ALGEBRA LANNING

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ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es grato poner a disposición de los docentes 
y estudiantes el presente texto de consulta 
titulado “ALGEBRA” que ha sido realizado 
mediante un trabajo arduo y constante 
enfocándonos en diferentes prospectos de 
universidades de todo el sur y de otras 
instituciones superiores. 
 
El presente texto forma parte de la colección 
de libros de la ACADEMIA LANNING CUSCO 
y cumple el principio de desarrollar las 
habilidades que el alumno necesita conocer 
y ejercitar. 
 
Sugerimos que se ponga a disposición de las 
personas interesadas del tema y pueda 
consultar las fuentes que se alojan en este 
manual educativo. 
 
 
El Director 
 
 
2 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Academia Lanning - Cusco 
Academia Addison - Cusco 
Coordinación 
Dennis Yhojan Coello Tintaya 
 
 
 
Título 
Álgebra fácil 
 
Autor 
Academia Lanning Cusco 
 
 
Diseño y Arte 
Academia Lanning Cusco 
 
Docentes ciclo virtual 2020 
------- 
RICHART MAMANI CARLOS 
DEIVIS QUISPE CANQQUERI 
NEFI AGUILAR 
WASHINGTON QUISPE HUALLPA 
GERMAN MAMANI MERMA 
YBSEN CHILLIHUA OBLEA 
SANTOS CHINO PAUCAR 
CHRISTIAN PALOMINO PILARES 
YOEL MESCCO 
LISANDRO QUISPE SULLCA 
MICHEL RODRIGUEZ DURAN 
JHON ANCO HUAMAN 
CLIMACO CARRASCO 
CHRISTIAN PORTILLO HUAMAN 
YORDY PAVEL MONTERROSO 
MIRKO PANIURA LOAYZA 
BERNE ADOLFO QUISPE 
JHONATHAN HUILLVA TOLEDO 
FREDY APAZA 
DENNIS COELLO TINTAYA 
 
 
3 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contenido 
 
CAPÍTULO I : TEORÍA DE EXPONENTES 
 
CAPÍTULO II : POLINOMIOS 
 
CAPÍTULO III : PRODUCTOS NOTABLES 
 
CAPÍTULO IV : DIVISIÓN DE POLINOMIOS 
 
CAPÍTULO V : FACTORIZACIÓN 
 
CAPÍTULO VI : RADICACIÓN Y RACIONALIZACIÓN 
 
CAPÍTULO VII : ECUACIONES 
 
CAPÍTULO VIII : INECUACIONES 
 
CAPÍTULO IX : RELACIONES 
 
CAPÍTULO X : FUNCIONES 
 
 
 
4 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
 
Potenciación: 
 
Se define como: 
Pbe  
 
b( ) = base 
e(  ) = exponente 
P( ) = potencia 
 
Exponente Natural 
 
Definido como: 
 







 2n;a.......a.a.a
1n;a
a
veces"n"
n
 
 
 
  na 
 
 Teoremas 
 
1.-Producto de bases iguales: 
 
mnmn aa.a += 
 
 
  m,na 
 
2.-Cociente de bases iguales 
 
mn
m
n
a
a
a - 
 
    m,n0a 
 
3.-Exponente cero 
 
 
1ao  
  0a  
 
 
 
 
 
 
adominerdetin00  
Teoría de Exponentes 
 
 
6 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
4.-Exponente negativo 
n
n
a
1
a - 
 
    Zn0a 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.-Exponente común a un producto 
 
  nnn b.ab.a  
 
  nba 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.-Exponente común a un cociente 
 
n
nn
b
a
b
a






 
 
    n0ba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.-Potencia de potencia 
 
    m.nnmmn aaa  
 
  m,na 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.-Exponente fraccionario 
 
 nmm nm
n
aaa  
 
 
Donde: 
 m=índice 
 a = radicando 
 = signo radical 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.-Raíz común a un producto 
 
 
nnn b.ab.a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.-Raíz común a un cociente 
 
 
 
 
 
qnpnnqp b.a)b.a(  
 
 
 
 0b,
b
a
b
a
qn
pn
n
q
p









 
 
 
 
 

onenteexp
deExponente
n
potencia
dePotencia
mn maa  
 
 
 
  Zn0aan2 
   Znaa1n2 
 
 )imaginariaunidad(i1  
 a ,se cumplirá: 





pares"n":si,a
impares"n":si,a
a
n n 
 
hh
m
v
v
m













 
 
 
 
 
Para: Zn se cumple: 
 
0
n2n2n2 ba,b.ab.a 
   ba,b.ab.a 1n21n21n2 
 
Ejercicios sencillos 
 
 
7 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 0b,
b
a
b
a
n
n
n  
 
11.-Raíz de raíz 
 
 
p.n.mn m p
aa  
 
 
 
 
Expresiones al infinito 
 
 
12.-Para Sumas 
 
 
1n...)1n(n)1n(n)1n(n  
 
 
13.-Para Diferencias 
 
 
n...)1n(n)1n(n)1n(n  
 
 
14.-Para productos 
 
 
1nn n n a....a.a.a  
 
 
15.-Para divisiones 
 
 
1nn n n a....aaa 
 
 
 
 
16.-Para potencias 
 
 
nn
.
.
.n nn nn 

 
 
17.-Para formas como: 
 
 
n nxnx
.
.xx


 
 
 
Expresiones finitas 
 
 
 
18.-Para formas como: 
 
 
mn
veces"m"
n n n n aa.... 

 
 
 
19.-Para formas como: 
 
 
 q.m.n hqrm.pn m q hrp aa.a.a  
 
 
20.-Para formas como: 
 
 
m
m
n
1n
1n
veces"m"
n n n n aa...a.aa 


  
 
 
 
21.-Para formas como: 
 
 
m
mm
n
1n
)1(n
veces"m"
n n n n aa...aaa 


  
 
 
Ecuaciones Exponenciales 
 
 
Son aquellas ecuaciones no algebraicas 
donde las incógnitas aparecen en la base o 
en el exponente. 
 
 
 
 
 
Propiedades 
 
 
1.-Para bases iguales 
 
 1,0b,nmbb nm  
 
2.-Para exponentes iguales 
 
0m,baba mm  
 
3.-Para bases y exponentes iguales 
 
 0bya,baba ba  
 
4.-Para bases y exponentes diferentes 
 
 
 
8 
ÁLGEBRA FÁCIL 
0mnba mn  0bya  
 
 
 
 
 
 
 
 00 = indeterminado 
  0n,0
n
0
 
   
0
n
0n Incompatible 
   impares"n"bb nn  
   pares"n"bb nn  
 realN
impar
 
 imaginarioN
par
 
 
 
 
 
“LA VIDA ES DEMASIADA CORTA 
PARA CARGAR CON EL PESO DE 
ERRORES AJENOS” 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio i1i 
 
La solución de la ecuación: 
 
3x2xx 7205177   , es: 
 
 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
 
 
ejercicio 2 i 
 
Hallar el equivalente de: 
 
yx yx
yx
y2
yx
x2
13
)13(1313
 
 
 
 
 
a) 10 b) 11 c) 12 
d) 13 e) 14 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios i3i 
 
 
Resolver: 
3
33
33
4
2x
x10



 
 
 
a) 1 b) 3 c) 5 
d) 7 e) 6 
 
 
 
ejercicios i4i 
 
 
Simplificar: 
 
ab
ba2ab2
ababba
a.bb.a
a.bb.a
E 



 
 
 
a) 2a b) a/b c) a+b 
d) a-b e) b/a 
 
 
 
 
Ejercicioi5i 
 
 
Resolver: 
 
3x22x24x2 332   
 
a) -2 b) -1 c) -3 
d) -5 e) -4 
 
 
 
Ejercicioi6i 
 
 
Indicar el valor de: 
 
1a a
a 1a
a
 
, si:
3
1
a a  
 
a) 32 b) 33 c) 34 
d) 35 e) 3 
 
 
Ejercicios sencillos 
 
 
9 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
Ejercicioi7i 
 
 
Hallar el valor positivo de “x” en: 
 
16
1x
xx
xx
x
n
n
n
nn2
n3n4
n3
22
22





 
 
 
a) 6 b) 2 c) 3 
d) 1 e) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definición: 
 
Es una expresión algebraica racional 
entera (E.A.R.E.), esto implica que sus 
exponentes de sus variables deben de ser 
siempre cantidades enteras y positivas 
incluyendo el cero. 
 
Ejemplo: 
 
 
4x3x)x(P 72  , es polinomio 
2x7x4)x(Q 22
1
  , no es polinomio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Toda constante (número) tiene grado 
cero o grado nulo 
 
El número cero, no tiene grado 
definido. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
cerogradodeEs2)x(P  
indefinidogradodeEs0)x(P  
 
 
 Expresiones Transcendentales 
 
 
 
Llamadas también no algebraicas (es decir 
no son polinomios) estás a su vez se 
dividen en: 
Polinomios 
 
 
10 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
Exponenciales : 
1xx2  
Trigonométricas : x2)x(sen  
Logarítmicas : x4)x(Log  
Circulares : 2)xtan(Arc  
Hiperbólicas : x3Senhx 
 
Polinomio de una Variable 
 
Este polinomio que por definición es 
completo y ordenado en forma 
descendente, su única variable recibe el 
nombre de ordenatriz, veamos: 
 
 
0a,a...xaxaxa)x(P 0n
2n
2
1n
1
n
0 

 
 
 
Donde: 
 
 
 
 
 
Coeficientes 
 
 Variable polinómicaGrado del polinomio 
 
Coeficiente principal 
 
 
Termino. Independiente 
 
 
Ejemplo: 
 
 
3x7x2x5x8)x(P 234 
 
 
De este polinomio vemos que su: 
 
 
Coeficiente principal : 8 
 
 Coeficiente del término cubico : 5 
 
 Coeficiente del término cuadrático:2 
 
 Coeficiente del término lineal : 7 
 
 Término Independiente : 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se llama polinomio Mónico, aquel 
polinomio cuyo coeficiente principal es 
la unidad. 
 
Ejemplo: 
 
9x3x2x)x(P 37  
 
 
Cuidado…!!! 
 
x6x4x8)x2(P 23  
 
 
Es un polinomio Mónico, ya que la 
variable ahora es 2x: 
 
 
)x2(3)x2()x2()x2(P 23  
 
 
Vemos que su coeficiente principal es la 
unidad. 
 
 Grado de un polinomio 
 
Los grados de los polinomios siempre son 
enteros y positivos, y están definidos por el 
mayor exponente de su variable, siempre y 
cuando su coeficiente principal no sea 
nulo. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
8x7x2x)x(P 234  
 
Es un polinomio de grado 4 o cuarto grado 
CLASES DE GRADOS 
 
Grado de un Monomio 
Grado Relativo (G.R.) 
 
Se refiere al exponente de la variable 
indicada. 
 
 : n210 a,...,a,a,a 
 : x
 
 : 0a,n 0  
 : 0a 
 : na 
 
 
 
 
 
 
11 
ÁLGEBRA FÁCIL 
+ 
Grado Absoluto (G.A.) 
 
Es la suma de los exponentes de las 
variables. Por ejm: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grados de un polinomio 
 
Grado Relativo: 
 
Viene a ser el mayor exponente de las 
variables indicadas. 
 
 
Grado Absoluto 
 
Se determina mediante el término de 
mayor grado .Por ejemplo: 
 
 10GA
253
9GA
7
11GA
326 zyxxyz5zyx2)z;y;x(P


 
 
 
Donde: 
 
 Grado relativo de “x”: 6 
 Grado relativo de “y”: 5 
 Grado relativo de “z”: 7 
 Grado absoluto de P : 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERACIONES CON GRADOS 
 
Adición y Diferencia 
 
 
Se considera como grado el mayor grado de 
los polinomios dados (para esto ambos 
polinomios deben de tener diferentes 
grados). 
 
 
 4x2x)x(P 310  

2x3x5)x(Q 
 
 
El grado de:   10)x(Q)x(P  
 
Multiplicación 
 
Se considera como grado la suma de 
los grados absolutos de los polinomios ser 
multiplicados. 
 
