matematica_basica

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MATEMaTICA basica
Autora
Sandra Patricia Narváez Bello
B={2,4,6,8,...}
APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Narváez Bello, Sandra Patricia
Matemática básica : aplicada a la ingeniería civil /
Sandra Patricia Narváez Bello
Bogotá: Universidad Piloto de Colombia, 2018
251 páginas: ilustraciones gráficos
Incluye referencias bibliográficas
ISBN : 9789588957883
 
1. MATEMÁTICA BÁSICA
2. CONJUNTOS – MATEMÁTICAS
3. INGENIERÍA CIVIL
 CDD. 510 
v
MATEMaTICA basica
Autora
Sandra Patricia Narváez Bello
APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
B={2,4,6,8,...}
v
Universidad Piloto de Colombia
 Presidente
José Maria Cifuentes Páez
 Rectora
Ángela Gabriela Bernal Medina
Director de Publicaciones y 
Comunicación Gráfica
Rodrigo Lobo-Guerrero Sarmiento
Director de Investigaciones
Mauricio Hernández Tascón
Coordinador General de Publicaciones
Diego Ramírez Bernal
Decana Programa Ingeniería Civil
Myriam Jeannette Bermudez Rojas
Matemática básica aplicada a la Ingeniería Civil
Autora
Sandra Patricia Narváez Bello
ISBN
978-958-8957-88-3
Copyright © 
Primera edición - 2019
Bogotá, Colombia
Diseño y diagramación
María Paula Martín
Daniela Martínez Díaz
Departamento de Publicaciones y 
Comunicación Gráfica de la Universidad 
Piloto de Colombia
La obra literaria publicada expresa exclusivamente la opinión de sus respectivos autores, de manera que no representan el 
pensamiento de la Universidad Piloto de Colombia. Cada uno de los autores, suscribió con la Universidad una autorización o 
contrato de cesión de derechos y una carta de originalidad sobre su aporte, por tanto, los autores asumen 
la responsabilidad sobre el contenido de esta publicación.
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puedan descargar las obras y compartirlas con otras personas, siempre que se reconozca su autoría y al sello editorial pero no 
se pueden cambiar de ninguna manera ni se pueden utilizar comercialmente.
BY NC ND 
Al Ser Supremo que me ha inspirado para seguir 
adelante y me ha pemitido disfrutar de mis 
seres queridos.
Valoro la posibilidad que me ha dado de seguir 
aprendiendo y divulgando el conocimiento de 
manera didactica y agradable.
contenido
B=
{2,
4,6
,8,
...}
x
x
+
+
{
{
·
·
}
26
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29
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30
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40
42
42
45
47
01
00
CONJUNTOS
INTRODUCCIÓN
1.1. Concepto de conjunto
1.2. Tipos de conjuntos
1.2.1. Conjunto vacío o nulo
1.2.2. Conjunto unitario
1.2.3. Conjunto finito
1.2.4. Conjunto infinito
1.2.5. Conjunto Universal o referencial
Ejercicio N.° 1
Respuestas
1.3. Comparación entre conjuntos
1.3.1. Igualdad
1.3.2. Contenencia o subconjunto
1.3.3. Disyuntivos
1.4. Operación entre conjuntos
1.4.1. Unión de conjuntos
1.4.2. Intersección de conjuntos
1.4.3. Complemento de un conjunto
1.4.4. Diferencia de conjuntos
1.4.5. Diferencia simétrica de conjuntos
Ejercicio N.º 2. 
Respuestas
1.5. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 1 
 1.6. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la 
Ingeniería Civil N.° 1
49
57
02
03
NÚMEROS
NÚMEROS FRACCIONARIOS
50
50
51
51
51
52
52
52
53
53
53
54
54
55
55
58
59
59
59
60
61
2.1. Clasificación de los números 
2.1.1. Números Naturales (N)
2.1.2. Números Cabales (W)
2.1.3. Números Enteros Negativos
2.1.4. Números Enteros (Z)
2.1.5. Números Racionales no Enteros o 
Fraccionarios
2.1.6. Números Racionales (Q)
2.1.7. Números Irracionales (H)
2.1.8. Números Reales (R)
2.1.9. Números Imaginarios
2.1.10. Números Complejos
Ejercicio N.° 3
Respuestas
2.2. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 2
2.3. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la 
Ingeniería Civil N.° 2
3.1. Elementos de una fracción 
3.2. Conceptos de fracción
3.2.1. Fracción como parte de una unidad
3.2.2. Fracción como cociente
3.2.3. Fracción como operador
3.2.4. Fracción como razón
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62
63
64
64
64
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66
66
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70
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76
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78
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v
3.2.5. Fracción como porcentaje
3.3. Comparaciones entre fracciones 
3.3.1. Fracciones equivalentes 
3.3.2. Fracciones homogéneas
3.3.3. Fracciones no homogéneas
3.4. Tipos de fracciones
3.4.1. Fracciones propias
3.4.2. Fracciones impropias
3.4.3. Fracciones mixtas
3.4.4. Fracciones unitarias
3.4.5. Fracciones decimales
Ejercicio N.° 4 
Respuestas
3.5. Operaciones entre fracciones 
3.5.1. Suma y resta entre fraccionarios
3.5.2. Fracciones homogéneas
3.5.3. Fracciones no homogéneas
3.5.4. Multiplicaciones entre fraccionarios
3.5.5. División entre fraccionarios
Ejercicio N.° 5. 
Respuestas
3.6. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 3
3.7. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la 
Ingeniería Civil N.° 2
v
04 POTENCIACIÓN
4.1. Elementos de la potenciación
4.2. Tipos de potencias
4.2.1. Potencia de base positiva
4.2.2. Potencia de base negativa
Ejercicio N.° 6 
Respuestas
4.3. Propiedades de la potenciación
4.3.1. Potencia con exponente igual a cero
4.3.2. Potencia con exponente igual a uno
4.3.3. Potencia de un producto
4.3.4. Potencia de un cociente o fraccionario
4.3.5. Potencia de potencias
4.3.6. Potencia con exponente negativo
4.3.7. Potencia con exponente fraccionario
4.3.8. Potencia de bases iguales
Ejercicio N.°7
Respuestas
4.4. Clases especiales de potencias
4.4.1. Potencia en base natural o base e
4.4.2. Potencia en base 10
Ejercicio N.°8
4.5. Ejercicios de aplicación en la ingeniería civil N.° 4
4.6. Respuestas de los beneficios de aplicación en 
la ingeniería civil N.° 4
84
85
86
86
86
87
88
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89
89
90
90
90
90
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93
94
94
94
96
96
98
05 RADICACIÓN
5.1. Elementos de la radicación
5.2. Clases de raíces
5.2.1. Raíz de índice par
5.2.2. Raíz de índice impar 
Ejercicio N.° 9
Respuestas
5.3. Propiedades de los radicales
5.3.1.Raíz expresada como una potencia
5.3.2. Raíz de cero
5.3.3. Raíz de uno
5.3.4. Raíz de un productor con un mismo índice
5.3.5. Raíz de un cociente o fracción
5.3.4. Raíz de una raíz
5.3.5. Potencia de una raíz
5.3.6. Multiplicación de dos radicales con dife-
rentes índice y la misma cantidad subradical
Ejercicio N.° 10
Respuestas
5.4. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil
5.5. Resultados de los ejercicios de aplicación en la 
Ingeniería Civil N.° 5
100
101
102
102
103
105
105
106
106
106
107
107
108
108
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110
111
111
112
116
06 LOGARITMACIÓN 117
119
119
120
120
121
122
122
123
123
123
123
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124
124
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125
126
127
128
129
131
6.1. Tipos de logaritmos
6.1.1. Logaritmo decimal o vulgar
6.1.2. Logaritmo natural o neperiano 
6.1.3. Logaritmo binario
6.1.4. Logaritmo en base a: loga x
Ejercicio N.° 11
Respuestas
6.2. Propiedad de los logaritmos
6.2.1. Logaritmo de cero
6.2.2. Logaritmo de uno
6.2.3. Logaritmo de la misma base
6.2.4. Logaritmo de un producto
6.2.5. Logaritmo de un cociente o fracción
6.2.6. Logaritmo de una potencia
6.2.7. Logaritmo de un radical
6.2.8. Igualdad de logaritmos
6.2.9. Transformación de logaritmos 
Ejercicio N.° 12
Respuestas
6.3. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 6
6.4. Resultados de los ejercicios de aplicación en la 
Ingeniería Civil N.° 6
07 TÉRMINOS ALGEBRAICOS
7.1. Expresiones algebraicas
7.2. Tipos de expresiones algebraicas
7.3. Polinomios según el número de 
términos algabráicos
7.3.1. Monomio
7.3.2. Binomio
7.3.3. Trinomio
Ejercicios N.° 13 
Respuestas
7.4. Polinomios según su grado
7.4.1. Polinomio grado cero
7.4.2. Polinomio de primer grado
7.4.3. Polinomio de segundo grado
7.4.4. Polinomio de tercer grado
7.4.5. Polinomio de cuarto grado
Ejercicio N.° 14
Respuestas
7.5. Simplificación de expresiones algebraicas
7.5.1. Términos semejantes
7.5.2. Ley de multiplicaciónde signos
7.5.3. Signos de agrupación
7.6. Suma y resta de polinomios
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135
135
136
136
136
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138
139
139
139
140
140
141
143
143
143
143
144
144
145
Ejercicio N.° 15
Respuestas
7.7. Multiplicación algebraica
7.7.1. Multiplicación de una constante (número) 
por un polinomio
Ejercicio N.°16 
Respuestas
7.7.2. Multiplicación de un monomio por 
un polinomio
Ejercicio N.° 17
Respuestas
7.7.3. Multiplicación de polinomios
Ejercicio N.° 18
Respuestas
7.8. División algebraica
7.8.1. División entre monomios
7.8.2. División entre fracciones
7.8.3. División de un polinomio por un monomio
7.8.4. División entre polinomios
Ejercicio N.° 19 
Respuestas
7.9. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil 
N.° 7 Términos algebraicos
7.10. Respuestas de los ejercicios de aplicación en 
la Ingeniería Civil N.° 7
147
147
147
147
148
148
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149
149
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151
151
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156
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08 FACTORIZACIÓN 164
166
166
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173
173
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182
182
184
187
8.1. Métodos de fractorización
8.1.1. Factorización de un monomio
8.1.2. Factorización de un polinomio
8.2. Caso I: factor común
8.3. Caso II: factor común por agrupación de términos
8.4. Caso III: trinomio cuadrado perfecto
Ejercicio N.° 20
Respuestas
8.5. Caso IV: Diferencia de cuadrados
Ejercicio N.° 21
Respuestas
8.6. Caso especial del caso IV (diferencia de cuadra-
dos y combinación de los casos III y IV)
8.6.1. Caso especial de diferencia de cuadrados
8.6.2. Caso especial combinación de los casos III y IV
Ejercicio N.° 22
Respuestas
8.7. Caso V: trinomio cuadrado perfecto por adición 
y sustratación
8.7.1. Caso especial: suma de los cuadrados
Ejercicio N.° 23
Respuestas
8.8. Caso VI: Trinomio de la forma x2 + bx + c
8.8.1. Caso especial del caso VI
Ejercicio N.° 24
Respuestas
8.9. Caso VII: trinomio de la forma ax2 + bx + c
8.9.1. Casos especiales del caso VII
8.9.1.1. Casos especiales del caso VII
Ejercicio N.°25
Respuestas
8.10. Caso VIII: cubo perfecto de binomios
Ejercicio N.° 26
Respuestas
8.11. Caso IX: suma o diferencia de cubos
Ejercicio N.° 27
Resultados
8.11.1. Caso especial del caso IX
Ejercicio N.° 28
Respuestas
8.12. Caso X: suma o diferencia de dos 
potencias iguales
Ejercicio N.° 29
Respuestas
8.13. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil 
N.° 8. Factorización
8.14. Respuestas de los ejercicios de aplicación en 
la Ingeniería Civil N.° 8. Factorización
187
187
189
189
192
192
193
195
195
195
197
197
197
200
200
200
203
203
203
209
09
10
FRACCIONES ALGEBRAICAS
REFERENCIAS
9.1. Reducción de fracciones
9.1.1. Fracciones con monomios
9.1.2. Fracciones con polinomios
9.2. Operaciones entre fracciones algebraicas
9.2.1. Suma y resta de fracciones algebraicas
Ejercicio N.° 30
Resultados
9.2.2. Multiplicación de fracciones algebraicas
Ejercicio N.° 31
Resultados
9.2.3. División entre fracciones algebraicas
Ejercicio N.° 32
Resultados
9.3. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil 
N.° 9. Fracciones Algebraicas
9.4. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la 
Ingeniería Civil N.° 9 Fracciones algebraicas
211
229
213
214
214
215
215
217
217
217
219
219
219
221
221
221
227
11 ANEXOS
Números
Clasificación de los números
Números fraccionarios
Conceptos de fracción
Las formas de comparar fracciones
Resumen de los diferentes tipos de fracciones
Potenciación
Resumen tipos de potencia
Resumen propiedades de la potenciación
Resumen clases especiales de potencias
Radicación
Resumen características de raíz índice par e impar
Resumen propiedades de la radicación
Logaritmación
Resumen tipo de logaritmos
Resumen propiedades de los logaritmos
Términos algebraicos
Resumen tipo de expresiones algebraicas
233
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235
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243
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246
247
248
249
250
251
B={2,4,6,8,...}
x
x
x
+
{
{
}
introduccion
E
l álgebra básica es una de las bases de la In-
geniería Civil, pues contribuye al desarrollo del 
pensamiento lógico-matemático. Además propor-
ciona herramientas importantes para resolver problemas 
cotidianos propios del ejercicio profesional.
