Algebra-Pamer

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11SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 0
SNII2X0
ÁLGEBRA
TEMA 0
NÚMEROS COMPLEJOS
DESARROLLO DEL TEMA
Al resolver la ecuación x2 + 4 = 0, obtenemos las raices –4 
y – –4, osea números no reales.
Si consideramos U = R, tenemos como conjunto solución el 
conjunto vacío, esto es, S=∅.
La solución de ecuaciones de este tipo pasan a ser posibles 
debido a la introducción de un elemento matemático, 
denominado unidad imaginaria, que será indicado por la letra 
i tal que:
i = –1 o i2 = –1
En manuscritos fechados en 1777 y publicado posteriormente 
en 1794, el matemático suizo, Leonhard Euler (1707-1783) fue 
el primero en utilizar la letra i para representar –1.
A partir de la unidad imaginaria, comienza a configurarse 
un nuevo conjunto, el de los números complejos, que será 
indicado por C.
I. POTENCIAS DE I
Vemos ahora como podemos calcular potencias de i.
i0 = 1
i1 = i
i2 = – i
i3 = i2.i = (–1)i = –i
i4 = i3.i = (– i)(i) = –i2=1
i5 = i4.i = (1)(i) = i
i6 = i5.i = (i)(i) = i2=–1
i7 = i6.i = (–1)(i) = –i
i8 = i7.i = (– i)(i) = –i2 = 1
 Observamos los valores obtenidos para esas potencias 
verificamos que ellas se realicen cada grupo de cuatro 
potencias, asumiendo los valores de:
1, i, –1 y – i
II. PROCESO PRACTICO PARA CALCULAR 
POTENCIAS DEL I
 Dado in, con n ∈ N tenemos:
 
n n=4k+r⇒4
krresiduo
 El resto de la división de n por 4 seria siempre uno de 
estos valores: 0,1,2 ó 3
in = i4k+r = in = iri4k . ir ⇒
siempre 
igual a 1
 Por lo tanto el valor de la potencia i depende del resto r, 
observe el cuadro.
Valor de r 0 1 2 3
Valor de ir 1 i –1 –i
Ejemplos:
i250 i250=i2 = –1→ →250 4622
i931 i931=i3 = –i→ →931 42323
III. FORMA ALGEBRAICA DE UN NÚMERO 
COMPLEJO
 Todo número complejo puede ser expresado con la forma.
z = a + bi
 Denomina forma algebraica, en el cual a y b son números 
reales e i es la unidad imaginaria.
 El número a es la parte real de z y lo indicamos por Re(z) =a
 El número b es la parte imaginaria de z y lo indicamos por 
Im(z)=b.
• Si Re (z) = 0, entonces z es un número imaginario puro.
• Si Im(z) = 0, entonces z es un número real.
Todo número real a es un número complejo a + Oi 
Luego R ⊂ C.
Podemos visualizar esa relación de inclusión en el diagrama.
C
R
NÚMEROS COMPLEJOS
22 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIÁLGEBRATEMA 0
Ejemplos:
z = 2 + 7i ⇒ Re (z) = 2 e IM (z) = 7
z = –4i ⇒ Re (z) = O e IM (z) = – 4
IV. IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
 Dos números complejos Z1=a+bi e Zz = a+bi e Zz = c+di.
 Son iguales si y solamente si, sus partes reales e imaginarias 
fueron respectivamente iguales o sea:
Z1= Z2 ⇔ a+bi = c+di ⇔ a = c y b = d
V. OPERACIONES CON NÚMEROS COM-
PLEJOS EN LA FORMA ALGEBRAICA 
A. Adición
Sean los números Z1 = a + bi y Z2 = c + di, con a,b, 
c d ∈ R. Entonces tenemos:
Z1+Z2 = (a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i
Parte
real
Parte 
imaginaria
    
•	 Ejemplo:
Siendo Z1 = 3+4i y Z2 = –1+2i
Determinar: Z1 + Z2
Z1 + Z2 = (3+4i) + (–1+2i) = (3–1)+(4+2)i
 = 2+6i
B. Sustracción
Sean los números complejos Z1 = a + bi y Zz = c + 
di con a, b, c, d ∈ R, entonces tenemos:
Z1–Z2 = (a+bi) + (c+di) = (a–c)+(b–d)i
Parte
real
Parte 
imaginaria
    
•	 Ejemplo:
Siendo Z1 = 5+i y Z2 = –1+3i
Determinar: Z1 – Z2
Z1 – Z2 = (5+i) – (–1+3i) = 5+i+1–3i
Z1 – Z2 = (5+1) + (i–3i) = 6 – 2i
C. Multiplicación
Consideremos los números compuestos Z1 = a + bi 
y Z2 = c + di con a, b, c, d ∈ R, entonces tenemos:
Z1 . Z2 = (a+bi) . (c+di) = ac + adi + bci + bdi
2
Z1 . Z2 = ac + adi + bci + bd (–1) = ac + adi + bci – bd
Z1 . Z2 = (ac – bd) + (ad + bc) i1442443 1442443
Parte
real
Parte 
imaginaria
•	 Ejemplo:
Siendo Z1 = 2 – 3i y Z2 = 1 + i determine Z1 . Z2
Z1 . Z2 = (2 – 3i)(1+i) = 2 + 2i – 3i – 3i
2
Z1 . Z2 = 2 + 2i – 3i + 3 = 5 – i
VI. CONJUGADO DE UN NÚMERO 
COMPLEJO
 Dado un número completo Z = a + bi, denominamos 
conjugando de Z al número complejo.
Z = a – bi
Ejemplo:
Si: Z = 2 + 5i entonces: Z = 2– 5i
 Z = –4 + 2i entonces: Z = –4–2i
Observación:
El conjugado de un número real es el propio número.
VII. PROPIEDADES DEL CONJUGADO
 Sean Z1, Z2 y Z3, números complejos cuales quiera.
 Entonces son validos las siguientes propiedades.
• Z1 + Z2 = Z1 + Z2
• Z1 . Z2 = Z1 . Z2
• Z = Z ⇒ Z ∈ R
• (Z) = Zn, con n ∈ N
n
• Z Z=
VIII. DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS 
EN FORMA ALGEBRAICA
Sean los números complejos Z1 y Z2 con Z2 ≠ 0.
 El número complejo Z1
Z2
 es obtenido multiplicando 
el numerador y denominador por conjugado del 
denominador, esto es: 
Z1
Z2
Z2
Z2
.
Ejemplo:
Siendo Z1 = 5 + 3i y Z2 = 1– 4i. Calcular 
Z1
Z2
Z1
Z2
= =.5 + 3i
1 – 4i
1 + 4i 
1 + 4i
5 + 20i + 3i + 12i2
1–16i2
Z1
Z2
= =
–7+23i
17
5 + 20i + 3i – 12
1+16
Z1
Z2
= +
–7
17
23i
17
IX. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE 
UN NÚMERO COMPLEJO
 Actualmente a la siguiente representación es conocida 
como Argand – Gauss.
 Ahora observe en el grafico la representación de un 
número complejo Z = a + bi, a, b ∈ R.
NÚMEROS COMPLEJOS
33SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 0
P(a,b)
y Eje imaginario
b
a x(eje real)
 Al punto P en el plano se le denomina afijo de Z.
 Podemos también indicar un número complejo Z = a + bi
 Como un par ordenado esto es: Z = (a,b)
X. MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
 Sea P el afijo de un número complejo Z = a + bi, 
denominase módulo de Z a la distancia de P hacia el 
origen (O, O).
 El módulo de Z será indicado por |Z| o por la letra griega ρ.
 Gráficamente tenemos:
P
ρ
b
y
aO x
 Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo 
rectángulo vemos:
ρ2 = a2 + b2 = ⇒ ρ a2 + b2
 Por lo tanto el módulo de un número complejo Z es dado por:
|Z| = =ρ a2 + b2
Observación:	ρ es real no negativo
Ejemplo: Calcular el módulo de:
Z = –3 + 4i
a = –3; b = 4 entonces:
r = = = = 5(–3)2 + 42 9 + 16 25
XI. PROPIEDADES DEL MÓDULO
|Z| ≥ 0
|Z1 . Z2| = |Z1| . |Z2|
|Z| = 0 ⇔ Z = 0
|Z| = |Z|
= (Z2 ≠ 0)
Z1
Z2
Z1
Z2
|Zn| = |Z|n
XII. ARGUMENTO DE UN NÚMERO COM-
PLEJO
 Sea P un afijo de un número complejo Z = a+bi repre-
sentando en el plano.
P
ρ
b
y
aO x
ϕ
 Determine argumento de Z a la medida del ángulo ϕ, 
formado por el segmento OP y el eje x medido en radianes 
en sentido antihorario con O ≤ ϕ < 2p. Entonces tenemos:
Sen ϕ = =y Cos ϕb
ρ
a
ρ
b = ;ρ Sen ϕ a = ρ Cos
 Reemplazando: En Z = a + bi
 Z = ρ (Cos ϕ + i Sen ϕ)
 Esa expresión es la forma trigonométrica de un número 
complejo Z = a + bi, de módulo ρ y argumento ϕ.
Ejemplo:
 Dar la forma trigonométrica a:
 Z = –1 + i
 Tenemos: a = –1; b = 1
 Módulo: ρ = ρ = ⇒(–1)2 + (1)2 2 
 Cos ϕ = ⇒ ⇒Cos ϕ Cos ϕ= =
––a
ρ
1
2 2
2
 
 Sen ϕ = ⇒ ⇒Sen Cos ϕ= =b
ρ
1
2 2
2
 Luego: ϕ = 
3p
4 (135°)
 Por lo tanto: Z = 2 
J
K
L
Cos 3p
4
 + iSen3p
4
N
O
P
 Gráficamente:
 
y
ϕ = 
1
–1 0 x
3p
4
XIII. OPERACIONES EN FORMA TRIGO-
NOMÉTRICA
	 Dados:	
 Z1 = ρ1 (Cosϕ1 + iSen ϕ1)
 Z2 = ρ2 (Cosϕ2 + iSen ϕ2)
	 Multiplicación:
 Z1 . Z2 = ρ1 . ρ2 [Cos(φ1 + ϕ2) + iSen(ϕ1 + ϕ2)]
 División:	
 
Z1
Z2
ρ1
ρ2
= Cos (ϕ1 – ϕ2) + iSen (ϕ1 – ϕ2) Con Z2 ≠ 0


	 Potenciación:	
 Zn = ρn [Cosnϕ + isen nϕ]
 Con n ∈ N (Primera fórmula de Moivre)
 
 Radicación:	W = Zn 
 w = ρn . Cos + iSen
J
K
L
J
K
L
ϕ + 2kp
n
ϕ+2kp
n
N
O
P
N
O
P


 
 Con k ∈ Z; 0 ≤ k < n (n ∈ N*)
 (Segunda fórmula de Moivre)
NÚMEROS COMPLEJOS
44 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIÁLGEBRATEMA 0
Problema	1
Si: z = 1 + 3 i, en que i es la unidad 
imaginaria entonces Z6 vale:
A) 40 B) 48 C) 56
D) 64 E) 72
Resolución:
Z6 = (Z3)2 = [(1 + 3i)3]2
= [13 + 3(1)2 3(1)( 3i)2 + ( 3i)3]2
= [1 + 3 3 i – 9 – 3 3 i]
2 = (–8)2=64
Respuesta:		64
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema	2
Si: |z+16| = 4 |z+1|. Calcular |z|
A) 2 B) 4 C) 2 2
D) 2 E) 4 2
Resolución:
Volviendo a escribir |z+16| = |4z+4|
[(z+16)+(4z+4)][(z+16)–(4z+4)]=0
(5z + 20)(–3z+12)=0
z={–4;4}, luego |z| = 4
Respuesta:		4
Problema	3
Si se cumple: x + yi 1+i=
8n+4
Hallar x.
A) 24n B) 24n+2 C) 44n+1
D) –24n+2 E) –24n+1
Resolución:
x+yi = (1+i)8n+4 = [(1+i)2]4n+2 = [2i]4n+2
x+yi = 24n+2. i4n+2 = –24n+2
i2 = –1
14243
Respuesta:–2
1. ¿Cuál debe ser el valor de x para que 
el número complejo 
 Z=(x– 4)+(x2–4x+3)i 
 sea un número real?
A) 3 B) 1 
C) 0 D) 4 
E) {1,3}
2. El módulo del número complejo 
(1+3i)4 es:
A) 256 B) 100 C) 81
D) 64 E) 16
3. La forma algebraica del número 
complejo
 Z = Cos 3p
4
+ iSen 3p
4
 es
A) –1
2
i
2
+ 
B) –1
4
i
4
+
C) + i22
2
2
 
D) +32
3i
E) + i
2
–1 2
2
4. El producto (a+bi)(3+2i) es un 
número real.
 El valor de 2a + 3b es:
A) –3 B) –2 C) 0
D) 2 E) 3
5. Sea: Z = (1+i)10
 Halle: Im(z)
A) 32 B) 10 C) 64
D) 128 E) 256
6. El cociente del número complejo 
a+ib por el número complejo no 
nulo c+id será un número real si:
A) a
b
 = c
d
 
B) a+b = c+d
C) ac = bd 
D) a+c+b+d=0
E) Ninguna respuesta anterior
7. Sean: z=1+i; w = 1 – i
 Calcule: 
E=
100J
K
L
N
O
P
z
w
A) 5 B) 2 C) 4
D) 3 E) 1
8. ¿Qué valor asume “k”, si k+3i
2–5i
 es 
un complejo imaginario puro?
A) 2 B) –2 C) 15
D) 15/2 E) 1
9. Simplificar: (1–i)
302+(1+i)301
(1+i)302+ (1–i)301
A) –i B) i C) 1
D) –1 E) 1+i
10. De la igualdad:
 (1+i)5 + (1–i)3 = a + bi
 Halle el valor de “ab”
A) 36 B) –36 C) 6
D) 30 E) –6
11. Calcule “a” para que: 
 z = 2+2ai
1+2i
 sea un complejo real.
A) 3 B) 1 C) 1/2
D) 2 E) 1/3
12. Si el resultado de:
 (1+i)2+(2+i)2+(3+i)2+...+(20+i)2
 es igual a: m+ni, halle: 7n–m
30
A) 1/2 B) 0 C) 3
D) 2 E) –3
PROBLEMAS DE CLASE
11SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 1
SNII2X1
ÁLGEBRA
TEMA 1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
DESARROLLO DEL TEMA
TEORÍA DE EXPONENTES
1 
an = a.a. .........a
n veces
144424443
2 am . an = am+n 
3 = am–na
m
an
4 a0 = 1 Si: a ≠ 0
5 a–n = 1an
an = 1
a–n
–n n
=a
b
b
a
N
O
P
N
O
P
J
K
L
J
K
L
6 
n m
= =amn
N
O
P
N
O
P
J
K
L
J
K
L
am an
7 N
P
J
L



 a
m = amnp
n
p
8 N
P
J
L



a
m . bp cr = amnqs.bpqs.crs.
14
2
4
3
14
2
4
3
n q
s
9 (a.b.c)n = an.bn.cn
10 
a
b
an
bn
N
O
P
J
K
L
n
=
11 
n
am = am/n
12 n nam amp= = amp/n
p