 
 
 
   1xx.3x7x 24310  
 
 
 
Su grado es: 10+4=14 
 
División 
 
Se considera como grado la diferencia de 
los grados absolutos del numerador menos 
el grado del denominador: 
 
 
 
 
 
 
 
7xx2
4x5x
122
1020


 
 
 
 
El grado de:   8)x(D)x(N  
 
 
 
 
 
Potencia 
 
 
6210 zyx4)z,y,x(M  
 
 Grado relativo de “x” : 10 
Grado relativo de “y” : 2 
Grado relativo de “z” : 6 
 Grado absoluto de monomio : 18 
 
 
NOTA 
 En todo monomio la suma de los 
grados relativos de las variables es 
igual al grado absoluto de dicho 
monomio. 
 
 
 
 
 
 
Nota 
 
 
En todo polinomio la suma de los grados 
relativos de las variables no siempre es 
igual al grado absoluto de dicho 
polinomio. 
 
.A.G...)z.(R.G)y.(R.G)x.(R.G  
 
 
20-12=8 
 
 
12 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
Nota 
 
 
 
 
Nota 1 
 
 
Para todo polinomio se cumple que 
la suma de coeficientes se obtiene 
hallando el valor numérico dando el 
valor de 1 a sus variables. 
 
 ∑ Coeficientes = P (1) 
 
Para todo polinomio se cumple que 
el término independiente (T.I.) se 
obtiene hallando el valor numérico 
dando el valor 0 a sus variables. 
 
T. I. = P (0) 
 
 
 
Nota 2 
 
 
Se considera como grado el producto del 
grado de la base del polinomio con el 
exponente de la potencia, ejm: 
 
 
 
 58102 x7x6x  
 
 
 
El grado de:   50)x(B 5  
 
 
Radicación 
 
Se considera como grado al cociente del 
grado del polinomio radicando con el índice 
de la raíz, es decir dividimos el mayor 
exponente del radicando entre el índice de 
la raíz. 
 
 
 
3 6093 x10x5x  
 
 
 
 
 
 
 
El grado de: 20)x(P3  
EN GENERAL: 
 
Si el polinomio P es de grado “n” y Q de 
grado “m” con: n>m, entonces: 
 
 n]QP[Grado  
 n]QP[Grado  
 mn]QxP[Grado  
 mn]QP[Grado  
 nk]P[Grado k  
 
VALOR NUMÉRICO 
 
 
Es el valor que adquiere cualquier 
polinomio al asignarle diversos valores a 
sus variables. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
Si tenemos que: 
 
x xx 332)x(P 
 
 
Halle el valor de: P(2) 
 
 
Solución: 
 
 
 
Primero igualamos: 
 
Xx=22 
 
Reemplazando en la expresión inicial: 
 
4)2(P
332)2(P
332)x(P
2 22
x xx




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X 
 
 
 
13 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO i1i 
 
 
Si el polinomio: 
 
 
]6x7x5][2x3[]nxx2[)x(P 2n3 
 
 
 
Es de noveno grado, halle el término 
independiente de dicho polinomio. 
 
a) 42 b) 44 c) 46 
d) 48 e) 40 
 
 
 
Solución 
 
 
 
Como se trata de un producto de 
polinomios, entonces su grado nace, de la 
suma de los grados absolutos de cada 
polinomio multiplicado: 
 
 
 
n2
3n39
21n3)P(Grado



 
 
 
 
 
Por tanto, su término independiente es: 
 
 
48nteIndependieominTer
)6).(2)(2(nteIndependieominTer
)6).(2)(n(nteIndependieominTer
2
n



 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOi2i 
Si el grado de: 3
4 1n
7 n32n
x
x.x
)x(M


 
 
 
Es 2, halle el grado del polinomio: 
 
n54n )nx9x3()7x3x2(x)x(N 
 
 
 
a) 62 b) 64 c) 66 
d) 68 e) 60 
 
 
Solución 
 
 
 
El monomio M(x), se escribe como: 
 
3
4
1n
7
n3
2n
3
4
1n
7
n3
2n
3
4
1n
7
n3
2n
x)x(M
x)x(M
x
x.x
)x(M









 
 
Como es de segundo grado, entonces: 
 
 
7n2
3
4
1n
7
n3
2n



 
 
Por ello el grado de: 
 
 
n54n )nx9x3()7x3x2(x)x(N 
 
 
 
Grado [N(x)]=1+4n+5n, reemplazando “n” 
 
Grado [N(x)]=1+4(7)+5(7)=64 
 
 
 
 
 
Problemas resueltos 
 
 
14 
ÁLGEBRA FÁCIL 
EJERCICIOi3i 
 
 
Si el grado relativo de “x” en el polinomio 
es 90, entonces el grado absoluto será: 
 
 
 
523n2n1nn1n4n ])yxyxyx[()y;x(P  
 
 
a) 192 b) 194 c) 190 
d) 196 e) 198 
 
 
Solución 
 
 
 
 
Primero el polinomio lo escribimos así: 
 
103n2n1nn1n4n ]yxyxyx[)x(P   
 
 
Por dato: 
 
n5
10).4n(90
10).4n()x(GR



 
 
Ubicando el grado absoluto: 
 
 
10
9n2
7n2n
1n2
1nn
5n2
1n4n ]yxyxyx[)x(P






  
 
 
Como sabemos el grado absoluto de un 
polinomio viene dado por el mayor grado 
absoluto de cada término, por ello su grado 
absoluto será igual a: 
 
 
190)P(Grado
10]9)5(2[)P(Grado
10]9n2[)P(Grado



 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOi4i 
 
 
Si el término independiente es el doble de 
su coeficiente principal, entonces diga 
cuanto será el grado del polinomio: 
 
 
)3x12()nx9x3()4xx2()x(N 253n  
 
a) 20 b) 24 c) 29 
d) 26 e) 28 
 
 
Solución 
 
 
 
 
 
Del dato: 
3n
]12.3.2[23.n.4
]P.C[2I.T
2323



 
 
 
El grado absoluto será igual a: 
 
 
20)N(Grado
1)2(5)3(3)N(Grado
1)2(5)n(3)N(Grado



 
 
 
 
EJERCICIOi5i 
 
 
Si tienes dos polinomios P y Q si el 
polinomio P es de grado 10 respecto a “x”. 
En el polinomio Q el grado respecto a “x” 
es 5 grados menos que el grado respecto a 
“y”. Hallar el grado respecto a “y” en el 
polinomio P, siendo: 
 
 
n1m1n1m1n1m yx7yx3yx)y;x(P
222  
 
 
3n1m2nm6n7m yx9yx5yx2)y;x(Q   
 
a) 14 b) 12 c) 10 
d) 17 e) 18 
 
 
15 
ÁLGEBRA FÁCIL 
Solución 
 
 
 
 
En el polinomio P: 
 
m3
1m10
1m)x(GR
2
2



 
 
 
En el polinomio Q: 
 
 
17n
5)73()2n(
5)7m()2n(
5)x(GR)y(GR




 
 
En el polinomio P: 
 
GR (y)=n+1=17+1=18 
 
 
 
 
EJERCICIOi6i 
 
 
Sabiendo que el grado de 32 )]x(Q[)]x(P[ es 
igual a 21, además el grado de 
23 )]x(Q[)]x(P[ es igual a 24. Halle el grado 
del polinomio P(x). 
 
a) 2 b) 4 c) 9 
d) 6 e) 8 
 
 
Solución 
 
 
 
 
Haciendo que: 
 
m
nx)x(Q
x)x(P


 
 
En el dato:
 
 
32 )]x(Q[)]x(P[ , es de grado 21 
 
Reemplazando: 
 
m3n2m3n23m2n xx.x]x[]x[  
 
Como es de grado 21, entonces: 
 
)I...(
3
n221
m21m3n2

 
 
 
 
También: 
 
23 )]x(Q[)]x(P[ , es de grado 24 
 
Reemplazando: 
 
m2n3m2n32m3n xx.x]x[]x[  
 
Como es de grado 24, entonces: 
 
6n24
3
n221
2n3
24m2n3





 


 
 
 
 
Como: 
 
6:es)x(PdeGradox)x(P
6n:emplazandoRe
"n"es)x(PdeGradox)x(P
6
n



 
 
 
 
EJERCICIOi7i 
 
 
Calcular el valor de “m” si la suma de los 
coeficientes del desarrollo del siguiente 
polinomio: 
 
Zm,4x)4x3()m4mx3()1x(P 2m22 
 
 
 
 
16 
ÁLGEBRA FÁCIL 
Es el cuádruplo de su término 
independiente. 
 
a) 2 b) 4 c) 9 
d) 6 e) 8 
 
 
Solución 
 
 
 
Recuerde que: 
 
P(1)=Suma de coeficientes 
P(0)=Termino independiente 
 
Entonces evaluamos valores para “x” de 
tal modo que podamos obtener P(1) y P(0), 
estos valores serán: 
 
.)I.T(Ind.Term4m)0(P1x:Si
esCoeficient)2()m2()1(P2x:Si
2
m22


 
Del dato: 
 
2m162
16m42m4
]4m[42)m2(
.I.T4)P(Coef
m2
2m22
2m22




 
 
 
 
 
EJERCICIOi8i 
 
 
Determinar el grado del polinomio: 
 
  
factores10
8036122 )...1x)(1x)(1x)(1x()x(P 
 
 
a) 3412 b) 3410 c) 3418 
d) 3419 e) 3416 
 
 
Solución 
 
 
 
Primero recordemos algunas relaciones: 
 
2 2 2 2 n(n 1)(2n 1)
1 2 3 ... n
6
 
     
2
3 3 3 3 n(n 1)
1 2 3 ... n
2
 
       
 
 
Además el grado del producto de 
polinomios se obtiene sumando los grados 
de cada polinomio, entonces: 
 
 
)T(Grado...36122)P(Grado 10 
 
3410)ºP(
2
)11(10
6
)21)(11(10
)ºP(
)10...321()10...321()ºP(
)1010(...)33()22()11()ºP(
2
33332222
32323232










 
 
 
 
 
 
EJERCICIOi9i 
 
 
Hallar el grado del siguiente producto 
 
 
  
factores9
1197 )...1x)(1x)(1x()x(P 
 
a) 136 b) 130 c) 138 
d) 132 e) 137 
 
 
Solución 
 
 
 
Nota: 
 
2n)1n2(...7531  
 
Ahora recuerde que el grado del producto 
de polinomios se obtiene sumando los 
grados de cada polinomio, entonces: 
 
 
 
 
17 
ÁLGEBRA FÁCIL 
136)P(Grado
)531(12)P(Grado
)531(...1197531)P(Grado
531:dotanresySumando
...1197)P(Grado
2
osminter12
osminter9
osminter9





  
  
  
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOi10i 
 
 
Si el grado absoluto del monomio 
 
b3)1a(2 y.x)ba()y;x(P 
 
 
Es 17 y su coeficiente tiene el mismo valor 
que el grado relativo respecto a “x”. Hallar 
el grado relativo de “y” 
 
 
a) 5 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 9 
 
 
Solución 
 
 
 
Primero: 
 
 
 
 
Su coeficiente es igual al grado relativo 
respecto a “x”, entonces: 
 
)I...(2ab
2a2ba
)1a(2ba



 
 
Segundo: 
 
 
 
 
Sabemos que el grado absoluto nace de la 
suma de los exponentes de las variables 
del monomio, entonces: 
 
5a
176a32a2
17)2a(32a2
17b32a2
17b3)1a(2





 
 
Reemplazando en la ecuación (I): 
 
3b
25b
2ab



 
 
Por tanto el grado relativo de “y” seria igual 
a: 
 
9)y(GR
)3(3)y(GR
b3)y(GR



 
 
 
 
 
EJERCICIOi11i 
 
 
Cuál es el grado del polinomio: 
62
1
404
1
5 zyx)y,x(P 
 
 
a) 15 b) 16 c) 17 
d) 10 e) 19 
 
Solución 
 
 
 
Recordemos que solo son 
variables: 4
1
5 yx  , por tanto: 
 
624
1
854
1
5 z)y()x()y,x(P  
 
 Su grado es: 8+2=10 
 
 
18 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
EJERCICIOi12i 
 
 
Calcular el término independiente del 
siguiente polinomio: 
 
x4xy2yx7)y;x(P 22  
 
 
a) 0 b) 7 c) 2 
d) 4 e) 4x 
 
 
Solución 
 
 
 