Para avanzar en la construcción de nuevos conocimientos, 
es indispensable que el estudiante de los primeros niveles 
de Ingeniería Civil afiance los conceptos relacionados con 
conjuntos, números, números fraccionarios, potenciación, 
radicación, logaritmación, términos algebraicos, factori-
zación y fracciones algebraicas.
23
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
De manera sencilla y visual, este libro presenta conceptos de 
matemática básica aplicados a la Ingeniería Civil. Por ello, cada 
tema contiene una gráfica en la que se explica el procedimiento 
matemático correspondiente a un ejercicio. El uso del color se-
ñala los diversos elementos que se deben tener presentes para 
desarrollar cada ejercicio. 
También se presentan ejercicios relacionados con las diversas 
áreas de aplicación de la Ingeniería Civil. Ejercicios relacionados 
con la construcción, el diseño de vías y estructuras, la hidráuli-
ca de fluidos, el financiamiento de proyectos, la construcción 
de redes de suministro de agua caliente o presas de embalses, 
el manejo de escombros, los ensayos de laboratorio, las herra-
mientas de construcción, el diseño de acueductos y tanques de 
almacenamiento, la hidráulica de pozos, los caudales de tuberías, 
la geotecnia, entre otros. 
Los conceptos plasmados en este texto se fundamentan en im-
portantes publicaciones de autores como: Álvarez Jiménez, R. A. 
y Mejía Duque, F. G. (2006), Baldor, Cárdenas, J. L. (2014), Escu-
dero Trujillo, R. (2015), Fuentes Medina, A. A. (2015), Peters, M. y 
Schaaf, W. L., Pérez, K. M. (1984), Ramírez V., A. P. y Cárdenas A., 
J. C. (2001), Sánchez Hernández, R. (2014) y Viedma, J. A. (1957).
B=
{2
,4
,6
,8
,..
.}
x
x x
+
{ }
conjuntos
01
Un conjunto es la agrupación de elementos que se carac-
terizan por cumplir con alguna particularidad, el cual está 
conformado por un grupo de objetos (llamados elementos) 
que tiene alguna característica en común.
Los conjuntos usualmente se denominan con letras ma-
yúsculas, tales como S, M, P, etc.
Los conjuntos se pueden especificar por comprensión 
y por extensión.
1.1. Concepto de conjunto
27
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Por comprensión. Se expresa claramente la característica por la 
cual se agrupan elementos que hacen parte del conjunto. 
Por extensión. Se relaciona expresamente cada uno se los elemen-
tos que hacen parte del conjunto. Para este ejemplo, el conjunto se 
expresa además por extensión de la siguiente forma:
P = { x/x por las letras que forman la palabra “disciplina” }
P = {d,i,s,c,p,l,n,a}
Ejemplo N.° 1
Es importante aclarar que cuando un conjunto está conformado por 
un número infinito de elementos, sólo se define por compresión y 
no por extensión.
Como se observa en la gráfica N.° 1, el conjunto P está conformado 
por ocho elementos. La gráfica muestra que el elemento a hace 
parte del conjunto P. Matemáticamente esto se expresa como sigue: 
a ∈ P, donde el símbolo ∈ se lee “pertenece”, es decir, “a pertenece 
al conjunto P”.
Cuando un elemento no hace parte del conjunto, matemáticamente 
se expresa así: b ∉ P, donde el símbolo ∉ se lee “no pertenece”. Es 
decir, “b no pertenece al conjunto P”.
28
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Como se puede observar, en la forma de extensión se relacionan 
de manera expresa cada uno de los elementos que conforman la 
palabra disciplina. De otra parte, en un conjunto especificado por 
comprensión se indican las características comunes que comparten 
sus elementos.
Agrupación de elementos que se caracterizan 
por cumplir con alguna particularidad
Conjuntos
Extensión Comprensión Diagrama de Venn
P = {d,i,s,c,p,l,n,a}P = { x/x por las letras 
que forman la palabra 
“disciplina”}
d I
S
P
P
n
i
c
a
Gráfica 1. Ejemplo Conjuntos por Extensión, 
Comprensión y Diagrama de Venn
Fuente. Sandra Patricia Narvaez
Diagrama de Venn. Para representar un conjunto de manera 
gráfica se emplea el diagrama de Venn. Para ello, se utilizan ele-
mentos geométricos como: círculos, óvalos, triángulos, rectán-
gulos, entre otros.
Para el ejemplo planteado anteriormente, el conjunto P se podría 
representar por medio del diagrama de Venn relacionado en la si-
guiente gráfica:
29
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Los cinco tipos de conjuntos con los que usualmente se analizan 
son representados en la gráfica 2.
Gráfica 2. Tipos de Conjuntos
Fuente. Sandra Patricia Narvaez
1.2. Tipos de conjuntos
Tipos de 
Conjuntos
Conjunto Infinito
Es el conjunto el cual tiene 
un número incontable de 
elementos.
Conjunto Unitario
Contiene un solo elemento
Conjunto Finito
Contiene una cantidad 
limitada de elementos.
Conjunto Vacío o Nulo
No contiene algún 
elemento. Se representa 
con la letra (fi): Φ
Conjunto Universal o 
Referencial
Contiene todos los elementos 
posibles en un ejercicio o 
problema planteado.
1.2.1. Conjunto vacío o nulo
Ejemplo N.° 2
Considerando el siguiente conjunto J. 
Por comprensión: J = { x/x todas las ballenas que tienen agallas }
Por extensión: J = { }
30
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
1.2.2. Conjunto Unitario
Ejemplo N.° 3
Considerando el siguiente conjunto K. 
Por comprensión: 
K = { x/x Estrellas que iluminan el día al planeta tierra }
Por extensión: K = { sol }
1.2.3. Conjunto finito
Ejemplo N.° 4. 
Considerando el siguiente conjunto L. 
Por comprensión: 
L = { x/x son los números enteros positivos menores que 7 }
Por extensión: L = { 1,2,3,4,5,6 }
1.2.4. Conjunto Infinito
Ejemplo N.° 5. 
Considerando el siguiente conjunto M.
Por comprensión: 
M = { x/x son los números enteros mayores que 7 }
Por extensión: M = {8,9,10,…}
31
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
1.2.5. Conjunto Universal o Referencial
Ejemplo N.° 6. 
Considerando el siguiente conjunto R:
R = { x/x todos los números reales}
Como contiene una cantidad infinita de elementos, no se puede 
expresar por extensión, sólo por comprensión. 
Los conjuntos tienen dos características: (a) pueden compararse y 
(b) es posible realizar operaciones . En las gráficas 4 y 6 se describen 
la comparación y la operación entre conjuntos. 
32
Ejercicio N.° 1
1. Exprese por extensión los siguientes conjuntos:
1.1. A = {x/x por las letras que conforman la palabra 'musical' }
1.2. B = { x/x son los números que son divisibles por 2 }
1.3. C = { x/x cantidad de países ubicados en el continente americano}
2. Exprese por compresión los siguientes conjuntos:
2.1. D = { 7,14,21,28,35,42,49,56 }
2.2. E = { a,e,i,o,u }
2.3. F = { bicicleta,moto,automóvil,avión,tren,bus,barco,metro }
3. Represente por medio del diagrama de Venn los siguientes 
conjuntos:
3.1. G = { x/x las 3 capitales más importantes de Colombia }
3.2. H = {-10,-5,0,1,2}
3.3. M = {-20,-10,-2,-1}
4. Clasifique los siguientes conjuntos:
4.1. N = { x/x son los números impares entre 3 y 7 }
4.2. O = { x/x son las letas que conforman el abecedario }
4.3. P = { x/x los números que son divisibles por 5 }
4.4. Q = { x/x los números que son divisibles por 0 }
Respuestas:
1. Conjuntos por expresión:
1.1. A = {M,U,S,I,C,A,L}
1.2. B = {2,4,6,8,...}
1.3. C = {35}
33
2. Conjuntos por comprensión:
2.1. D = { x/x son los números positivos menores de 60 y que son 
divisibles por 7}
2.2. E = { x/x son las vocales del castellano}
2.3. F = { x/x principales medios de transporte}
3. Diagramas de Venn
3.1. Diagrama de Venn
BOGOTÁ
MEDELLÍN
CALI
3.2. Diagrama de Venn
-10 -5 0
1 2
3.3. Diagrama de Venn
Gráfica 3. Respuesta del Ejercicio 1
Fuente. Sandra Patricia Narváez
-20
-10
-2
-1
4. Clasificación de conjuntos:
4.1. N: Conjunto unitario
4.2. O: Conjunto finito
4.3. P: Conjunto infinito
4.4. Q: Conjunto vacío
34
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
1.3. Comparación entre conjuntos 
Disyunción
S ≠ T
Comparación entre 
conjuntos
Igualdad
N = O
Contenencia
N ⊂ Q
S T N O
S
Q
Gráfica 4. Comparación entre conjuntos 
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Estos conceptos se analizarán teniendo presente el ejercicio descrito a 
continuación, el cual se expresa con diagrama de Venn en la Gráfica 5.
