑥 + 1
2
(𝑥 + 5) 
 
C o m p l e t a c i ó n d e C u a d r a d o s 
 
𝑎8 − 28𝑎4 + 36 
𝑎8 − 28𝑎4 + 36 − 16𝑎4 + 16𝑎4 
5 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se agrupa esta expresión para resolverla con el método de 
trinomio cuadrado perfecto. 
4 
 
(𝑎8 − 12𝑎4 + 36) − 16𝑎4 
El ejercicio queda de esta forma, aunque podemos seguir 
simplificando, puesto a que; acá tenemos un producto 
notable de suma por la diferencia. 
5 
 
(𝑎4 + 6 + 4𝑎)(𝑎4 + 6 − 4𝑎) 
125𝑥3 + 150𝑥2𝑦 + 60𝑥𝑦2 + 8𝑦3 
 
6 
 
1 
 
(𝑎4 + 6)2 − 42𝑎2 6 
 
Métodos 
 
C u b o P e r f e c t o d e B i n o m i o s 
 
6 
Se halla la raíz cúbica de los valores que multiplican a la 
variable del mayor exponente, en este caso, los valores que 
se encuentran a los extremos de la expresión. 
Raíz cúbica de 𝟏𝟐𝟓𝒙𝟑 = 𝟓𝒙 
Raíz cúbica de 𝟖𝒚𝟑 = 𝟐𝒚 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se evalúa para verificar que el ejercicio sea un cubo 
perfecto de binomios. 
 
Para ello, multiplicamos tres veces el primer valor elevado al 
cuadradopor el segundo y verificamos si es igual al segundo 
valor del ejercicio. También, multiplicamos tres veces el 
segundo valor al cuadrado por el primer valor y verificamos si 
es igual al tercer valor del ejercicio. 
 
2 
 
3(52𝑥2)(2𝑦) 
 
3(22𝑦2)(5𝑥) 
 
150𝑥2𝑦 = al segundo valor del ejercicio. 
60𝑥𝑦2 =al tercer valor del ejercicio 
 
Se procede a escribir la expresión de la siguiente manera: 
(5𝑥 + 2𝑦)3 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐) 
 
 
Ejemplos 
 
33 + 23 
 
 
 
 
 
S u m a d e C u b o s 
 
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 
 
 
D i f e r e n c i a d e C u b o s 
 
Métodos 
 
S u m a o D i f e r e n c i a d e C u b o s 
 
7 
1. S u m a d e c u b o s 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se halla la raíz cúbica de los valores a y b y se aplica la 
fórmula antes descrita. 
1 
 
Raíz cúbica de 𝟒𝟑𝒂𝟑 = 𝟒𝒂 
Raíz cúbica de 𝟗𝟑 = 𝟗 
 
𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐) 
 
 
43𝑎3 − 93 
(4𝑎 − 9)(16𝑎2 + 36𝑎 + 81) 
 
(4𝑎 − 9)((4𝑎)2 + 4𝑎(9) + 92) 
 
6 
 
6 
 
Se halla la raíz cúbica de los valores a y b y se aplica la 
fórmula antes descrita. 
1 
 
Raíz cúbica de 𝒂 = 𝟑 
Raíz cúbica de 𝒃 = 𝟐 
 
(3 + 2)(33 − (3)(2) + 23) 
 (3 + 2)(27 − 6 + 8) 
 
64𝑎3 − 729 
2. D i f e r e n c i a d e c u b o s 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es un método o regla de factorización que se aplica a expresiones 
de grado tres o superior. 
Se ordena la expresión, de acuerdo a nuestra forma de leer, 
de izquierda a derecha con respecto a las variables de 
mayor exponente: 
1 
 
8 
Métodos 
 
M é t o d o d e R u f f i n i 
 
−2𝑥4 + 8𝑥3 + 34𝑥2 − 120𝑥 
 
Ejemplo 
 
34𝑥2 − 2𝑥4 − 120𝑥 + 8𝑥3 
 
Se extrae el factor común de la expresión. 2 
 
−2𝑥(𝑥3 − 4𝑥2 − 17𝑥 + 60) 
 