En este caso hay dos variables en el 
polinomio, por lo cual una variable 
dependerá del otro siempre y cuando estén 
juntos (estén multiplicando), pero en el 
problema vemos que “4x” no depende de la 
variable “y”, entonces decimos que “4x” es 
un término independiente respecto de la 
variable “y”, con lo cual la respuesta 
correcta seria la alternativa: e 
 
 
 
 
 
EJERCICIOi13i 
 
 
Qué valor debe asignarse a “n” en la 
expresión: 
 
n1nn1n2n )yyxx()y;x(P   
 
De modo que su grado absoluto excede en 
9 al grado relativo de “y”. 
 
a) 1 b) 9 c) 2 
d) 4 e) 3 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
 
 
Primero definimos el grado absoluto del 
polinomio y luego el grado relativo de la 
variable “y”: 
 
 n)1n2()P(GA  
 n)1n()y(GR  
 
Por dato nos indican que su grado 
absoluto excede en 9 al grado relativo de la 
variable “y”, entonces: 
 
3n
9n
9)nn(nn2
9n)1n(n)1n2(
9)y(GR)P(GA
2
22





 
 
 
 
 
 
EJERCICIOi14i 
 
 
Al efectuar: 
 
1n2n1nn1nn )1xx()1xx()x(P   
Resulta un polinomio de grado 13. 
Calcular el valor de “n”. 
 
a) 1 b) 3 c) 2 
d) 4 e) 6 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
 
 
 
Para calcular el grado del producto de dos 
polinomios, se suman los grados de cada 
polinomio multiplicando, entonces 
tendremos: 
 
    
polinomiodo2
1n2n1n
polinomioer1
n1nn )1xx(.)1xx()x(P  
 
 
Calculando por partes 
 
 
 
 2nnn)polinomioer1(Grado  
 2)1n(1n1n)polinomiodo2(Grado  
 
 
19 
ÁLGEBRA FÁCIL 
Como nos dicen que el grado del todo el 
polinomio es: 13, entonces: 
 
2 2
2 2
2 2 2 2
Grado(P) n (n 1)
13 n (n 1)
3 (3 1) n (n 1)
n 3
  
  
    
 
 
 
 
EJERCICIOi15i 
 
 
Si los termino: 
 
2
2 a 1 b 3
1
2 2(a 1) 4 b 1
2
P (x;y) [a (a b) 3]x .y
P (x;y) [a(b a ) 4]x .y
 
 
  
  
 
 
Son semejantes, hallar la suma de sus 
coeficientes. 
 
a) 0 b) 6 c) 8 
d) 4 e) 7 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
 
 
 
Por ser semejantes los exponentes de las 
variables “x” e “y” serán iguales: 
 
Primero igualamos los exponentes de “x” 
 
 
 
1a
0)1a(
01a2a
2a21a
)1a(21a
2
2
2
2





 
Segundo igualamos los exponentes de “y” 
 
 
2 2
b 3 4 b 1
b 4 4 b , al cuadrado :
(b 4) (4 b)
  
 
 
 
2
2
2
b 8b 16 16b
b 8b 16 0
(b 4) 0
b 4
  
  
 

 
 
Reemplazando estos valores en P1 y P2: 
 
70
2
70
1
144)11(22
2
34112
1
y.x1)y;x(P
y.x8)y;x(P
:Tenemos
y.x]4)14(1[)y;x(P
y.x]3)41(1[)y;x(P
2






 
 
 
Nos piden la suma de sus coeficientes, 
entonces: 
 
  7)1(8escoeficient 
 
 
 
EJERCICIOi16i 
 
 
Si al polinomio: 
 
8n3p1mpm pxymxynx)y;x(P   
 
Le restamos 43yx12 entonces su grado 
disminuye. ¿Cuánto vale la suma de los 
coeficientes de dicho polinomio? 
 
a) 11 b) 13 c) 15 
d) 17 e) 19 
 
 
 
Solución 
 
 
 
 
 
20 
ÁLGEBRA FÁCIL 
Para que un polinomio pueda disminuir de 
grado es necesario que la cantidad que se 
le va ha restar sea igual al término que 
posea el grado absoluto del polinomio, en 
nuestro problema el término que posee el 
grado absoluto es: pmymx , entonces: 
 
 
4p,3m,12n:Igualando
yx12ynx 43pm


 
 
Entonces la suma de los coeficientes del 
polinomio es: 
 
19pnmescoeficient  
 
 
 
EJERCICIOi17i 
 
 
Dado los polinomios: 
 
3579
61mm
mmm
xxxx)x(S
)1xx()x(R
)1xx()x(P
m
mm



 
 
Si el grado del producto de los tres 
polinomios es 900, entonces el valor de “m” 
es: 
 
a) 2 b) 3 c) 5 
d) 1 e) 4 
 
 
 
Solución 
 
 
 
Haciendo que: am
m  , reemplazando es 
valor en cada polinomio tenemos: 
 
 
a m a 2
P(x) (x x 1) Grado(P) a     
 
a m 1 6
9 7 5 3
R(x) (x x 1) Grado(R) 6a
S(x) x x x x Grado(S) 9

    
     
 
Sabemos que el grado del producto de tres 
polinomios nace de la suma de los grados 
de cada polinomio, entonces: 
 
3mm3
a27
)3a(900
9a6a]S.R.P[Grado
m3
2
2




 
 
 
 
 
EJERCICOi18i 
 
 
Si: 7x5)3x(P  ,además: 
 
  2x153)x(MP  , halle: )2(M 
 
a) 15 b) 10 c) 11 
d) 17 e) 12 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
 
 
Buscamos primero la regla decorrespondencia para P. 
 
7x5)3x(P  
 
 
Ahora aplicamos esta regla a: 
 
  2x153)x(MP  
 
 
x 
x 
x5-8 
x5-8 
Hallando: M(2) 
 
 
21 
ÁLGEBRA FÁCIL 
11)2(M
2)2(1523)2(M5
2x1523)x(M5



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO 1 
 
Hallar el grado del monomio: 
82643 zyx)y,x(M  
 
a) 17 b) 16 c) 14 d) 2 e) 4 
EJERCICIO 2 
 
Halle “n” para que el equivalente de: 
n n
3
4 n 2
x . x
M(x)
x. x -
= 
Sea de cuarto grado. 
a) 10 b) 18 c) 19 d) 16 e) 12 
 
EJERCICIO 3 
 
Si el grado del relativo respecto a “x” en el 
polinomio: 
 523n2n2n2nn ]yx)xy(yx[)x(P   
 
 
Es 400, halle el grado absoluto de dicho 
polinomio. 
 
 
a) 50 b) 60 c) 8d) 10 e) 40 
 
EJERCICIO 4 
 
Hallar el grado absoluto de la expresión si 
con respecto a “y” es de 2º grado. 
n 1
n 3 n 5 n 125x .y

   
 
a) 7 b) 14 c) 10 d) 12 e) 9 
 
EJERCICIO 5 
 
Hallar “n” si el grado de: 
 
   
n
n
n n
n n
n
n n
xP x 1 . x 2   Es 272 
 
a) 1 b) 2 c) 16 d) 14 e)272 
 
EJERCICIO 6 
 
Hallar “n” si el polinomio es de grado 20 
 
   
n
n 1
n
n
n
n n
xP x 5x 6 . 4x 5x 6

     
 
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5 
 
EJERCICIO 7 
 
Si el término independiente y el coeficiente 
principal de: 
 
)x10x51)(1nx2x(
)x6nx)(x35x()x(P
1nn42
n2


 
 
 
Son iguales. Hallar el grado de P(x) 
a) 10 b) 18 c) 12 d) 14 e) 16 
 
EJERCICIO 8 
 
Si el grado del polinomio es 176 
 
4n444342 )kx...()3x()2x()1x()x(P 
 
 
Hallar el valor de “k” 
 
 
a) 587 b) 532 c) 250 d) 520 e) 524 
 
EJERCICIO 9 
 
Hallar el grado del siguiente producto 
 
  
factores20
1197 )...1x)(1x)(1x()x(P 
 
 
a) 587 b) 532 c) 250 d) 520 e) 524 
 
EJERCICIO 10 
Ejercicios propuestos 
 
 
22 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
Hallar el valor de “n” si el grado de “P” y 
“Q” es igual a 3 y 4 respectivamente y se 
conoce que el grado de la expresión es 4. 
 
2n
7 5
n 3
5 4
P Q
P Q

  
  
 
a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 5 
 
EJERCICIO 11 
 
Determinar el grado del polinomio 
sabiendo que el grado de    
2 3
X XP . Q       
es 21; además el grado de    
4 2
X XP . Q       
es igual a 22. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7 
 
EJERCICIO 12 
 
 
Al polinomio: 
 
c1bcb2cb ycx2ymxybx)y;x(P 
 
 
Le restamos 
46yx2 entonces su grado 
disminuye. ¿Cuánto vale la suma de los 
coeficientes de dicho polinomio? 
 
a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 
 
 
EJERCICIO 13 
 
Si el grado de 
5 2
P Q es 44 y el grado de 
35
Q P Es 3. Calcular el grado de 
 
2
2 3
P Q . Sabiendo que “P” y “Q” son dos 
polinomios de grados desconocidos. 
 
a) 33 b) 42 c) 2 d) 12 e) 1089 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
"Si tus palabras no aportan nada 
interesante, utiliza el maravilloso 
lenguaje del silencio" 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
"Si no deseas que nadie se entere; no lo 
hagas" 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
"Excava el pozo antes de que tengas 
sed" 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
Son resultados de ciertas multiplicaciones 
indicadas que tienen una forma 
determinada, las cuales se puede recordar 
fácilmente sin necesidad de efectuar la 
operación. 
 
Binomios al cuadrado 
 
 
222 bab2a)ba( 
 
 
 
 
 NOTA: 
 
n2n2 )ab()ba(  
 
 
 
 
 
 
 
Todo trinomio de la forma: 
 
 
 
2n n m 2max bx y cx  
 
 
 
Es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
si, y sólo si se verifica que: 
 
 
 
 
 
 
NOTA: 
 
 
acb
cyyxax
PCT
mmnn
42
...
22


  
b
 
 
DIFERENCIA DE CUADRADOS 
 
22 ba)ba)(ba( 
 
En general:
m2n2mnmn ba)ba)(ba( 
 
 
 
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS 
S 
 
)baba)(ba(ba 2233 
 
 
 
)baba)(ba(ba 2233 
 
 
 
TRINOMIO AL CUADRADO 
 
ac2bc2ab2cba)cba( 2222 
 
 
ac2bc2ab2cba)cba( 2222 
 
 
 
]acbcab[2cba)cba( 2222 
 
 
TRINOMIO AL CUBO 
 
 
abc6)ba(c3)ac(b3
)cb(a3cba)cba(
22
23333


 
 
)cb)(ca)(ba(3cba)cba( 3333 
 
 
BINOMIO AL CUBO 
 
32233 bab3ba3a)ba(  
 
32233 bab3ba3a)ba( 
 
 
 
 
 
 (Ley de Cauchy) 
 
 )ba(ab3ba)ba( 333  
 )ba(ab3ba)ba( 333  
 
 
 
 
IDENTIDAD DE STIVEN 
 
 
 
 
abx)ba(x)bx)(ax( 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adrien Marie Legendre 
 
 
Productos 
Notables 
Identidades 
 
 
24 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 )ba(2)ba()ba(
2222  
 
 ab4)ba()ba(
22  
 
 )ba(ab8)ba()ba(
2244  
 
      2233 b3aa2baba  
 
      2233 ba3b2baba  
 
Identidad de Argand 
 
1xx)1xx)(1xx( n2n4nn2nn2 
 
 
m4mnn4m2mnn2m2mnn2 yyxx)yyxx)(yyxx( 
 
 
Joseph Louis de Lagrange 
 
 
222222 )bxay()byax()yx)(ba(  
 
 
 
 
 Carl Friedrich Gauss 
 
 
 
 
)bcacab)(cba(abc)cb)(ca)(ba( 
 
Además: 
 
 
 
)bcacabcba)(cba(
abc3cba
222
333


 
 
])cb()ca()ba)[(cba(
2
1
abc3cba
222
333


 
 
 
Identidades condicionales: 
 