Se tienen los conjuntos:
U = {a,b,c,d,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
N = {1,2,4,a,b,c}
O = {a,b,c,1,2,4}
Al comparar dos conjuntos se obtiene las situaciones expresadas 
en la gráfica 4.
35
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Q = {1,3,5,7,9,11}
S = {1,3,9}
T = {a,b,c}
V = {1,9,12,c}
1.3.1. Igualdad
Dos conjuntos son iguales cuando los elementos que los conforman 
son idénticos.
Ejemplo N.° 7
N={1,2,4,a,b,c}
O={a,b,c,1,2,4}
Se observa que ambos conjuntos tienen los mismos elementos. 
Por lo tanto, se afirma que N=O.
1.3.2. Contenencia o subconjunto
Se afirma que un conjunto está contenido en otro cuando los ele-
mentos del primero se encuentran entre los elementos del segundo 
conjunto. Se emplea el símbolo ⊂
Ejemplo N.° 8
Q = {1,3,5,7,9,11}
S = {1,3,9}
Se observa que los elementos del conjunto S se encuentran en 
el conjunto Q. En este caso se afirma que S está contenido en Q. 
Matemáticamente se expresa así: Q = S
36
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
1.3.3. Disyuntivos 
Dos conjuntos son disyuntos cuando no tienen un elemento en 
común.
Ejemplo N.° 9
S = {1,3,9}
T = {a,b,c}
Estos dos conjuntos no tienen elementos en común, entonces se 
afirma que son conjuntos disyuntos matemáticamente expresamos 
la relación entre estos conjuntos así: S ≠ T
El siguiente ejercicio ilustra las diversas comparaciones entre conjuntos:
N
U
Q
S
V
T
4 2
1 3
9
8 12
10
5
117
6
b a c
d
Gráfica 5. Respuesta de los ejercicios del 7 al 9.
Fuente. Sandra Patricia Narváez
1.4. Operación entre conjuntos
Al operar varios conjuntos se encuentran las situaciones presentadas 
en la gráfica 5. A continuación explicaremos con más detalle estas 
operaciones partiendo del ejercicio ya planteado.
37
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 6. Operación entre conjuntos.
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Diferencia simétrica 
Q Λ V
Diferencia
Q ‒ S
Complemento
N'
N'
Unión
S ∪ T
Intersección
Q ∩ N
Operación 
entre 
conjuntos
Q V
Q △ V
Q S
S-Q
Q S
Q-S
Q S
S ∪ T
Q S
Q ∩ V
N
1.4.1. Unión de conjuntos 
Es la reunión de todos los elementos que hacen parte de diferentes 
conjuntos en un conjunto nuevo. Para representar esta relación se 
emplea el signo ∪.
38
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
S T∪
ST
b
a
c
1
3
9
Gráfica 7. Ejemplo 10 S∪T.
Fuente. Sandra Patricia Narváez
1.4.2. Intersección de conjuntos 
Es el nuevo conjunto en el cual se relacionan sólo los elementos 
que tienen en común los diferentes conjuntos. Para representar 
esta relación se emplea el signo ∩.
Ejemplo N.° 11
Q = { 1,3,5,7,9,11 }
V = { 1,9,12,c }
Q ∩ V = { 1,9 }
Ejemplo N.° 10
S = {1,3,9}
T = {a,b,c}
S ∪ T={a,b,c,1,3,9}
39
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 8. Ejemplo 11 Q∩V. 
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 9. Ejemplo 12 N'.
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Q
V
1
39
12
511
7c
Q ∩ V
1.4.3. Complemento de un conjunto 
Es un conjunto nuevo (N') que incluye los elementos que no existen 
en el conjunto de estudio (N) y que lo harían idéntico al conjunto 
universal. Se emplea el símbolo '
Ejemplo N.°12
U = { a,b,c,d,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 }
N = { 1,2,4,a,b,c }
N' = { d,3,5,6,7,8,9,10,11,12 }
N'
N'
U
4 2
1
3
98 12
10
5
117
6
b
N
a c
d
40
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
1.4.4. Diferencia de conjuntos
Es un conjunto nuevo en el cual se relacionan los elementos del 
conjunto de estudio queno se encuentran en otro conjunto de 
comparación. Se emplea el símbolo —
Ejemplo N.° 13 
Q = { 1,3,5,7,9,11 }
S = { 1,3,9}
Q - S = { 5,7,11 }
Q
S
1
3 9 5
11
7
Q – S
1.4.5. Diferencia simétrica de conjuntos 
Es un conjunto nuevo o conformado por los elementos que per-
tenecen a la unión de dos conjuntos y que no se encuentran en la 
intersección de los mismos. Se emplea el símbolo: Δ
Gráfica 10. Ejemplo 13 Q-S. 
Fuente. Sandra Patricia Narváez
41
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 11. Ejemplo 14 Q∆V. 
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Ejemplo N.°14
Q = { 1,3,5,7,9,11 }
V = { 1,9,12,c }
Para hallar la diferencia simétrica se deduce inicialmente: 
Q ∪ V = { 1,3,5,7,9,11,12,c }
Q ∩ V = { 1,9 }
Luego se define:
Q Δ V = { 3,5,7,11,12,c }
Q
V
1
39
12
5
117
c
Q Δ S
42
Ejercicio N.º 2 
Comparación y operación entre conjuntos
Teniendo presente los siguientes conjuntos:
A = { 1,2,3,a} 
B = { 3,4,5,e }
C = { a,e,i,o,u}
D = { 6 }
U = { a,e,i,o,u,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }
Determinar:
2.1. Diagrama de Venn
2.2. A∪B∪C
2.3. A∩B∩C
2.4. D'
2.5. AΔB
Respuestas:
2.1. Diagrama de Venn
Gráfica 12. Respuesta del Ejercicio 2.1 Q∆V. 
Fuente. Sandra Patricia Narváez
U
A B
D
C
42
1
3
9
8
10
5
7
6
a e
io u
43
A∪B∪C
A∩B∩C
Gráfica 13. Respuesta del Ejercicio 2.2 A∪B∪C.
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 14. Respuesta del ejercicio N.° 2.2 A∩B∩C.
Fuente. Sandra Patricia Narváez
2.2. A∪B∪C = { a,e,i,o,u,1,2,3,4,5 }
2.3. A∩B∩C = { }
U
A B
D
C
42
1
3
9
8
10
5
7
6
a e
io u
U
A B
D
C
42
1
3
9
8
10
5
7
6
a e
io u
44
Gráfica 16. Respuesta del Ejercicio 2.5 A∆B.
Fuente. Sandra Patricia Narváez
U
A B
D
C
42
1
3
9
8
10
5
7
6
a e
io u
2.4. D' = { a,e,i,o,u,1,2,3,4,5,7,8,9,10 }
2.5. A∆B = { a,e,1,2,4,5 }
U
A B
D
C
42
1
3
9
8
10
5
7
6
a e
io u
Gráfica 15. Respuesta del Ejercicio 2.4 D'.
Fuente. Sandra Patricia Narváez
D'
A∆B
45
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
1.5. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería 
Civil N.º 1 
1. Encuesta de uso de materiales para agua caliente.
Al realizar una encuesta sobre el uso de diferentes materiales 
para el sistema de red de agua caliente CPVC y cobre, entre 
40 obras de construcción de vivienda. Se determinó que 28 
de éstas prefieren el uso de CPVC y 18 emplean cobre. Final-
mente, 8 de ellas indican que usan ambos materiales.
Determine la cantidad de obras que no emplean ninguno de 
estos materiales y realice el diagrama de Venn respectivo.
2. Vinculación de personal con posgrado. 
Una empresa constructora y de diseño requiere vincular 22 
ingenieros civiles con las siguientes maestrías: 
• Maestría en geotecnia: 11
• Maestría en estructuras: 12
• Maestría en recursos hídricos: 10
Se ha establecido que pueden vincularse profesionales con 
dos maestrías:
• Maestría en estructuras y geotecnia: 5
• Maestría en estructuras y recursos hídricos: 4
• Maestría en geotecnia y recursos hídricos: 4
Debido a la importancia de los proyectos se vincularán tam-
bién profesionales con triple titulación.
46
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Establezca:
• ¿Cuántos profesionales cuentan con tres maestrías?
• ¿Cuántos profesionales cuentan sólo con una maestría?
3. Encuesta sobre tipo de presas en embalses. 
Se realizó una encuesta en 28 empresas especialistas en el 
diseño y la construcción de diferentes tipos de presas de em-
balses y se determinó que:
• 12 empresas se especializaron en el diseño de presas 
de enrocado (Tipo A).
• 16 empresas se especializaron en el diseño de presas 
construidas en concreto de arco (Tipo B).
• 22 empresas se especializaron en el diseño de presas 
en tierra (Tipo C).
• 12 se especializaron en 2 tipos de presas.
Establezca:
• ¿Cuántas empresas se especializaron en el diseño y 
construcción de las tres tipos de presas?
47
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
 1.6. Respuestas de los ejercicios de aplicación 
en la Ingeniería Civil N.º 1
1. Encuesta de uso de materiales de agua caliente
• Cantidad de obras que sólo usan CPVC: 20
• Cantidad de obras que sólo usan Cobre: 10
• Cantidad de obras que emplean ambos materiales 
(CPVC y cobre): 8
• Cantidad de obras que no emplea ninguno de estos 
materiales (CPVC y cobre): 2
Diagrama de Venn
U
CPVC COBRE
20
2
8 10
Gráfica 17. Respuesta del ejercicio N.º 1 
de aplicación a la Ingeniería Civil. Uso de 
materiales Red agua caliente.
Fuente. Sandra Patricia Narváez
2. Vinculación de personal con postgrado. 
• Ingenieros con tres maestrías: 2
• Ingenieros con la maestría en geotecnia: 4
• Ingenieros con la maestría en estructuras: 5
• Ingenieros con la maestría en recursos hídricos: 4
48
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
U GEOTECNIA ESTRUCTURAS
RECURSOS HIDRÍCOS
4
4
2
2
2
3 5
U Presas T1 Presas T2
Presas T3
7
1
4
5
6
2 3
3. Encuesta sobre tipo de presas en embalses. 
Empresas que se especializaron en el diseño y la construcción 
de las tres tipos de presas:
Gráfica 18. Respuesta del Ejercicio N.° 2 de 
aplicación a la Ingeniería Civil. Vinculación 
de personal con postgrado.