8 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y estos mismos en negativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego se hallan todos los números que dividen al término 
independiente (60). El resultado debe ser un número entero. 
4 
 
6 
 
Ahora se toman todos los coeficientes numéricos que se 
encuentran dentro del paréntesis, más el término 
independiente y se escriben. 
3 
 
+1 − 4 − 17 + 60 
 
Al inicio se escribe el primer coeficiente de la expresión 
(respetando su signo) en este caso sería (+1), luego se 
multiplica el valor con el que vamos a tantear por el primer 
número de la expresión (+1), después este resultado se suma 
al segundo valor (-4). Seguidamente, a ese resultado de la 
suma, se multiplica por el valor que se está tanteando y el 
resultado se suma al tercer valor (-17) y lo obtenido se vuelve 
a multiplicar por el valor de tanteo y se le suma al cuarto 
valor (+60) y así sucesivamente hasta llegar al último valor 
(término independiente) en donde se desea que se vuelva 
cero. 
5 
 
1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 
 
Debe seleccionarse uno de estos números para lograr, 
mediante el tanteo matemático, que el término 
independiente sea cero (0). 
Una vez realizado el tanteo se obtiene que es -4 el 
coeficiente que hace 0 al término independiente y nos 
queda de esta manera: 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Por qué cambiamos el signo de los números que hallamos con 
Ruffini? 
¿ L o s a b í a s ? 
 
P r e g u n t a 
 
1 − 8 15 0 
−2𝑥(𝑥 + 4)(𝑥 − 5)(𝑥 − 3) 
 
Porque estos son los números que las variables deben tomar para 
que la expresión se vuelva cero, es decir; es x=-4; x=5; x=3 y para 
escribir estos valores en la expresión debemos pasarlos al otro lado 
de la igualdad, es decir; x+4=0; x-5=0; x-3=0. 
1 − 4 − 17 60 
 −4 32 − 60 −4 
 5 − 15 
 
 1 − 3 0 
 5 
 3 
 1 0 
 
 
 3 
Y ahora procedemos a escribir la expresión de la siguiente 
forma: 
6 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 4𝑎3 − 1 − 𝑎2 + 4𝑎 
2. 
4
35
𝑎2𝑏 −
12
5
𝑎𝑏 +
8
15
𝑎2𝑏3 −
16
25
𝑎3𝑏 
3. 
4𝑠4
25
−
1
49
 
4. 𝑎10𝑛 − 𝑏10𝑛 
5. 9𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 4𝑦2 
6. 𝑥2 + 10𝑥 − 56 
7. 𝑥2 + 7𝑥 − 120 
8. 𝑥4 − 3𝑥3 − 9𝑥2 − 5𝑥 
9. 5𝑥3 − 10𝑥2 − 20𝑥 + 40 
10. 2𝑥6 − 10𝑥5 − 22𝑥4 + 138𝑥3 + 36𝑥2 − 432𝑥 
 
 
 
 
Ejercicios Propuestos 
 
 
21 
 
La factorización, siendo el 
proceso inverso de 
productos notables, permite 
entonces sintetizar 
expresiones algebraicas que 
se consideran complejas en 
otras de complejidad menor, 
esto para facilitar los 
procedimientos en la 
obtención de resultados en 
problemas matemáticos. 
 
 
 
De Jesus, J. y Montaño, R. (s/f). Expresiones 
Algebraicas. Guías Matemática I 
Caracas, Venezuela: UCAB 
 
De Jesus, J. y Montaño, R. (s/f). Expresiones 
Algebraicas II. Guías Matemática I 
Caracas, Venezuela: UCAB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cierre 
 
Referencias 
 
22 
 
 
Esto es un aporte de: 
 
 
En el marco del Programa de 
 Apoyo Personal Académico. 
 
 
 
Profesor Asesor: 
Jenifer Campos 
 
Estudiante IS: 
Nardy Zambrano 
 
Edición y Montaje: 
José Ucha 
Sof ía Sandoval 
 
 
 
MATEMÁTICA I 
Caracas ,2021