0cba:Si 
 
 
Entonces se cumple: 
 
 )bcacab(2cba 222  
 

2222 )bc()ac()ab()bcacab(  
 
 )tetanpor(Imabc3cba 333  
 
 ])bc()ac()ab[(2cba 222444  
 
 2222444 ]cba[
2
1
cba  
 
 ]bcacab[abc5cba 555  
 








 







 


2
cba
3
cba
5
cba 222333555 
 








 







 


2
cba
5
cba
7
cba 222555777 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO 1 
 
Si: 
)II...(2ab
)I...(24ba

 
a
b
b
a
:Halle 
 
 
a) 20 b) 21 c) 12 
d) 13 e) 10 b) 21 b)
 
 
 
 
Solución 
 
 
 
Elevando al cuadrado a la ecuación I: 
   
20ba
24b)2(2a
24bab2a
24ba
22
22
22
22




 
 
En la pregunta: 
 
10
2
20
ab
ba
a
b
b
a 22



 
 
Problemas 
resueltos 
 
 
25 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
EJERCICO 2 
 
 
Si: 
)II...(6ba
)I...(4ba
22 
 
33 ba:Halle 
 
 
a) 6 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 b) 21 b)
 
 
 
 
Solución 
 
Elevando al cuadrado a (I) 
 
5ab
166ab2
16bab2a
)4()ba(
22
22




 
 
Ahora elevaremos al cubo a (I) 
 
4ba
64)4)(5(3ba
64)ba(ab3ba
)4()ba(
33
33
33
33




 
 
 
EJERCICIO 3 
 
 
Simplificar: 
 
 
)5x)(4x)(3x)(2x()5x7x( 22  
 
a) 2 b) 1 c) 3 
d) 4 e) 0 
 
 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agrupando adecuadamente: 
 
1120a22a121a22a
)120a22a()121a22a(
)12a)(10a()11a(
ax7x:Haciendo
)12x7x)(10x7x()11x7x(
)4x)(3x)(5x)(2x()11x7x(
)5x)(4x)(3x)(2x()11x7x(
22
22
2
2
2222
22
22







 
 
 
 
EJERCICIO 4 
 
Si: 01x4x
2  .Halle: 33 xx  
 
a) 52 b) 51 c) 53 
d) 54 e) 50 
Solución 
 
 
 
Transponiendo términos: 
 
x41x2 
 
Dividiendo entre “x” 
 
)I...(4
x
1
x
x
x4
x
1
x
x2


 
abx)ba(x)bx)(ax( 2  
 
 
26 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elevando al cubo a (I): 
 
 
52xx
6443
x
1
x
64
x
1
x
x
1
.x3
x
1
x
4
x
1
x
33
3
3
3
3
3
3

















 
 
 
EJERCICIO 5 
Del trinomio cuadrado perfecto: 
 
 
 
8466 y)1m(yx)7m(x)4m( 
 
 
Halle el valor entero de “m” 
a) 2 b) 1 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
Solución 
 
 
 
Todo trinomio es cuadrado perfecto cuando 
se cumple: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En nuestro problema le damos la forma al 
trinomio: 
 
8
c
46
b
6
a
y)1m(yx)7m(x)4m(


 
 
 
Por ser cuadrado perfecto se cumplirá que: 
)5m)(13m3(0
65m2m30
16m12m449m14m
)4m4mm(449m14m
)1m)(4m(4)7m(
ac4b
2
22
22
2
2






 
 
Igualando cada factor a cero, tenemosque: 
 
5m
3
13
m 
 
Nos piden hallar el valor entero de “m” 
entonces la respuesta es: 5
 
 
 
EJERCICIO 6 
 
Si:  4x4x 
 4x4x:Halle 
a) 6 b) 8 c) 9 
d) 4 e) 5 
 
Solución 
 
 
 
Acomodando adecuadamente: 
 
?8
?.8
?.)4x()4x(
?.)4x()4x(
)II...(?4x4x
)I...(4x4x
22






 
 
 
 
)ba(ab3ba)ba( 333  
ac4bcyyxbax 2m2mnn2  
 
 
27 
ÁLGEBRA FÁCIL 
EJERCICIO 7 
 
 
Halle: 
246 x9x6xE  
 
 
 
Para: 33 6767x  
 
a) 26 b) 28 c) 29 
d) 24 e) 25 
 
 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elevando al cubo al valor de “x” 
 
)6767](67.67[3
)67()67(x
)6767(x
3333
33333
3333



 
 
 
Reduciendo: 
 
)x]()67)(67([372x 33 
 
)x()67(372x
3 223 
 
72x3x
x372x
3
3


 
 
 
 
Elevando al cuadrado a esta ultima 
expresión: 
 
28x9x6x
)72()x3x(
246
223


 
 
Por tanto: 
28esx9x6x 246 
 
 
 
 
EJERCICIO 8 
 
Si: 
x
16
)2x()2x( 22  
Calcule:
1x
1x
1x
1x
E





 
 
a) 6 b) 8 c) 9 
d) 4 e) 5 
 
 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabajando con la condición: 
2x
x
16
)2)(x(4
x
16
)2x()2x(
2
22



 
Operando en la pregunta: 
 
)ba(ab3ba)ba( 333  
)ba(2)ba()ba( 2222  
ab4)ba()ba( 22  
 
 
28 
ÁLGEBRA FÁCIL 
6
12
)12(2
E
2x:emplazandoRe
1x
)1x(2
)1x)(1x(
)1x()1x(
E
1x
1x
1x
1x
E
2
22
2222

















 
 
 
EJERCICIO 9 
 
 
Sabiendo que: 
 
 
)III.....(4wz
)II.....(5zw
)I.....(4wz
wzwz
w2z2
w2z2




 
 
Calcular: wz )zw()zw(E  
 
a) 6 b) 1 c) 0 
d) 2 e) 5 
 
Solución 
 
Haciendo que: 
 
 
 
xzyw
bwaz
wz
wz


 
 
 
 
 
Ordenado de manera conveniente las 
condiciones y la pregunta dada: 
 
 
?xbay?wzwz
4ybax4wwzz
5xy5)z()w(
4ba4)w()z(
wwzz
wzwz
222w2z
222w2z




 
 
Ordenado: 
 
?bxay
4byax
5yx
4ba
22
22




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reemplazando los valores anteriores en 
esta identidad: 
 
2??1620
)bxay()byax()yx()ba(
2
2
?
2
45
22
4
22



 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO 10 
 
 
Halle: 1x4xE
24  
 
 
 
Para: 2323x  
 
a) 2 b) 8 c) 3 
d) 9 e) 5 
 
 
222222 )bxay()byax()yx)(ba(  
 
 
29 
ÁLGEBRA FÁCIL 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elevando al cuadrado al valor de “x” 
 
232x
)23(232x
)23)(23(232x
232322323x
2323x
2
222
2
22
2
2
2











 
A esta última expresión nuevamente le 
elevamos al cuadrado: 
 
   
3816x43812x
2)2)(32(2)32(x232x
44
224222


 
 
Reemplazando los valores de x4 y x2 en la 
expresión “E”, tendremos: 
 
 
3E
9E
18383816E
1)232(4)3816(E
1x4xE 24





 
 
 
 
EJERCICIO 11 
 
 
Si: 
20cba
4cba
222 

 
 
 
 
Halle: 222 )cb()ca()ba(  
 
a) 2 b) 8 c) 3 
d) 6 e) 5 
 
 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desarrollando los binomios de nuestra 
interrogante: 
 
6)20()4(
:emplazandoRe
)cba()cba(
)cba()bc2ac2ab2cba(
:Agrupando
)cbc2b()cac2a()bab2a(
)cb()ca()ba(
2
2222
222222
222222
222





 
 
 
 
 
 
ab2ba)ba( 222  
 
222 yxy2x)yx(  
 
 
30 
ÁLGEBRA FÁCIL 
EJERCICIO 12 
 
 
Simplificar: 
 
2
22
2
22
x
y
y
x
4
x
y
y
x
x
y
y
x









































 
 
 
 
a) 12 b) 18 c) 13 
d) 16 e) 15 
 
 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Haciendo que: 
 ay
x
 
 
b
x
y

 
 
Entonces tendremos: 
      
   
 
 222222
222222
222222
222222
)ba()ba(4
ba4)ba(4
ba4)ba(2
ba4baba




 
 
2 2 2 2
4 4(a )(b ) 16a b  
  
 
Reemplazando “a” y “b” 
2 2
x y
16 .
y x
   
  
   
2 2
2 2
x y
16 . 16
y x

 
 
 
EJERCICIO 13 
 
 
Si: 
  0b,a,62
a
b
b
a
 
 
Hallar: 
3
ab
ba
M


 
 
a) 2 b) 8 c) 4 
d) 6 e) 5 
 
 
Solución 
 
 
 
Si hacemos que: 
 
N
ab
ba


 
 
Entonces la pregunta se reduce a calcular 
el valor de: 
 
)I...(N
ab
ba
M 33 


 
De: 
 
 
2
2
2 2
2
a b
N
ab
Elevamos al cuadrado :
a b
N
ab
a 2ab b
N
ab


 
 
 
 

 
 
 
 
 
)ba(2)ba()ba( 2222  
ab4)ba()ba( 22  
 
 
31 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces: 
 
8NN64
N262
N
a
b
2
b
a
N
ab
b
ab
ab2
ab
a
2
2
2
2
22




 
 
28NM
:)I(En
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir de: 
 
)I...(4cba 
)II...(6cba 222 
 
)III...(10cba 333 
 
 
444 cbaE
:Halle
 
 
 
a) 18 b) 12 c) 17 
d) 15 e) 13 
 
 
Solución 
 
 
 
 
 
Sabemos que: 
 
4442222222222
2222224442222
cba)cbcaba(2)cba(
)cbcaba(2cba)cba(


 
 
 
 
Utilizando la identidad de Gauss: 
 
)...(
4
abc314
bcacab
)bcacab(424abc310
)bcacab6(4abc310
)bcacabcba)(cba(abc3cba
6
222
410
333





     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reemplazando en esta ultima equivalencia: 
 
)...(bcacab5
)bcacab(26)4(
)bcacab(2cba)cba(
2
2222



 
 
)(:enemplazandoRe 
 
 
abc2
4
abc314
5
4
abc314
bcacab





 
 
)(:acuadradoalElevando 
 
 

222222
42
222222
22
cbcaba9
)cba(abc2cbcaba25
)bcacab()5(
bcacab5





 
n
z
n
y
n
x
n
zyx


 
62
a
b
b
a
 
)bcacab(2cba)cba( 2222  
 
 
32 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO 1 
La suma de dos números es 2 y la suma de 
sus cubos es 5. Hallar la suma de sus 
cuadrados 
 
 
a) 0 b)2 c)5 d)1 e)3 
 
EJERCICIO 2 
 
 
Halle: 
3 )]x/y[()]y/x[( 
 
 
Si: 5yx  
 5.0xy  
 
a) 1 b)2 c)5 d)4 e)3 
 
EJERCICIO 3 
 
Si: 
 235U  
 5232N  
 325I  
 
 
 
Calcular: 
.I.N.U
INU
E
333 

 
a) 1 b)2 c)5 d)4 e)3 
EJERCICIO 4 
 
Halle “m” si la expresión algebraica: 
 
 
8436 myyx5m4x9  
 
 
Es un trinomio cuadrado perfecto. 
 
a) 1 b)2 c)5 d)4 e)3 
 
EJERCICIO 5 
 
 
Por cuanto hay que multiplicar a: 
)ba( 44  , para obtener: 
)ba)(ba()ba)(ba( 3333  
 
 
a) 8 b)4 c)2 d)6 e)0 
 
EJERCICIO 6 
 
Si: nnmnm  
 
Halle: nmnm  
 
a) m 
b) 2n 
c) 0 
d) 2 
e) 1 
 
EJERCICIO 7 
 
Si: 
1
)yz)(yx(
z
yz
zx 2





 
 
Halle: 
222
x
yz
z
yx
y
xz





 





 





 
 
 
 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 3 
e) 1 
 
EJERCICIO 8 
 
Conociendo: 01x3x
2  .Halle: 
 