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 19. Respuesta del Ejercicio N.° 3 de 
aplicación a la Ingeniería Civil. Tipos de 
presas en embalses.
Fuente. Sandra Patricia Narváez
B={2,4,6,8,...}
x
x x
+
+
{ }
NUMEROS
02
En los diferentes tipos de conjuntos se encuentran los que 
relacionados con los números, es decir, los números na-
turales, cabales, enteros negativos, enteros, fraccionarios, 
racionales, irracionales, reales, imaginarios y complejos. 
A continuación explicamos cada clase.
2.1.1. Números Naturales (N)
Es el conjunto de números enteros positivos comenzando 
desde el número uno. No contiene el cero. Los números 
2.1. Clasificación de los números 
51
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
naturales se subdividen en números pares e impares, números 
primos y compuestos.
Ejemplo N.° 15
N = { 1,2,3,4,5,6,7,…,100,… }
2.1.2. Números Cabales (W)
Es el conjunto de números enteros positivos, incluyendo el cero.
Ejemplo N.° 16
W = { 0,1,2,3,4,5,6,7,…,100,… }
2.1.3. Números Enteros Negativos 
Es el conjunto de números enteros negativos, excluyendo el cero.
Ejemplo N.° 17
Enteros negativos = { …,-20,…,-4,-3,-2,-1 }
2.1.4. Números Enteros (Z)
Es el conjunto que reúne los elementos de los números cabales y 
los números enteros negativos.
Ejemplo N.° 18
Z = { …,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... }
52
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
2.1.5. Números Racionales no Enteros o Fraccionarios
Es el conjunto de números que no son enteros y que se expresan 
como una fracción. Se clasifican en propios o impropios, homogé-
neos o no homogéneos.
Ejemplo N.° 19
= 52
1
3
7
8
, —... , — ..., 
Q = 52
7
8
, 0, , 108... , — 20 — ...
2.1.6. Números Racionales (Q)
Es el conjunto que incluye los elementos de los números enteros y 
los racionales no enteros.
Ejemplo N.° 20
2.1.7. Números Irracionales (H)
Es el conjunto que agrupa a los números que no se expresan como 
una fracción.
Ejemplo N.° 21
H = { … , -√11, √2, π, e, … }
Enteros fraccionarios
53
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
R = 52
, 0, e, 1030... , — √2, —20, — ...
2.1.8. Números Reales (R)
Es el conjunto que agrupa a los números racionales e irracionales. 
Se caracterizan porque se pueden ubicar en la recta numérica. 
Ejemplo N.° 22
2.1.9. Números Imaginarios
Es el conjunto de números que no se encuentran en la recta numérica.
Ejemplo N.° 23
Imaginarios = { …, √(-2), √(-1), 3√(-15), … }
2.1.10. Números Complejos 
Es el conjunto de números que incluyen los elementos de los nú-
meros reales e imaginarios.
Ejemplo N.° 24
1
2
, π,3√(-15), …... , —20, — √2, — e, 0,Complejos =
54
Ejercicio N.° 3
Al tener presente los conceptos explicados sobre las operaciones 
entre los conjuntos, indique si las afirmaciones que aparecen a conti-
nuación son correctas o incorrectas.Tenga en cuenta la clasificación 
de los números explicada en la gráfica 139.
3.1. W = N ∪ {0}
3.2. Z = W ∩ N
3.3. R = H ∩ Q
3.4. H = R — Q
3.5. Números complejos = Números imaginarios ∪ R
3.6. Números enteros = Z ― W
3.7. R = N Δ {0}
3.8. Z ⊂ R
Respuestas
3.1. W = N ∪ {0} Correcta
3.2. Z = W ∩ N Incorrecta
3.3. R = H ∩ Q Incorrecta
3.4. H = R — Q Correcta
3.5. Números complejos = Números imaginarios ∪ R Correcta
3.6. Números enteros = Z ― W Correcta
3.7. R = N Δ {0} Incorrecta
3.8. Z ⊂ R Correcta
55
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
2.2. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería 
Civil N.º 2
Indique si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. En 
caso de que la afirmación sea falsa, especifique el motivo.
Para la realización de los cálculos ingenieriles relacionados con el 
análisis estructural se requiere tener presente que:
a. La cuantía del acero no es equivalente a un número negativo, 
pues pertenece a los números naturales (N) enteros positivos.
b. La reacción de una viga no es equivalente a un número imagi-
nario, pues pertenece a los números complejos.
c. La cantidad de flejes en un elemento estructural es equivalente 
a un número entero, el cual pertenece al grupo de los números 
enteros negativos.
d. La deformación de un elemento empotrado es cero. Por lo tanto, 
no es un número cabal.
e. La longitud de una viga es equivalente a un número complejo.
f. El área de una sección transversal de una columna se caracteriza 
por ser un número imaginario.
2.3. Respuestas de los ejercicios de aplicación 
en la Ingeniería Civil N.º 2
a. La cuantía del acero no es un número negativo, pues pertenece 
a los números naturales (N) enteros positivos.
Verdadero
56
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
b. La reacción de una viga no puede ser equivalente a un número 
imaginario, pues pertenece al conjunto de los números complejos.
Falso: los números complejos incluyen los números imaginarios. 
En este caso se afirma que la reacción de una viga pertenece a 
los números reales. 
c. La cantidad de flejes en un elemento estructural debe ser un 
número entero, el cual pertenece al grupo de los números en-
teros negativos.
Falso: La cantidad de flejes es un número entero natural positivo. 
d. La deformación de un elemento empotrado es cero, pues es 
un número cabal.
Verdadero
e. La longitud de una viga es equivalente a un número complejo.
Falso: cualquier longitud se caracteriza por ser equivalente a 
un número real positivo. 
f. El área de una sección transversal de una columna se caracteriza 
por ser equivalente a un número imaginario. 
Falso: Toda área se caracteriza por ser equivalente a un número 
real positivo. 
B={2,4,6,8,...}
x
x x
+
+
{ }
NUMEROS
Fraccionarios
03
E
n matemática se entiende el concepto de frac-
ción como la división de dos números enteros, 
haciendo la salvedad de que el denominador 
debe ser diferente de cero. 
3.1. Elementos de una fracción
La fracción se encuentra comprendida por el numerador y 
denominador, tal como se muestra en la siguiente gráfica:
Gráfica 20. Elementos de una fracción
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Numerador
Denominador
3
5
59
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
La fracción se trabaja bajo los siguientes conceptos:
3.2.1. Fracción como parte de una unidad
Se considera que una unidad se divide en partes iguales y se ha 
seleccionado algunas de ellas. 
Ejemplo N.° 25
Representar la fracción como parte de una unidad. En la siguiente 
gráfica se describe que de cinco partes se toman sólo tres, tal como 
se ilustra en la siguiente gráfica: 
Gráfica 21. Ejemplo 25
Fuente. Sandra Patricia Narváez
3
5
3.2. Conceptos de fracción
3
5
3
5
3.2.2. Fracción como cociente
El concepto de fracción está relacionado con la operación mate-
mática de división, la cual se realiza teniendo como base las tablas 
de multiplicar. 
60
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
3.2.3. Fracción como operador
Para calcular la fracción de un número se multiplica dicho valor por 
el numerador y el resultado se divide por el denominador.
Ejemplo N.° 27
Representar la fracción de $90 bajo el concepto de operador. 
En la gráfica 23 se muestra cómo se calcula la fracción de un número. 
Se multiplica el numerador por $90 y el resultado se divide por 5, 
ya que es el denominador de esta fracción. 
Gráfica 22. Ejemplo 26
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 23. Ejemplo 27
Fuente. Sandra Patricia Narváez
3
5
30= 0 0,6
5
3
5
3 3
5 5 5
Calcular de $90
x $90 ($90) $270 $54
3
5
3
5
Ejemplo N.° 26. 
Representar la fracción como cociente. En la gráfica 22 se ob-
serva que el concepto de cociente consiste en el desarrollo de la 
división expresada en la fracción. 
61
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 24. Ejemplo 28
Fuente. Sandra Patricia Narváez
3.2.4. Fracción como razón
Se emplea la fracción como razón o proporción cuando se comparan 
dos cantidades de una misma magnitud.
Ejemplo N.° 28
En una caja de colores, hay disponibles ocho lápices, de los cua-
les tres son rojos y cinco son azules. Indique la razón que hay 
entre los colores rojos y los azules. En la gráfica 24 se representa 
la situación descrita; por cada tres colores rojos, se encuentran 
cinco de color azul.
En una caja hay 3 colores rojos y 5 azules. 
La razón entre colores rojos y azules es:
3
5
3 : 5 ó
3.2.5. Fracción como porcentaje
Se denomina un porcentaje a una porción que es proporcional al 
número 100, el cual se expresa matemáticamente como una fracción. 
Si se tiene el 50% se entiende que es la mitad del cien.
62
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Ejemplo N.° 29
Representar como un porcentaje la fracción .
En la gráfica 25 se observa que la fracción corresponde 
al 60%.
3
5
3
5
Gráfica 25. Ejemplo 29
Fuente. Sandra Patricia Narváez
3
2
1
4
5
5
5
5
5
5100%
80%
60%
40%
20%
Es muy importante conocer cómo se realiza una comparación en-
tre fracciones, ya que esto facilita su operación. Al comparar dos 
fracciones se pueden encontrar que son fracciones equivalentes, 
homogéneas o no homogéneas. 
3.3.1. Fracciones equivalentes 
Dos fracciones son equivalentes a otra cuando, al multiplicar en 
cruz sus elementos en cruz, se obtiene el mismo resultado.
3.3. Comparaciones entre fracciones 
63
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Ejemplo N.° 30
Verificar que las fracciones y son equivalentes. 
En la gráfica 26 se puede observar este tipo de fracciones. 
3
5
6
5
8
5
3
5
6
10
Gráfica 26. Ejemplo 30
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 27. Ejemplo 31
Fuente. Sandra Patricia Narváez
3
3
6
6
5
5
5(6) = 3(10)
30 = 30
10
10
es equivalente a ya que:
3.3.2. Fracciones homogéneas
Dos fracciones son homogéneas si ambas tienen el mismo denominador. 
Ejemplo N.° 31
Verificar que las fracciones , , sean homogéneas. En la 
gráfica 27 se representa este tipo de fracciones:
−
6
5 8
5 3
5
−
Fracciones homogéneas
64
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
3.3.3. Fracciones no homogéneas
Dos fracciones no son homogéneas cuando tienen diferente de-
nominador. 
Ejemplo N.° 32
Verificar que las fracciones , , sean no homogéneas. 
Ver gráfica 28.
3
5
1
21
2
7
Gráfica 28. Ejemplo 32
Fuente. Sandra Patricia Narváez
1
21
2
7
3
5
−
Fracciones no homogéneas
3.4. Tipos de fracciones
Las fracciones se clasifican en propias, impropias, mixtas y unitarias. 
3.4.1. Fracciones propias
Son aquellas fracciones cuyo numerador es menor que el deno-
minador. Se identifican porque al ubicalas en la recta numérica se 
encuentran entre el cero y el uno.