13 A B A.Bn n n. =
14 A
n
n
Bn
= A
B
15 m n p A = A
mnp
16 br amn.br
n nam =.
17 am br cs.
n p q =
 am/n.br/np.cs/npq
ampq.brq.csn.p.q
18 am = amn
1/n
19 ap =
m/n
anp
m
20 A = =–n
A
n n
1 1
A
21 
Si: xx
x.
..
∞
= a → x = aa
22 
..
.∞
xx
xx
xx
= x
23 A A A A=... ∞
n n n n–1
24 
A
= n+1A
A…
n n n
A
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
22 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIÁLGEBRATEMA 1
Problema 1
Si xy = 2 (donde x > 0), halle el valor 
de la siguiente expresión:
(4x
y
)x
–y . (xx
y
)
y
 + (x2)–y
2x2y – 6x–y 
A) 3 B) 11/4
C) 16/5 D) 13/4
E) 16/3
Resolución:
4x
yNO
P
N
O
P
J
K
L
J
K
L
1
xy
. +
xy 2
(xy)
1
xy
6
xyx
y
N
O
P
J
K
L
2
2 –
Reemplazando:
42
N
O
P
N
O
P
J
K
L
J
K
L
1
2
. +
(2) 2
(2)
1
2
6
2
(2)
2
2 –
= =
16 +
8 – 3
1
4 13
4
Respuesta: 13/4
PROBLEMAS RESUELTOS
25 
A A A =... n radicales 
m m m
mn
A
mn–1
m–1
26 
A
m m m =
A
A…
"n" impar
"n" radicales mn
A
mn+1
m+1
"n" par
mn
A
mn–1
m+1
27 n(n+1)+...∞
–n
=
n+1
n(n+1) +n(n+1)+
POTENCIA DE UN EXPONENTE
28 amn
p
= a m
nP
POTENCIA DE UN EXPONENTE
29 Si: ax = an; entonces x = n
30 Si: xn = an; entonces: x = a
31 Si: xx = bb; entonces: x = b
32 Si: xx = xb; entonces: x = 1; x = b
Recordar:
2n representa a un número par.
2n – 1 representa a un número impar.
n = {1,2,3,4,5,6,7,...}
(–a)2n = + (a)2n
(–a)2n–1 = –(a)2n–1
Suma de los n primeros números enteros:
1+2+3+...+n = (n+1)n
2
Suma de los cuadrados de los n primeros números 
enteros:
12+22+32+...+n2 = (n+1)(2n+1)n
6
Suma de los n primeros números pares:
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1) 
Problema 2
Si 5x = m y 5z = n, halle el valor de 
(0,04)–x+2z
A) m2.n–4 
B) m1/2.n–4
C) m2.n–1/4 
D) m–2.n4
E) m2.n4
Resolución:
1
25
N
O
P
J
K
L
–x+2z
= (5)–2x+4z
= .(5x)
–2
(5z)
4
(0,04)–x+2z = 
Reemplazando: m–2.n4
Respuesta: m–2.n4
Problema 3
Si a + b = 1 y ab = 2
Simplifique la siguiente expresión.
(ab+ba)(aa+bb)–(2a/2+2b/2)
A) ab+1 
B) ba+1
C) 1 
D) a+1
E) 0
Resolución:
Efectuando.
ab+a+(ab)b+(ba)a+ba+b–(2a/2+2b/2)
Reemplazando:
a1+ 2 b+ 2a+b1–2a/2–2b/2
a + b = 1
Respuesta: 1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
33SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 1
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN:
1. Hallar "x", si se cumple:
3x+4=272x–1
A) Cero B) 3 C) 2
D) 4/5 E) 7/5
2. Hallar "x", si se cumple:
4x.4x–1=64
A) 7/4 B) 2 C) 5/4
D) 1/2 E) 4/7
3. Hallar "x", si se cumple:
1
a3x
=
3
ax–5
A) 1 B) 0,5
C) 1,5 D) 2
E) 2,5
4. Efectuar: 
x x x x.
A) 1/x B) 1
C) x7/8 D) x
E) Otro valor
5. El equivalente de:
2x+3.(3x–1)x
6x.x–x
 es:
A) 1/8 B) 8 C) 1/6
D) 6 E) N.A.
PROFUNDIZACIÓN
6. Simplificar: 
 
156.124.59.63
1011.313.54
A) 2 B) 3 C) 1/2
D) 1 E) 5
7. Reducir:
E = 
38n.36
272n+1+93n+1
n
A) 5 B) 7 C) 11
D) 12 E) 3n
8. Calcular el valor de:
E =
–41210.185
85.546
1
0,5
N
O
P
J
K
L
A) 3 B) 2 C) 6
D) 9 E) 16
9. Hallar "x", si se cumple:
(0,001)x
27–3
–1
 = 0,0001
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 6
SISTEMATIZACIÓN
10. Hallar x en: x3+x3+x
3+x....∞ = 2
A) 5 B) 23
C) 2 D) 25
E) Otro valor
11. Reducir:
813
n 33
n
3
N
O
P
J
K
L 8
33
n+1
A) 2 B) 1/2 C) 8
D) 4 E) 1/4
12. Hallar el valor de: M = [25x+2]50x,si:
xx = (0,2)0,08
A) 8 B) 9
C) 25 D) 5
E) 125
11SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 2
SNII2X2
ÁLGEBRA
TEMA 2
NÚMEROS REALES
DESARROLLO DEL TEMA
I. DEFINICIÓN
 Los números reales (desginados por r) incluyen tanto 
a los números racionales (positivos, negativos y el cero) 
como a los números irracionales.
A. Números naturales (N)
N = {0; 1; 2; 3; 4...}
B. Números enteros (Z)
Z = {...; –2; –1; 0; 1; 2...}
C. Números racionales (Q)
Son aquellos números que se pueden expresar como 
una fracción de términos enteros.
Ejemplos:
• 6 = 18
3
 → 6 ∈ Q
• 0,2 = 1
5
 → 0,2 ∈ Q
4. Números irracionales (I)
Son aquellos números que no se pueden expresar 
como una fracción de términos enteros.
Ejemplo: 
• 5
• 7
3
• π = 3,141592...
II. AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES
A. Axiomas de la adición
1. Si a y b ∈ r → (a+b) ∈ r
 Clausura
2. Si a+b = b+a; a, b ∈ r
 Conmutatividad
3. Si (a+b)+c = a+(b+c); a, b, c ∈ r
 Asociatividad
4. Si !0/a+0 = 0+a = a; a ∈ r
 Elemento neutro aditivo
5. Si a ∈ r! (–a) ∈ r /a+(–a) = a+(–a)
 Elemento inverso aditivo
B. Axiomas de la multiplicación
1. Si a ∈ r y b ∈ r → (a.b) ∈ r
 Clausura
2. Si a.b = b.a; a.b ∈ r
 Conmutatividad
3. Si (a.b).c = a.(b.c); a.b.c ∈ r
 Asociatividad
4. Si !1/a.1 = 1.a = a; a ∈ r
 Elemento neutro multiplicativo
5. Si a ∈ r –{0}!(1/a) ∈ r /a.(1/a) = (1/a).a = 1
 Elemento inverso multiplicativo
III. RELACIÓN DE ORDEN
 Dado un conjunto A distinto del vacío donde se define r 
en A. 
 r es una relación de orden en A si verifica las siguientes 
propiedades:
• (a; a) ∈ r; ∀ a ∈ A (Propiedad reflexiva)
• Si (a; b) ∈ r; ∧ (b; a) ∈ r ⇒ a = b
 (Propiedad antisimétrica)
• (a; b) ∈ r; ∧ (b; c) ∈ r ⇒ (a; c) ∈ r
 (Propiedad transitiva)
 Entonces podremos decir que el conjunto A es ordenado 
usaremos los siguientes símbolos:
 
> "mayor que"
< "menor que"Estrictos
14
2
4
3
 
≥ "mayor o igual que"
≤ "menor o igual que"
No
estrictos
14
2
4
3
A. Clases de desigualdad
1. Desigualdad absoluta
Aquella que se verifica para todos los valores reales 
NÚMEROS REALES
22 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIÁLGEBRATEMA 2
que se asignen a las letras que intervienen en ella.
Ejemplos:
• x2+10 > 0 (Se verifica ∀ x ∈ r)
• (a–b)2 > –1 (Se verifica ∀ a; b ∈ r) 
2. Desigualdad condicional
Aquella que se verifica para determinados valores 
de sus letras (inecuaciones).
Ejemplos:
• x–5 > 3 (Se verifica solo para x>8)
• (x–1)2 ≤ 0 (Se verifica solo para x=1)
B.	 Definiciones	relativas	a	desigualdad
1. "a" es positivo ↔ a > 0
2. "a" es negativo ↔ a < 0 
3. a > b ↔ a – b > 0
4. a < b ↔ a – b < 0
5. a ≥ b ↔ a > b ó a=b
6. a ≤ b ↔ a < b ó a=b
C.	 Teoremas	relativos	a	desigualdades
Siendo a; b; c; d ∈ r
1. Si a > b ∧ b > c ⇒ a>c (Propiedad transitiva)
2. Si a > b ∧ c ∈ r ⇒ a± c >b± c
3. Si a > b ∧ c > 0 ⇒ ac >bc
4. Si a > b ∧ c < 0 ⇒ ac <bc
5. Si a>b 
 ⇒ 
c>da+c>b+d
6. Si a>b 
 ⇒ 
c<d
a–c>b–d
7. Si a; b; c tienen el mismo signo
 a<b<c ⇒ 
1
a > 
1
b > 
1
c
8. Siendo a; b; c del mismo signo
 a<b<c ∧ "n" impar ⇒ an < bn < cn
9. Siendo a<b<c ∧ "n" par
 • Si: a; b; c positivos ⇒ an < bn < cn
 • Si: a; b; c negativos ⇒ an > bn > cn
 • Si: a y c de signos contrarios ⇒ 0 < bn < mayor 
potencia hallada
IV. INTERVALOS
 Los intervalos son subconjuntos de números reales que 
gráficamente son segmentos de recta o semirecta y cuyos 
elementos satisfacen ciertas desigualdades. Son de varias 
clases:
A.	 Intervalo	cerrado
[a; b] = {x ∈ r /a ≤ x ≤ b} en el cual se incluye los 
extremos "a" y "b".
ba
x +∞–∞
B.	 Intervalo	abierto
〈a; b〉 = {x ∈ r /a < x < b} en el cual no se incluye 
los extremos "a" y "b".
ba
x +∞–∞
C.	 Intervalo	semiabierto	o	semicerrado
[a; b〉 = {x ∈ r /a ≤ x < b} 
ba
x +∞–∞
〈a; b] = {x ∈ r /a < x ≤ b}
ba
x +∞–∞
D.	 Intervalo	infinito	o	no	acotado
〈a; +∞〉 = {x ∈ r /x > a} 
a
x +∞–∞
[a; +∞〉 = {x ∈ r /x ≥ a}
a
x +∞–∞
〈–∞; b] = {x ∈ r /x ≤ b}
b
+∞–∞ x
Observaciones:
• r = 〈–∞; ∞〉
• r+ = 〈0; ∞〉
• r– = 〈–∞; 0〉
V. OPERACIONES CON INTERVALOS
A. Unión y disyunción "∪"
A ∪ B = {x ∈ r /x ∈ A ∨ x ∈ B}
Ejemplo:
Sean: 
 A = [2; 5〉 hallar "A ∪ B"
 B = [4; 7〉 
Graficando:
42 5 7
Luego: A ∪ B = [2; 7〉 
 A ∪ B = {x/2 ≤ x < 7}
B. Intersección y conjunción "∩"
A ∩ B = {x ∈ r /x ∈ A ∧ x ∈ B}
NÚMEROS REALES
33SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 2
Ejemplo:
Sean: 
 A = [4; 9〉 hallar "A ∩ B"
 B = 〈6; 12〉 
Graficando:
64 9 12
Luego: Sean A ∩ B = 〈6; 9〉 
 A ∩ B = {x/6 < x < 9}
C. Diferencia
A – B = {x ∈ r /x ∈ A ∧ x ∉ B}
Ejemplo:
Sean: 
 A = [3; 10〉 hallar "A – B"
 B = 〈5; 8〉 
Graficando:
53 8 10
Luego: A – B = [3; 5] ∪ [8; 10〉
 A – B = {x/3 ≤ x ≤ 5 ∨ 8 ≤ x < 10}
D. Complemento Ac; A'
A' = {x ∈ r /x ∉ A}
Ejemplo:
Sean: 
 A = [2; 7〉 hallar "A"
Graficando:
2 7
A' = 〈–∞; 2〉 ∪ [7; +∞〉
A' = {x/x < 2 ∨ x ≥ 7}
VI. RADICACIÓN EN r
 a
n
= b ↔ bn = a
 Donde:
 n = índice (n ∈ r)
 a = radicando (a ∈ r)
 b = raíz (b ∈ r)
 Además se debe cumplir que:
 
+Par = +
+Impar = +
–Par = No existe
–Impar = –
 Ejemplos:
• –8
3
= –2 porque (–2)3 = –8 
•   
 
29 3 3 9porque
25 5 5 25
= = 
• 33 0,027 0,3 porque ( 0,3) 0,027– = – – = –
A. Exponente fraccionario
Sea ∈ ∧
mnm Q a existe,entonces:
n
m mn nmna a a= =
Ejemplos:
• 
2 23 238 8 2 4= = = 
• ( )
1
3 31 1 1
27 27 3
– = – = –
Nota:
Recordar los tipos de exponentes estudiados:
• an = a.a.a...a; n∈ N
• 
n
n
n
1 1a
aa
  
 
– = =
• a0 = 1
• 
m
n mna a= 
B. Teoremas
Consideramos expresiones bien definidas, entonces 
se cumple:
1. Raíz de una multiplicación o división
n
n n n n
n
a aa b a b;
b b
⋅ = =
Ejemplos:
• 33 327 64 27 64
3 4
12
⋅ ⋅
⋅
– =
= –
= –
• 
3
3
3
64 64 4
27 327
= =
• 3 5 5 52 16 2 16 32 2⋅ ⋅= = = 
• 
4
4 4
4
48 48 16 2
243 81 3243
= = =
2. Raíz de una raíz
a. 
m n nma a=
 Ejemplo:
 
6
63 6 664 2 2 2= = =
b. 
nk nmk ma a=
 Ejemplo:
 
33 4 312 8 2 4 2( 3) ( 3) ( 3) 9⋅ ⋅– = – = – =
NÚMEROS REALES
44 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIÁLGEBRATEMA 2
3. Radicales sucesivos
a. 
m p mnpn m mna b c a b c⋅ ⋅=
 Ejemplo: 
 
3 5 30630 3049 64 2 49 64 2⋅ ⋅=
 = 7.2.2 = 28
b. 
(an+b)p c
pm na b c mnpx x x x
+
= 
 Ejemplo: 
 