Ejercicios 
Propuestos 
 
 
33 
ÁLGEBRA FÁCIL 


































x
x
1
x
1
x
x
1
x
x
1
xE 
 
a) 30 
b) 20 
c) 25 
d) 45 
e) 35 
 
EJERCICIO 9 
 
Si: 
 
 evujx  
 evujy  
 evujz  
 evujw  
 
 
Calcule: 
 
]ev[e.v]uj[u.j
]wz[w.z]yx[y.x
2222
2222


 
 
a) 6 
b) 2 
c) 1 
d) 4 
e) 5 
 
EJERCICIO 10 
 
Si )dc)(ba(4)dbca(
2  
Halle:
 ba3 dc8
  
 
a) 8 b) 6 c) d) 2 e) 1 
 
EJERCICIO 11 
 
Siendo: 0mnxy  .Simplifique: 
n)cba(m
y
mn
x
c
x
b
x
a
y
mn
x
c
x
b
x
a
xy
22


























 
a) -1 b) -2 c) -3 d) -6 e) -4 
 
EJERCICIO 12 
 
Si: 
 
 a + b = 10 
 a.b =19/4 
 
 
ba:Halle  
 
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 10 
 
EJERCICIO 13 
 
Si: 
14
a
b
b
a
 
Calcular: 
a
b
b
a
 
 
a) 8 b) 5 c) 6 d) 9 e) 3 
 
EJERCICIO 14 
 
Si: e4+e-4=34 
 
Calcular: e-e-1 
 
a) 2 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12 
 
EJERCICIO 15 
 
Si se cumple: 
aab3xab3x
412412  
bab3xab3x 1212  
 
Calcula el valor de: 
 
412412 ab3xab3x  
 
a) 4 b) 2 c)5 d) 6 e) 3 
 
 
EJERCICIO 16 
 
Hallar: 
 
     42224 bababaL  
 
 
34 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
Donde: 
 
35b
35a

 
 
a) 388 b) 277 c) 335 d) 682 e) 345 
 
 
EJERCICIO 17 
 
Hallar el valor de “m” si el trinomio: 
 
    5nx9n3x2n)x(P 24  
 
a) 14 b) 12 c) 11 d) 16 e) 13 
 
EJERCICIO 18 
 
Si: 
32
1
32a

 
83
1
83b

 
 
Calcular: 44 ba  
 
a) 40 b) 20 c)10 d)30 e) 50 
 
EJERCICIO 19 
 
Si: 
3cba 333  
    1cbcaba  
 
Hallar el valor de: 
 
 2111
222
cba
cba
E




 
 
a) 0 b) 2 c) 1 d) 4 e) 5 
 
 
EJERCICIO 20 
 
Siendo: 
 
 
  22
22
acb
cba


 
bc2
acb 222 
 
 
Halle el valor de:  
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
EJERCICIO 21 
 
Si: 
 
0xyz,0
x
z
z
y
y
x
 
 
Calcule: 
 







 







 







 
2
2
2
2
2
2
z
xyz
y
xzy
x
yzx
 
 
a) 6 b) -2 c) 5 d) 4 e) -3 
 
EJERCICIO 22 
 
Reducir: 
   
     333 xzzyyx
xzzyyx9


 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 0 
 
 
 
 
 
 
¡¡¡NUNCA DESJES QUE TUS MIEDOS 
OCUPEN EL LUGAR DE TUS 
SUEÑOS...!!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es aquella operación que tiene por 
finalidad hallar una expresión denominada 
cociente y otro residuo a partir de otras 
dos denominadas dividendo y divisor: 
 
 
Clases de división: 
 
 
División Inexacta: 
 
 
Toma este nombre cuando el residuo no es 
un polinomio idénticamente nulo, tal que 
el valor numérico del dividendo es igual al 
producto de los valores numéricos del 
divisor y el cociente, más el valor numérico 
del resto, para cualquier sistema de valores 
asignados a sus variables, es decir: 
 
 
1. D(x) = d(x).q(x) + R(x) 
 
 
División Exacta: 
 
 
Es cuando el residuo R(x) es un polinomio 
idénticamente nulo, es decir R(x)≡0, tal que 
el valor numérico del dividendo es igual al 
producto de los valores numéricos del 
divisor y el cociente, para cualquier 
sistema de valores asignados a sus 
variables. 
 
 
 D(x) ≡ d(x).q(x) 
 
 
PROPIEDADES: 
 
 El grado del dividiendo es mayor o igual 
al grado de su divisor, es decir: 
 
 
 
dD ºº  
 
El grado del cociente es igual al grado del 
dividendo menos el grado del divisor, es 
decir: 
 
 
000 dDQ  
 
 
 El grado del divisor es mayor que el 
grado de su residuo, además el máximo 
grado del residuo, es una unidad menos 
que el grado del divisor, es decir: 
 
 
 
1][ 0max
0  dR
 
 
 El mínimo grado del residuo es cero, 
siempre y cuando este este polinomio 
este expresado en una sola variable. 
 
 
 
Cero]R[ min
0 
 
 
 En una división de polinomios 
homogéneos el cociente y el residuo 
también son homogéneos. Además, los 
grados del polinomio dividendo y 
residuo son iguales. 
 
Métodos de división: 
 
Por William George Horner 
 
 
 
 
Se emplea para la división de polinomios 
de cualquier grado de una y dos variables, 
para lo cual los polinomios dividendo y 
divisor deben de ser completos y 
ordenados en forma descendente: 
 
Gráficamente: 
 
División de Polinomios 
 
 
36 
ÁLGEBRA FÁCIL 
Primero trazamos una línea 
horizontal y otra vertical de la forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 


Los coeficientes del dividendo se 
escriben con su propio signo sobre la 
línea horizontal: 
 
Los coeficientes del divisor se 
escriben en el lado izquierdo de forma 
vertical, el primer coeficiente se escribe 
entre la línea horizontal y vertical con 
su propio signo, los demás se pondrán 
debajo de este (1er coeficiente del 
divisor) pero cambiados de signo. 
 
Luego trazaremos otra línea vertical 
punteada separando una cantidad de 
términos igual al grado del divisor 
contándolos a partir del extremo 
derecho del dividendo, así trazado esta 
línea punteada definiremos al cociente 
y resto como vemos a continuación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROCEDIMIENTO 
 
i Dividimos los primeros coeficientes del 
dividendo y divisor para obtener el 
primer coeficiente del cociente 
 
ii El primer coeficiente del cociente 
multiplica a cada uno de los 
coeficientes del divisor (de signos 
cambiados) y los resultados se 
colocarán corriendo un lugar hacia la 
derecha y debajo del dividendo. 
 
iii Se suman los coeficientes de la segunda 
columna y el resultado se divide entre el 
primer término del divisor obteniéndose 
así el segundo término del cociente. 
 
iv Luego se repite los pasos ( i ) y ( ii) hasta 
obtener el último término del cociente, 
con el cual se obtiene la última fila del 
dividendo. 
 
v llegado este momento se reducen las 
columnas que faltan, separando 
respectivamente el cociente y el resto en 
sus zonas respectivas. 
 
vi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOi1i 
 
Dividir los polinomios: 
 
 
6x5x4
8x32x57x13x12
2
234


 
Solución 
Primero verificamos que los polinomios 
dividendo y divisor sean completos y 
ordenados en forma descendente: 
 
 -28 -4 
 
 4 12 -13 –57 32 8 
 
 -5 -15 18 
 
 6 35 -42 
 
 5 -6 
 
 3 -7 -1 -5 2 
Coeficientes 
del cociente 
Coeficientes 
del residuo 

Problemas 
Resueltos 
 
 
37 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
Del esquema: 
 
Cociente: 1x7x3)x(Q 2  
Resto : 2x5)x(R 
 
 
EJERCICIOi2i 
 
 
En la siguiente división: 
 
 
 
 
4x3x2
BAxx16x7x2
2
234


 
 
Determinar el polinomio cociente y el 
polinomio residuo. 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
Primero verificamos que los polinomios 
dividendo y divisor sean completos y 
ordenados en forma descendente: 
 
 
 4 6 
 
 2 2 7 16 25 15 
 
 -3 -3 -4 
 
 -4 -6 -12 
 
 -9 -12 
 
 1 2 3 4 3 
 
 
 
Del esquema: 
 
Cociente: 3x2x)x(Q 2  
Resto : 3x4)x(R 
 
 
Reflexión… 
 
 
El amor es lo único que se multiplica 
cuando lo dividimos 
 
EJERCICIOi3i 
 
En la siguiente división: 
 
2xx
nmxx5x2x
2
234


 
El residuo es: 3x+14. Halle “m.n” 
 
Solución 
 
Primero verificamos que los polinomios 
dividendo y divisor sean completos y 
ordenados en forma descendente: 
 
 
 1 6 
 
 1 1 2 5 m n 
 
 -1 -1 2 
 
 2 -1 2 
 
 -3 6 
 
 1 1 3 (m-1) (n+6) 
 
 
 
Del esquema el resto es: 
 
R(x)=(m-1)x+(n+6), este será idéntico a 
 
R(x)=3x+14 
 
De donde: 
 
 m-1=3  m=4 
 n+6=14  n=8 
 
Por tanto: 
 
m.n=48 
 
 
EJERCICIOi4i 
 
Si la división es exacta: 
 
 
Coeficientes 
del cociente 
Coeficientes 
del residuo 
 Coeficientes 
del cociente 
Coeficientes 
del residuo 

 
 
38 
ÁLGEBRA FÁCIL 
Por dato 
3x2x
baxxx3x2
2
234


 
Halle “a+b” 
 
 
Solución 
 
 
Primero verificamos que los polinomios 
dividendo y divisor sean completos y 
ordenados en forma descendente: 
 
 
 -1 -3 
 
 1 2 3 1 -a b 
 
 -2 -4 -6 
 
 -3 2 36 9 
 
 2 -1 -3 (9-a) (b+9) 
 
 
 
Este resto por ser la división exacta será 
igual a un polinomio idénticamente nulo, 
es decir que sus coeficientes de cada 
término será cero. 
 
De donde: 
 
 9-a=0  a=9 
 b+9=0  b=-9 
 
Por tanto: 
 
a+b=0 
 
 
EJERCICIOi5i 
 
Si la división: 
 
 
 
1xx
x41x8x3x2
2
234


 
Tiene como cociente a: 
acb:halle,cbxax)x(Q 2 
 
 
 
 
 
Solución 
 
 
Primero verificamos que los polinomios 
dividendo y divisor sean completos y 
ordenados en forma descendente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 -1 
 
 1 2 3 -8 -4 1 
 
 1 2 2 
 
 1 5 5 
 
 -1 -1 
 
 2 5 -1 0 0 
 
 
 
Del grafico: 
 
cbxax1x5x2)x(Q 22  
 
De donde: 
 
 
 a=2 
 b=5 
 c=-1 
 
Por tanto: 
 
22)1(5acb  
 
 
EJERCICIOi6i 
 
Si en la división: 
2
234
)1x(
nx3mxx2x4


 
El polinomio dividendo es divisible por el 
polinomio divisor, halle “m+n” 
Coeficientes 
del cociente 
Coeficientes 
del residuo 

Coeficientes 
del cociente 
Coeficientes 
del residuo 

 
 
39 
ÁLGEBRA FÁCIL 
Por dato 
 
Solución 
 
 
 
Si dos polinomios son divisibles, entonces 
esta división es exacta, además su divisor 
será: 1x2x)1x( 22  
 
 
 
 
 
 
 10 a 
 
 1 4 2 -m 3n 
 
 2 8 -4 
 
 -1 20 -10 
 
 2a -a 
 
 4 10 a (2a-7) (n-a) 
 
 
 
Por ser exacta la división, cada coeficiente 
del residuo será cero, entonces: 
 
 2a-7=0  a=7/2 =3.5 
 
 n-a=0  n=a=3.5 
 
Del grafico podemos ver que: 
 
-m-4+20=a 
-m-4+20=3.5  12.5=m 
 
 Rpta: m+n=16 
 
EJERCICIOi7i 
 
Halle el valor de “m+n+p” si el resto de la 
división 
3xx2
pnxmxx4x8
23
235


 
Es: 7x3x5
2  
 
 
Solución 
 
Primero completamos los polinomios 
dividendo y divisor con ceros: 
 
 -4 6 
 
 2 8 0 4 m n p
 
 
 -1 -4 0 -12 
 0 2 0 6 
 -3 -3 0 -9 
 
 
 4 -2 3 (m-15) (n+6) (p-9) 
 
 
 
Del grafico: 
 
 
7x3x5)9p(x)6n(x)15m()x(R 22 
 
 
 
De donde: 
 
 
 m-15=5  m=20 
 n+6=-3  n=-9 
 p-9=7  p=16 
 
Por tanto: 
m+n+p=27 
 
 
EJERCICIOi8i 
 
 
Si la división es exacta: 
 
bax3dx3x
cbx4ax6dx4x
23
234


 
 
cdabE:Halle 
 
 
 
Solución 
 
 
Por Horner, tendremos el esquema: 
 
 
Coeficientes 
del cociente 

Coeficientes 
del residuo 

Coeficientes 
del residuo 
Coeficientes 
del cociente 
 
 
40 
ÁLGEBRA FÁCIL 
5n
c5nc
c5)1(3nc3
pm3nc3




 
)bdc()adb(3)d3a3(d1
b
bdad3d3a3
ba3d3d3
cb4a6d411
d
2
2




 
 
Por ser una división exacta su resto será 
un polinomio idénticamente nulo, es decir 
cada coeficiente del residuo los 
igualaremos a cero, entonces tendremos: 
 
22 da0d3a3  
 
32 dd.dadb0ad3b3  
 
3 4
c bd 0 c bd d .d d      
Reemplazando en la pregunta, tenemos: 
2 3 4
5 5
E ab cd
E d .d d .d
E d d
E 0
 
 
 

 
EJERCICIOi9i 
 
 
Halle la suma de los coeficientes del 
cociente entero que se obtiene al dividir: 
 
0c
cx3x5
cx3bxaxx25
2
234



 
Sabiendo que su resto es: 5cx 
 
Solución 
 
 
Por Horner: 
 
 
 5n 5m 
 
 5 25 a b 3 c 
 
 3 15 5c 
 
 c 3n nc 
 
 3m mc 
 
 5 n m p q 
 
Del grafico: 






0q
c5p
0cx5qpx)x(R
 
En el residuo vemos que: 
 
 
1m
0mcc
qmcc



 
 
Suma de coeficientes del cociente es: 
 
 
9)Q(coef
155mn5)Q(coef


 
EJERCICIOi10i 
 
 
En la división indicada: 
 
 
1xx
a3x)6a3(ax3...x9x6x3x
2
21aa1a2a

  
 
La suma de los coeficientes del cociente es 
210.Determine el residuo. 
 
Solución 
 
 
Por Horner:
 
 
 2 3 4 
 
 1 1 3 6 9 … 3a (3a+6)3a 
 
-1 -1 -1 
 
-1 -2 -2 
 
 -3 
 
 -a -a 
 
 (-1-a) (-1-a) 
 
 1 2 3 4 … (a+1) (a+5) (2a-1) 
 
 
 
Por dato del problema: 
 

Coeficientes 
del cociente 

Coeficientes 
del residuo 
c 
(a+1) Termino 

R(x) 
 
 
41 
ÁLGEBRA FÁCIL 
19a210
2
)2a)(1a(
210)1a(...54321
210)Q(escoeficientdeSuma




 
 
Por tanto el resto será: 
 
37x24)x(R
)1a2(x)5a()x(R


 
 
Método Paolo Ruffini 
 
 
 
Se utiliza también para dividir polinomios, 
y se aplica cuando el divisor es de la 
forma: 
 
 0b0abax  
 
 
O para cualquier expresión transformable 
a ésta. 
 
 PROCEDIMIENTO 
 
i Verificamos que el polinomio dividendo 
y divisor estén completos y ordenados, 
si faltaran uno o más términos estos se 
completaran con ceros. 
 
ii Se distribuyen en forma horizontal los 
coeficientes del dividendo, luego 
igualaremos su divisor a cero (siempre y 
cuando la variable del divisor sea 
positiva) para hallar el valor de la 
variable y esta se colocara en el ángulo 
inferior izquierdo del gráfico. 
 
Así: 
 
 Coeficientes del 
 
D I V I D E N D O 
 
x=a 
 
 C O C I E N T E RESTO 
 
iii De aquí el primer término del cociente 
será igual al primer coeficiente del 
dividendo. 
 
iv Luego este valor se multiplica por el 
valor despejado de la variable y el 
resultado se coloca debajo del segundo 
coeficiente del dividendo, con el cual se 
suma, para así obtener el segundo 
coeficiente del cociente. 
 
v Se procede como en el paso ( iv ) hasta 
llegar al último término del dividendo, 
al sumar con este, obtenemos el resto, 
el cual siempre será un valor numérico. 
 
Para su mejor comprensión veremos los 
dos casos que se presentan en este 
método: 
 
 
Primer caso 
 
Divisor de la forma: 
 
 0b1abax  
 
 
 
a) Dividir los polinomios: 
 
2x
9x3x6x4 23


 
SOLUCION 
  Primero verificamos que los polinomios 
sean completos y ordenados en formas 
descendentes. 
 
 Segundo igualamos a cero su divisor, 
para hallar el valor de la variable. 
 
 Aplicando el diagrama de Ruffini 
 
Igualando su divisor a cero: 
 
2x02x  
 
 
 
 
 
42 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
Coeficientes del cociente 
Coeficientes del dividendo 
 
Resto 
 
Coeficientes del 
cociente aparente 
 
Coeficientes del dividendo 
 
Resto 
b) Dividir los polinomios: 
 
1x
5x4x3x2 24


 
 
Solución: 
 
Completando e igualando su divisor a cero: 
1x01x  
 
 
 
 
 
2 0-3 4 -5 
 
 
x= 1 22 -13 
 
 
 2 2 -1 3 -2 
 
 
 
 
 
 
Del grafico: 
 
 
 
 Cociente: 3xx2x2)x(Q 23  
Residuo : 2)x(R  
 
Segundo caso 
 
Divisor de la forma: 
 
 0b1abax  
 
 
 
a) Dividir los polinomios: 
 
1x3
8xx2x12 23


 
 
SOLUCION 
  Primero verificamos que los polinomios 
sean completos y ordenados en formas 
descendentes. 
 
 Segundo igualamos a cero su divisor, 
para hallar el valor de la variable. 
 
 Aplicando el diagrama de Ruffini 
 
 
Igualando su divisor a cero: 
 
3/1x01x3  
 
 
 
 
 
12 2 1 8 
 
 
 x=1/3 4 2 1 
 
 
 12 6 3 9 
 
 
 
 
 
 
Para hallar los coeficientes del cociente 
real, dividimos cada uno de los coeficientes 
del cociente aparente, entre el 
denominador del valor de “x”, en este caso 
es 3, entonces tendremos: 
 
 
1x2x4)real(Q3
3
x
3
6
x
3
12
)real(Q
:realcocientesuHallando
3x6x12)aparente(Q
2
2
23



 
 
Su resto no se divide entre el denominador 
del valor de “x”, quedara siempre igual al 
obtenido en el grafico: 
 
9)x(R  
 
 
b) Dividir los polinomios: 
 
2x5
7x13xx10 23


 
Solución 
 
Igualando su divisor a cero: 
 
5/2x02x5  
 
 
 
43 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
Coeficientes del 
cociente 
 
Coeficientes del dividendo 
 
Resto 
 
Coeficientes del 
cociente aparente 
 
Coeficientes del dividendo 
 
Resto 
 
 
 
 
10 1 13 7 
 
 
 x=2/5 4 2 6 
 
 
 10 5 15 13 
 
 
 
 
 
 
Para hallar su cociente real ahora 
dividiremos a cada coeficiente del cociente 
aparente entre 5. 
 
3xx2)real(Q
5
15
x
5
5
x
5
10
)real(Q
:realcocientesuHallando
15x5x10)aparente(Q
2
2
23



 
 
 
 13)x(R  
 
 
c) Dividir los polinomios: 
 
x2
7xx3x 32


 
 
Solución 
 
 
 Multiplicamos por (-1) al dividendo y al 
divisor para positivisar el valor de la 
variable “x” en su denominador, 
obteniendo así: 
 
2x
7xxx3 23


 
 
Igualando su divisor a cero: 
 
2x02x  
 
 
 
 
 
3 -1 -1 -7 
 
 
 x=2 6 10 18 
 
 
 3 5 9 11 
 
 
 
 
 
Del grafico: 
 
 
 Cociente: 9x5x3)x(Q 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En base a la nota, podremos obtener ahora 
su resto inicial dividiremos al resto final, 
entre la constante no nula por la cual se 
multiplico al dividendo y al divisor, 
entonces: 
 
11
1
11
)inicial(R
1
)final(R
)inicial(R





 
 
 
Observación: 
 
Querido amigo lector cuando utilices el 
método de Ruffini debes de tener mucho 
cuidado con el signo de la variable que se 
encuentra en el denominador, ya está 
Cuando se multiplica en una 
división al dividendo y al divisor 
por una constante no nula, 
entonces su resto también 
quedara multiplicado por dicha 
constante no nula.
 
 
 
44 
ÁLGEBRA FÁCIL 
Coeficientes del cociente 
 
Coeficientes del dividendo 
Resto 
Coeficientes del cociente 
Coeficientes del dividendo 
Resto 
Resto 
nunca debe de ser negativo, más por el 
contrario tiene que ser de signo positivo de 
este modo garantizas que su cociente se el 
real, pero debes de cuidar siempre que su 
resto se divida entre la cantidad por la cual 
multiplicaste al dividendo y al divisor, 
como en el ejemplo anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOi1i 
 
 
Halle el resto de la división: 
 
bx
b3xxbbx2x 2234


 
Solución 
 
Completando e igualando su divisor a cero: 
bx0bx  
 
 
 
 
 
1 -2b b2 -1 3b 
 
 
x= b b -b2 0 -b 
 
 
 1 -b 0 -1 2b 
 
 
 
 
 
Del grafico: 
 
 
 
 
 
 
 Residuo: b2)x(R  
 
EJERCICIOi2i 
 
 
Halle “n” si al dividir: 
 
 
3x
5x)1n(x24x3 24


 
Se obtiene como resto 31 
 
Solución 
 
 
Completando e igualando su divisor a cero: 
3x03x  
 
 
 
 
 
3 0 -24 (n+1) -5 
 
 
x= 3 9 27 9 (3n+30) 
 
 
 3 9 3 (n+10) (3n+25) 
 
 
 
 
Del grafico: 
 
 
 
 
 
 
 Residuo: 2n3125n3)x(R  
 
 
 
EJERCICIOi3i 
 
 
Halle “a” si al dividir: 
 
2ax
aaxaxx 223


 
Se obtiene como resto (5a+11) 
 
Solución 
 
 
Completando e igualando su divisor a 
Cero, tendremos: 
 
2ax02ax  
 
 
 
 
 
1 -a -a -a2 
 
 
x=a+2 a+2 2a+4 a2+6a+8 
 
 
 1 2 (a+4) 6a+8 
 
 
 
Del grafico: 
 
 
 
 
 
 
 Residuo: 
 Por dato 
 
 
45 
ÁLGEBRA FÁCIL 
Coeficientes del 
cociente 
aparente 
Resto 
 
3a11a58a6)x(R  
 
 
 
 
EJERCICIOi4i 
 
 
Halle el resto de la división: 
 
1x2
15ax6x4x8 23


 
 
Sabiendo que la suma de sus coeficientes 
del cociente es 37. 
 
Solución 
 
 
Igualando su divisor a cero: 
 
2/1x01x2  
 
 
 
8 4 -6a 
x=1/2 4 4 (2-3a) 
 
 
 8 8 (4-6a) (17-3a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces para hallar su cociente real 
ahora dividiremos a cada coeficiente del 
cociente aparente entre 2 ya que es el valor 
del denominador de “x”. 
 
)a32(x4x4)real(Q
2
)a64(
x
2
8
x
2
8
)real(Q
:realcocientesuHallando
)a64(x8x8)aparente(Q
2
2
23




 
 
Por condición: 
 
9a
37)a32(44
37)Q(escoeficientdeSuma



 
 
Del grafico vemos que su resto es: 
 
44)x(R
)9(317)x(R
a317)x(R



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOi5i 
 
 
 
Hallar el resto de la división. 
1x
3nxx2 n


 
 
Sabiendo que la suma de los coeficientes 
del polinomio cociente es 90. 
 
Solución 
 
 
Primero igualamos el divisor a cero: 
 
 
 
1x01x  
 Por dato 
Cuando el valor de “x” toma un 
valor fraccionario, los coeficientes 
del cociente no serán los reales, 
para hallarlos se divide cada uno 
de estos entre el denominador del 
valor de “x”.
 
En toda división efectuada por el 
método de Ruffini, se observa que la 
cantidad de términos del cociente es 
igual al grado del dividendo.
 
 
 
46 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
Tomando en cuenta la nota (el número de 
términos del cociente será “n”) 
completaremos el polinomio dividendo con 
ceros, para dividirlo por el método de 
Ruffini: 
 2 0 0 0… 0 n 3 
x=1 2 2 2… 2 2 n+2 
 
 2 2 2 2… 2 (n+2) n+5 
 
 “n” términos 
 
De aquí la suma de los coeficientes será: 
 
 
n30
n390
nn2)Q(.Coef
n2...2222)Q(.Coef
osminter"n"



   
 
 
Por ende el resto es: 
R(x)=n+5=30+5=35 
 
EJERCICIOi6i 
 
 
 
Hallar “m” en la división. 
 
1x
mp2px2mx51


 
 
Si la suma de los coeficientes del cociente 
es 161 y el resto 16. 
 
Solución 
 
 
Como el grado del dividendo es 51, 
entonces también tendremos 51 términos 
en su cociente, ahora completamos el 
dividendo con ceros: 
 
 
 m 0 0 … 0 2p (2p-m) 
x=1 m m… m m (2p+m) 
 
1 m m m … m (2p+m) 4p 
 
51 términos 
Del grafico: 
 
 
 
 
 
 
 Residuo: 4p16p4)x(R  
 
 
En dato también nos indican que la suma 
de coeficientes del cociente es 161, 
entonces: 
 
 
 
m3
)4(2m51161
p2m51)Q(.Coef
p2m...mmm)Q(.Coef
osminter51



   
 
 
 
EJERCICIOi7i 
 
 
Halle “n”si en la división: 
 
3x2
7mxx34x4 23


 
 
Si el resto es 7. 
 
Solución 
 
Igualando su divisor a cero: 
 
 
2
3
x03x2  
 
 
 4 34 -m 7 
 
 32
 
 9 p 
 
 
 4 36 (9-m) p+7 
 
 
 
Del grafico: 
 
 
 
 
 
 

2
3
x  
Por dato 
 
 
47 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 Residuo: 0p77p)x(R  
 
 
 
En la última columna del cociente vemos 
que: 
9m
0)m9(
2
3
p)m9(
2
3



 
 
 
EJERCICIOi8i 
 
Hallar el resto de la división. 
 
1x3
2nx8nxnx10nx6 234


 
 
Sabiendo que la suma de los coeficientes 
del polinomio cociente es 20. 
Solución 
 
 
 
Utilizando Ruffini: 
 
 6n 10n -n 8n 2 
 1/3 2n 4n n 3n 
 
 6n 12n 3n 9n 3n+2 
Del grafico: 
 
n3nxnx4nx2)real(Q
3
n9
x
3
n3
x
3
n12
x
3
n6
)real(Q
:realcocientesuHallando
n9nx3nx12nx6)aparente(Q
23
23
23



 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por condición: 
 
2n
20n3nn4n2
20)Q(escoeficientdeSuma



 
 
De aquí su resto es: 
 
82)2(3)x(R
2n3)x(R


 
 
 
EJERCICIOi9i 
 
 
Hallar el valor de “n” si al dividir: 
 
1x
1xx...xxx 22n21n2n2

 
 
 
Se observa que la suma de coeficientes del 
cociente es el décuplo de su resto. 
 
 
Solución 
 
 
Por Ruffini: 
 
 1 1 1 1 … 1 1 
x=1 1 2 3 … (2n-1) 2n1 1 2 3 4 … 2n 2n+1 
 
 (2n) términos 
 
Por condición: 
Suma de coeficientes(Q) 10[Re sto]
1 2 3 4 ... 2n 10[2n 1]
(2n)(2n 1)
10[2n 1]
2
n 10

      

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por dato 
 
 
48 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOi11i 
 
 
Halle “n” si en la división: 
 
1nx
)1nn(...x)2n3(x)1n2(nx 23n2n1n

 
 
 
 
Se cumple que: “nueve veces la suma de 
coeficientes del cociente es igual a cuatro 
veces el resto de la división” 
 
Solución 
 
Por Ruffini: 
 
 1n (2n-1) (3n-2)… n2-n+1 
 
1/n 1 2 … n-1 
 
1 1n 2n 3n … (n-1)n n2 
 
 (n-1) términos 
Por condición: 
 
 
 
9n
n89n9
]n.n[4
2
]n][(1n[
9
]n[4
2
]1)1n][(1n[
9
]n[4)1n(...3219
]n[4
n
n)1n(
...
n
n3
n
n2
n
n1
9
]sto[Re4)Q(escoeficientdeSuma9
2
2
2
real







 





 






 


 
 
 
EJERCICIOi12i 
 
 
Halle el resto de: 
 
23x
2x22x22x22x 356


 
 
Solución 
 
 
 
Completando el dividendo tenemos: 
 
 1 22 0 22 0 22 2 
 
23  23  1 23  1 23  1 
 
 1 23  1 23  1 23  3 
 
Del esquema su resto es: 3 
 
EJERCICIOi13i 
 
 
Halle el resto de: 
 
2x
1x8x2x
3
61218


 
Solución 
 
 
 
Haciendo que: yx3  
 
Completando y reemplazando este último 
valor, tenemos: 
 
 
2y
1y8y2y
2)x(
1)x(8)x(2)x( 246
3
234363





 
 
 
Por Ruffini: 
 
 
 1 0 -2 0 -8 0 1 
 y=2 2 4 4 8 0 0 
 
 1 2 2 4 0 0 1 
 
 
Resto: 1 
 
 
2
)1a(a
a...321

 
 
 
49 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
EJERCICIO 1 
Hallar la suma de los cocientes que 
resulten de efectuar las siguientes 
divisiones: 
I) 
 

3 2
2x 4x 1
x 1
 II) 
 

3 2
2x 3x 7
2x 1
 
a)  
2
x 2x 1 b)  
2
2x 2x 2 
c)  
2
3x 4x 1 d)  
2
3x 4x 1 
e)  
2
3x 4x 1 
 
EJERCICIO 2 
 
Del esquema, de Ruffini: 
 
A B C D E F
1 1 3 5 7 9
e d c b a 0
 
Determinar la sumatoria de coeficientes 
del polinomio dividendo. 
a) 100 b) –50 c) 
50 
d) –25 e) –100 
 
EJERCICIO 3 
 
Hallar la suma de coeficientes del 
cociente de la siguiente división: 
  

5 3 2
64 x 16 x 8 x 3
2 x 1
 
a) 108 b) 24 c) 106
 
d) 54 e) 64 
 
EJERCICIO 4 
 
Calcular “a” en: 
      

5 4 3 2
3ax (a 3)x (4a 2)x 4ax 9ax 2a
3x 2
 
Si:   coeficientesQ x 2 Re sto 
a) –2 b) –1 c) 0 
d) 1 e) 2 
 
EJERCICIO 5 
 
Al dividir: 
        

5 4 2 3 2
kx k 1 x k 1 x kx 7
kx 1
 
La suma de coeficientes del cociente es 
igual al resto: Calcule el valor de “k” 
a) 5 b) 4 c) 3 
d) –2 e) –7 
 
EJERCICIO 6 
 
Indicar la suma de coeficientes del 
cociente de dividir: 
  

4 3
nx x 3nx 3
nx 1
 
a) 4n b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5n 
 
EJERCICIO 7 
 
Calcular el resto que se obtiene de 
dividir: 
  

3 2
27x 18 x 6 m x 13
3 x 1
 sabiendo que la 
suma de coeficientes del cociente es 25. 
a) 10 b) 25 c) 15 
d) 6 e) 20 
 
EJERCICIO 8 
 
Determinar la suma de coeficientes del 
cociente que se obtiene al dividir: 
  

80 79
4x 2x x b
x 1
 
a) 165 b) 162 c) 163 
d) 164 e) 161 
 
EJERCICIO 9 
 
Hallar el valor de "a" si al dividir: 
  
      
a 17 a 16 a 15 3 2
x x x x x x 1 
Problemas 
Resueltos 
 
 
50 
ÁLGEBRA FÁCIL 
entre x 1 se observa que la suma de los 
coeficientes del cociente es igual a 90 
veces su resto. 
a) 13 b) 155 c) 160 
d) 163 e) 165 
 
EJERCICIO 10 
 
Hallar el residuo en: 
       5 42x 9x 3x 4 2x 1 
a) –2 b) –3 c) 3 
d) 2 e) –4 
 
EJERCICIO 11 
 
Hallar el valor de "m" sabiendo que: 
       
4 2
P x 3x 2m 1 x 31x 21 , es 
divisible entre x 1 
a) –1 b) –3 c) –5 
d) –7 e) –9 
 
EJERCICIO 12 
 
Calcular el resto de dividir: 
  

4 3 2
2
x 3x x 4
x 4
 
a) –8 b) 8 c) 16 12x 
d) 12x 6 e) x 
EJERCICIO 13 
 
El resto de dividir: 
   
4 3 2
6x 5x 7x 10x 18 
entre x 2 es: 
a) 20 b) 48 c) 2 
d) 2 e)10 10 
 
EJERCICIO 14 
 
Calcular el resto de dividir 
  
160 5 13
x x 2x 1 entre 
4
x 1 
a) 3x 1 b) 2x 1 c) 4 x 
d) 2x 1 e) 3x 
 
EJERCICIO 15 
 
Hallar el resto de la división: 
        
   
 
3 2
4 2 4 2
4 2
15x 9x 13 15x 9x 11 13
15x 9x 10
 
a) 40 b) 41 c) 42 
d) 28 e) 44 
 
EJERCICIO 16 
 
Hallar el resto en la división 
       
 
      
 
4
3 x 1 x 2 x 3 x 4
x x 5 5
 
a) 8 b) 16 c) 15 
d) 18 e) 256 
 
EJERCICIO 17 
 
Hallar el resto en: 
  

425 424
27x 81x 5x 19
x 3
 
a) –2 b) –4 c) 4 
d) 2 e) 41 
 
EJERCICIO 18 
 
Calcule el resto de: 
       

2000 2001
3x 5 x 1 x 2
x 2
 
a) 2 b) 0 c) 5 
d) 7 e) 8 
EJERCICIO 19 
 
Luego de dividir: 
4 3 2
3x 2x 5x 5x 1
3x 4
   

; indique la suma 
de coeficientes del cociente. 
a) 11 b) 5 c) 21 
d) 7 e) 17 
 
EJERCICIO 20 
 
Halle el resto en: 
6 3 2
2
x x 2x 5
x 1
  

 
a) 2 b) x 4 c) 2x 8 
d) 8 e) x 8 
 
 
 
51 
ÁLGEBRA FÁCIL 
EJERCICIO 21 
 
Halle el valor de “a” para que el 
polinomio    
3 2
P x x a 1 x ax 4     
sea divisible por  x 2 . 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 0 
 
EJERCICIO 22 
 
Dada la división algebraica: 
4 3 2
2 2x 4x 2x 2x 2
x 2
   

 
Calcule la suma de coeficientes del 
cociente. 
a) 2 b) 1 c) 4 2 
d) 2 e) 2 
 
EJERCICIO 23 
 
Si al dividir: 
5 4 3 2
6x x mx 6x 3x 7
3x 2
    

 
El coeficiente del término cuadrático del 
cociente es 3, calcule el valor de “m” 
a) 1 b) 3 c) 5 
d) 7 e) 9 
 
 
 
 
EJERCICIO 24 
 
Si el resto de la división: 
4 2 2
2x 7x 15x 3nx 6
x 2
   

 
Es  R x 4 , calcule el valor de “n” 
a) 5 b) 7 c) 9 
d) 10 e) 4 
 
EJERCICIO 25 
 
Si el resto de la división: 
6 5 4 2
2
x 2x x ax bx 3
x 2
    

 
Es  R x bx a   , calcule el valor de 
 R 1 
a) 1 b) 1 c) 3 
d) 4 e) 7 
 
EJERCICIO 26 
 
Si el polinomio  
3 2
P x x mx nx 1    
es divisible por  x m , calcule m n . 
a) 0 b) 2 c) 1 
 
 
 
 
 
¡¡… ¡LA VIDA TE PONDRA 
OBTACULOS, PERO LOS 
LIMETES LO PONES TU´…! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polinomio Primo o Irreductible
Es la transformación de una expresión 
algebraica racional entera, en el producto 
de sus factores primos en un determinado 
campo numerico. 
 
 
 )2x)(5x(10x7x2  
 
 
 
 
Polinomio sobre un conjunto numérico 
 
Un polinomio está definido sobre un 
campo numérico, cuando sus coeficientes 
están en dicho campo numérico, veamos: 
 
 2x7x6x3)x(P 24  
 
 
Sus coeficientes son enteros, entonces este 
polinomio está definido en los enteros (Z) 
 
 1x7x4.3x2)x(P 37  
 
 
Sus coeficientes son reales, entonces este 
polinomio está definido en los reales (R) 
 
 2ix3ix)x(P 46  
 
 
Sus coeficientes contienen números 
complejos, entonces este polinomio está 
definido en los complejos (C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es aquel polinomio que no acepta 
transformación a una multiplicación 
indicada de dos o más polinomios no 
constantes, pertenecientes a dicho 
conjunto numérico. Además todo 
polinomio primo, es divisible por sí mismo 
y por una constante no nula. 
 
Ejemplo: 
 
 P(x)=x+2 
 
No es posible transformarlo a una 
multiplicación de polinomios no constantes 
por lo tanto P(x) es primo en Q, R, y C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veamos la factorización de: 25x
4  
 
 
 En los racionales Q 
 
  
factores
xxx
2
224 )5)(5(25  
 
 
 En los realesR 
 
  
factores3
24 )5x()5x()5x(25x  
 
 
 En los complejos 
Transformación 
Factores primos 
Si un polinomio está definido en 
los Z, entonces está definido en 
los racionales (Q) 
Todo polinomio de la forma: (ax+b) 
es irreductible en cualquier campo 
numérico 
Factorización 
 
 
53 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
  
factores4
4 )5x()5x()i5x)(i5x(25x  
 
Donde: 1i 
 
 
 NOTA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polinomios Primos 
 
Son aquellos polinomios que tienen como 
divisor común a la unidad. 
 
Ejemplo: 
 2x)x(P
2  
 3x)x(Q  
 1xx)x(R
2  
 
Estos polinomios tiene como divisor común 
a la unidad, entonces decimos que estos 
son primos entre si. 
 
Factor o divisor algebraico 
Un polinomio no constante, es factor 
algebraico de otro polinomio, cuando este 
lo divide en forma exacta. 
 
Ejemplo: 
 
Dividir: 
 
2x
10x9x3x2 23


 
Por Ruffini: 
 
 
 
 2 3 -9 -10 
 
 x=2 4 14 10 
 
 2 7 5 0 
 
De esta división: (x-2), es un factor 
algebraico de: 
 
10x9x3x2 23  
 
Ya que lo divide en forma exacta. 
 
Observación… 
 
a) Generalmente el conjunto numérico a 
utilizarse será el de los racionales, salvo 
se indique lo contrario. 
 
b) El número de factores primos depende 
del conjunto numérico en el que se está 
trabajando, en los racionales el número 
de factores primos se calcula contando 
los factores basales (factores 
algebraicos) 
 
 
VEAMOS …: 
 
primosfactores2Tiene)1x3)(2x( 2 
 primosfactores3Tiene)2x)(1x(x3  
primosfactores2Tiene)7x()2x( 34  
 
 
Sea: 
 z.y.x)z,y,x(P 
 
Donde: x, y e z, son polinomios primos 
entre si: 
 
 
 
)1)(1)(1(factoresºN  
 
En la mayoría de los casos solo se 
factorizará en: 
 
 Los racionales (Q) con respecto 
a sus coeficientes. 
 
 En el campo de las 
expresiones algebraicas 
racionales enteras, con 
respecto a sus exponentes. 
 
 
 
 
 
54 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
Ejemplo 1: 
 
Hallar el número de factores de: 
 
y.x)y;x(P 2 
 
Por formula: 
 
6)11)(12(factoresºN  
 
Hallando estos 6 factores primos: 
 
 yx
x
xy
yx
y
x
1
2
2
2 
 
 
Vemos que tiene 6 divisores o factores, de 
los cuales solo tendrá 5 factores 
algebraicos. 
 
Del polinomio: 
 
4223 )1x()5x()2x()x(P  
 
 60)14)(12)(13(factoresºN  
 3primosfactoresºN  
 
 
 
 
Del polinomio: 
 
722 )3x)(1xx()1x()x(P  
 
 
 Hay 1 factor primo que es cuadrático 
 Hay dos factores primos lineales 
 
Recuerdo que los factores primos solo son 
las bases, (no se toman en cuenta los 
exponentes): 
 
 
 )1x(  
 )1xx( 2  
 )3x(  
 
Criterios de factorización 
 
 ASPA SIMPLE 
Se emplea cuando la expresión a factorizar 
presenta la forma: 
 
m2mnn2 cyybxax  
 
 
Procedimiento 
 
El método consiste en descomponer los 
términos extremos, de tal manera que al 
multiplicar en aspa y sumar los resultados 
nos produzca el término central, siendo los 
factores las sumas horizontales. 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO i1i 
 
Factorizar: 
 
15x2x)x(P 2  
 
 
 
Solución 
 
Aplicando aspa simple: 
 
 
x2
x33x
x55x
15x2x)x(P 2




 
 
Los factores primos son: 
 
P(x)=(x-5)(x+3) 
 
EJERCICO i2i 
+ 
Problemas 
Resueltos 
 
 
55 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
Factorizar: 
 
36x13x)x(P 24  
 
 
 
Solución 
 
Aplicando aspa simple: 
 
 
36x13x)x(P 24  
 x2 - 4 = -4x2 
 
 x2 - 9 = -9x2
 
 
 -13x2
 
Los factores primos son: 
 
)3x)(3x)(2x)(2x()x(P
)9x)(4x()x(P 22


 
 
 
EJERCICIO i3i 
 
Factorizar: 
 
2)1x()1x()x(P 24  
 
 
 
Solución 
 
Por aspa simple: 
 
2)1x()1x()x(P 24 
 
 
 (x-1)2 -2 = -2(x-1)2 
 
 (x-1)2 +1 = +(x-1)2
 
 
 -(x-1)2
 
 
Los factores primos son: 
 
]2x2x][1x2x[)x(P
]1)1x][(2)1x[()x(P
22
22


 
 
 
 
EJERCICIOi4i 
 
Factorizar: 
 
1x2xx)x(P 245  
 
 
 
Solución 
 
222 xxx2:endoDescomponi 
 
 

1xxxx 2245 
 
x3 +(x+1) = x3 +x2 
 
x2 +(x-1) = x4 –x3
 
 
 x4+x2
 
 
Los factores primos son: 
 
)1xx)(1xx()x(P 23  
 
 
EJERCICIOi5i 
 
Factorizar: 
 
1x2x2x)x(P 357  
 
 
 
Solución 
 
333 xxx2:endoDescomponi 
 
 

1xxx2x 3357 
 
x3 + (x-1) = x5 –x4 
 
x4 + (x2+x+1) = x5 +x4+x3
 
 
 2x5 +x3
 
 
Los factores primos son: 
 
)1xxx)(1xx()x(P 243  
 
EJERCICIOi6i 
 
Factorizar: 
 
1yyxy2x)y;x(P 48224  
+ 
+ 
+ 
+ 
 
 
56 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
 
Solución 
 
 
Agrupando los tres últimos términos: 
 
 
 
 ASPA DOBLE 
 
Se emplea para factorizar polinomios de 
seis términos de la forma: 
 
 
feydxcyybxax mnm2mnn2  
 
 
Procedimiento 
 
 Se adecua el polinomio a la forma 
general, en caso faltase uno o más 
términos estos se completaran con 
ceros. 
 
 A los 3 primeros términos: 
m2mnn2 cyybxax  y se le aplica un 
aspa simple. 
 
 De los cuatro últimos términos 
sacamos: 
ndx , y a los 
términos feycy mm2  , le aplicamos 
aspa simple a: 
 
 Finalmente se aplica un aspa de 
extremo a extremo para comprobar si 
resulta: 
ndx 
 
 Cumpliendo los pasos anteriores se 
concluye que los factores serán las 
sumas horizontales. 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOi1i 
 
Factorizar: 10y19x7y6xy5x 22  
 
 
 
 
Solución 
 
Aplicando aspa doble: 
 
 10y19x7y6xy5x 22 
 
 
 x + 2y + 5 
 
 x + 3y + 2 
 
Comprobaciones: 
 
I. (x)(2y)+(x)(3y) = 5xy 
 
 
II. (2y)(2)+(3y)(5) = 19y 
 
 
III. (x)(2) + (x)(5) = 7x 
 
Los factores primos son: 
 
)2y3x)(5y2x()y;x(P  
 
 
EJERCICIOi2i 
 
Factorizar la expresión: 
 
 
5y6x17yxy5x6)y;x(P 22  
 
 
 
Solución 
 
 
 
Aplicando aspa doble: 
 
 
 
5yx2
1yx3
5y6x17yxy5x6)y;x(P 22



 
 
 
Sus factores primos serán: 
 
)5yx2)(1yx3()y;x(P  
 
 
EJERCICIOi3i 
 
Factorizar la expresión: 
 
yz3xz3xy2z4yx)z;y;x(P 222 
 
Por Argand 
I II III 
Problemas 
Resueltos 
 
 
57 
ÁLGEBRA FÁCIL 
 
 
Solución 
 
 
Ordenando adecuadamente nuestra 
expresión inicial y aplicando aspa doble: 
 
 
z1yx
z4yx
z4yz3xz3yxy2x)z;y;x(P 222



 
 
 
Sus factores primos serán: 
 
)zyx)(z4yx()y;x(P  
 
 
EJERCICIOi4i 
 
Factorizar la expresión: 
 
 
4x11y17y15xy19x6)y;x(P 22  
 
 
 
 
 
Solución 
 
 
 
Aplicando aspa doble: 
 
 
 
1y3x2
4y5x3
4x11y17y15xy19x6)y;x(P 22



 
 
Sus factores primos serán: 
 
)1y3x2)(4y5x3()y;x(P  
 
EJERCICIOi5i 
 
Factorizar la expresión: 
 
 
y16y8x24xy22x15)y;x(P 22  
 
 
 
 
Solución 
 
 
Ordenado y completando con cero para 
tener seis términos: 
 
8y4x5
0y2x3
0y16x24y8xy22x15)y;x(P 22



 
 
Sus factores primos serán: 
 
)8y4x5)(y2x3()y;x(P 
 
 
 
EJERCICIOi6i 
 
Factorizar la expresión: 
 
 
8y22x16y15yx7x2)y;x(P 326324  
 
 
 
 
Solución 
 
 
Ordenado y completando con cero para 
tener seis términos: 
 
 
 
4y5x
2y3x2
8y22x6y15yx7x2)y;x(P
32
32
326324



 
 
Sus factores primos serán: 
 
)4y5x)(2y3x2()y;x(P 3232  
 
 
 
 
EJERCICIOi7i 
 
Factorizar la expresión: 
 
 
4x12y27y21xy5)y;x(P 2  
 
 
 
 
 
Solución 
 
 
 
Completando el polinomio: 
 
 
3y3x0
2y7x4
6x12y27y21xy12x0 22



 
 
Sus factores primos serán: 
 
 
 
58 
ÁLGEBRA FÁCIL 
)1y)(2y7x4(3)y;x(P
)3y3)(2y7x4()y;x(P


 
 
 
 
 
 
 ASPA DOBLE ESPECIAL 
 
Será posible aplicar a los polinomios que 
presentan 5 términos de la siguiente forma 
general: 
 
edxcxbxax)x(P nn2n3n4  
 
Procedimiento 
 
 Se expresa el polinomio teniendo en 
cuenta la forma general, completando