65
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
3.4.2. Fracciones impropias
Son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador.Ejemplo N.° 34
Verificar si es una fracción impropia. Ver gráfica 30. 
Ejemplo N.° 33
Verificar si , , son fracciones propias.
En la gráfica 29 se observa cómo se ubican estas fracciones en la 
recta métrica decimal.
1
4
2
4
7
4
3
4
Gráfica 29. Ejemplo 33
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 30. Ejemplo 34
Fuente. Sandra Patricia Narváez
1 2 3 4
0.75
4
0 1
2
0,25 0.50
4 4 4
7
4=+
66
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
3.4.3. Fracciones mixtas
Está compuesta por una parte entera y otra fraccionaria. Para con-
vertir una fracción mixta en una impropia se multiplica el denomi-
nador por el número entero y se suma al numerador. El resultado 
corresponde al numerador de la fracción impropia y se mantiene 
como denominador el número de la fracción mixta.
Ejemplo N.° 35
Verificar si 1 es una fracción mixta.
Al analizar esta expresión matemática vemos que está compuesta 
por un número entero y una fracción. Ver gráfica 31. 
Para convertir una fracción mixta en una impropia se realiza la si-
guiente operación:
3
4
Gráfica 31. Ejemplo 35
Fuente. Sandra Patricia Narváez
3 3 74 + 31 1 + = = =4 4 44
Fracciones mixtas
31 4=+
3.4.4. Fracciones unitarias
Las fracciones unitarias se caracterizan porque el numerador y el 
denominador tienen el mismo número.
67
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Ejemplo N.° 36
Verificar si es una fracción unitaria. Ver gráfica 32.
Al analizar esta expresión matemática se observa que el numerador 
y el denominador tienen el mismo número. En la siguiente gráfica 
se observa cómo se representa gráficamente esta fracción.
Gráfica 32. Ejemplo 36
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 33. Ejemplo 37
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Fracciones unitarias
4
4=
3.4.5. Fracciones decimales
Se caracterizan porque su denominador es una potencia de diez. 
Ejemplo N.° 37
Verificar si es una fracción decimal. Ver gráfica 33.
Al analizar esta fracción se observa que el denominador es el nú-
mero diez. 
4
4
9
10
Fracciones decimales
9
10=
68
Ejercicio N.°4 
4.1. Después de estudiar los conceptos de fracción (parte de una 
unidad, porcentaje, cociente, razón y operador), represente 
gráficamente la fracción.
4.2. Compare las siguientes fracciones e indique si son equivalentes, 
homogéneas o no homogéneas:
4.2.1. y
4.2.2. y 
4.2.3. y 
4.3. Clasifique las siguientes fracciones en propias, impropias, mixtas, 
unitarias y decimales.
4.3.1. 
4.3.2.
4.3.3.
4.3.4. 
4.3.5.
5
6
5
3
12
14
−3
10
2
2
12
31
31
12
-5 25
2
7
6
7
8
8
5
8
69
Respuestas
4.1. En la gráfica 34 se ilustra la fracción como parte de una unidad: 
Gráfica 34. Solución Ejercicios 4
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Parte de una unidad
Porcentaje
Cociente
OperadorRazón
Conceptos de 
fracción
1 Numerador
6 Denominador 1
0,166
610
40
4
1
1
6
6 6 6
x $12 1 ($12) $12 $2
Calcular de $12
1
6
1
6
1
8
616,675%
100% 8
6 11
6
ó:
En una bolsa hay 1 pelota roja y 
6 azules. La razón entre colores 
rojos y azules es:
70
4.2.1. y : Fracciones no homogéneas
4.2.2. y : Fracciones equivalentes 
4.2.3. y : Fracciones homogéneas
 
4.3.1. : Fracción decimal
4.3.2. : Fracción unitaria
4.3.3. : Fracción mixta
4.3.4. : Fracción propia
4.3.5. : Fracción impropia
5
3
12
14
−3
10
2
2
12
31
31
12
-5 25
2
7
6
7
8
8
5
8
3.5. Operaciones entre fracciones 
Entre fracciones se realizan las siguientes operaciones matemáticas.
3.5.1. Suma y resta entre fraccionarios
Para realizar la suma o resta de las fracciones se debe tener en 
cuenta qué tipo de fracción se está estudiando.
3.5.2. Fracciones homogéneas
Las fracciones homogéneas tienen el mismo denominador y se 
suman o restan los numeradores para obtener el numerador 
71
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
definitivo. Se deja como denominador el mismo número que 
tienen las fracciones originales. 
Ejemplo N.° 38
Realizar las siguientes operaciones matemáticas: − +
Como son fracciones homogéneas, los denominadores son iguales, 
sólo se suman o restan los numeradores para definir la expresión final.
En la gráfica 35 se relaciona el procedimiento a seguir.
1
5
3
5
2
5
Gráfica 35. Ejemplo N.º 38
Fuente. Sandra Patricia Narváez
1
5
5
− +3
3 − 1 + 2
5
2
5
Fracciones homogéneas
Sumar (o restar) los numeradores 
para definir el nuevo numerador
Emplear el mismo denominador
4
5
3.5.3. Fracciones no homogéneas
Para sumar o restar varias fracciones con diferente denominador 
se debe determinar el común denominador. 
72
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Ejemplo N.° 39
Realizar las siguientes operaciones matemáticas: + −
Como son fracciones no homogéneas sus denominadores son di-
ferentes. En la gráfica 36 se relaciona el procedimiento a seguir.
Gráfica 36. Ejemplo N.º 39
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Fracciones no homogéneas
Hallar el mínimo común multiplo 
(mcm) de los denominadores, 
descomponiéndolos en factores y 
seleccionando los que tienen ma-
yor exponente, sean comunes o no.
Hallar el numerador apli-
cando la siguiente norma:
Numerador por denomina-
dor común (mcm) dividido 
por su denominador.
Operar (sumar o restar) los 
numeradores y tener pre-
sente que el denominador 
es el obtenido como mcm.
Simplificar la fracción.
1
1 x (12)
2 x (12)
1 x (12)
4
4
3
3 + 8 − 2
12
6
4 = 22 3 = 3
mcm = 22 x 3 = 12
6 = 2 x 3
1
6
9
12
2
3 3
1
1
4 4
2 2
1 1
6 6
3 3
3
3
8
2
En la gráfica 37 se observa un resumen de este tipo de sumas y 
restas de fracciones según si son homogéneas o no homogéneas.
1
4
1
6
2
3
73
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 37. Suma y resta entre fracciones
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Suma y resta entre fracciones
1
5
5
− +3
3 − 1 + 2
5
2
5
Fracciones homogéneas
Sumar (o restar) los numeradores 
para definir el nuevo numerador
Emplear el mismo denominador
4
5
Fracciones no homogéneas
Hallar el mínimo común multiplo 
(mcm) de los denominadores, 
descomponiéndolos en factores y 
seleccionando los que tienen ma-
yor exponente, sean comunes o no.
Hallar el numerador apli-
cando la siguiente norma:
Numerador por denomina-
dor común (mcm) dividido 
por su denominador.
Operar (sumar o restar) los 
numeradores y tener pre-
sente que el denominador 
es el obtenido como mcm.
Simplificar la fracción.
1
1 x (12)
2 x (12)
1 x (12)
4
4
3
3 + 8 − 2
12
6
4 = 22 3 = 3
mcm = 22 x 3 = 12
6 = 2 x 3
1
6
9
12
2
3 3
1
1
4 4
2 2
1 1
6 6
3 3
3
3
8
2
74
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
3.5.4. Multiplicaciones entre fraccionarios 
La multiplicación de dos o más fraccionarios se obtiene multiplican-
do los numeradores para obtener un nuevo numerador. La misma 
operación se realiza con los denominadores.
Ejemplo N.° 40
Realizar las siguientes operaciones matemáticas: × ×
En la gráfica 38 se encuentra el procedimiento que se realiza para 
establecer la solución de esta multiplicación entre fracciones. 
1
4
2
3
1
6−
Gráfica 38. Ejemplo N.º 40
Fuente. Sandra Patricia Narváez
1
4
2x x3
1
6−
− −
1 x (2) x (-1)
4 x (3) x (6)
Multiplicación entre fracciones
Realizar las multiplicaciones entre 
numeradores y entre denominado-
res, incluyendo la multiplicación 
de signos. Simplificar la fracción
2 1
72 36
75
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 39. División ente fraccionarios 
Fuente. Sandra Patricia Narváez
3.5.5. División entre fraccionarios 
La división entre fracciones se realiza teniendo presente la multi-
plicación de medios y extremos, tal como lo muestra la gráfica 39.
2 2 x 6 12
−1 x 3 33
2
3÷ 16 −4− 1
6−
División entre fracciones
Numerador
Producto de extremos
Denominador
Producto de medios
Simplificando
76
Ejercicio N.°5. Operacionesentre fracciones
5.1 Realice las siguientes operaciones matemáticas:
5.1.1. 
5.1.2. 
5.1.3.
5.1.4. 
5.2. Realice las siguientes operaciones matemáticas:
5.2.1. 
5.2.2. 
5.2.3. 
5.3. Realice las siguientes operaciones matemáticas:
5.3.1. 
5.3.2.
5.3.3. 
15 -2÷3 3
21 6÷12 15
-8 -5÷5 8
2 5 1210−+ +3 3 33
4 2 95−− −3 9 78
1 -2 61xx3 3 3
21 -2 7 -5x xx2 3 4 5
-8 -2 -5 -9x xx5 3 8 2
21 15 6−+8 3 7
1 9 57−+ −5 3 63
77
2 5 12 910−+ + = =3 3 3 3 33
= 3-8 -2 -5 -9x xx5 3 8 2
=21 -2 7 -5x xx2 3 4 5
49
4
21 6÷12 15 =
35
8
-8 -5÷5 8 =
64
25
15 -2÷3 3 =
5− 2
=4 2 95−− −3 9 78
403
504
=21 15 6−+8 3 7
577
168
=1 -2 61xx3 3 3
122
3
=1 9 5 17−+ −5 3 6 303
Respuestas
5.1.1.
5.1.2. 
5.1.3. 
5.1.4. 
5.2.1. 
5.2.2. 
5.2.3. 
5.3.1.
5.3.2.
5.3.3.
78
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
1. Manejo de escombros
Para el manejo de escombros de una ciudad se ha establecido que 
de veinte localidades, dos de ellas son generadoras de escombros 
de excavación (Tipo A), cinco de construcción (Tipo B), seis gene-
ran escombros de demolición (Tipo C) y tres son generadoras de 
sedimentos (Tipo D). Finalmente, cuatro generadoras por remode-
laciones (Tipo E). Exprese cada uno de estos tipos de generación de 
escombros bajo los siguientes conceptos de fracción: 
• Fracción como parte de una unidad 
• Fracción como cociente
• Fracción como razón
• Fracción como porcentaje
2. Presupuesto de obra
A continuación se relaciona el presupuesto en dólares para la am-
pliación de una vivienda. Determine el total del presupuesto y el 
porcentaje con respecto al presupuesto a cada ítem:
• Ítem A: Excavación en tierra - US 390.