(2 4 3)5 1 28
3 4 52 3 60 155 5 5 5 5
⋅ + +
= =
C.	 Radicales	dobles
A B x y± ±=
• Caso I
a b 2 ab a b;a 0;b 0> >+ + = +
 
a b 2 ab a b;a 0;b 0> >+ – = –
Ejemplo:
38 2 72 36 2 2 36(2)
36 2 6 2
+ = + +
= + = +
• Caso II
2
a c a ca b
2 2
donde : c a b
± ±+ –=
= –
Nota:
• a2 – b es un cuadrado perfecto
 
Ejemplos:
• 
2
7 40 ;a 7 b 40
c 7 40 9 3
∧+ = =
= – = =
• 7 3 7 37 40
2 2
5 2
∴ + –+ = +
= +
VII. RACIONALIZACIÓN
 Consiste en transformar una fracción con denominador 
irracional a una fracción equivalente con denominador 
racional.
•	 Factor	racionalizante	(F.R.)
Dados: 
 N: Numerador de la fracción
 Di: Denominador irracional
 Dr: Denominador racional
eq
N F.R. N F.R.F F
Di F.R. Dr
⋅⋅ →= =
Principales casos
Denominador 
irracional 
Factor 
racionalizante
Denominador 
racionalizado
Condición 
básica
n ma n n ma – a n > m
a b
a b
+
–
a b
a b
–
+
a – b
a – b
a; b ∈ R+
3 3
3 3
a b
a b
+
–
2 23 3 3
2 23 3 3
a ab b
a ab b
– +
+ +
a + b
a – b
a; b ∈ R+
Ejemplos:
• 
5 5 52 2 2
5 5 5 53 3 2 5
N N m N m N m
mm m m m
⋅= = =
• 
( )
( )
2 5 32 2 5 3
5 35 3 5 3 5 3
2 5 3 5 3
2
⋅ ––= =
–+ + –
–= = – 
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Halle el conjunto de los números reales 
x, tal que la suma del número x y su 
inverso multiplicado sea mayor que 2.
A) {x ∈ R /x > 0 ∧ x ≠ 1}
B) {x ∈ R /x > 1}
C) {x ∈ R /x < 1}
D) {x ∈ R /x < –1}
E) {x ∈ R /x ≠ 0}
UNMSM 2011 - II
NIVEL INTERMEDIO
Resolución:
(x –1)2 >0; x ≠ 1
x2 –2x+1 > 0 ⇒ x2+1> 2x
Si x > 0 ⇒ x
2+1
x
 >2
x + 1
x
 > 2
∴{x ∈ R /x > 0 ∧ x ≠ 1 }
Respuesta: {x ∈ R /x > 0 ∧ x ≠ 1}
NÚMEROS REALES
55SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 2
Problema 2
Si b > 0; a2 ≤ b y a b1
2 b
≤ + , 
determine b a+
A) 2 ab 
B) 3a 
C) 2b 
D) 2a 
E) 2 
UNMSM 2011 - II
NIVEL INTERMEDIO
Resolución:
• De 2a b b a b...(I)≤ ⇒ ≤ ≤–
• De a b1 2 b a b
2 b
b a...(II)
≤ ⇒ ≤
≤
+ +
De (I) y (II) a b a b
a b
≤ ∧ ≥
∴ = 
 b a a a 2a⇒ + = + =
Respuesta: 2a
Problema 3
Si a y b son dos números reales positivos 
y 1
2
 ≤ 
ab
a+b
 determine el valor de a2–b2.
A) 1 B) 0 C) 3
D) 5 E) 7
UNMSM 2005 - II
NIVEL INTERMEDIO
Resolución:
Del dato: a+b
2
 ≤ ab
Pero: a+b
2
 ≥ ab
Esto solamente se cumple si: a=b
Luego: a2–b2=0
Respuesta: 0
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN
1. Si 1 < x ≤ 5, halle la variación de:
 E = x2 – 6x + 13
A) 〈4; 8〉 B) 〈–4; 8〉
C) [4; 7] D) [–6; 13]
E) [4; 8]
2. Simplificar:
1 2 1N
2 1 3 1 3 2
= + –
+ – +
A) 2 2 B) 2 3
C) 2 D) 3
E) 3 2
3. Halle el denominador racionalizado de:
5 3 2
nE
m n
=
A) m B) n C) m2 
D) mn E) m2n2
4. Indique el numerador luego de 
racionalizar:
7 4 5
6xT
9x y
=
A) 7 xy B) 7 2 26 x y
C) 7 3 22 x y D) 7 2 32 6x y
E) 3 22 243x y
5. Reducir:
5 3 5 3
5 3 5 3
+ ––
– +
A) 2 5 B) 3 6 C) 2 3 
D) 2 15 E) 2 6
PROFUNDIZACIÓN
6. Si A = 〈–7;–1〉 ∪ 〈4;12]; 
 B = 〈–∞;–3〉 ∪ 〈7;19]
 halle la suma del mayor valor entero 
negativo, con el menor valor entero 
positivo.
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 7
7. Sean los conjuntos:
 A = 〈–∞;2〉 ∪ [7;+∞] y 
 B = 〈4;10〉
 indique el conjunto A'∩B
A) 〈4;7〉 B) [4;7] C) 〈4;7]
D) 〈2;7] E) [2;7〉
8. Transformar a radicales simples:
12 140+
A) 7 5– B) 7 5+
C) 35 1+ D) 7 2 3+
E) 3 2–
9. Efectuar:
A 9 80 7 48 8 60= + + – – –
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8
SISTEMATIZACIÓN
10. Calcular el valor de (a–b) si se 
cumple:
11 4 x 3 ; x [ 1;7]
a 8x 18 b
≤ ≤ ∀ ∈+ –
+
A) 62 B) 63 C) 64 
D) 65 E) 66
 
11. Indicar el denominador después de 
racionalizar:
9 9
6E
1000 8
=
+
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5
12. Reducir:
T 38 12 2 26 8 3 1= + + – +
A) 6 B) 3+ 2
C) 6– 1 D) 6 + 1
E) 3– 2
11SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 3
SNII2X3
ÁLGEBRA
TEMA 3
ECUACIONES E INECUACIONES 
LINEALES DE SEGUNDO GRADO
DESARROLLO DEL TEMA
I. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Ó 
ECUACIÓN LINEAL
 Forma: ax + b = 0; a ≠ 0 . Donde: "x" es la incógnita 
de la ecuación, además: 
 
C.S. = –
b
a
 
 Análisis de la ecuación paramétrica ax + b = 0
 Se presentan los siguientes casos:
•	 Si:	a	≠ 0 ⇔ la ecuación es compatible determinado 
también llamada ecuación consistente determinado 
(tiene un número finito de soluciones, para la ecuación 
analizada tiene solución única)
•	 Si:	a	= 0 ∧ b = 0 ⇔ la ecuación es compatible 
indeterminado también llamada ecuación consistente 
indeterminado (tiene infinitas soluciones)
•	 Si:	a	= 0 ∧ b ≠ 0 ⇔ la ecuación es incompatible ó 
inconsistente también llamada ecuación absurda (no 
no tiene solución)
II. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Ó 
ECUACIÓN CUADRÁTICA
 Forma: ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0 . Donde: "x" es la 
incógnita de la ecuación.
 
 Resolución:
•	 Factorizando:	 aplicaragrupación	 de	 términos,	
identidades ó aspa simple.
•	 Por	fórmula	general:	
 2
1,2
b b 4acx
2a
±– –=
 
 
•	 Completando	cuadrados:	formar	un	trinomio	cuadrado	
perfecto.
III. PLANTEO DE ECUACIONES 
	 Para	resolver	el	problema	relativo	a	números	o	cantidades	
desconocidos se debe expresar una información escrita 
en idioma normal, en el simplificado idioma de las 
proposiciones matemáticas, las cuales nos permiten 
operar con mas comodidad y rapidez que otros 
procedimientos. Esto implica realizar una especie de 
traducción	de	situaciones	de	la	vida	real,	al	simbolismo	
matemático, tarea que constituye el argumento más útil 
en todo el proceso de solución.
 Procedimiento para resolver problemas
 Seguir las siguientes pautas:
1. Representación de las cantidades desconocidas o 
incógnitas	por	variables	(x;	y;	z;	etc) 
2. Planteo	 de	 las	 ecuaciones	 que	 relacionan	 a	 las	
incógnitas con los datos del problema.
3. Solución de las ecuaciones planteadas, esto es 
determinar	los	valores	de	las	variables.
4.	 Prueba	o	verificación	de	los	valores	obtenidos	para	
ver	si	cumplen	las	condiciones	del	problema.
IV. INECUACIÓN DE PRIMER GRADO Ó 
INECUACION LINEAL
 Forma:
 
ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0; ax + b < 0; ax + b > 0; a ≠ 0
 Donde: "x" es la incógnita de la inecuación.
	 Para	 realizar	 la	 solución,	 tener	presente	 los	 siguientes	
teoremas.
• a + c > b + c; a; b; c ∈ R
•	 Si:	a	>	b,	entonces:	ac	>	bc;	c	>	0
•	 Si:	a	>	b,	entonces:	ac	<	bc,	c	<	0
•	 Si:	a	>	b,	entonces:	 a
c
 > b
c
; c > 0
•	 Si:	a	>	b,	entonces:	 a
c
 < b
c
; c < 0
ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO GRADO
22 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIÁLGEBRATEMA 3
V. INECUACIÓN CUADRÁTICA
 Forma general: P(x) = ax
2 + bx + c 0; a ≠ 0
 Donde: {a;b,c} ⊂ R.
 Del rectángulo se obtiene:
 ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx+c < 0; ax2 + bx + c ≥ 0; 
ax2 + bx + c ≤ 0 .
 La solución de la inecuación depende del primer 
coeficiente	y	del	discriminante:	∆ = b2 – 4ac.
 Primer caso:
 Si: ∆ > 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, es 
factorizable	en	el	campo	real,	para	resolver	utilizaremos	
el método de los puntos críticos.
 a(x – x1) (x – x2) 0
 Procedimiento: 
1. Se factoriza el polinomio.
2. Hallar los dos puntos criticos, luego se ordenan en la 
recta real en forma creciente.
3.	 Es	indispensable	que	el	primer,	coeficiente	de	cada	
factor	lineal	se	positivo,	por	ellos	se	colocan	entre	los	
puntos criticos los signos (+) y (–) alternadamente de 
derecha a izquierda; comenzando por el signo (+).
4. Si tenemos: 
	 P(x) = ax
2 + bx +	c	<	0	ó	P(x) = ax
2 + bx + c ≤ 0
	 El		conjunto	solución	estará	formado	por	los	intervalos	
donde aparezca el signo (–).
 En forma análoga: 
	 P(x) = ax
2 + bx +	c	>	0	ó	P(x) = ax
2 + bx + c ≥ 0
 Segundo caso:
 Si: ∆ = 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, se transforma 
a un trinomio cuadrado perfecto de la forma: (x + n)2 .
	 Resolviendo	cada	una	de	las	desigualdades:
 a. (x + n)2 ≤ 0 → se	verifica	C.S	= R
 b. (x + n)2 > 0 → se	verifica	x	∈ R – {–n}
 c. (x + n)2 < 0 → se	verifica	x	=	φ
 d. (x + n)2 ≤ 0 → se	verifica	C.S	= {–n}
 Tercer caso:
 Si: ∆ = 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, se transforma 
a	un	cuadrado	perfecto	más	un	cierto	número	real	positivo,	
de la forma: (x + n)2 + k; k > 0
	 Resolviendo	cada	una	de	las	desigualdades:
 a. (x + n)2 + k > 0 → 	se	verifica	
A
 x ∈ lR
 b. (x + n)2 + k ≥ 0 → 	se	verifica	
A
 x ∈ lR
 c. (x + n)2 + k < 0 → C.S = φ
 d. (x + n)2 + k ≤ 0 → C.S = φ
 Teorema del trinomio positivo
	 Si	 el	 polinomio:	P(x) = ax
2 + bx + c; {a; b; c} ⊂ R 
tiene discriminante (∆ = b2 –	4ac)	negativo	y		(a	>	0),	
entonces: ax2 + bx + c > 0; ∀ x ∈ R
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Si las ecuaciones en "x"
x2 + x + 2 = 0
x2 + 2x +b = 0
Tienen una raíz común, calcule:
5(a – b)2
b – 2a
 ; b ≠ 2a
A) 5 B) 4 C) 6
D) 1 E) 3
 UNMSM 2014 - I
NIVEL INTERMEDIO
Resolución:
Sea "n" la raíz común de ambos 
ecuaciones, reemplanzando:
 
n2 + n + a = 0
n2 + 2n + b = 0
– n + a – b = 0
 n = a – b
(–)
Luego, reemplazamos en la primera 
ecuación: (a – b)2 + (a – b) + a = 0
 (a – b)2 = b – 2a 
Nos piden: 
 
5(b – 2a)
b – 2a
= 5=
5(a – b)2
b – 2a
Respuesta: 5
Problema 2
En	 una	 fiesta	 se	 observa	 que	 en	 un	
determinado instante el número de 
parejas que bailan es la mitad del 
número de hombres que no bailan y el 
número de mujeres que no bailan es el 
cuádruple del número de hombres que 
bailan. Si en total hay 120 personas, 
¿cuántos	hombres	hay	en	dicha	fiesta?	
A) 30 B) 15 C) 45
D) 60 E) 75
UNMSM 2014 - I
NIVEL INTERMEDIO
Resolución:
Del enunciado:
Hombres
Bailan
No Bailan
x x
2x 4x
Mujeres
Total de personas =
x + x + 2x + 4x = 120
 x = 15
Nos piden:
El numero de hombres = 3x = 3(15)
 =45
Respuesta: 45
Problema 3
El número de canicas que tiene Andrés 
es mayor en 10 que el cuadrado de un 
número N y menor en 3 que el cuadrado 
del número N+1. ¿Cuántos canicas 
tienen	Andrés?
A) 26 B) 36 
C) 46 D) 42 
E) 48
UNMSM 2013 - II
NIVEL INTERMEDIO
Resolución:
Sea "x" el número de canicas de Andrés .
Del enunciado:
x = N2 + 10
x = (N + 1)2 – 3
Igualando: 
N2 + 10 = (N + 1)2 – 3
→ N = 6
Se pide: 
x = 62 + 10 = 46
Respuesta: 46 
ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO GRADO
33SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 3
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN
1. Sea la ecuación de incognita "x": 
 (2m – 10)x + (m2 – 5) = 0 es 
compatible determinado, indique 
el	valor		que	no	puede	tomar	"m".
A) 3 B) 5 
C) 7 D) 9 
E) 11
2. Resolver:	3x2 – 6x – 1 = 0
A) 3 2 3
3
+ B) 3 3
3
+ 
C) 3 3
3
– D) 2 3 3
3
– 
E) 1
3. La suma de los cuadrados de 
2	 números	 enteros,	 positivos	 y	
consecutivos	 es	 113.	 Hallar	 el	
cuádruplo del menor, disminuido 
en 4.
A) 20 B) 28 C) 24 
D) 32 E) 35
4. Resolver:	
 2 – [4 – (x – 1)+2(x – 3)] ≤ x – [2 – 3x]
A) x ≤ 1 B) x ≥1 
C) x ≥ 0 D) x ≤ 4 
E) x < 2
5. Resolver:	2x2 – 7x + 6 ≤ 0
A) [2; +∞> B) [– 3/2; 2] 
C) [3/2; 2] D) <–∞; 2] 
E) <4; +∞ >
PROFUNDIZACIÓN
6. Resolver:	
2 2x(a b) (a b) (a b)(x 1) x 1
a b 1
+ + + – + + + +
+ +
es igual a: a2 + b2 – a – b + 1+2ab
A) a – b B) a + b 
C) a2 – b2 D) a + ab +1
E) a + 1
7. Indicar una de las raíces de la 
ecuación: x2 + x + 1 = 0/	i	=	 – 1
A) 1 3
2
– + B) 
1 3
2
– –
C) 1 3 i
2
– + D) 1 3 i
2
+
E) 1 8 i
2
–
8. Resolver:	
 (x + 1) (x + 2) (x + 3) ≤ x3 + 6x2 
+ 10x + 12 
A) x ≤ 1 
B) x ≤ 4 
C) x ≤ 6 
D) x ≥ 6 
E) x ∈ φ
9. Resolver:	
x2 + 2x – 1 < 0
A) <– 2; 2> 
B) <– 2–1; – 2+ 1> 
C) <1 – 2; 1+ 2> 
D) <– 2 –1; 2 – 1> 
E) <–2 – 2; 2 – 2>
10. Resolver	el	sistema:	
 5x – 1 < x2 + 2x + 1<7x – 3
A) ] –∞; 2[ 
B) ] 4; +∞[ 
C) ] 1; 5[ 
D) ] –∞; 2[ ∪ ]– 4; +∞[
E) ]2; 4[
SISTEMATIZACIÓN
11. En la siguiente ecuación: 
 
22
2
2y y 1x x 2 5
x 1 2y 1+
– –+ – + =
–
 Determinar	el	valor	de	"y"	si	x	= 1
A) 1 
B) 0,1 
C) 0 
D) –3 
E) A ó D
12. Al	resolver:	
 (x – 2) (x + 1)(x– 3) > (x – 1)(x+2)
(x+4) se obtiene como conjunto 
solución: x ∈ < a; b>. 
 Indique "a + b".
A) 2/3 B) –1/9
C) –9 D) 1/3 
E) –3
11SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 4
SNII2X4
ÁLGEBRA
TEMA 4
VALOR ABSOLUTO Y 
NÚMEROS COMPLEJOS
DESARROLLO DEL TEMA
El valor absoluto de un número real “x”, se define como aquel 
número real no negativo que se denotas por |x| donde:
|x| = , 0
,
x si x
x si x 0<
$
-
)
Ejemplos:
• |6| = 6, solo se borran las barras, pues 6 es positivo
• |–8| = –(–8) = 8; al borrar las barras se cambia de signo 
de –8 a 8, pues –8 es negativo
• |3| = 3 puesto que 3 > 0
• |–4| = –(–4) = 4 puesto que –4 < 0
• |x2+x+1| = x2+x+1 porque x2+x+1 > 0, ∀ x ∈ R
PROPIEDADES
1. El valor absoluto de un número real nunca es negativo, 
es decir:
|x| ≥ 0; ∀ x ∈ R
2. Si dos número reales se diferencian sólo en el signo sus 
valores absolutos son iguales, es decir:
|–x| = |x|; ∀ x ∈ R
3. El cuadrado del valor absoluto de un número real es igual 
al cuadrado dedicho número real
|x|2 = x2; ∀ x ∈ R
4. |x.y| = |x||y|; ∀ x, y ∈ R
5. y
x
y
x
= ; y ≠ 0
6. x2 = |x|; ∀ x ∈ R
DESIGUALDAD TRIANGULAR
El valor absoluto de la suma de dos número reales “x” e “y” es 
menor o igual que la suma de los valores absolutos de “x” e “y”.
|x + y| ≤ |x| + |y| ↔ x, y ∈ R
|x + y| = |x| + |y| ↔ xy ≥ 0
|x + y| < |x| + |y| ↔ xy < 0
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Vienen a ser igualdades condicionales, los cuales frecuentemente 
se presentan en las siguientes formas:
|x| = 0 ↔ x = 0
|x| = y ↔ [y ≥ 0 ∧ (x = y ∨ x = –y)
|x| = |y| ↔ (x = y ∧ x = –y)
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Vienen a ser desigualdades relativas, las cuales frecuentemente 
se presentan en las siguientes formas:
|x| < y ↔ [y > 0 ∧ (–y < x < y)
|x| > y ↔ (x < –y ∨ x > y)
|x| < |y| ↔ |x|2 < |y|2 ↔ x2 < y2
VALOR ABSOLUTO
VALOR ABSOLUTO Y NÚMEROS COMPLEJOS
22 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIÁLGEBRATEMA 4
Al resolver la ecuación x2 + 4 = 0, obtenemos las raíces –4 
y – –4, o sea números no reales.
Si consideramos U = R, tenemos como conjunto solución el 
conjunto vacío, esto es, S=∅.
La solución de ecuaciones de este tipo pasan a ser posibles 
debido a la introducción de un elemento matemático, 
denominado unidad imaginaria, que será indicado por la letra 
i tal que:
i = –1 o i2 = –1
En manuscritos fechados en 1777 y publicado posteriormente 
en 1794, el matemático suizo, Leonhard Euler (1707-1783) fue 
el primero en utilizar la letra i para representar –1.
A partir de la unidad imaginaria, comienza a configurarse 
un nuevo conjunto, el de los números complejos, que será 
indicado por C.
I. POTENCIAS DE I
Vemos ahora como podemos calcular potencias de i.
i0 = 1
i1 = i
i2 = – i
i3 = i2.i = (–1)i = –i
i4 = i3.i = (– i)(i) = –i2=1
i5 = i4.i = (1)(i) = i
i6 = i5.i = (i)(i) = i2=–1
i7 = i6.i = (–1)(i) = –i
i8 = i7.i = (– i)(i) = –i2 = 1
 Observamos los valores obtenidos para esas potencias 
verificamos que ellas se realicen cada grupo de cuatro 
potencias, asumiendo los valores de:
1, i, –1 y – i
II. PROCESO PRÁCTICO PARA CALCU-
LAR POTENCIAS DEL I
 Dado in, con n ∈ N tenemos:
 
n n=4k+r⇒4
krresiduo
 El resto de la división de n por 4 seria siempre uno de 
estos valores: 0,1,2 ó 3
in = i4k+r = in = iri4k . ir ⇒
siempre 
igual a 1
 Por lo tanto el valor de la potencia i depende del resto r, 
observe el cuadro.
Valor de r 0 1 2 3
Valor de ir 1 i –1 –i
Ejemplos:
i250 i250=i2 = –1→ →250 4622
i931 i931=i3 = –i→ →931 42323
III. FORMA ALGEBRAICA DE UN NÚMERO 
COMPLEJO
 Todo número complejo puede ser expresado con la forma.
z = a + bi
 Denomina forma algebraica, en el cual a y b son números 
reales e i es la unidad imaginaria.
 El número a es la parte real de z y lo indicamos por Re(z) =a
 El número b es la parte imaginaria de z y lo indicamos por 
Im(z)=b.
• Si Re (z) = 0, entonces z es un número imaginario puro.
• Si Im(z) = 0, entonces z es un número real.
Todo número real a es un número complejo a + Oi 
Luego R ⊂ C.
Podemos visualizar esa relación de inclusión en el diagrama.
C
R
Ejemplos:
z = 2 + 7i ⇒ Re (z) = 2 e IM (z) = 7
z = –4i ⇒ Re (z) = O e IM (z) = – 4
IV. IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
 Dos números complejos Z1=a+bi e Zz = a+bi e 
Zz = c+di.
 Son iguales si y solamente si, sus partes reales e 
imaginarias fueron respectivamente iguales o sea:
Z1= Z2 ⇔ a+bi = c+di ⇔ a = c y b = d
V. OPERACIONES CON NÚMEROS COM-
PLEJOS EN LA FORMA ALGEBRAICA 
A. Adición
Sean los números Z1 = a + bi y Z2 = c + di, con a,b, 
c d ∈ R. Entonces tenemos:
Z1+Z2 = (a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i
Parte
real
Parte 
imaginaria
    
NÚMEROS COMPLEJOS
VALOR ABSOLUTO Y NÚMEROS COMPLEJOS
33SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 4
•	 Ejemplo:
Siendo Z1 = 3+4i y Z2 = –1+2i
Determinar: Z1 + Z2
Z1 + Z2 = (3+4i) + (–1+2i) = (3–1)+(4+2)i
 = 2+6i
B. Sustracción
Sean los números complejos Z1 = a + bi y Zz = c + 
di con a, b, c, d ∈ R, entonces tenemos:
Z1–Z2 = (a+bi) + (c+di) = (a–c)+(b–d)i
Parte
real
Parte 
imaginaria
    
•	 Ejemplo:
Siendo Z1 = 5+i y Z2 = –1+3i
Determinar: Z1 – Z2
Z1 – Z2 = (5+i) – (–1+3i) = 5+i+1–3i
Z1 – Z2 = (5+1) + (i–3i) = 6 – 2i
C. Multiplicación
Consideremos los números compuestos Z1 = a + bi 
y Z2 = c + di con a, b, c, d ∈ R, entonces tenemos:
Z1 . Z2 = (a+bi) . (c+di) = ac + adi + bci + bdi
2
Z1 . Z2 = ac + adi + bci + bd (–1) = ac + adi + bci – bd
Z1 . Z2 = (ac – bd) + (ad + bc) i1442443 1442443
Parte
real
Parte 
imaginaria
•	 Ejemplo:
Siendo Z1 = 2 – 3i y Z2 = 1 + i determine Z1 . Z2
Z1 . Z2 = (2 – 3i)(1+i) = 2 + 2i – 3i – 3i
2
Z1 . Z2 = 2 + 2i – 3i + 3 = 5 – i
VI. CONJUGADO DE UN NÚMERO COM-
PLEJO
 Dado un número completo Z = a + bi, denominamos 
conjugando de Z al número complejo.
Z = a – bi
Ejemplo:
Si: Z = 2 + 5i entonces: Z = 2– 5i
 Z = –4 + 2i entonces: Z = –4–2i
Observación:
El conjugado de un número real es el propio número.
VII. PROPIEDADES DEL CONJUGADO
 Sean Z1, Z2 y Z3, números complejos cuales quiera.
 Entonces son validos las siguientes propiedades.
• Z1 + Z2 = Z1 + Z2
• Z1 . Z2 = Z1 . Z2
• Z = Z ⇒ Z ∈ R
• (Z) = Zn, con n ∈ N
n
• Z Z=
VIII. DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS 
EN FORMA ALGEBRAICA
Sean los números complejos Z1 y Z2 con Z2 ≠ 0.
 El número complejo Z1
Z2
 es obtenido multiplicando 
el numerador y denominador por conjugado del 
denominador, esto es:
 
Z1
Z2
Z2
Z2
.
Ejemplo:
Siendo Z1 = 5 + 3i y Z2 = 1– 4i. Calcular 
Z1
Z2
Z1
Z2
= =.5 + 3i
1 – 4i
1 + 4i 
1 + 4i
5 + 20i + 3i + 12i2
1–16i2
Z1
Z2
= =
–7+23i
17
5 + 20i + 3i – 12
1+16
Z1
Z2
= +
–7
17
23i
17
IX. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE 
UN NÚMERO COMPLEJO
 Actualmente a la siguiente representación es conocida 
como Argand – Gauss.
 Ahora observe en el grafico la representación de un 
número complejo Z = a + bi, a, b ∈ R.
P(a,b)
y Eje imaginario
b
a x(eje real)
 Al punto P en el plano se le denomina afijo de Z.
 Podemos también indicar un número complejo Z = a + bi
 Como un par ordenado esto es: Z = (a,b)
VALOR ABSOLUTO Y NÚMEROS COMPLEJOS
44 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIÁLGEBRATEMA 4
X. MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
 Sea P el afijo de un número complejo Z = a + bi, 
denominase módulo de Z a la distancia de P hacia el 
origen (O, O).
 El módulo de Z será indicado por |Z| o por la letra griega ρ.
 Gráficamente tenemos:
P
ρ
b
y
aO x
 Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo 
rectángulo vemos:
ρ2 = a2 + b2 = ⇒ ρ a2 + b2
 Por lo tanto el módulo de un número complejo Z es dado por:
|Z| = =ρ a2 + b2
Observación:	ρ es real no negativo
Ejemplo: Calcular el módulo de:
Z = –3 + 4i
a = –3; b = 4 entonces:
r = = = = 5(–3)2 + 42 9 + 16 25
XI. PROPIEDADES DEL MÓDULO
|Z| ≥ 0
|Z1 . Z2| = |Z1| . |Z2|
|Z| = 0 ⇔ Z = 0
|Z| = |Z|
= (Z2 ≠ 0)
Z1
Z2
Z1
Z2
|Zn| = |Z|n
XII. ARGUMENTO DE UN NÚMERO COM-
PLEJO
 Sea P un afijo de un número complejo Z = a+bi repre-
sentando en el plano.
P
ρ
b
y
aO x
ϕ
 Determine argumento de Z a la medida del ángulo ϕ, 
formado por el segmento OP y el eje x medido en radianes 
en sentido antihorario con O ≤ ϕ < 2p. Entonces tenemos:
Sen ϕ = =y Cos ϕb
ρ
a
ρ
b = ;ρ Sen ϕ a = ρ Cos
 Reemplazando: En Z = a + bi
 Z = ρ (Cos ϕ + i Sen ϕ)
 Esa expresión es la forma trigonométrica de un número 
complejo Z = a + bi, de módulo ρ y argumento ϕ.
Ejemplo:
 Dar la forma trigonométrica a:
 Z = –1 + i
 Tenemos: a = –1; b = 1
 Módulo: ρ = ρ = ⇒(–1)2 + (1)2 2
 
 Cos ϕ = ⇒ ⇒Cos ϕ Cos ϕ= =
––a
ρ
1
2 2
2
 
 Sen ϕ = ⇒ ⇒Sen Cos ϕ= =b
ρ
1
2 2
2
 Luego: ϕ = 
3p
4 (135°)
 Por lo tanto: Z = 2 
J
K
L
Cos 3p
4
 + iSen3p
4
N
O
P
 Gráficamente:
 
y
ϕ = 
1
–1 0 x
3p
4
XIII. OPERACIONES EN FORMA TRIGONO-
MÉTRICA
	 Dados:	
 Z1 = ρ1 (Cosϕ1 + iSen ϕ1)
 Z2 = ρ2 (Cosϕ2 + iSen ϕ2)
	 Multiplicación:
 Z1 . Z2 = ρ1 . ρ2 [Cos(φ1 + ϕ2) + iSen(ϕ1 + ϕ2)]
 División:	
 
Z1
Z2
ρ1
ρ2
= Cos (ϕ1 – ϕ2) + iSen (ϕ1 – ϕ2) Con Z2 ≠ 0


	 Potenciación:	
 Zn = ρn [Cosnϕ + isen nϕ]
 Con n ∈ N (Primera fórmula de Moivre)
 
 Radicación:	W = Zn 
 w = ρn. Cos + iSen
J
K
L
J
K
L
ϕ + 2kp
n
ϕ+2kp
n
N
O
P
N
O
P


 
 Con k ∈ Z; 0 ≤ k < n (n ∈ N*)
 (Segunda fórmula de Moivre)
VALOR ABSOLUTO Y NÚMEROS COMPLEJOS
55SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 4
Problema	1
Halle la suma de los cuadrados de las 
raíces de la ecuación: 2|x – 3|2 – 7|x 
– 3| + 3 = 0
A) 105/2 B) 97/2 C) 109/2
D) 117/2 E) 113/2
UNMSM 2006-II
Resolución:
Haciendo |x – 3| = a
Entonces:
2a – 7a + 3 = 0 
 2a –1
 a –3
a = 1/2; a = 3
|x–3| = 1/2 |x–3|= 3
x = {7/2,5/2}; x = {6,0}
∑ cuadrados: 109/2
Respuesta:	109/2
Problema	2
Si: a, b y c son las soluciones no negativas 
de la ecuación ||x – 3| – 5| = 0 entonces 
el valor de a + b + c es:
a) 16 b) 12 c) 6
d) 2 e) 10
Resolución:
|x – 3| – 5 = 2 ∨ |x – 3| – 5 = –2
|x – 3| = 7 ∨ |x – 3| = 3
x = {10, –4} ∨ x = {6,0}
Soluciones no negativas
{10, 6, 0}
\ ∑16
Respuesta:	16
Problema	3
Halle el conjunto solución de la ecuación
|3x + 2| – |x – 1| = 2x + 3
A) [1+∞〉
B) {–3/2}
C) {–3/2} ∪ [1+∞〉
D) [1+∞〉 – 21 – 
7
3
n
n
1
1
-
+
E) R
UNMSM 2010-II
Resolución:
I) x < – 2/3 ∧ 
/ ( )
x x x
x OK
3 2 1 2 3
3 2
- - + - = +
=-
)
II) –
3
2 ≤ x < 1∧ 
( )
x x x3 2 1 2 3
1 3 Q
+ + - = +
=
)
III) x ≥ 1 ∧ 
( )
x x x3 2 1 2 3
3 3 R
+ - + = +
=
)
 x ≥ 1
\ C.S. : {–3/2} ∪ [1,+∞〉
Respuesta:	{–3/2}	∪ [1,+∞〉
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS RESUELTOS
EJERCITACIÓN
1. Resolver: |3x – 4| > 8
 e indique el menor elemento entero 
positico del conjunto solución
A) 4 B) 3 C) 5
D) –2 E) 1
2. Resolver: |4x – 5| ≤ 7
A) [–1/2; 3] B) [–2; 12]
C) [–7; 7] D) [–2; 3]
E) [–1/2; 12]
3. Si i3 4+ = x + yi
 Calcule: x2 + y2
A) –25 B) 4 C) 2
D) 5 E) 5
4. Calcule:
 (1 + i)2 + (1 – i)2 + 
i
i
i
i
1
1
1
1
-
+ +
+
-
A) 4i B) 2i C) 0
D) –2i E) –4i
5. Sean Z, W, ∈ C, tal que:
 Z + W = 3 + 4i
 Z + W = 3 + bi
 Halle: Re(Z) + Re(W) – b
A) 3/2 B) 4 C) 7
D) 2 E) 5/4
PROFUNDIZACIÓN
6. Calcula “a” para que el complejo 
sea real:
 Z = 
i
ai
1 2
2
+
-
A) 2 B) 4 C) –4
D) 8 E) –2
7. Resolver: |3x – 2| = x – 4
A) {–1} B) 
2
3' 1
C) ;1
2
3-' 1 D) ∅
E) R
8. Sea Z = 2 + 3i. Calcule el área de 
la figura que se forma al unir los 
afijos de Z, Z, Z*
A) 14 B) 6 C) 10
D) 12 E) 16
9. Resolver:
| |
| |
x
x
2 3
1 0#
-
-
 y dé como respuesta la suma de 
elementos enteros del conjunto 
solución
A) –1 B) 0 C) 2
D) 3 E) –3
SISTEMATIZACIÓN
10. Halle el conjunto solución de:
 | |x3 2 1#- -
A) [–1;5]
B) 〈–∞;0] ∪ [4;+∞〉
C) [–1;0] ∪ [4;5]
D) 〈–1;0] ∪ 〈 4;5]
E) ∅
11. Sean: a; b; x; y ∈ R tal que |a – b| 
+ |x + y| = 0, calcular:
b
a
y
x+
A) 1 B) 2 C) 0
D) –1 E) –2
12. Sea el número complejo Z = (2 – 2i)n 
donde n ∈ N*. Si |Z| = 512, el 
número n es:
A) primo
B) cuadrado perfecto
C) divisores
D) múltiplo de 4
E) divisible por 3
11SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 5
SNII2X5
ÁLGEBRA
TEMA 5
POLINOMIOS
DESARROLLO DEL TEMA
Este polinomio tiene la forma:
P(x) = a0x
n + a1x
n – 1 + a2x
n – 2 + ... + an
Presenta los siguientes elementos:
Grado: Es el mayor exponente de la variable "x": n.
Coeficiente principal: Es el coeficiente del término que 
contiene el grado del polinomio: a0.
Término independiente: Es aquel en el cual no está presenta 
la variable "x": an
I. VALOR NUMÉRICO (V. N.)
 Es el valor del polinomio que se obtiene al reemplazar la 
variable por un valor constante. 
 Ejemplo: 
 Sea: 
P(x) = 3x
2 – 4x + 1
 Reemplazamos la variable "x" por el valor de 2, 
obteniendo:
P(2) = 3. 2
2 – 4.2 + 1 = 5
A. Cambio de variable
Es aquella expresión que se obtiene al reemplazar la 
variable original por otra variable.
Ejemplo:
Sea: P(x) = 3x2 – 4x + 1
Reemplazamos la variable "x" por la nueva variable 
"m – 3"
Obtenemos: P(m – 3) = 3(m – 3)2 – 4(m – 3) + 1
B. Valores numéricos notables
Los valores numéricos notables determinan la 
suma de coeficientes y el término independiente 
remplazando la "variable" por el valor de uno y cero 
respectivamente.
 
Σ coeficientes = P(1)
 
Término independiente = TI = P(0)
II. OPERACIONES CON POLINOMIOS
A. Adición de polinomios
Al sumar polinomios se reducirán sus términos 
semejantes. Aquellos que no lo sean; serán colocados 
conservando su propio signo.
 Ejemplo:
1. Dados los polinomios: 
 P(x) = 7x2 + 3x – 5
 Q(x) = 5x2 – 2x + 9
 Calcular: P(x) + Q(x)
 Resolución:
 En primer lugar: escribimos los polinomios uno 
al lado del otro.
 7x2 + 3x – 5 + 5x2 – 2x + 9
144424443 144424443P(x) Q(x)
 Ahora seleccionamos los términos semejantes: 
 7x2 + 3x – 5 + 5x2 – 2x + 9
 Hecho esto reducimos los términos seleccionados 
obteniendo el resultado:
 12x2 + x + 4.
 2. Calcular P(x) + Q(x) + R(x); sabiendo que:
 P(x) = 3x2 + 5; Q(x) = 8x3 + 5x2 –1; R(x) = 8x + 4
 Resolución:
 Colocamos los tres polinomios juntos:
 3x2 + 5 + 8x3 + 5x2 – 1 + 8x + 4
 Los términos semejantes se reducen; los otros 
son colocados con su propio signo. 
 8x3 + 8x2 + 8x + 8, esta es la respuesta.
B. Sustracción de polinomios
La gran diferencia que existe con la suma, es que al 
polinomio negativo (precedido por un signo –) se le 
cambiarán previamente, los signos de TODOS sus 
términos. Luego de esto, se procederá como en la 
suma.
POLINOMIOS
22 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIÁLGEBRATEMA 5
Ejemplo: Si tenemos:
P(x) = 2x3 – 5x2 + 10x –7
Q(x) = x3 – 7x2 + 3x – 11
Calcular: P(x) – Q(x)
 Resolución:
 
2x2 + 5x2 + 10x – 7 – (x3 – 7x2 + 3x – 11)
14444424444431444442444443P(x) Q(x)
Ojo: Q(x) es el polinomio negativo (observa 
el signo a su izquierda).
Nota como se han colocado los "( )".
Ahora cambiamos los signos a todos los términos 
de Q(x).
2x3 – 5x2 + 10x – 7 – x3 + 7x2 – 3x + 11
Seleccionamos términos semejantes y reducimos:
2x3 – 5x2 + 10x – 7x – x3 + 7x2 – 3x + 11 = x3 + 2x2 + 7x + 4
C. Multiplicación de polinomios
Se efectúa multiplicando cada uno de los términos 
de un polinomio con todos los términos del otro 
polinomio; sumando después los productos obtenidos.
Es conveniente ordenar los polinomios según las 
potencias crecientes (o decrecientes) de una de las 
variables. 
Ejemplo: Multiplicar: (x3 + 2x) por (x – 3) (método 
de multiplicación lineal)
(x – 3).(x3 + 2x) = x4 + 2x2 – 3x3 – 6x
Ordenando según las potencias: x4 – 3x3 + 2x2 – 6x 
III. GRADOS
 Es una característica que solo se presentan los polinomios 
y se le relaciona con los exponentes de las variable, 
existen dos tipos de grado:
A. Grado relativo (G.R.)
Si tiene un término esta dado por el exponente de la 
variable referida.
Si tiene más de un término, esta dado por el mayor 
exponente de la variable referida.
Ejemplo:
* P(x; y; z) = 5x
2y7z5
 GRx = 2; GRy = 7; GRz = 5
 (Son los exponentes de cada variable) 
* P(x; y; z) = 3x
2 y3z5 + 2x7y2 – x5yz9
 GRx = 7; GRy = 3; GRz = 9
 (Son los mayores exponentes de las variables)
B. Grado Absoluto (G.A.)
También llamado grado de polinomio, está dado por 
la suma de los exponentes de las variables (en el caso 
que presente un sólo término)
Si tiene más de un término, está dado por la suma 
de los exponentes de las variables en uno de sus 
términos.
 Ejemplo:
* P(x; y; z) = 5x
3 y4 z8
 GA = 3 + 4 + 8 = 15
 (Es la suma de los exponentes de las variables)
* P(x; y) = 2x
5y7 – 5x4y2 + 9x2y9
14243 14243 14243
12 6 11
 GA = 12
 (La mayor suma de los exponentes)
IV. POLINOMIOS ESPECIALES
 Entre estos tipos de polinomios destacan los siguientes:
A. Polinomio Homogéneo
Es el polinomio en el cual todos sus términos tienen 
el mismo grado absoluto, el cual se denomina grado 
de homogeneidad.
Ejemplo:
 
P(x; y) = 7x
5y7 + 5x10y2 + 3x4y8
14243 14243 14243
12 12 12
Se observa que el grado de todos los términos es 12, 
por lo tanto es un polinomio homogéneo. Grado de 
homogeneidad = 12.
B. Polinomio completo:
Este tipo de polinomio se analiza respecto a una 
variable, es aquel cuya variable analizada presenta 
todos los exponentes desde el mayor hasta el 
exponente cero.
Ejemplo:
 P(x; y) = x
2y5 + 4x4y2 + x3y + 3x – 7y8
Analizando para la variable "x" se observa que 
sus exponentes son(2; 4; 3; 1; 0) están todos los 
exponentes desde el mayor hasta cero. Esto indica 
que el polinomio es completo respecto a "x".
Analizando para la variable "y" se observa que los 
exponentes son {5; 2; 1; 0; 8}, falta los exponentes 
{7; 6; 4; 3}. Esto indica que el polinomio es incompleto 
con respecto a "y".
C. Polinomio ordenado
Este tipo de polinomio se analiza también respecto 
a una variable, es aquel cuyos exponentes de las 
variable solo aumentan o disminuyen.
Ejemplo:
 P(x; y) = x
5y3 + 4x3y2 + x2y + y8
Analizando para la variable "x" se observa que sus 
exponentes son {5; 3; 2; 0}, están disminuyendo. Esto 
indica que el polinomio es ordenado decrecientemente 
respecto a "x".
POLINOMIOS
33SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 5
Analizando para la variable "y" se observa que los 
exponentes son {3; 2; 1; 8} están disminuyendo y 
aumentando a la vez. Esto indica que el polinomio no 
es ordenado con respecto a "y". 
 Propiedades
 En todo polinomio completo y ordenado de una 
variable, se verifica que el valor absoluto de la 
diferencia de los exponentes de dos términos 
consecutivos es igual a la unidad.
 En todo polinomio completo de una variable el 
número de términos esta dado por el valor del 
grado aumentado en uno.
D. Polinomios idénticos
Dos polinomios son idénticos si poseen el mismo 
grado y sus términos semejantes tienen los mismos 
coeficientes:
 P(x) ≡ Q(x)
También si dos polinomios son idénticos estos poseen 
el mismo valor numérico.
 VN[P(x)] = VN[Q(x)]
Ejemplos:
1. Si: 
(a – 3)x2 + (b + 2)x9 ≡ 5x9 – 4x2. Halle "ab".
 Resolución:
 Este polinomio está reducido y ordenado por lo 
tanto igualamos los coeficientes de los términos 
semejantes, generando las siguientes ecuaciones:
 a – 3 = – 4 → a = –1 
 b + 2 = 5 → b = 3
 ∴ ab = –3
2. Si a(x – 3) + b(x + 2) ≡ 7x – 11. Calcule: a+b
 Resolución:
 Este polinomio no esta reducido entonces 
trabajaremos con el valor numérico.
 x = 3: a(3 – 3) + b(3 + 2) = 7.3 – 11 → b = 2
 x = –2: a(–2 –3) + b(–2 + 2) = 7(–2)–11 → a = 5
 ∴ a+b = 7
E. Polinomio Idénticamente Nulo
Es aquel polinomio reducido en el cual todos los 
coeficientes de sus términos son nulos (cero). 
Notación: P(x) ≡ 0
También si el polinomio es idénticamente nulo 
entonces su valor numérico es igual a cero: 
 VN [P(x)] = 0
Ejemplos:
1. Si: (m – 1) x3 + (n – 5)x4 ≡ 0. Halle "m"
 Resolución:
 Este polinomio está reducido y ordenado, por lo 
tanto igualamos los coeficientes a cero, generando 
las siguientes ecuaciones.
 m – 1 = 0 → m = 1
 n – 5 = 0 → n = 5
∴ mn = 15 = 1
2. Si: a(x – 3) + b(x + 2) – 3x + 4 ≡ 0. Calcule: ab.
 Resolución:
 Este polinomio no esta reducido, entonces 
trabajaremos con el valor numérico:
x = 3; a(3 – 3) + b(3 + 2) – 3 . 3 + 4 = 0 → b = 1
x = 2; a(–2; –3) + b(–2 + 2) –3(–2) + 4 = 0 → a = 2
∴ ab = 2
Problema 1
Si: F(z) = z – ;
1
z halle el valor de:
f(f(1) + f(2)
1 ) + f(–2)
A) 5
2
– B) 7
3
– C) 2
3
D) 2
3
– E) 3
2
UNMSM 2014-I
Resolución:
 
• F(1) = 1–
1
1
 = 0 . f(2) = 2 – 
1
2
 = 3
2
• F(–2) = –2 – 
1
–2 = – 
3
2
Reemplazando:
f(f(1) + f(2)
1 )
f(f(1) + f(2)
1 )
3
2
2
3
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
7
3
f(–2) =
f –
– –
–
–
–=
=
=
=
+ f(0 + )+1
2
3
1
3
2
–
J
K
L
J
K
L
J
K
L
J
K
L

 

Respuesta: –7/3
Problema 2
El polinomio:
P(x)=nx
n+5+(n+1)xn+6+(n+2)xn+7+...
Es ordenado y completo. Halle el grado 
del polinomio P(x).
A) 5 B) 4 c) 3
D) 6 E) 7
UNMSM 2014-I
Resolución:
Como P(x) es ordenado y completo 
además los exponentes de "x" están en 
forma ascendente, luego:
n + 5 = 0 → n = –5
Reemplazando en P(x):
P(x) = –5 – 4x – 3x2 – 2x3 – x4
Nos piden: grado = 4
Respuesta: 4
PROBLEMAS RESUELTOS
POLINOMIOS
44 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIÁLGEBRATEMA 5
Problema 3
Si: f(x – 3) = x
2 + 1 y h(x + 1) = 4x + 1
Halle el valor de: h(f(3) + h(–1)).
A) 117 
B) 145 
C) 115 
D) 107 
E) 120
UNMSM 2013-I
Resolución:
Calculando f(3):
x–3=3 ⇒ x= 6; reemplazando en f(x–3) 
f(3) = 6
2 + 1 = 37 ⇒ f(3) = 37
Calculando: h(–1)
x + 1 = –1 ⇒ x = –2; reemplazando 
en h(x + 1):
h(–1) = 4(–2)+1 = –7 ⇒ h(–1) = –7
Luego:
h(f(3) + h(–1)) = h(37 – 7) = h(30)
x + 1 = 30 x = 20, reemplazando en 
h(x + 1):
h(30) = 4(29) + 1 = 117
∴ h(f(3) + h(–1)) = 117
Respuesta: 117
PROBLEMAS RESUELTOS
EJERCITACIÓN
1. Si:
 P(z) = 3z + 5, P(4x – 3) = ax + b
 Halla "ab".
A) 30 B) –48
C) 34 D) 65
E) 20
2. Si. P(3x – 1) = 6x + 1, 
 determine P(a + 2).
A) 9a + 11 B) 3a + 2 
C) 2a + 7 D) 4a – 1
E) 5a + 3
3. Hallar "a" en: 
 P(3x – 1) = (2x – 1)
2 + 8x2 + 3a, si 
el término independiente es 16.
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
4. Hallar "mp" para que el polinomio 
sea de grado 14 y la diferencia de 
sus grados relativos a "x" e "y" sea 
4.
P(x; y)=x
m+p+3yp–2+xp+m+1yp+4+xm+p–1y1+p
A) 6 B) 8
C) 10 D) 12
E) 14
5. Si el polinomio:
 P(x) = 3x
a+3 – 2xc–3 + xb–1 
 e s c o m p l e t o y o r d e n a d o 
decrecientemente. Hallar el valor 
de (a + b + c).
A) 2 B) –2
C) 4 D) –4
E) 5
PROFUNDIZACIÓN
6. Hal le "n" s i en el s iguiente 
polinomio: 
 P(x) = (2x –1)3 + 4x + 2n
 Se cumple Σ coef + T.I = 12
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 0
7. Si: P(x) = 2x + 1 y además:
 P(P(a + 1))
 + P(P(a–1)) 
= 30 
 hallar "a". 
A) –11 B) 4 
C) 22 D) –2
E) 3
8 Dado el polinomio homogéneo:
 P(x; y) = m
2xmm–n+nx2y6+mx6ymm+n
 Hallar la suma de sus coeficientes.
A) 5 B) 10
C) –5 D) –10
E) 0
9. Si los polinomios:
 P(x) = 4x2 – 3x – 5
 Q(x) = A(x–2)(x+1)+B(x2+1) son 
idénticos. Calcular AB.
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
SISTEMATIZACIÓN
10. Si el monomio: A(x; y) =
m n
xn. ym 
tiene los grados relativos iguales y 
su grado absoluto es 12.
 Calcule: 1m
1
n
+
A) 29 B) 42
C) 18 D) 61
E) 58
11. Si el polinomio: 
 P(x) = 3x
3 + x2 – 2x + 1
 es idéntico a: 
 Q(x) = ax(x–1)(x+1)+bx(x+1)+c
 Calcular: a+b+c
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
12. De la siguiente identidad:
 (ab + ac – 3)x2 + (ac + bc – 4)x 
+ (ab + bc – 5) ≡ 0
 Calcular: abc(a+b)(a+c)(b+c)
A) 3 B) 60 C) 120
D) 12 E) 20
11SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 6
SNII2X6
ÁLGEBRA
TEMA 6
PRODUCTOS NOTABLES
DESARROLLO DEL TEMA
Son aquellos productos que al adoptar cierta forma particular, 
evita que se efectúe la operación de multiplicación escribiendo 
directamente el resultado.
I. PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
A. Binominio al cuadrado
El desarrollo de un binomio al cuadrado nos da un 
trinomio cuadrado perfecto, esto es “el cuadrado del 
primer término, más el doble del primer término por 
el segundo término, más el cuadrado del segundo 
término.
 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
 1442443 14444244443
Binomio suma Trinomio cuadrado
 al cuadrado perfecto
 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
 1442443 14444244443
Binomio diferencia Trinomio cuadrado
 al cuadrado perfecto
Ejemplos:
•	 (x	+ 1)2 =	x2 +	2(x)(1)	+ (1)2
 =	x2 +	2x	+ 1
•	 (x	– 4)2 =	x2 –	2(x)(4)	+ (4)2
 =	x2 –	8x	+ 16
•	 (3x	– 54)2 =	(3x)2 –	2(3x)(5y)	+	(5y)2
 =	9x2 –	30xy	+	25y2
•	 ( a – b)2 = a
2
 + 2( a)( b) + ( b)
2
 = a – 2 ab + b
B. Identidades de Legendre
Son dos identidades que relacionan los binomios 
suma	y	diferencia.
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Ejemplos
•	 (x	+ 6)2 +	(x	– 6)2
 1444442444443
	 						2(x2 + 62) =		2(x2 +	36)
•	 ( a + b)2 – ( a – b)2
 14444444244444443
 4( a)( b) = 4 ab 
•	 (10x	+	4y)2 –	(10x	–	4y)2
 14444444244444443
	 										4(10x)(4y)											=		160xy
Nota:
(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)
C. Diferencia de cuadrados
El producto de dos binomios; uno que presenta la 
suma	de	dos	expresiones	y	el	otro	la	diferencia	de	las	
mismas	expresiones	nos	da	el	cuadrado	de	la	primera,	
menos el cuadrado de la segunda.
(a + b)(a – b) = a2 – b2
(am + bn)(am – bn) = a2m – b2n
Ejemplos:
•	 (x	+	4)(x	– 4) =	x2 – 42
•	 ( a + b)( a – b) = a
2
 – b
2 
= a – b
•	 (2x4 +	3y6)(2x4 –	3y6) =	(2x4)2 –	(3y6)2
 =	4x8 –	9y12
•	 x	–	y	= x
2
 – y
2 
= ( a + b)( a – b)
PRODUCTOSNOTABLES
22 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIÁLGEBRATEMA 6
D. Binomio al cubo
Al desarrollar un binomio al cubo se obtiene el cubo 
del primer término, más el producto del triple del 
primero al cuadrado por el segundo, más el producto 
del triple del primero por el segundo al cuadrado, más 
el cubo del segundo término.
(a + b)3 = a3 +	3a2b +	3ab2 + b3
Análogamente con el binomio diferencia al cubo:
(a – b)3 = a3 –	3a2b +	3ab2 – b3
Ejemplos:
•	 (x	+ 1)3 =	x3 +	3(x)2(1) +	3(x)(1)2 + (1)3
 =	x3 +	3x2 +	3x	+ 1
•	 (3x	– 1)3 =	(3x)3 –	3(3x)2(1) +	3(3x)(1)2 – (1)3
 =	27x3 –	27x2 +	9x	– 1
Nota:
Acomodando los desarrollos de los binomios al cubo, 
se obtienen: 
(a + b)3 = a3 + b3 +	3ab(a	+ b)
(a – b)3 = a3 – b3 –	3ab(a	– b)
Identidades que son de mucha utilidad en ciertos 
problemas operativos.
Ejemplos:
•	 (x	+ 4)3 =	x3 + (4)3 +	3(x)(4)(x	+ 4)
 =	x3 + 64 +	12x(x	+ 4)
•	 ( )
3 3
31 1 1 1x x 3 x x
x x x x
       + = + + +       
       
 
3
3
1 1x 3 x
xx
 = + + + 
 
•	 ( )
3 3
31 1 1 1x x 3 x x
x x x x
       − = − − −       
       
 3 3
1 1x 3 x
xx
 = − − − 
 
E. Multiplicación de binomios con un término 
común
Al multiplicar dos binomios con un término en común 
se obtiene: el común al cuadrado, más el producto de 
la suma de no comunes por el común, más el producto 
de no comunes.
(x	+	a)(x	+ b) =	x2 + (a +	b)x		+ ab
 14243 123
 suma producto
Ejemplos:
•	 (x	+	3)(x	+ 5) =	x2 +	(8)x	+ 15
•	 (x	+	5)(x	–	10)	=	x2 +	(5)x	–	150
Nota:
(x+a)(x+b)(x+c) =	x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x+abc
F. Suma y diferencia de cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
 1 42 4 3
 Suma de cubos
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
 1 42 4 3
 Diferencia de cubos
En general:
a3m + b3n = (am + bn) (a2m – ab + b2n)
a3m – b3n = (am – bn) (a2m + am.bn + b2n)
Ejemplos:
•	 x3 + 125 =	x3 + 53 =	(x	+	5)	(x2 –	5x	+ 25)
•	 8	+ a3 = 23 + a3 = (2 + a) (4 – 2a + a2)
•	 x3 – 64 =	x3 – 43 =	(x	–	4)	(x2 +	4x	+ 16)
•	 x12 –	y6 =	(x4)3 –	(y2)3 =	(x4 –	y2)(x8+x4y2+y4)
G. Desarrollo de un trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
Ejemplos:
•	 (a	+ b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – bc – ac)
•	 (a	– b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(–ab + bc – ac)
•	 (x	+	y	+	3)2 =	x2 +	y2 + 9 +	2(xy	+	3y	+	3x)
H. Desarrollo de un trinomio al cubo
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 +	3(a+b)(b+c)(a+c)
(a + b + c)3 = a3+b3+c3+3(a+b+c)(ab+bc+ac)–3abc
Ejemplos
•	 (x	+	y	+ 2)3 =	x3 +	y3 + 8 +	3(x+y)(y+z)(x+2)
PRODUCTOS NOTABLES
33SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 6
I. Identidades adicionales
Identidad de Argand
(a2 + a + 1)(a2 – a + 1) = a4 + a2 + 1
(a2 + ab + b2)(a2 – ab + b2) = a4 + a2b2 + b4
(x2m+xmyn+y2n)(x2m –	xmyn +	y2n) =	x4m +	x2my2n +	y4n
Identidades condicionales
Si: a + b + c =	0,	se	cumple:
• a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac)
• a3 + b3 + c3 =	3abc
• (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2
• a4 + b4 + c4 = 1
2
(a2 + b2 + c2)2
• a5 + b5 + c5 = –5abc(ab + bc + ac)
Identidad de Gauss
a3 + b3 + c3 = (a+b+c)(a2 + b2 + c2 –(ab+bc+ac))
Identidad especial
(x	+	y)(y	+	z)(x	+ z) +	xyz	=	(x	+	y	+	z)(xy	+	yz	+	xz)
Teoremas
	 Sean	{x,y,z}	⊂ R;	{m,n,p}	⊂ Z+, luego:
x2m +	y2n + z2p =	0	↔	x	=	y	= z =	0
x2 +	y2 + z2 =	xy	+	yz	+	xz	↔	x	=	y	= z
Problema 1
Sabiendo	que	x	+ 1
x
 =	3,	determine	el	
valor de E =	x3 +	x2 + 1
x3
 + 1
x2
A)	 49	 B)	 36	 C)	 25
D)	 18	 E)	 23
UNMSM 2002
Resolución:
Al primer dato lo elevamos al cuadrado:
	 x	+ 1
x
 =	3	
→ ( )
2
2
2
1 1x x 2 x
x x
 + = + + 
 
1
x
 
  
  1442443
											(3)2 =	x2 + 1
x2
 + 2
 7 =	x2 + 1
x2
Luego, al primer dato lo elevamos al 
cubo
( )
3
3
3
1 1x x 3 x
x x
 + = + + 
 
1
x
1x
x
   +       14243
				3
Despejando:
x3 + 1
x3
 =	33 –	(3)(3)	= 18
Entonces:
E =	x3 + 1
x3
 +	x2 + 1
x2
 = 18 + 7 = 25
Respuesta: 25
Problema 2
Si: 24x + 2–4x =	119		y		x	>	0
Halle: 2x – 2–x + 5
A)	 8	 B)	 2	 C)	 11
D) 4 E) 9
UNMSM 2004-I
Resolución:
Tenemos: 24x + 2–4x = 119
24x + 2(22x)(2–2x) + 2–4x = 119 + 2
(22x + 2–2x)2 = 121
22x + 2–2x	= 11
22x – 2(2x)(2–x) + 2–2x = 11 – 2
(2x – 2–x)2 = 9
2x – 2–x =	3
\	 2x	– 2–x	+ 5 =	3	+ 5 = 8
Respuesta: 8
Problema 3
Si:	x2 + 1
x2
 =	3,
Entonces:	x6 + 1
x6
 es:
A)	 18	 B)	 9	 C)	 27
D) 25 E) 16
UNMSM 2004-I
Resolución:
Tenemos:					x2 + 1
x2
 =	3
( )
3
32
2
1x 3
x
 
+ = 
 
( )6 2 26 2 21 1 1x 3 x x 27x x x
   
+ + + =   
   
x6 + 1
x2
 +	3(1)(3)	= 27
x6 + 1
x6
 = 18
Respuesta: 18
Problema 4
Si: ab = 3	y	a2 – b2 =	3,
El	valor	de	la	expresión:	
4 4a b
b a
   +   
   
es:
A)	 23	 B)	 25	 C)	 21
D) 27 E) 24
UNMSM 2005-I
Resolución:
Tenemos: 
2 2a b 3
ab 3
− =
22a b 3
b a 3
  − =        
2 2
2 2
a a b b2 3
b ab a
   − + =   
   
( )
22 2 2
2 2
a b 5
b a
 
+ =  
 
4 2 2 4
4 2 2 4
a a b b2 25
b b a a
   
+ + =      
   
4 4
4 4
a b 23
b a
+ =
Respuesta: 23
PROBLEMAS RESUELTOS
PRODUCTOS NOTABLES
44 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIÁLGEBRATEMA 6
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN
1. Calcule:
R = 
3 3x 1 x 1
x 1 x 1
+ −−
+ −
A) –x	 B) –2x	 C)	 x
D) 2x	 E) 0
2. Si: a + b + c =	9	y	
 ab + bc + ac = 6.
 Halle: a2 + b2 + c2
A) 68 B) 69 C)	 70
D) 71 E) 72
3. Si: a + b + c =	4	y	
 (a + b)(b + c)(a + c) = 1
 Halle: a3 + b3 + c3
A) 60	 B) 61 C)	 62
D) 63	 E) 64
4. Si: a + b + c =	0
 Calcule:	M	= 
3 3 3a b c
3abc
+ +
A) 3	 B) 1 C)	 2
D) 4 E) –3
5. Si: a + b + c =	0
 Halle: R = 2 2 2
ab bc ac
a b c
+ +
+ +
A) 2 B) –2 C)	 – 1
2
D) 1
2
 E) 3
PROFUNDIZACIÓN
6. Dado: a
b
 + b
a
 =	3;	ab	≠	0
 Determine: a
2
b2
 + b
2
a2
 
A) 11 B) 8 C)	 9
D) 7 E) 5
7. Si:	x	= 2
3
 + 4
3
 – 1
 Halle:	x3 +	3x2 –	3x
A) 1 B) 2 C)	 3
D) 4 E) 5
8. Si se cumple:
 
3
3
x 1, x 1
y 8, y 2
 = ≠

= − ≠ −
 Halle el valor de:
(2x2 +	2x	+	3)(3y2 –	6y	+10)
A) –1 B) –2 C)	 1
D) 2 E) –8
9. Calcular	el	valor	de:
(7000)3–(6999)3–(6999)2–7(6999)(103)
A) 49.106 B) 6999.108
C)	 (6666)3 D) (1111)4
E) 11.108
SISTEMATIZACIÓN
10. Si: a + b + c =	0
 Reduzca:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2 2 2 2
c 2ab b 2abc a 2abc
a b a c b c
− − −
+ + +
A) 1 B) 2 C)	 abc
D) ab E) ac
11. Si:	a,	y,	z	∈ R, tales que:
 x2 +	y2 + z2 =	2(x	+	2y	+	3z)	–14
 Calcula:	M	= 
( ) ( )
3 3 3
x y z xyz
x y z
+ +
+ +
A) 3	 B) 4 C)	 1
D) –1 E) 2
12. Si: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac
 Donde:	{a;	b;	c}	⊂ R+ –	{0}
 Simplifique:
( )65
6 6 6
a b c
a b c
+ +
+ +
A) 3	 B) 1/3	 C)	 2
D) 1/2 E) 1
11SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 7
SNII2X7
ÁLGEBRA
TEMA 7
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
DESARROLLO DEL TEMA
I. DEFINICIÓN
 Es la operación donde se busca obtener dos polinomios 
llamados cociente (q(x)) y resto (r(x)); a partir de dos 
polinomios llamados dividendo (D(x)) y divisor (d(x)).
II. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
 D(x) = d(x)q(x) + r(x)
 Donde:
 •	 grad[r(x)]	<	grad[d(x)]
	 •	 grad[r(x)]máx =	grad[d(x)]	– 1
	 •	 gard	[q(x)]	=	grad	[D(x)	–	grad[d(x)]
 
 Ejemplo: 
 x3 + x2 – x + 9 = (x + 2)(x2 – x + 1) + 7
 D(x) = x3 + x2 – x + 9 
 d(x) = x + 2
 q(x) = x2 – x + 1
 R(x) = 7
A. Clases de división
Exacta: Si r(x) = 0
•	 D(x)	=	d(x)	q(x)			 	 	
•	 D(x)	es	divisible	por	d(x).
•	 d(x)	es	un	divisor	o	un	factor de D(x).
Inexacta: Si r(x) ≠ 0
D(x) = d(x) q(x) + r(x)
III. MÉTODOS DE DIVISIÓN DE POLINO-
MIOS
1. Método de Horner
Ejemplo: 
Efectuar:	
5 4 3 2
2
15x x 8x 3x 8
2x 5x 2
– – + –
– + –
 
Nota:
Si R(x) ≡ 0 se dice que D(x) ÷ d(x) es exacta, además 
D(x) ≡ d(x) . q(x); pues el residuo R(x) ≡ 0 es nulo.
1. Ordenar y completar al dividendo y divisor:
5 4 3 2
2
15x x 8x 3x 0x 8
5x 2x 2
– – + + –
– –
2.	 Armar	el	esquema	de	Horner	según:
 
a coeficiente	de	P(x)
coeficiente	de	q(x) cocientes de R(x)
÷ x + ...
# de columnas
	igual	(d)co
efi
ci
en
te
	d
e	
d(
x)
Nota:
D(x) y d(x) deben esta completos y ordenados en 
forma	descendente.
	 Luego	para	el	ejemplo:
 
5
3 +
0notas
–8
2 6 6
2 54
2 3 1 1 2 –6
=
0x
2 2
0 0
2 2
+
15 –1 –8 3
÷ 1 1442443
144244314444424444443
 q(x) = 3x3 + x2 + 1; R(x) = 2x – 6
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
22 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIÁLGEBRATEMA 7
Procedimiento
1.	 Dividiendo	 el	 primer	 coeficiente	 del	 D(x)	 entre	 el	
primero de d(x).
2.	 El	 resultado	 se	 coloca	 como	el	 primero	 coeficiente	
de	q(x)	y	se	multiplica	con	cada	coeficiente	de	d(x)	
a excepción del primero.
3.	 Los	 resultados	anteriores	se	colocan	debajo	de	 los	
coeficientes	de	D(x)	corriendo	un	lugar	a	la	derecha.	
Luego	sumar	y	repetir	pasos.
Nota:
Hemos colocado la línea divisora contando 2 columnas, 
pues	el	grado	(d)	= 2.
2 método de Ruffini
Nos	permite	efectuar
P(x)
ax b+
Ejemplo 1:
caso a = 1
Efectuar:	
3 23x 8x 2x 24
x 3
– + –
–
1. Observe que d(x) = x – 3 en este caso a = 1, b = –3.
 
2. Ame el esquema D(x).
 
ax + b = 0
x = 
coeficientes	D(x)
coeficientes	de	q(x)
x + x

–b
a
1444442444443÷a
Para	nuestro	caso:
 
x – 3 = 0
x = 3
x
3
3 1 5 –9
–9
=
=
2– 8
9 3 15

– 24
q(x) = 3x2 + x + 5
14444244443
+
+
Procedimiento:
1.	 El	primer	coeficiente	de	D(x)	pasa	por	el	grupo	de	los	
coeficientes	de	q(x)	y	multiplica	al	valor	despejado	de	
"x".
2.	 El	resultado	se	coloca	debajo	de	los	coeficientes	de	
D(x)	corriendo	un	lugar	a	la	derecha.
3. Se suma el resultado vuelve a multiplicarse con "x".
4. Cuando a ≠ 1 un paso adicional que realizar veamos 
el	otro	ejemplo.
Ejemplo 2.
Caso a ≠ 1
Efectuar:
3 22x 3x 11x 6
2x 1
+ + +
+
1. Observe que d(x) = 2x + 1
 en este caso a = 2; b = 1
2. Esquema:
 
2x + 1 = 0
a = 2
q(x) = x2 + x + 5
 R(x) = 1
1
1 1 5
x = 
2
+ +
3
–1 –1
11 6
–5
1
2
1444442444443
1444442444443
–
2
2
2
2
10
2
 
3. Observe que cuando a ≠ 1 tenemos que dividir entre 
"a"	antes	de	hallar	los	coeficientes	de	q(x).
Nota:
El residuo en este método siempre es una constante.
Los polinomios también deben estar completos y 
ordenados.
IV. TEOREMA DEL RESTO
	 La	 aplicación	 permite	 obtener	 residuos	 sin	 efectuar	 la	
división.
Nota:
Sea	el	polinomio	P(x)	no	constante.	El	resto	de	dividir	
P(x)	entre	ax	+ b es R =	P(–b/a).
 Ejemplo 1
	 P(x)	= (ax + b) q(x) + 
 Si x = –b/a 
 
b bP a b q(x)
a a
    
        


– = – + +
	 Luego:	
bR P
a
 
 
 
= –
 Ejemplo 2
 Halle el residuo de: 
22x ax 2
2x 1
+ +
–
 Solución
 Como el divisor d(x) = ax + b = 2x – 1
 
b 1x
a 2
= – =
	 P(x)	= 2x2 + 9x + 2
 
21 1 1P 2 9 2 7
2 2 2
              
= + + =
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
33SAN MARCOS REGULAR 2014 – II ÁLGEBRA TEMA 7
Problema 1
¿Qué condición deben cumplir los 
números	 reales	 b	 y	 c	 para	 que	 el	
polinomio x2 + bx + x sea divisible por 
x – 1?
A) b – c = 1 
B) b + c = 1
C) x – b = 2
D) b – c = –1 
E) b + c = –1
UNMSM 2010 - II
Resolución:
Tenemos:
P(x)	= d(x) . Q(x) + 0
x2 + bx + c = (x B1).Q(x)
Para	x = 1: 12 + b(1) + C = 0
 b + c = –1
Respuesta: E) b + c = –1
Problema 2
Si	el	polinomio	P(x)	se	divide	por	(x	– 2); 
el cociente es x2 + 2x + 1 y el residuo es 
"r".	Pero	si	P(x)	se	divide	por	(x	– 4), el 
residuo es (–r). ¿Cuál es el valor de "r"?
A) 25 
B) –25 
C) 20
D) –20 
E) 0
UNMSM 2009-II
Resolución:
Tenemos:
P(x)	= (x – 2)(x2 + 2x + 1) + t
P(x)	= (x – 4) Q(x) – r 
Entonces: 
(x – 2)(x2 + 2x + 1) + r = (x – 4)Q(x) – r
Para	x	= 4
(4 – 2)(42 + 2 . 4 + 1) + r = (4 – 4)Q(4) – r
 2 . 25 + r = 0 – r
 r = – 25
Respuesta: B) –25
PROBLEMAS RESUELTOS
4. Regla práctica
	 	 Para	hallar	el	residuo:	
P(x)
ax b+
1.	 Iguale	ax	+ b = 0
	 Despeje	 bx
a
= – que es un valor conveniente.
2.	 Evalúe	P(x)	en	 bx
a
= –
	 Luego	de	residuo	es:
bR P
a
  
 
= –
Problema:
Halle el residuo en: 
30 10 5
2
x x x 3
x 1
– + –
+
Solución:
1. x2 + 1 = 0 → x2 = – 1 un valor conveniente.
2.	 P(x)	= x30 – x10 + x5 – 3 
	 P(x)	= (x2)15 – (x2)5 + (x2)2 x – 3
 x2 = –1
 R = (–1)15 –(–1)5 + (–1)2 x – 3
 ∴R = x – 3
V. TEOREMA DEL FACTOR
1. Un	polinomio	P(x)	de	grado	no	nulo	se	anula	para	
x = a ↔	P(x)	es	divisible	por	(x	– a),	luego	(x	– a) 
es	un	factor	de	P(x).
2.	 Si	 f(x)	es	divisible	por	g(x)	y	g(x)	es	divisible	y	 la	
diferencia	de	f(x)	y	g(x)	es	divisible	por	h(x).
3.	 Si	 f(x)	 y	 g(x)	 son	 divisibles	 por	 h(x)	 la	 suma	 y	 la	
diferencia	de	f(x)	y	g(x)	es	divisible	por	h(x).
4.	 Si	f(x)	es	divisible	por	g(x),	el	producto	de	f(x)	por	
cualquier	 otro	 polinomio	 no	 nulo	 h(x)	 es	 tambien	
divisible	por	g(x).
5.	 Si	el	polinomio	P(x)	es	divisible	separadamente	por	los	
binomios (x – a), (x – b) y (x – c)/a ≠ b ≠ c, entonces 
P(x)	es	divisible	por	el	producto.
 (x – a)(x – b)(x – c).
Nota:
Recíprocamente,	si	P(x)	es	divisible	por	(x	– a)(x – b)
(x – c); a ≠ b ≠ c, será divisible separadamente por 
(x – a), (x – b) y (x – c).
6.	 Si	al	dividir	un	polinomio	P(x)	entre	(x	– a), (x – b) 
y (x – c)/a ≠ b ≠ c	en	forma	separada	deja	el	mismo	
resto en cada caso entre (x – a)(x – b)(x –	c)	dejara	
el	mismo	resto	común.
	 Así:		P(x)	÷ (x – a) ⇒ R1 (x) = R
	 		 P(x)	÷ (x – b) ⇒ R2(x) = R
	 		 P(x)	÷ (x – c) ⇒ R3(x) = R
 ⇒	 P(x)	÷ (x – a)(x – b)(x – c) ⇒ R(x) = R
7. En toda división de polinomios, si al dividendo y al 
divisor,	se	les	multiplica	por	un	polinomio	de	grado	no	
nulo, el cociente no se altera, pero el residuo queda 
multiplicado	por	dicho	polinomio.
8. En toda división de polinomios, si al dividendo y al 
divisor	se	 les	divide	por	un	polinomio	de	grado	no	
nulo, el cociente no se altera; pero el residuo queda 
dividido	por	dicho	polinomio.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
44 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIÁLGEBRATEMA 7
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN
1. Calcule el resto: 
7 6 4 32x 3x 2x 3x 8x 1
2x 3
+ + + – –
+
A) 13 B) 11 C) 10
D) 9 E) 8
2. Dividir:
5 3 2x 2x 3x 4
x 2
+ – +
–
 Luego 	 i n d i c a r 	 e l 	 t é rm i no	
independiente del cociente.
A) –2 B) 9 C) 18
D) 15 E) 16
3. Halle el resto en:
5(x 1) x 1
x 1
– + +
–
A) –2 B) –1 C) 0
D) 1 e) 2
4. Calcular el resto de:
3 2 4
2
x 9x 10x 16x 3
x 2 2x
– + + –
– + +
A) 2x – 13 B) 2x + 13 
C) 2x – 14 D) 2x + 7 
E) x – 13 
5. Calcule "b – a"
 Si: x4 + 2x3 – 3x2 + ax – b, es 
divisible por x2 + 2x – 5. 
A) 2 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
PROFUNDIZACIÓN
6. Al	dividir	P(x)	entre	(x3 – 3x + 2) se 
obtiene	un	cociente	igual	a	(x	– 2) 
y	resto	igual	a	8.	Indique	el	valor	
de	P(–1).
A) –4 B) –3 C) –2
D) –1 E) 0
7. Al	dividir	P(x)	entre	(x	+ 1) y (x – 1) 
se obtiene como resto 2 y 4 
respectivamente. Hallar el resto 
de	 dividir	 dicho	 polinomio	 entre	
x2 – 1.
A) x + 3 B) x – 3 C) 2x + 3
D) 2x – 3 E) 0
8. Un	 polinomio	 P(x)	 al	 ser	 dividido	
entre (x – 3) y (x + 2) se obtuvo 
como restos 6 y 1 respectivamente, 
hallar	 el	 resto	 que	 se	 obtiene	 al	
dividir	dicho	polinomio	entre	(x	– 3)
(x + 2)
A) x + 5 B) x + 4 C) x + 3
D) x – 1 E) 2x + 1
9. Hallar el resto de la división:
2
2
[(x 3)(x 4) 1] 3x(x 7) 10
x 7x 9
+ + + + + +
+ +
A) 1 B) 2 C) 0
D) –1 E) 3
SISTEMATIZACIÓN
10. Al	 dividir	 P(x)	 entre	 x	+ 1 se 
obtuvo como resto 2. ¿Qué resto 
se	obtendrá	al	dividir	(P(x))10 entre 
x + 1?
A) 2 B) 64 C) 128
D) 512 E) 1024
11. Si	 el	 resto	 de	 dividir	 P(x)	 entre	
(x – 5) y (x + 1) es 8 y –1 
respectivamente;	halle	el	resto	de	
dividir 
P(x)
(x 1)(x 5)+ –
A) 
3 1x
2 2
– 
B) 9 x
4
C) 9 13x
4 4
– 
D) 3x + 1 
E) 3 1x
2 2
+
12. Un	polinomio	P(x)	de	5to	grado	es	
tal	que	P(1) = P(–1) =	P(2) =	P(–2) y 
son	iguales	a	7,	y	al	ser	dividido	
por x 2 – 3se obt iene como 
residuo –6x +	17,	halle	el	término	
independiente	de	P(x).
A) –13 B) 13 C) 17
D) –17 E) 7
Problema 3
El	resto	de	la	división	de	un	polinomio	P(x)	entre	x2 + 3x + 2 
es 2x + 3; y entre x2 + 2x – 3 es x – 2. Hallar el resto de la 
división	de	P(x)	entre	x2 – 1.
A) –x + 2 
B) –3x + 5 
C) –x 
D) 2x – 1
E) 2x – 3
UNMSM 2004-I
Resolución:
P(x) = (x + 2)(x + 1) – 8(x) + 2x + 3 →	P(1)	= 1
P(x)	= (x + 3)(x – 1)Q(x) + x – 2→P(1)	= –1
P(x)	= (x2 – 1) Q2(x) + Ax + B→ 
A + B = –1
–A + B = 1
B = 0A = –1
14
2
4
3
Respuesta: C) –x
11san marcos rEGULar 2014 – II áLGEbra TEma 8
SnII2X8
áLGEbra
TEma 8
bInomIo DE nEWTon - 
cocIEnTEs noTabLEs
DESARROLLO DEL TEMA
I. FACTORIAL
	 Se	define	el	factorial	de	un	número	entero	positivo	a	la	
multiplicación	 de	 números	 consecutivos,	 comenzando	
desde	la	unidad	hasta	el	número	dado.
 
n	ó	= 
1.2.3...n;	n∈
			1							;	n	= 0 
14
2
4
3
 Propiedades
	 •	 n!	=	n(n	– 1)1;	n	≥	1
	 •	 a!	=	b!	⇔	a	= b;	a,	b	∈+	–	{0,	1}
II. NúmeRO COmbINATORIO
	 Se	denota	C índice	superioríndice	inferior
	 Se	define:	 n0
n!C .
r !(n – r)!
= Donde:	n,	r,	∈+0;	n	≥	r
Propiedades
Valores usuales
n n n
0 n 1C C 1 , C n= = =
Degradación de un número combinatorio
Índice superior
n n 1
r r
nC C
n r
–=
–
Índice inferior
n n
r r 1
n r 1C C
r –
– +=
Ambos índices 
n n–1
r r–1
nC C
r
=
Número combinatorio complementario
n n
r n–rC C=
Suma de números combinatorios
n n n 1
r 1 r r 1C C C
+
+ ++ =
Igualdad de número combinatorios
n x
r y
n x r y
C C
n x r y n
∧ 
⇔  ∧ 
= =
=
= + =
III. DesARROLLO DeL bINOmIO De NewTON 
CON expONeNTe NATuRAL.
	 Forma;	(x	+ y)n
	 Desarrollo:		
n n n n n 1 n n 2 2 n n
0 1 2 n(x y) C x C x y C x y ... C y
– –+ = + + + +
	 Ejemplo:	Desarrollo	(a	+	b)3
	 Solución
	 Para	desarrollar	se	identifica	que	el	exponente	del	binomio	
es	3(n	=	3),	entonces:	
 
3 3 3 3 2 3 2 2 3
0. 1 2 3(a b) C a C a b C ab C b+ = + + +
	 Para	determinar	los	coeficientes	del	desarrollo	del	Binomio	
de	 Newton	 se	 puede	 utilizar	 también	 el	 triángulo	 de	
Pascal,	el	cuál	está	dispuesto	de	la	siguiente	manera.
 
1
1 1
1
1
1
1
1 1. . . . .
1
1
5 1
3
3
6
10 10
2
3
4
5
4
BINOMIO DE NEWTON - COCIENTES NOTABLES
22 san marcos rEGULar 2014 – IIáLGEbraTEma 8
Estos	coeficientes	se	leen	en	forma	horizontal	(fila),	
cada	fila	corresponde	al	desarrollo	de	la	potencia	de	
un	binomio;	la	primera	fila	corresponde	al	binomio.
(x	+	y)0;	la	segunda	fila	al	binomio	(x	+ y)1,	la	tercera	
fila	al	binomio	(x	+ y)2;	la	cuarta	fila	al	binomio	(x	+ y)3;	
así	sucesivamente.	
Ejemplo:	Desarrolle	(a	+	b)5
Solución:
Para	desarrollar	este	binomio,	corresponde	la	sexta	
fila,	entonces:
(a	+	 b)5 =	 1a5b0 +	 5a4b	+	 10a3b2 +	 10a2b3 + 
5ab4 +	1a0b5
 
Término General
 Sea	el	binomio	(x	+ y)n
 Tk+1:	es	el	término	de	lugar	(k +	1)	dado	por	la	fórmula
n n k k
k 1 kT C x y
–
+ =
	 siendo:	k∈{0;	1;	2;	3;	...;	n}
 Observación:
	 Si	el	término	es	contado	del	extremo	final	(de	derecha	a	
izquierda),	la	fórmula	es:
n n k k
k 1 kT C x y
–
+ =
 Propiedades:
•	 El	número	de	términos	de	desarrollo	del	binomio	de	
Newton	esta	indicado	por	el	exponente	aumentado	
en	uno.
 Número	de	Términos	=	Exponente	del	Binomio	+ 1
 
•	 El	 término	 central	 del	 desarrollo	 del	 binomio	 se	
encuentra	en	el	lugar	 n
2
+	1,	siendo	"n"	un	número	
natural	par.
•	 n n n n n n0 1 2 3 nC C C C ... C 2+ + + + + = 
•	 El	término	independiente	de	una	variable,	es	aquel	
cuyo	exponente	de	la	variable	es	cero.
Cocientes Notables 
	 Son	cocientes	cuya	fórmula	general	es:	
n na b ;n
a b
± ∈
±
+

 El	 desarrollo	 de	 estos	 cocientes	 se	 pueden	 efectuar	
directamente	 sin	 aplicar	 los	 criterios	 generales	 de	 la	
división	algebraica.
	 Todo	 cociente	 notable	 debe	 satisfacer	 los	 siguientes	
principios:
	 1°	 El	resto	de	la	división	debe	ser	igual	a	cero.	
	 2°	 Las	bases	deben	ser	iguales.
	 3°	 Los	exponentes	deben	ser	iguales.
Nota:
C0N0	=	Cociente	Notable
 Casos que se presentan
	 	 Primer	Caso:	 a
n –	bn
a	–	b
 
	 	n:	Puede	ser	par	o	impar,	siempre	será	C0N0	ya	que	
su	resto	es	cero.	El	desarrollo	obtenido	por	la	regla	
de	Ruffini	es:
 a
n –	bn
a	–	b
 =	an – 1 +	an – 2	b	+	...+	bn–1
 
Ejemplo:	 a
4 –	b4
a	–	b
 =	a3 +	a2b	+ ab2 +	b3
 
	 Segundo	caso:	 a
n +	bn
a	+	b
 
	 	n:	En	este	caso	debe	ser	impar	necesariamente,	para	
que	el	resto	sea	cero	y	el	cociente	sea	notable:
	 El	desarrollo	obtenido	por	la	regla	Ruffini	es:
 a
n +	bn
a	+	b
 =	an – 1	–	an – 2	b	+ ...	+	bn – 1
 
	 Ejemplo:	 a
n +	bn
a	+	b
 =	a4 –	a3b	+	a2b2 –	ab3 +	b4
	 Tercer	caso:	 a
n –	bn
a	+	b
 
	 n:	 Para	 este	 caso	 debe	 ser	 un	 número	 par	
necesariamente,	lo	cual	nos	da	un	resto	cero	y	por	
consiguiente	el	cociente	es	notable.
	 El	desarrollo	obtenido	por	la	regla	de	Ruffini	es:
 a
n –	bn
a	+	b
 =	an – 1 –	an – 2	b	+	...	–bn – 1
 
 Ejemplo:	 a
n +	bn
a	+	b
 =	a3 –	a2b	+	ab2 –	b3
	 Cuarto	paso:	 a
n +	bn
a	–	b
 
	 n:	 Ya	 sea	 par	 o	 impar,	 el	 resto	 no	 será	 cero,	 por	
consiguiente	este	tipo	de	cociente	nunca	será	cociente	
notable.
 Propiedades generales de los cocientes nota-
bles
Respecto	al	C0N0	cuya	forma	general	es:	
an ±	bn
a	±	b
 
Se	satisfacen	las	siguientes	propiedades.
1°	 El	resto	de	la	división	debe	ser	igual	a	cero.
2°	 El	número	de	términos	que	tiene	en	su	desarrollo	
es	igual	al	exponente	del	dividendo	del	cociente	
notable.
3°	 El	 desarrollo	 de	 un	 C0N0	 es	 un	 polinomio	
homogéneo	cuyo	grado	es	igual	al	exponente	del	
dividendo	del	C0N0	menos	uno.
4°	 En	el	desarrollo	de	un	C0N0	los	exponentes	de	la	
primera	y	segunda	base	varían	consecutivamente	
en	 forma	 descendente	 y	 ascendente	 desde	 el	
mayor	exponente,	hasta	el	exponente	cero.
5°	 Respecto	a	los	signos	de	los	términos	del	desarrollo	
de	un	C0N0	debemos	considerar	lo	siguiente.	
BINOMIO DE NEWTON - COCIENTES NOTABLES
33san marcos rEGULar 2014 – II áLGEbra TEma 8
Problema 1
Es	el	desarrollo	del	cociente	notable:
x14 +	128
x2 +	2
Halle	el	coeficiente	del	quinto	término.
A)	 16	 B)	 8	 C)	 – 16
D)	 32	 E)	 –8
UNMSM 2014 - I
Resolución:
Del	cociente	notable:
x14 +	128
x2 +	2 = 
(x2)7 +	27
(x2) +	2
Luego:	T5 =	(–1)
5 – 1(x2)7 – 5	.	25 – 1
⇒T5 =	1	.	x
4	.	16	=	16	x4
Nos	 piden:	 El	 coeficiente	 del	 quinto	
término	16
Respuesta: A) 16
Problema 2
Si	 G	 es	medio	 geométrico	 de	 los	 "n"	
números.
1
4
1
4
1
4
1
4; ; ; ; y S;.	.	.
2 3 nJ
K
L
J
K
L
J
K
L
J
K
L
J
K
L
J
K
L
	es	 la	suma	
de	los	n	+	1	coeficientes	de	los	términos	
del	 desarrollo	 de	 (a	+	 b)n.	 Halle	 el	
producto	G.S..
A)	 1/8	 B)	 1	 C)	 2
D)	 1/2	 E)	 4
UNMSM 2013-II
Resolución:
G	= MG	("n"	números)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3 n
n
n.(n 1)
1 2 3 ... n
2nn
n 1 n 1 n 1
2
n 1
1 1 1 1. . ...
4 4 4 4
1 1
4 4
1 1 1 1
4 4 2 2
+
++ + + +
+ +
+
=
= =
= = = =
S	es	la	suma	de	n	+	1	coeficientes	del	
desarrollo	de	(a	+	b)n.	
S =	2n
Entonces:
n n
n 1 n
1 1 1G.S. .2 .2
22 2 .2
 =  
 +
= =
Respuesta: D) 1/2
Problema 3
Halle	 el	 producto	 de	 la	 suma	 de	 los	
coeficientes	de	(2x3 –	3y)5 con	la	suma	
de	los	coeficientes	de	(x	+ y)4.	
A)	 15	 B)	 –16	 C)	 30
D) –18	 E)	 20
UNMSM 2011-II
Resolución:
P(x;	y)	=	(2x3 –	3y5)
Suma	de	coeficientes	
 =	P(1;	1)	=	(2	–	3)5 = –1
Q(x;	y)	= (x	+ y)4
Suma	de	coeficientes
 =	Q(1;	1)	= (1	+ 1)4 = 16
Piden:	(–1)(16)	= –16
Respuesta: B) –16
pRObLemAs ResueLTOs
i)	 –
–
= +,	+,	+	...+	(n:	Par	ó	impar)
ii)	 –
–
 = +,	–,	+	...–,	+	(n:	Impar)
iii)	 –
+
 = +, –,		+,	...,	+,	–,	(n:	par)
Generalización
La	 siguiente	 división	 es	 un	 cociente	 notable	 si	 se	
verifica.
m n
p q
es un Número dex y m n
p qC.N.E. tér minosx y
±
⇔
±
= =
Donde	las	bases	del	cociente	notable	exacto	(C.N.E)		
están	dados	por	los	términos	del	divisor:
Primera	base:	xp
Segunda	base:	yq
Fórmula para calcular el término de lugar "K"
	 En	la	expansión	del	C0N0.
 
   
k1 2 n3
n n
n–1 n–2 n–3 2 n–1
TT T TT
a b a a b a b ... b
a b
± ± + ± ±
± 
=
	 Vemos	 que	 el	 término	 de	 lugar	 "k"	 adopta	 la	 forma	
matemática.
n–k k–1
KT (a) (b) ;±= 1	≤	k	≤	n
	 Debemos	tener	en	cuenta	que:
	 "a":	Primera	base	del	C0N0
	 "b":	Segunda	base	del	C0N0
	 "n":	Número	de	términos	de	C0N0
	 "k":	Lugar	que	ocupa	el	término	que	queremos	determinar.
	 Además:
	 i)	 Tk	es	(+) ⇔	k,	es	impar
	 ii)	 Tk	es	(–) ⇔ k,	es	par,	pero	solo	para	C0N0 de	la	forma.
 ++ 	ó	
–
+
	 iii)	 Tk	siempre	es	positivo	para	una	C0N0	de	 la	 forma	
 
–
–
	 Ejemplo:
	 Dado	el	C0N0:	
a31 +	b31
a	+	b 	 hallar	el	T27