• Ítem B: Compactación de relleno - US 235.
• Ítem C: Construcción de paredes en bloques - US 1.740.
• Ítem D: Afinado e instalación de pisos- US 580.
• Ítem E: Construcción de techo - US 585.
• Ítem F: Construcción de baño - US 1.270.
• Ítem G: Instalación de puertas y ventanas - US 200.
3.6. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería 
Civil N.° 3
79
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
3. Cantidad de concreto para fundir una columna
En el proceso de fundición de una columna se ha determinado 
que falta del volumen del concreto para terminar este proceso. 
Indique qué cantidad es equivalente a las siguientes opciones. Jusiti-
fique su respuesta.
• 
• 
• 
• 
4. Herramientas: llaves 
El tamaño de las herramientas usadas en ingeniería se determina 
por el nombre. Se dispone de las siguientes llaves:
• Llave de tubo 86902: 
• Llave de tubo 86907: 
• Llave de tubo 86912: 
• Llave de tubo 86917:
• Llave de tubo 86932: 
• Llave recta de servicio pesado para tubos 31005: 
Indique ¿cuál de las fracciones es de mayor tamaño? ¿Cuál se caracteriza 
por ser una fracción propia, una fracción mixta y una fracción impropia? 
1
4
5
10
4
1
3
4
7
8
21
16
8
8
11 8
72 16
5
10
2
8
6
4
80
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
5. Avance de obra: vías 
La firma AB Ingenieros está construyendo una vía que comunica 
dos poblaciones.
El primer mes construyó de la vía, el segundo mes , el tercer 
mes y el cuarto mes . Indique la cantidad de vía que debe 
construir para dar por finalizada la obra.
6. Ensayos de laboratorio
En un solo ensayo de laboratorio relacionado con la calidad del 
agua se emplean dos tercios de litro del líquido, ¿cuántos ensayos 
de laboratorio se podrían realizar si se dispone de doce litros?
1
4
2
20
5
20
6
20
3
20
4
20
2
20 = 0,1
1
5
1
8
3
4
3.7. Respuestas de los ejercicios de aplicación 
en la Ingeniería Civil N.° 3
1. Manejo de escombros:
• Fracción como parte de una unidad.
Tipo A: 
Tipo B: 
Tipo C: 
Tipo D: 
Tipo E: 
• Fracción como cociente.
Tipo A: 
81
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Tipo B: 
Tipo C: 
Tipo D: 
Tipo E: 
• Fracción como razón.
Tipo A: ó 2:20 
Tipo B: ó 5:20
Tipo C: ó 6:20 
Tipo D: ó 3:20 
Tipo E: ó 4:20 
• Fracción como porcentaje.
Tipo A: equivale a:10% 
Tipo B: equivale a:25%
Tipo C: equivale a:30%
Tipo D: equivale a:15%
Tipo E: equivale a:20%
2
20
2
20
5
20
5
20
6
20
6
20
3
20
3
20
4
20
4
20
5
20 = 0,25
6
20 = 0,3
3
20 = 0,15
4
20 = 0,2
82
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
2. Presupuesto de la obra
• Total de presupuesto PT:US 5000
• Item A: US390=7.8%PT
• Item B: US235=4.7%PT
• Ítem C: US 1740=34.8%PT
• Item D: US580=11.6%PT
• Item E: US585=11.7%PT
• Item F: US1270=25.4%PT
• Item G: US200=4.0%PT
3. Cantidad de concreto para fundir una columna.
 Equivale a , ya que al simplificar la segunda fracción se ob-
tiene el dato suministrado inicialmente. 
4. Herramientas: laves de tubo
• Llave de tubo 86902: fracción propia
• Llave de tubo 86907: fracción propia
• Llave de tubo 86912: fracción mixta
• Llave de tubo 86917: fracción impropia
• Llave de tubo 86932: fracción impropia
1
4
3
4
7
8
21
16
2
8
11 8
72 16
83
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
• Llave recta de servicio pesado para tubos 31005: . 
Fracción unitaria.
5. Avance de obra: vías- 
Falta por construir de la vía que debe dar por finalizada la obra.
6. Ensayos de laboratorio
Empleando doce litros, puede elaborar diez y ocho ensayos de 
laboratorio. 
8
8
1
20
B={2,4,6,8,...}
x
x
x
+
+{ }
Potenciacion
04
E
s la operación matemática que representa la 
multiplicación repetida de una base tantas ve-
ces como lo indica el índice.
4.1. Elementos de la potenciación
Los elementos que hacen parte de la potenciación son: 
el exponente, la base y la potencia. Estos elementos se 
ubican tal como se indican en la siguiente gráfica: 
Gráfica 40. Elementos de la potenciación
Fuente. Sandra Patricia Narváez
53 = 5 x 5 x 5 = 125
Base
Exponente
Producto 
indicado
Potencia o 
resultado
86
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Según la base se determina el tipo de potencia respectiva.
4.2.1. Potencia de base positiva
Se tiene presente si el exponente es positivo o negativo.
Existen dos posibilidades, las cuales se explican en la gráfica 41 y 
en la que se relacionan los ejemplos respectivos. 
Gráfica 41. Potencia de base positiva
Fuente. Sandra Patricia Narváez
53 = 125
5–2 = 5–3 = 
52 = 25
Potencia de base positiva
Exponente mayor que 
cero (positivo)
Se obtiene potencias 
positivas.
Exponente menor que cero 
(negativo)
Se obtiene potencias posi-
tivas pero menores que 1.
1 11 1
25 12552 53
4.2.2. Potencia de base negativa
Se tiene presente si el exponente es par o impar. En la gráfica 42 se 
relacionan dos ejemplos siguiendo esta clasificación. 
4.2. Tipos de Potencias
Gráfica 42. Potencia de base negativa
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Ejercicio N.° 6 
6.1. Identifique los elementos de las siguientes potencias:
6.1.1. –83
6.1.2. 35
6.1.3. –6–2
6.2. Clasifique las siguientes potencias según el tipo de base, en 
potencias con base positiva o negativa
6.2.1. 135
6.2.2. 8–5
87
(−5)2 = 25 (−5)3 = –125(−5)–2 = (−5)–3 =(−5)2 (−5)3
Potencia de base negativa
Exponente par
Se obtiene potencias 
positivas.
Exponente impar
Se obtiene potencias 
negativas
1 11 1
25 125–
88
6.2.3. –7–1
6.2.4. –135
Respuestas
6.1.1. –83
Base: –8
Exponente: 3
Resultado: –512
6.1.2. 35
Base: 3
Exponente: 5
Resultado: 243
6.1.3. –6–2
Base: –6
Exponente: -2
Resultado: –
6.2.1. 135: Base y exponente positivos
6.2.2. 8–5: Base positiva y exponente negativo
6.2.3. –7–1: Base y exponente negativos
6.2.3. –135: Base negativa y exponente positivo
1
36
89
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
La potenciación cumple las siguientes ocho propiedades.
4.3.1. Potencia con exponente igual a cero
Cuando se tiene una base cuyo exponente es cero, el resultado o 
potencia es igual a uno. Ver gráfica43.
Gráfica 43. Potencia con exponente igual a cero
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 44. Potencia con exponente igual a uno
Fuente. Sandra Patricia Narváez
a0 = 1
40 = 1
Potencia con exponente igual a cero
a1 = a
41 = 4
Potencia con exponente igual a uno
4.3.2. Potencia con exponente igual a uno
Cuando se tiene una base cuyo exponente es igual a uno, el resul-
tado es la misma base. Ver gráfica 44.
4.3. Propiedades de la Potenciación
90
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
4.3.3. Potencia de un producto
Una multiplicación de varios términos a una misma potencia es 
equivalente a la multiplicación de cada factor elevado al exponente. 
Ver gráfica 45.
Gráfica 45. Potencia con exponente igual a uno
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 46. Potencia de un cociente o fraccionario
Fuente. Sandra Patricia Narváez
( a x b )n
( 3 x 4 )2
an x bn
32 x 42
9 x 16
144
=
=
=
=
Potencia de un producto
4.3.4. Potencia de un cociente o fraccionario
Como se observa en la gráfica 46 el fraccionario que se encuentra 
elevado a una potencia que es equivalente a la fracción compuesta 
con el numerador y el denominador elevado a la potencia dada.
=
= =
=
= =
=
Potencia de un cociente 
o fraccionario
an
n
3
25
an − m
25 − 3 22 4
am
23
a
3
an
33 27
b
4
bn
43 64
91
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 48. Potencia con exponente negativo
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 47. Potencia de potencias
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Potencia con exponente 
negativo
=
=
1
1
a− n
4− 2
an
42
Potencia de potencias
{ (an) q } m = an.q.m
{ (42) 3 } 4 = 42.3.4 = 4 24
4.3.5. Potencia de potencias
Se obtiene la base elevada a los exponentes multiplicados.
Como se observa en la gráfica 47 el exponente final es el que se 
obtiene de multiplicar los exponentes de expresión matemática. 
4.3.6. Potencia con exponente negativo
La potencia con exponente negativo es equivalente al fraccionario 
que tiene como numerador un uno y el denominador como la base 
elevada al exponente positivo.
En la gráfica 48 se observa que este tipo de potencias se caracterizan 
porque el exponente es negativo y su equivalente es una fracción.
92
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
4.3.7. Potencia con exponente fraccionario
Es equivalente al radical de la base. En la gráfica 49 se encuentra un 
ejemplo de este tipo de potencias, cuyo exponente es un fraccionario, 
por lo tanto, es una expresión matemática que contiene un radical.
Gráfica 49. Potencia con exponente fraccionario
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Potencia con exponente fraccionario
= =
==
1
1
a a
2 2
n −n
3 3
m m
4 4
√an
√23
m
√anm
√a43
4
4.3.8. Potencia de bases iguales
En este tipo de potencia, si se está multiplicando varias veces la misma 
base con diferente exponente, se suman los exponentes y se deja la 
misma base. Ver gráfica 50.
Gráfica 50. Potencia de bases iguales
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Potencia de bases iguales
an am = am + n
42 4 3 = 45 = 1024
93
1
2
1
2
Ejercicio N.°7
7. Aplique las propiedades de la potenciación para hallar la solución 
de las siguientes expresiones:
7.1. 130 + (–2)1
7.2. (5 × 2)2
7.3. – (([5]–3)–1 )2
7.4. 2–1
7.5. 25
7.6. (63) × (62) × (6–1)
Respuestas
7.1. 130 + (–2)1 = –1
7.2. (5 × 2)2 = 100
7.3. – (([5]–3)–1 )2 = –15609
7.4. 2–1 = 
7.5. 25 = 
7.6. (63) × (62) × (6–1) = 1296
86
84
86
84
1
2
1
5
94
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
De acuerdo con el número que hace parte de la base las potencias 
especiales se clasifica en potencia base diez y potencia en base na-
tural o base e.
4.4.1. Potencia en base natural o base e
Este tipo de potencias se caracterizan por tener como base el número 
e (Euler). El exponente puede ser positivo o negativo. Por ejemplo: e2
Ver gráfica 51.
Gráfica 51. Potencia en base natural o base e
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Potencia en base natural o base e
1 = 2.7182818…n!
n = 0
∞= 2 + 1
1 + 1
2 + 1
1 + 1
1 + 1
4 + 1 …
e
4.4.2. Potencia en base 10
Estas potencias se caracterizan por tener como base el número 10. Su 
exponente puede ser negativo o positivo. Se emplea en la notación 
científica. Ver gráfica 52.
4.4. Clases especiales de potencias
95
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 52. Potencia en base 10
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Potencia en base 10
Multiplos de 10
Prefijo Símbolo Potencia de 10 Equivalente Nombrado como
Deca D 101 10 Diez
Hecta H 102 100 Cien
Kilo K 103 1.000 Mil
Mega M 106 1'000.000 Millón
Giga G 109 1'000.000.000 Billón
Tera T 1012 1'000.000.000.000 Trillón
Peta P 1015 1'000.000.000.000.000 Cuatrillón
Exa E 1018 1'000.000.000.000.000.000 Quintillón
submúltiplos de 10
Prefijo Símbolo Potencia de 10 Equivalente Nombrado como
deci d 10−1 0.1 décimo
centi c 10−2 0.01 centésimo
mili m 10−3 0.001 millésimo
micro μ 10−6 0.000001 millonésimo
nano n 10−9 0.000000001 billonésimo
pico p 10−12 0.000000000001 trillonésimo
femto f 10−15 0.000000000000001 cuatrillonésimo
atto a 10−18 0.000000000000000001 quintillonésimo
zepto z 10−21 0.0000000000000000000001 sextillonésimo
yocto y 10−24 0.000000000000000000000001 septillonésimo
96
Ejercicio N.°8
8.1. Clasifique las siguientes potencias:
8.1.1. e 2
8.1.2. 102
Respuestas:
8.1.1. e 2: Potencia en base natural.
8.1.2. 102: Potencia en base diez.
1. Cantidad de materiales en obra
La urbanización La Alameda está compuesta por nueve manzanas 
de casas. Cada manzana está conformada por nueve casas y cada 
casa contiene nueve ventanas tipo uno, ¿cuántas ventanas tipo 
uno deben ser instaladas?
2. Fundición de una estructura en concreto
Se desea fundir una estructura en concreto rectangular cuyas me-
didas son 3 2m de largo, 3 2m de ancho y 3 2m de alto, ¿cuál es el 
área de formaleta necesaria para realizar esta labor considerando 
que se empleará formaleta para 5 de sus 6 caras?
4.5. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 4
97
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
3. Diseño de acueductos
Una población de 2 mil habitantes triplica su población cada 10 
años. Para proyectar la red de suministro de agua potable es pre-
ciso calcular la cantidad de habitantes P que se tendría en x años. 
Teniendo en cuenta este caso determine:
• ¿Cuál sería la expresión matemática que debe usarse?
• ¿Qué cantidad de habitantes tendría que tenerse presente 
para realizar el cálculo respectivo en 30 años?
4. Tanque de almacenamiento
Se requiere construir un tanque cilíndrico de almacenamiento de 
agua de radio R. El tanque debe tener una capacidad de 150m3. 
Para tal fin, y para garantizar el uso mínimo de concreto, se emplea 
la siguiente expresión matemática: 
Gráfica 53. Ejercicio de aplicación N.° 2
Fuente. Sandra Patricia Narváez
32m
32m32m
300
R22πR =
Establezca qué radio R cumple con esta condición. 
98
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
5. Financiamiento de una constructora 
Una empresa de ingeniería ha diseñado el sistema de financiamiento 
de la construcción de un complejo habitacional y comercial bajo 
la siguiente expresión:
1
2At = 2 + e
−t + t
Donde 
t: Tiempo en meses
At: Cantidad de socios requeridos dependiendo del tiempo t
Determine: 
• Cantidad de afiliados con los que inició este esquema de fi-
nanciamiento. Es decir, cuando t = 0
• Cantidad de socios afiliados al proyecto luego de cuatro meses.
• Cantidad de meses que deben pasar para obtener nueve socios 
afiliados al proyecto. 
4.6. Respuestas de los beneficios de aplicación 
en la ingeniería civil N.° 4
1. Cantidad de materiales en obra
Se necesitan 93 = 729 ventanas tipo uno: 
2. Fundición de la estructura en concreto
Se necesitan 5 × 34 = 405 m2 de formaleta.
3. Diseño de acueductos
• La expresión matemática sería: P = 2000 × 3 :
99
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
• En 30 años P = 54000 los habitantes emplearánla red de su-
ministro de agua potable.
4. Tanque de almacenamiento
• El radio sería de R = 6.90 m
5. Financiamiento de una constructora. 
• Cantidad de afiliados con las que inició este esquema de fi-
nanciamiento: 3 afiliados
• Cantidad de socios luego de 4 meses: 4 afiliados
• Cantidad de meses que debe pasar para obtener 9 socios 
afiliados al proyecto: 14 meses
x
x
x
+
+
{ }
Radicacio n 
05
L
a radicación es la forma de hallar la base consi-
derando el exponente y la potencia trabajados 
en la potenciación.
5.1. Elementos de la radicación
En la siguiente gráfica representa la relación entre la ra-
dicación y la potenciación.
Gráfica 54. Elementos de la radicación
Fuente. Sandra Patricia Narváez
35 = 243
5√243 = 3
Base Raíz
Exponente
Índice
Radical
Potencia
Cantidad
Subradical
Potenciación Radicación
102
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Índice. Es la cantidad de veces que se debe multiplicar un mismo 
número para obtener la cantidad subradical o radicando.
Radical. Es el símbolo √ que se emplea para representar la raíz.
Raíz. Es la cantidad que al ser multiplicado la cantidad de veces 
indicada por el índice, se obtiene el radicando. 
Cantidad subradical o radicando. Es la cantidad a la cual se desea 
determinar la raíz.
5.2. Clases de raíces
Las raíces se clasifican según las características de sus índices.
5.2.1. Raíz de índice par 
Se caracteriza porque el índice es un número par. Para que este 
tipo de raíz pertenezca a los números reales, la cantidad subradical 
debe ser positiva, ya que no se encuentra definida la raíz par para 
los números negativos.
Si esta cantidad subradical es negativa se obtiene un número ima-
ginario. 
La raíz par se caracteriza por obtenerse como resultado de dos nú-
meros: uno positivo y otro negativo. En la gráfica 55 se encuentran 
las principales características de este tipo de raíces.
103
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 55. Característica de raíz indice par
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Raíz con índice par
La cantidad subradical positiva
Se encuentra definida entre los 
números reales R
La cantidad subradical negativa
No se encuentra definido entre 
los números reales. Pertene a los 
números imaginarios.
a2 = b
32 = 9
(±a)2 = b
(±3)2 = 9
√b = ±a
√b = ±a
√9 = ±3
√9 = ±3
(–a)2 = b
(–3)2 = 9
√–b = √(–1)b = √b √(–1) = √b i
√–9 = √(–1)9 = √9 √(–1) = √9 i = 3 i
5.2.2. Raíz de índice impar 
Se caracteriza porque su índice es un número impar. En este caso, 
la raíz está definida tanto para cantidades subradicales positivas 
como para negativas. La raíz de índice impar se caracteriza por-
que tiene un solo resultado, el cual tiene el mismo signo de la 
cantidad subradical.
104
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Gráfica 56. Característica de raíz indice impar
Fuente. Sandra Patricia Narváez
En la gráfica 56 se observa un ejemplo de este tipo de raíz.
Raíz con índice impar
La cantidad subradical positiva o 
negativa
En ambos casos se encuentra defi-
nido entre los números reales.
a5 = b
25 = 32
(–a)5 = b
(–2)5 = –32
√b = a
√a = b √32 = 2
√32 = 5
√–b = –a
√–a = –b √–32 = –2
√–32 = –5
5
5 5
5
5
5 5
5
105
Ejercicio N.°9
9. Identifique los elementos de los siguientes radicales e indique 
qué tipo corresponden:
9.1. √8 = 2
9.2. √–128 = –2
9.3. √16 = 4
Respuestas
9.1. Índice: 3
• Radical Par
• Cantidad Subradical = 8 
• Raíz: 2
9.2. Índice: 7
• Radical impar
• Cantidad Subradical = –128
• Raíz: –2
9.3. Índice: 2
• Radical par
• Cantidad Subradical = 16
• Raíz: 4
3
7
106
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Los radicales cuentan con varias propiedades.
5.3.1.Raíz expresada como una potencia 
Un radical se expresa como una potencia si su exponente es una fracción. 
Ejemplo N.° 41
Analizando el radical √a = b se observa que es equivalente a 
a = b, tal como se observa en la gráfica 57. 
n
5
Gráfica 57. Ejemplo N.° 41
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 58. Ejemplo N.° 42
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Raíz expresada 
como una potencia 
√a = b
√a = bn 5
√9 = ±3
√32 = 2
a = b
a = b
9 = ±3
32 = 2
Raíz de cero
√0 = 0
√0 = 05
5.3.2. Raíz de cero
Si la cantidad subradical es cero se obtiene como resultado cero.
Ejemplo N.° 42
Analizando el radical de la gráfica 58 se observa que √0 = 0
5.3. Propiedades de los radicales
107
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
5
Gráfica 59. Ejemplo N.° 43
Fuente. Sandra Patricia Narváez
5.3.3. Raíz de uno
Cuando la cantidad subradical es 1 el resultado es 1, sin importar 
qué tipo de índice caracteriza el radical.
Ejemplo N.° 43
El radical √1 = 1 
√1 = ±1
√1 = 1 √1 = 15 5
Raíz de uno
Si el radical y el índice es impar 
se obtiene como resultado el 
número uno. Si el índice es par 
se obtiene ± uno.
5.3.4. Raíz de un productor con un mismo índice
La raíz de un producto con el mismo índice es equivalente a la 
multiplicación de los factores de la cantidad subradical.
Ejemplo N.° 44
En la gráfica 68 se analiza el desarrollo de este planteamiento.
√8 (125) (27) = √8 × √125 × √27
= 2 × 5 × 3 = 30
3 3 3 3
108
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Gráfica 60. Ejemplo N.° 44
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 61. Ejemplo N.° 45
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Raíz de un producto 
con un mismo índice 
√a · √b · √c = √a · b · c
√2 · √3 · √5 = √2 · 3 · 5 = √30
√2 · √3 · √4 = √2 · 3 · 4 = √245 5 5 5 5
5.3.5. Raíz de un cociente o fracción
La raíz de un cociente o fracción es equivalente a la división entre 
la raíz del numerador y la raíz del denominador. Esto aplica sólo si 
la cantidad subradical es una fracción. 
Ejemplo N.° 45
En la gráfica 61 se analiza este tipo de ejercicios. 
8 2
125 5= =√1253
√833
Raíz de un cociente 
o fracción
a8
a4
b7
b9
==
==
√a√8
√a√4
√b√7
√b√9
33
33
33
5.3.4. Raíz de una raíz
La raíz de una raíz equivale a la cantidad subradical elevada a la 
multiplicación de los índices de las raíces.
109
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 62. Ejemplo N.° 46
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 63. Ejemplo N.° 47
Fuente. Sandra Patricia Narváez
( √2 )3 = (2 )3 = 2 = √23 = √810 10 10
√10 √10=3 15
5
√a
√5
√a
√5
√a
√5
=
=
=
=
n
3
m
4
mn
12
m
4
n
3
Raíz de una raíz
Ejemplo N.° 46
Para aplicar este concepto se tienen presentes los valores de cada 
subíndice, tal y como se muestra en la gráfica 62.
5.3.5. Potencia de una raíz
La potencia de una raíz equivale a la cantidad subradical elevada 
al exponente dado.
Ejemplo N.° 47
Al analizar una potencia de una raíz se tienen presentes los valores 
del índice y del exponente dado, tal y como lo muestra la gráfica 63.
( √a )n = a = √an 
( √2 )4 = 2 = √24 = √16
m
3
m
3 3
Potencia de una raíz
110
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
5.3.6. Multiplicación de dos radicales con diferentes índice y la 
misma cantidad subradical
Este tipo de radicales se operan como 2 potencias que tienen la 
misma base y diferente exponente. Es decir, sumando los exponentes 
y dejando la misma base. 
Ejemplo N.° 48
En este tipo de ejercicios se tienen presentes los valores de los 
subíndices y del subradical, tal y como se muestra en la gráfica 64.
√3 (√3) = 3 (3 ) = 3 = 3
= 3
5 6
5 6
30
1 1
11
5 6
1 1
30
6 + 5
Gráfica 64. Ejemplo N.° 48
Fuente. Sandra Patricia Narváez
√a x √a = a = an m n m1 1 n · mn + m √4 x √2 = 2 = 2 = 24 3 4 3 12
1 1 7
12
4 + 3
Multiplicación de dos radicales con diferente 
índice y la misma cantidad subradical
111
Ejercicio N.°10
10. Halle el resultado de:
10.1. √25 (36) 4 + – (√8)2
10.2. √6 √6 √6
10.3. √531441
10.4. √0 + √1 – √32(243)(1)
10.5. 
10.6. √46656 
10.7. √15 √15 √15
Respuestas
10.1. 56 + 
10.2. 6 √6
10.3. 9
10.4. –5 
10.5. 
10.6. 6
10.7. √1547
3
3
33
3
30
60
3
5
4 5
5
81
3
125
72
2√4
8
3
5
2
112
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
1. Tolva de almacenamiento
Se quiere construir y pintar una tolva en forma de Tetraedro 
en la que se almacenará arena en una obra de construcción. 
Considerando que su arista a es de 
Gráfica 65. Ejercicio de aplicación N.° 1
Fuente. Sandra Patricia Narváez
a
• Establezca la cantidad de área en m2 que deben cubrir con 
pintura si la expresión matemática respectiva es:
a = √81 metros
Área = a2 √3
V = 
4
• Indique en m3 qué volumen de arena tendría esta tolva, si se 
cuenta con la siguiente expresión matemática:
√2
12
a3 
5.4. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.º5
113
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 66. Ejercicio de aplicación radicación N.° 2. 
Fuente. Sandra Patricia Narváez
4
4
3
3
2. Tanque de almacenamiento esférico
En una construcción se cuenta con un tanque de almacenamiento 
esférico de volumen V = 2304 m3 y se determina la necesidad de 
recubrirlo con un impermeabilizante. 
Considerando que para hallar el área superficial y volumen total 
de un cilindro se emplean las expresiones matemáticas dadas 
a continuación A = 4πR2 y V = πR3, halle:
• El radio interno del tanque R.
• El área total con la que se recubrirá de impermeabilizante 
del tanque.
r
Área superficial: A = 4πR2
Volumen total: V = πR3
114
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
3. Columnas de concreto
Una estructura especial que se emplea en una obra cuenta con un 
tipo de columna de sección rectangular, cuyas características son: 
Gráfica 67. Ejercicio de aplicación radicación N.° 3. 
Fuente. Sandra Patricia Narváez
H
L
A
Largo L = √4 metros
Ancho A = √4 metros
Alto H = √4 metros
Considerando que para hallar el volumen de concreto se emplea 
la siguiente expresión:
V = L × A × H
Indique la cantidad de concreto que se requiere para fundir 16 
columnas que cumplan con estas características.
4
3
115
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 68. Ejercicio de aplicación radicación N.° 4 
Fuente. Sandra Patricia Narváez.
4. Almacenamiento de aguas residuales
Se requiere construir un tanque en forma de cilindro oblicuo para 
almacenar V = 125m3 de aguas residuales de una zona residencial. 
H
R
• Identifique el radio R requerido para la obra, teniendo 
en cuenta que los estudios de suelos afirman que el te-
rreno apto se encuentra a H = 5m de profundad. Tenga 
presente la siguiente expresión que define el volumen de 
un cilindro oblicuo:
V = π × R2 × H
• Calcule el volumen de residuos que se podrían almacenar 
en el tanque si el radio es R = √8π metros y la profundidad 
es H = 2π metros.
3
116
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
5.5. Resultados de los ejercicios de aplicación 
en la Ingeniería Civil N.° 5.
√2
√π
4
5
1
π
3
3
66
37
1. Tolva de almacenamiento
• Área = 9√3 = 35 ⁄ 2m2
• V = =2–3 ⁄ 2m3
2. Tanque de almacenamiento esférico
• R = 12 = 12(π–1 ⁄ 3)m
• A = 576(√π)m2
3. Columnas de concreto
Cantidad de concreto requerido:
V = 64√2 = 2 m3
4. Almacenamiento de aguas residuales
• R = metros
• V = 8π8 ⁄ 3m3
x
x
x
+
+
{ }
Logaritmacion
06
E
ste concepto también está relacionado con la 
potenciación. Veamos: 
Gráfica 69. Explicación de Logaritmación en 
relación con el tema Potenciación
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Logaritmación
35 = 243
log3 243 = 5
5√243 = 3
Base
Base
Raíz
Exponente
Logaritmo
Índice
Radical
Potencia
Cantidad
Subradical
Logaritmando
Potenciación Radicación
119
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Para hallar el exponente es preciso elevar la base para obtener la 
potencia o resultado.
loga x = b
Donde:
a: Base
x: Logaritmando o potencia
b: Logaritmo
6.1. Tipos de logaritmos 
Se han establecido diferentes logaritmos dependiendo de la base 
con la cual se está trabajando. 
6.1.1. Logaritmo decimal o vulgar 
Estos logaritmos tienen como base el número 10 : log10 x = log x
Ejemplo N.° 49
Analizar el siguiente logaritmo:
log100 = 2
120
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
En la gráfica 70 se observa otro ejemplo.
Gráfica 71. Logaritmo natural o neperiano
Fuente. Sandra Patricia Narváez
loge 6 = In 6 = 1,79
6.1.3. Logaritmo binario 
Estos logaritmos tienen como base el número 2, se simboliza con 
la letra lb: log2 x = lbx
Gráfica 70. Logaritmo decimal o vulgar
Fuente. Sandra Patricia Narváez
log10 100 = log 100 = 2
6.1.2. Logaritmo natural o neperiano 
Estos logaritmos tienen como base el número Euler e: Se simboliza 
con la letra ln: loge x = lnx
Ejemplo N.° 50
Analizar el siguiente logaritmo:
lne = 1
En la gráfica se encuentra otro ejemplo:
121
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 72. Logaritmo binario
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 73. Logaritmo en Base a
Fuente. Sandra Patricia Narváez
log2 8 = Ib 8 = 2
log3 9 = 2
Ejemplo N.° 51
La siguiente expresión es la correspondiente a un logaritmo binario: 
lb4 = 2
En la gráfica 72 se encuentra otro ejemplo.
6.1.4. Logaritmo en base a: loga x: 
La base es un número a. 
Ejemplo N.° 52
La siguiente expresión se caracteriza porque su base es el número 
3. log3 27 = 3 Ver gráfica 73 
122
Ejercicio N.°11
11. Identifique los principales elementos de los siguientes logarit-
mos y clasifíquelos:
11.1. log100
11.2. ln28
11.3. lb32
11.4. log5 125
Respuestas
11.1.log100
Logaritmando: 100
Base: 10
Logaritmo en base 10
11.2. ln28
Logaritmando: 28
Base: e
Logaritmo en base e: Logaritmo natural. 
11.3. lb32
Logaritmando: 32
Base: 2
Logaritmo en base: 2
11.4. log5 125
Logaritmando: 125
Base: 5
Logaritmo en base n. En este caso, logaritmo en base 5. 
123
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Los logaritmos tienen diferentes propiedades. A continuación ex-
plicamos estas propiedades por medio de gráficas.
6.2.1. Logaritmo de cero
No se encuentra definido el logaritmo en cualquier base de cero. 
loga 0 = ∄ , es decir, no existe. 
Gráfica 74. Logaritmo de cero
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 75. Logaritmo de uno
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 76. Logaritmo de la misma base 
Fuente. Sandra Patricia Narváez
loga 0 = ∄
loga 1 = 0
loga a = 1
6.2.2. Logaritmo de uno
El logaritmo de 1 es igual a cero en cualquier base: loga 1 = 0 ya 
que a0 = 1
6.2.3. Logaritmo de la misma base
En cualquier base, el logaritmo de dicha base es 1. loga a = 1 ya 
que a1 = a
6.2. Propiedad de los logaritmos 
124
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
6.2.4. Logaritmo de un producto
Este logaritmo es equivalente a la suma de los factores que hacen 
parte del producto.
loga (xyz) = loga x + loga y + loga z
Gráfica 77. Logaritmo de un producto 
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 78. Logaritmo de un cociente o fracción
Fuente. Sandra Patricia Narváez
loga (x·y) = Loga x + Loga y
6.2.5. Logaritmo de un cociente o fracción
Esta operación es equivalente al logaritmo del numerador menos 
el logaritmo del denominador.
loga = loga x – loga y
x
y
loga = loga x – loga y
x
y
6.2.6. Logaritmo de una potencia
Esta operación equivale al exponente multiplicado por el logaritmo 
de la base, tal y como se encuentra representado en la gráfica 79.
loga x
y = yloga x
125
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 80. Logaritmo de un radical
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 79. Logaritmo de una potencia
Fuente. Sandra Patricia Narváez
1
n
1
n
loga x
y = yloga x
6.2.7. Logaritmo de un radical
Esta operación equivale al logaritmo del número dividido por el 
subíndice del radical:
loga √x = loga (x ) = loga x
n
loga x
n
loga √x =
n loga x
n
=
6.2.8. Igualdad de logaritmos
Si 2 logaritmos de igual base son iguales, sus logaritmandos son 
iguales.
loga x = loga y
Se deduce que:
x = y
126
{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA