pau-geometria

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x 2y z 0 
  Dados la recta  r:      y el punto P(1, 0, 1) exterior a r:
x 2y z 2
 a) Hallar la ecuación en forma general del plano   que contiene a r y a P
 b) Hallar la ecuación (como intersección de d
  
   

1.
os planos) de la recta s que 
      pasa por P y es paralela a la recta r
Solución:
x 2y z 0 
a) Dos puntos de la recta r:  
x 2y z 2
  
   
x z 0 
y 0   z 1 , x 1 A( 1, 0, 1)
x z 2
 
       

2y z 1 
x 1   z 1 , y 1 B(1, 1, 1)
2y z 3
   
     

Se tienen los vectores directores  AB (2, 1, 0) y AP (2, 0, 0) 
 
La ecuación implicita del plano que pasa por el punto P(1, 0, 1) con 
vectores AB (2, 1, 0) y AP (2, 0, 0) será: 
 
http://www.estadistica.net/Algoritmos2/pau-geometria.html
2 2 x 1
1 0 y 0 z 1 0
0 0 z 1

    

s rb)  s es paralela a r:  u u AB (2, 1, 0)  
 
x 1 y z 1
s
2 1 0
 
  
x 1 y
    
x 2y 1 0x 1 y z 1 2 1 s
x 1 z 1 z 1 0       2 1 0
2 0
             

 
x 2y z 0 
  Dada la recta  r:      y  los puntos  P(1, 2, 0)  y  Q(0, 1, 3):
x z 0         
 a) Hallar la ecuación del plano   que contiene a r  y  es paralelo a PQ
 b) Hallar la ecuación de la recta s pe
  
  

2.
rpendicular a r que pasa por Q  
      e interseca a r   
Solución:
x 2y z 0 
a) Las ecuaciones paramétricas de la recta r:  
x z 0         
  
  
x 2y 0 
z 0   x 0 , y 0 A(0, 0, 0)
x 0         
 
    

x z 2        
y 1   x 1 , z 1 B(1, 1, 1)
x z 0         
 
     

Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto 
A(0, 0, 0)  con vector director  AB (1, 1, 1):

x
r y
z
 
  
  
La ecuación implicita del plano que pasa por el punto A(0, 0, 0) 
con vectores AB (1, 1, 1) y PQ ( 1, 3, 3) será:  
 
1 1 x
1 3 y 0 y z 0
1 3 z

     
b) Sea H r s  
Como H r  se tiene  (x, y, z) ( , , )    
HQ ( , 1 , 3 )    

Siendo r s AB HQ (1, 1, 1) ( , 1 , 3 ) 0     
 
  
4 4 4 4 4 1 5
 entonces  HQ , 1 , 3 , ,
3 3 3 3 3 3 3
              
   

s
Las ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por el punto 
4 1 5
Q(0, 1, 3) con vector director   HQ , ,  , o bien, 
3 3 3
 v ( 4,   1,  5) , serán:
    
 
  


x 4   
s y 1  
z 3 5
  
  
   
rango(u, v) rango(u, v, AB) 1 Coincidentes 
    
rango(u, v) 1 rango(u, v, AB) 2 Paralelas  
    
rango(u, v) 2 rango(u, v, AB) Secantes 
    
rango(u, v) 2 rango(u, v, AB) 3 Se cruzan  
    
  Encuentra un valor de a 0 para que las rectas:  
x y 5z 3  y 3 z
         y      x 1
2x z 1          a 2
sean paralelas. Para el valor de a que has encontrado, calcula la ecuación 
del plano que conti

    
     
3.
ene a ambas rectas.
Solución:
x y 5z 3 
a) Las ecuaciones paramétricas de la recta r:
2x z 1         
   
   
x y 2 
z 1   x 0 , y 2 A(0, 2, 1)
2x 0  
 
    

 
y 5z 4 
x 1   z 3 , y 11 B(1, 11,3)
z 3           
  
    

Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto 
x          
A(0, 2, 1)  con vector director  AB (1, 9, 2):  r y 2 9  
z 1 2  
 
    
   

s
C( 1, 3,0)   y 3 z
s  x 1
v (1, a, 2)a 2

     
 
sComo  r s Los vectores AB (1, 9, 2)  y  v (1, a, 2)  son 
1 9 2
proporcionales:   a 9
1 a 2
 
   
  
La ecuación implicita del plano que pasa
por el punto A(0, 2, 1) con vectores  
AB (1, 9, 2) y AC ( 1, 1, 1) será:   
 
1 1 x
9 1 y 2 0 11x y 10z 8 0
2 1 z 1

       
 
x 1 y 1 z 2
  Dada la recta r definida por:    
2 3 1
a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r.
b) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es 
    perpencicular a r.
  
 4.
Solución:
x 1 y 1 z 2
a)  r:
2 3 1
  
 
rA(1, 1, 2) , u (2, 3, 1) 

r
La ecuación implicita del plano que pasa por el punto  O(0, 0, 0) 
con vectores directores AO ( 1, 1, 2) y u (2, 3, 1) será:   
 
1 2 x
1 3 y 0 7x 3y 5z 0
2 1 z

        

' rb)  Si  r ' n u (2, 3, 1)   
 
La ecuación implicita del plano  '  
será: 2x 3y z D 0

   
Como  O(0, 0, 0) es un punto 
del plano  ', sustituyendo: D 0 
La ecuación implicita del plano  '  2x 3y z 0    
  Dados los puntos A(2, 1, 1) y  B(0, 0, 1), halla los puntos C en el eje OX
      tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2.
5.
Solución:
AC x AB
A 2
2
 
 
AC (x 2, 1, 1)   

AB ( 2, 1, 0)  

i j k
AC x AB x 2 1 1 i 2 j xk ( 1,2, x)
2 1 0
          
 
 
   
2 2 2 2AC x AB ( 1) 2 ( x) 5 x      
 
2
2AC x AB 5 xA 2 5 x 4
2 2

    
 

25 x 16 x 11   
Los puntos pedidos son:  ( 11, 0, 0)  y  ( 11, 0, 0)
  Considera las rectas:  
x y z 4 0      x 2 0
     r    y       s  
x 2y 7 0          y 5 0
a) Estudia la posición relativa de r y s
b) Halla un punto P de r y otro punto Q de s tales que el vector P
      
       
6.
Q
    sea perpendicular a ambas.
c) ¿Cuántos cuadrados se pueden construir teniendo un vértice en
    el punto P y un lado en la recta s?. Calcula su área. 

Solución:
a) Dos puntos y un vector director de la recta r son:
x y 4 
z 0 y 3 , x 1 A(1, 3, 0)
x 2y 7
 
    

x z 4
y 0 x 7 , z 3 B(7, 0, 3)
x 7     
 
   

rAB (6, 3, 3) u (2, 1,1)    
 
 Adviértase que también se podría haber calculado un vector 
    director de la recta r de la siguiente forma:

x y z 4 0     
r
x 2y 7 0         
   
    
2
2
1
1r
n (1,1, 1)x y z 4 0     
r u n x n
n (1,2, 0)  x 2y 7 0         

 

     
       

 
21r
i j k
u n x n 1 1 1 2 i j k (2, 1,1)
1 2 0
        
 
  
x 2 0
Las ecuaciones paramétricas de la recta s    son:  
y 5 0
 
   
s
x 2  
s y 5 C(2, 5, 0) , v C(0, 0,1)
z   

    
  

Se tienen los vectores:
ru (2, 1,1) 

sv C(0, 0,1)

CB C(5, 5, 3)

2 0 5
Los vectores son linealmente
1 0 5 15 0  
independientes                        
1 1 3
    
Las rectas se cruzan. 
b) Los puntos de las recta r y s tienen la forma:
x 7 2    x 2  
r y         s y 5
z 3      z   
    
       
     
P(7 2 , , 3 ) Q(2, 5, ) PQ ( 5 2 , 5 , 3 )              

r Si  PQ r PQ . u ( 5 2 , 5 , 3 ). (2, 1,1) 0            
  
              (1)2( 5 2 ) ( 5 ) ( 3 ) 0 6 8 0               
s Si  PQ s PQ . u ( 5 2 , 5 , 3 ) . (0, 0,1) 0           
  
             (2)0( 5 2 ) 0 ( 5 ) ( 3 ) 0 3 0              
(1) (2)
6 8 1
Resolviendo el sistema   y  : 
3  2  
      
    

Sustituyendo en P(7 2 , , 3 ) y Q(2, 5, ):     
P(5,1,2) y Q(2, 5,2)  y  PQ( 3, 6, 0)  

c) Se pueden construir dos cuadrados que tengan un vértice 
    en P y un lado en la recta s.
La longitud de los cuadrados
es  PQ

PQ 9 36 45  

2
2
cuadradoA PQ 45u 

  a) Prueba que si dos vectores u  y  v  tienen el mismo módulo, 
          entonces los vectores u+v  y  u v son ortogonales.
     b) Considera los vectores  x ( 1,2, 3)  e  y (2, 3, 1)
   

   
 
 
 
7.
       1) Son linealmente independientes los vectores  x y  y   x y
          2) Calcula el área del paralelogramo que tiene tres vértices 
               consecutivos en los puntos (1, 5,2) , (0
 
 
, 0, 0) y ( 3, 1, 4) 
Solución:
1 2 3 1 2 3a) u (u ,u ,u )  ,  v (v , v , v )  ,   u v  
   
1 1 2 2 3 3u v (u v ,u v ,u v )    

1 1 2 2 3 3u v (u v ,u v ,u v )    

Si  u v u v (u v) . (u v) 0      
   
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3(u v ,u v ,u v ) . (u v ,u v ,u v ) 0        
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3(u v ) . (u v ) (u v ) . (u v ) (u v ) . (u v ) 0          
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3u v u v u v 0       
2 22 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3(u u u ) (v v v ) 0 u v 0  pues   u v          
   
b) 1)  x ( 1,2, 3)  ,  y (2, 3, 1)   
 
x y (1, 5,2) , x y ( 3, 1, 4)     
 
1 5 2 1 5
rango 2   ya que    0
3 1 4 3 1
 
      

Por tanto,    x y   e  x y  son linealmente independientes. 
 
c) BA (1, 5,2)  , BC ( 3, 1, 4)   
 
ParalelogramoA BA x BC
 
i j k
BA x BC 1 5 2 22 i 10 j 14k (22, 10,14)
3 1 4
     
 
 
   
2 2 2 2
ParalelogramoA BA x BC 22 ( 10) 14 780 u     
 
  Dados los vectores  u (a,b,1) , v ( 3, 4,1)  y  w (1,2, c),  
     determina el valor de los parámetros  a, b , c de  manera
     que  los vectores   v  y  w  sean perpendiculares y además 
    
   

  

 
8.
  
 u x w   v  , donde x denota el producto vectorial. 
     ¿Qué ángulo forman u y v en dicho caso?

  
 
Solución:
u (a,b,1) , v ( 3, 4,1) , w (1,2, c)   
  
 Si   v w v.w 0 ( 3, 4,1) . (1,2, c) 0     
    
                                                3 8 c 0 c 5       
i j k
  u x v a b 1 ( 5b 2) i (5a 1) j (2a b)k
1 2 5
       

 
  
u x v ( 5b 2, 5a 1,2a b)    
 
5b 2 3
b 1 / 5
Si  u x  w   v 5a 1 4     
a 3 / 5
2a b 1     
   
      
   
En este caso u y v son perpendiculares:
 
3 1 9 4
u. v , ,1 . ( 3, 4,1) 1 0
5 5 5 5
       
 
 
x y 2 0   x 2             
  Dadas las rectas:   r  y     s  
z 1             y z 5 0
a) Determinar su posición relativa
b) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y 
     el punto de co
    
       
9.
rte
Solución:
x y 2 0  
a) Un punto A y un vector director de  r
z 1            
  
   
21r r
i j k
u n x n 1 1 0 i j u ( 1, 1, 0)
0 0 1
          
 
   
y 2 0
x 0 y 2
z 1     
  
   
A(0,2, 1)
x 2             
Dos puntos B y C y un vector director de  s  
y z 5 0

    
x 2       
z 0 y 5     B(2, 5, 0)
y 5 0

   

x 2       
y 0 z 5      C(2, 0, 5)
z 5 0

     

sBC (0, 5, 5) v (0, 1, 1)     
 
Por otra parte,  AB (2, 3,1)

r s r s
1 1 0 Los vectores son linealmente  
u , v , AB 0 1 1 0 dependientes  y   u , v  no son  
2 3 1 proporcionales                         
 
       
   
Las rectas son secantes

r s r s r su . v u v cos(u v )
     
r su . v ( 1, 1, 0). (0, 1, 1) 1      
 
r su 2 , v 2 
 
  or s
r s r s
r s
1 1
22 . 2
u . v
cos(u v ) (u v ) 120
u v

   
    
 
  Resolver la siguiente ecuación vectorial:  x (2,1, 1) (1, 3, 5)
        sabiendo que  x 6  , donde el símbolo   significa producto 
        vectorial.
  
 


10.
Solución:
Si   x (a,b, c) (a,b, c) (2,1, 1) (1, 3, 5)   
 
i j k
a b c (b c) i (a 2c) j (a 2b)k (1, 3, 5)
2 1 1
       

 
 
3 a
c
b c 1 2sistemacon
a 2c 3
infinitas soluciones
a 2b 5 a 5
b
2
   
   
     

 
2 2 2La solución debe verificar   x a b c 6     

2 2 2a b c 6  sustituyendo, queda:   
2 2
2 2
a 1
a 5 3 a
a 6   3a 8a 5 0  5
2 2 a
3

                  
 
obteniéndose los resultados:  
1  a 1,  b 2,  c 1 x (1, 2,1)     

2
5 5 2 5 5 2
  a ,  b ,  c x , ,
3 3 3 3 3 3
       
 

  Se consideran las rectas:  
x y 1 z 3 x 2 y z 1
     r      y       s  
1 2 2 3 1 1
a) Justificar razonadamente que ambas rectas se cruzan.
b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas.
   
     
 
11.
Solución:
a) Un punto y un vector director de cada recta:
r
x y 1 z 3
r u (1, 2,2) , A(0,1, 3)
1 2 2
 
    


s
x 2 y z 1
s   v (3,1, 1) , B(2, 0, 1)
3 1 1
 
     


AB (2, 1, 4)  

r sSi r y s se cruzan, los vectores u , v y AB serán linealmente
independientes, en consecuencia, su determinante debería
ser distinto de cero.
 
1 2 2
3 1 1 35 0 r  y  r  se cruzan
2 1 4

   
 

b) Denotando por t a la perpendicular común.
t
i j k
w 1 2 2 7 j 7 k
3 1 1
   

 

t tw (0, 7, 7) w (0,1,1)  
 
t rEl plano   que contiene a  w  y  a la recta r: u (1, 2,2) , A(0,1, 3):  
 
0 1 x
1 2 y 1 0 4x y z 2 0
1 2 z 3
          


Un punto Q  de la recta     será  Q s,  se halla sustituyendo las
ecuaciones paramétricas de la recta s en  : 
 

t
x 2 3
x 2 y z 1
s y         
3 1 1
z 1
  
          

4x y z 2 0 4(2 3 ) ( 1 ) 2 0                
11
14 11 0
14

    
33 11 11 5 11 3
Q 2 , , 1 Q , ,
14 14 14 14 14 14
            
   
t
La ecuación de la recta     perpendicular a las rectas  r  y  s, con el
5 11 3
vector director w (0,1,1) y el punto Q , , , será:
14 14 14
     
 

t
5
x                 
14
11
t y         
14
3
z           
14
 

 
   

  
x y z 0   
  Dados el plano  :  x y 2z 5 0  y la recta  r
2x y z 10
a) Calcula el punto de intersección entre el plano y la recta.
b) Encuentra la ecuación continua de la recta  s  contenida en el
  
  
         
12.
  plano  , que es perpendicular a r y corta a la recta r.
Solución:
1
2
x y z 0    n (1,1,1)   
a)   r
2x y z 10 n (2, 1,1)


         


1 2r
i j k
u n x n (1,1,1) x (2, 1, 1) 1 1 1 (2,1, 3)
2 1 1
       

 
 
y z 0    
para x 0  z 5 , y 5 A(0, 5, 5)
y z 10
 
      

x 2          
Las ecuaciones paramétricas de r y 5  
z 5 3    
 
    
   
Para hallar un punto  P r  se sustituyen las ecuaciones 
paramétricas de la recta r en el plano 
 

:  x y 2z 5 0 2 ( 5 ) 2(5 3 ) 5 0              
5 10 0 2  y  el  punto  P(4, 3, 1)       
s
s r
s v n
b) 
s r v u
  
  

 
Como s   y  s corta a r, 
el punto P s
 

s r
i j k
v u x n 2 1 3 ( 1, 7, 3)
1 1 2
      

 
 
x 4 y 3 z 1
La ecuación continua de s:   s
1 7 3
  
  
  
  Un plano   determina sobre la parte positiva de los ejes OX, OY 
y  OZ tres segmentos de longitudes 2, 3 y 4 m, respectivamente.
a) Halle la ecuación del plano  .
b) Halle la ecuación de la recta  r


13.
que contiene a los puntos A(2, 0, 3) y  
    B(0,6, a) y estudie la posición relativa de   y r según los valores de a.
c) Para el caso a 2, halle el punto donde se cortan   y r.

 
Solución:
a) El plano   pasa por los 
puntos A(2,0, 0) ,B (0,3, 0)
y C(0,0, 4)

AB ( 2,3, 0)
AC ( 2,0, 4)
 
 


El plano   se halla con A(2,0, 0) , AB ( 2,3, 0) y AC ( 2,0, 4):    
 
2 2 x 2
3 0 y 0 6x 4y 3z 12 0
0 4 z
  
        
b) La ecuación paramétrica de la recta r que pasa por los
puntos A(2,0,3) , B(0,  6,  a) , con AB ( 2, 6,  a 3) será:  

x 2 2         
r y 6               
z 3 (a 3)
  
  
    
Para hallar la posición relativa de r y  , se sustituyen las
ecuaciones de r en el plano  :


6x 4y 3z 12 0      
 6(2 2 ) 4 (6 ) 3 3 (a 3) 12 0 3 3a 9              
Si  a 1 no existe valor de    r9
Si  a 1   r  y     se cortan               3 3a
   
       
 

9
c) Si  a 2 1
3 3 . 2

    


sustituyendo los valores a 2 y   1 en la recta r:   
x 2 2           
r y 6              se cortan en P(4, 6, 4)
z 3 1          
 
   
  
1 2 3 4  Dados los puntos  P (1, 3, 1) , P (a,2, 0) , P (1, 5, 4)  y  P (2, 0,2), se pide:
a) Hallarel valor de a para que los cuatro puntos estén en el mismo plano.
b) Hallar los valores de a para que el tetra
14.
1 2 3 4
1 3
edro con vértices en P ,  P ,  P ,  P
    tenga volumen igual a 7.
c) Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidisten de P  y de P .
Solución:
1 2 3 4a) Sean los puntos  P (1, 3, 1) , P (a,2, 0) , P (1, 5, 4)  y  P (2, 0,2)
1 3 4 1 3
1 4 4
La ecuación del plano   que pasa por  P ,  P  y  P  con  P P (0,2, 5),
P P (1, 3, 3)  y   P (2, 0,2):
 
 


0 1 x 2
2 3 y 0 21x 5y 2z 38 0
5 3 z 2

         


2Ahora se impone la condición que P (a,2, 0) verifique la ecuación:
28 4
21.a 5.2 2.0 38 0 21a 28 a
21 3
       
b)
1 2P P (a 1, 1,1)  

1 3P P (0,2, 5)

1 4P P (1, 3, 3)   

 Tetraedro 1 2 1 3 1 4
a 1 0 1
1 1
V det P P , P P , P P 1 2 3 7
6 6
1 5 3

    
  

                                                                          
70 10
21a 28 42 a
21 3
    
1 3
1 3
c) Si   '  equidista de P  y de P ,
entonces  M, el punto medio de
 P P , pertenece a   ' :



1 3P P 3M 1, 4,
2 2
     
 
1 3 ' 1 3El plano  ' es perpendicular a P P  , en consecuencia, n P P (0,2, 5)  
 
La ecuación del plano  ' es de la forma:  2y 5z D 0   
3
Como M 1, 4, '  tiene que verificar la ecuación del plano: 
2
  
 
3 31 31
2.4 5. D 0 D ' 2y 5z 0
2 2 2

         
' 4y 10z 31 0    
3x y z 6 0
  Dados el plano   :  x y z 1 0  y  la recta r:   
2x y 2 0     
a) Estudia la posición relativa de r y  . Calcula la distancia de r a 
b) Calcula la ecuación general o implícita del plano
   
        
 
15.
que contiene a r
    y es perpendicular a  .  
Solución:
a)  :  x y z 1 0    
1
2
3x y z 6 0 n (3,1,1)
r:  
2x y 2 0 n (2,1, 0)     


    
    


1
2
3x y z 6 0 n (3,1,1)
r:  
2x y 2 0 n (2,1, 0)     


    
    


1 2r
i j k
u n x n 3 1 1 ( 1,2,1)
2 1 0
    
 
 
Un punto de r, por ejemplo, si y 0:
3x z 6 0
y 0   x 1 , z 3 A(1, 0, 3)
2x 2 0      
  
    

x 1
Ecuaciones paramétricas de r y 2    
z 3
 
  
   
Para hallar la posición relativa de r y  , se sustituyen las
ecuaciones paramétricas de r en el plano  :


:  (1 ) 2 (3 ) 1 0 3 0          
Como la ecuación no tiene solución,  r y  no tienen 
puntos comunes. En consecuencia,  r  


La distancia entre r y  ,  con A(1, 0, 3) y   :  x y z 1 0,  es:      
2 2 2
1.1 1.0 1.3 1 3
dist(r, ) dist(A, ) 3  u 
31 1 ( 1)
  
     
  
c) Como  ' n '   
 
r  ' se determina con A, u  y n

1 1 x 1
' 2 1 y 0 ' x z 4 0
1 1 z 3
 
       
 

  a) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el 
        origen de coordenadas y es perpendicular al plano   determinado
        por los puntos A(1,  0,  2) , B(2,  1,  3)  y  C(3,

16.
 0,  0)
       b) Calcula los posibles valores de a para que el punto P(a,  a,  a)
       equidiste de la recta r y del plano π del apartado anterior. 
Solución:
a) A(1,  0,  2) , B(2,  1,  3)  ,  C(3,  0,  0) AB (1,1,1) , AC (2, 0, 2)  
 

i j k
n AB x AC 1 1 1 ( 2, 4, 2)
2 0 2
     

 
 
n ( 1,2, 1)   

rComo  r u n ( 1,2, 1)     

r
Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por O(0,  0,  0) 
con vector director u ( 1,2, 1):  

x
 r y 2  
z
 
  
  
b)
 La distancia del punto P a la recta r:
r
paralelogramo r r
r
u x OP
Area u x OP u .d d dist(P, r)
u
   
   
r
i j k
u x OP 1 2 1 (3a, 0, 3a)
a a a
    
 

2 2 2 2 2
r ru x OP 9a 9a 3a 2 u ( 1) 2 ( 1) 6        
 
r
r
u x OP 3a 2
d dist(P, r) a 3
u 6
   


Para calcular la ecuación del plano   se toma el punto C(3,  0,  0) 
y  los vectores AB (1,1,1)  y  AC (2, 0, 2) 

  
 
1 2 x 3
1 0 y 0 x 2y z 3 0
1 2 z

        


 La distancia del punto P al plano  : 
2 2 2
1. a 2. a 1. a 3 3 6
dist(P, )
261 ( 2) 1
  
   
  
6 2
 dist(P, ) dist(P,r) a 3 a
2 2
     
  Dado el punto P(1,  1,  1) y el plano  :  x y z 5
       a) Calcula las ecuaciones continuas de la recta perpendicular
            al plano   que pasa por el punto P.
       b) Calcula el punto simétri
   

17.
co de P respecto del plano  . 
Solución:
a) P(1,  1,  1)  ,   :  x y z 5   
rr u n (1,   ‐1,  1)     

x 1 y 1 z 1
r
1 1 1
  
  

b) El punto  O r   se calcula sustituyendo las ecuaciones 
paramétricas de r en la ecuación del plano.
 
x 1
:  x y z 5                               
r y 1
(1 ) (1 ) (1 ) 5
z 1
 
                
4 7 1 7
3 4 O , ,
3 3 3 3
      
 
 
x 1 7 11
   x
2 3 3
P P' y 1 1 5
O y
2 2 3 3
z 1 7 11
   z
2 3 3
  

   
   

  



11 5 11
El punto simétrico de P respecto de     es  P' , ,
3 3 3
   
 
  Dado el punto P(1,  1,  3)  y la recta 
2x y 2z 3 0
                                                         r
x y 4 0          
       encuentre la ecuación general del plano   que es
       perpen
   
    

18.
dicular a la recta r y que cumple  dist(P, ) 3 
Solución:
1
2
2x y 2z 3 0 n (2, 1, 2)
a) P(1,  1,  3)  ,   r
x y 4 0 n (1, 1, 0)           


      
      


1 2r
i j k
r u n n x n 2 1 2 ( 2, 2, 1)
1 1 0
            

 
  
2x 2y z D 0      
2 2 2
2.1 2.1 1.3 D 7 D
Como  dist(P, ) 3 3
3( 2) ( 2) ( 1)
     
   
    

7 D 9 D 16
7 D 9
7 D 9 D 2
   
  
     



Hay dos planos que verifican las 
condiciones:
2x 2y z 16 0      
' 2x 2y z 2 0      
1 2
1 2
  Dados los puntos P(4,  2,  1)  y  Q(3,  3,  1), encuentra los dos 
        puntos, R  y  R ,  del plano  x y 2z 3 0  tales que  
        PQR  y  PQR  son triángulos equiláteros.
     
19.
Solución:
a) P(4,  2,  1)  ,   Q(3,  3,  1) ,    x y 2z 3 0     
Sea R(x, y,z) un punto del plano 
PQ ( 1,1, 0) PQ 2  
 

PR (x 4, y 2, z 1)   

QR (x 3, y 3, z 1)   

Para que el triángulo PQR sea equilátero, se tiene que cumplir:
PQ PR QR 2  
  
2 2 2PR (x 4) ( y 2) ( z 1) 1)2 (      

2 2 2QR (x 3) ( y 3) ( z 1) 2)2 (      

Como R   verifica la ecuación:   (3)x y 2z 3 0    
Operando, resulta el sistema:
2 2 2
2 2 2
x y z 8x 4y 2z 19 0
x y z 6x 6y 2z 17 0
x y 2z 3 0                             
       

      
    
Restando la 2ª ecuación de la 1ª, resulta:  2x 2y 2 0   
2x 2y 2 0 2x 2y 2 0          
z 2
x y 2z 3 0 2x 2y 4z 6 0
        
         
 
x y 2z 3 0 x y 1 x 1 y        
2 2 2Con z 2, x 1 y en  x y z 8x 4y 2z 19 0         
2 2(1 y) y 4 8 (1 y) 4y 4 19 0        
2
y 3 x 4
y 5 y 6 0
y 2 x 3
 
     

1 2Los puntos pedidos son:  R (4, 3,2)  y   R (3, 2,2)
  a)  Si   v 6 ,    w 10  y   v w 14 , calcula el ángulo que forman 
             los vectores  v  y  w.
        b) Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación general del 
             plano 
   
   
 
20.
que pasa por los puntos  A( 1, 5, 0)  y  B(0,1,1)  y es
             paralelo a la recta
3x 2y 3 0
                                               r
2y 3z 1 0

  
    
Solución:
a)  v 6 ,    w 10 ,    v w 14   
   
Por el teorema del coseno: 
2 2 2 ˆa b c 2bc cosA  
2 2 2 ˆ ˆ14 6 10 2.6.10.cosA 196 136 120.cosA    
1ˆ ˆcosA A 120º
2

 
b) A( 1, 5, 0)  ,   B(0,1,1)   ,   AB (1, 4,1)  

1
2
3x 2y 3 0 n (3,2, 0)  
 r
2y 3z 1 0 n (0,2, 3)


   
      


1 2r r
i j k
u n x n 3 2 0 ( 6, 9,6) / u ( 2, 3,2)
0 2 3
      

 
  
Ecuación paramétrica plano  :
x 2         
y 1 4 3
z 1 2   
   
      
    
r
La ecuación general del plano   que pasa por el punto B(0,1,1)
con vectores directores AB (1, 4,1)  y  u ( 2, 3,2):

   
 
1 2 x
4 3 y 1 0 11x 4y 5z 9 0
1 2 z 1

          


1
 Se considera el plano   x 2y z 1 0,  la recta
x 2 y 1
       r z 3  y el punto A(1, 0,2).
3 2
      a) Obtener la ecuación del plano   que pasa por el punto A,   
           es paralelo a la recta  r
      
 
   

21.
  y es perpendicular al plano  .
      b)  Determinar, si es posible, un plano perpendicular a   que
            pase por  A   y que no sea paralelo a  r. 


Solución:
1
a) El vector normal  n  al plano    
está contenido en el plano  . 
 


1
'
r r
1
Siendo el plano   r  un vector paralelo
al vector director u  de la recta  r  (u )
está contenido en el plano  .



 
1
1
r
Un vector perpendicular al plano  
será  n  u x n   


 
r
x 2 y 1
r z 3 u (3, 2, 1)
3 2
 
    

x 2y z 1 0 n ( 1,2,1)        

1 r
i j k
n  u x n 3 2 1 4 j 8k (0, 4, 8)
1 2 1
       

 
 
1
1La ecuación del plano   que pasa por el punto  A(1, 0,2)  con vector 
normal  n (0, 4, 8)  será:

 

10. (x 1) 4.(y 0) 8.(z 2) 0 y 2z 4 0           
x 2 y 1
b) Un punto de  r z 3
3 2
es B(2,1, 3)
 
   
2
2
Se impone que el vector AB  pertenezca al
plano  . De este modo, corta a la recta r
en el punto B, y el nuevo plano   y  r  no
son paralelos.



AB (2,1, 3) (1, 0,2) (1,1,1)  

22 2
Como  x 2y z 1 0 v n ( 1,2,1). Otro vector de 
será AB (1,1,1),  y un punto del plano es  B(2,1, 3). 
             



2 2
x 2 y 1 z 3
  1 1 1 0 x 2y 3z 5 0
1 2 1
  
        


 a) Hallar la recta que corta a las rectas:    
x 2y 2 0x y 2 z 1
               r     y     s
2y z 5 02 3 3
               y que pasa por el punto A( 2, 0, 7)
       b) Calcular la distancia del punt
   
        
 
22.
o  A  a la recta r.   
Solución:
a)Para estudiar la posición relativa de las rectas  r  y  s
rUn punto  P  y un vector director  u  de la recta r:

r
x y 2 z 1
r P(0,2,1) u (2, 3, 3)
2 3 3
 
    


sUn punto  B  y un vector director  v  de la recta s:

x 2y 2 0 y 1
s si  x 0 B(0, 1, 7)
2y z 5 0 z 7 
     
       
 
s
i j k
v 1 2 0 2 i j 2k (2, 1,2)
0 2 1
     
 
 
r sSean  u (2, 3, 3)  ,  v (2, 1,2)  y  PB (0, 1, 7) (0,2,1) (0, 3, 6)        
 
2 3 3
              2 1 2 0 Las rectas  r  y  s  se cruzan
0 3 6

 


  Sea  t  la recta que corta a las rectas r  y  s
    y que pasa por A

El plano    que pasa por A y contiene a s:  
                    x 2y 2 0

    
El punto  A( 2, 0, 7)  cumple la ecuación del plano  x 2y 2 0      
  Se calcula el punto  P r  
x 2       
Las ecuaciones paramétricas de r y 2 3
z 1 3
 
   
   
Sustituyendo  r  en el plano   , resulta:
3
x 2y 2 0 2 2(2 3 ) 2 0
2
             
3 5 11
Sustituyendo el valor    en  r:  P 3, ,
2 2 2
    
 
  Las ecuaciones paramétricas de la recta  t  que pasa por los puntos
5 11 5 25
    A( 2, 0, 7)  y  P 3, ,   con  AP 5, , :
2 2 2 2

          
   

x 2 5         
5 x 2 y z 7
t y               t
2 5 5 / 2 25 / 2
25
z 7     
2
   
        
 

    


r rxb) S u PA h. u 
 
r
r
xu PA
h d(A,r)
u
 


(2, 3, 3) PA ( 2, 0, 7) (0,2,1) ( 2, 2, 8)        

r x
i j k
u PA 2 3 3 30 i 10 j 10k (30,10, 10)
2 2 8
      
  
 
  
2 2 2
r xu PA 30 10 ( 10) 1100 10 11     

2 2 2
ru 2 ( 3) 3 22 2 . 11     

r
r
xu PA 10 . 11
d(A,r) h
u
  


2 . 11
10
5 2
2
 
2 2
Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen 
x y
      de coordenadas y pasa por los focos de la elipse  1            
25 9
 
23. 
Solución:
2 2
2 2x y 1 a 25 , b 9
25 9
   
2 2 2 2Al ser una elipse se cumple que:  a b c 25 9 c c 4       
Los focos de la elipse son:  ( 4, 0)  y  (4, 0)
El radio de la circunferencia es 4. 
2 2 2 2 2Su ecuación es:  x y r x y 16   
x 3 y 1 z 1
Calcular el ángulo que forma la recta  r  
2 5 1
       con el plano   2x 5y 7z 11 0  
  
  

     
24. 
Solución:
ang(r, ) 
r r π r
ˆn .u n . u . cos(n  u ) 
    
r
r
n .u
sen cos(90 )
n . u


   
 
 
2 2 2
r r
x 3 y 1 z 1
r u (2, 5, 1) u 2 5 ( 1) 30
2 5 1
  
           

 
2 2 2n (2, 5, 7) n 2 ( 5) 7 78        
 
rn .u (2, 5, 7) . (2, 5, 1) 4 25 7 28        
 
or
r
n .u 28
sen cos(90 ) 35 22'
n . u 78 . 30



      
 
 
Dado el punto  P(1, 2,2). Calcula la ecuación de la recta  r'  
x 2
      simétrica de  r y 1     respecto del punto P.
z 2    

 
  
  
25.   
Solución:
Sean A y B dos puntos de la recta r, se calculan las 
coordenadas de sus simétricos A' y B' respecto del 
punto P. Es decir, P es el punto medio de los 
segmentos AA'  y  BB'.
La recta  r'  es la que une los puntos A' y B'
0 x 2 y 1 z 0 A(2,1, 0)
x 2
r y 1
z 2    
1 x 1 y 2 z 2 B(1,2,2)
      
 
   
         


2 a 1 b 0 c
1 2 2
 A(2,1, 0)  y   A'(a,b, c) 2 2 2
P(1, 2,2)
 B(1,2,2)  y   B'(d, e, f) 1 d 2 e 2 f
1 2 2
2 2 2
  
    
 
        
con lo que  A'(0, 5, 4)  y  B'(1, 6,2) A'B' (1, 1, 2)     

x            
r' y 5    
z 4 2    

   
   
Dados el  plano    x y z 1 , la recta (x, y, z) (1, 0, 0) (0,1,1),   
      y el punto P(1,1, 0),  se pide:
a) Hallar la ecuación de una recta  s  que sea perpendicular a  r y pase por P.  
b) Hallar el p
       26.   
unto P', simétrico de P respecto de r.
c) Hallar el punto P'', simétrico de P respecto de  .
Solución:
1a) Se halla el plano    , perpendicular a  r  
    que pasa por P:  

1r
x 1
r y u n (0,1,1)
z


     
  

1 1
1P
y z D 0 1 0 D 0 D 1 y z 1 0

                 
1Sustituyendo  r  en    resulta:  
1
1
y z 1 0 1 0
2
           
1 1 1 1
Q(1, , ) Q 1, , QP 0, ,
2 2 2 2
           
   

1 1
La ecuación de la recta  s  que pasa por  P(1,1, 0)  con QP 0, , :
2 2
   
 

x 1       
s y 1
2
z    
2

   

   

b) El punto  Q  es el punto medio del 
P P'
    segmento PP' :  Q
2


1 a
1 a 1  
2
P P' 1 1 b
Q b 0 P'(1, 0,1)
2 2 2
1 c
c 1      
2 2
  

 
    

  



c)  x y z 1 n (1,1,1)       

PPSea la recta  PP :  v n (1,1,1)  

''''
PP''
x 1        
t y 1        
z              
 
   
  
El punto  M  es el punto medio del segmento PP'':  M PP''  
PP''Sustituyendo  t   en    resulta:  
1
  x y z 1 (1 ) (1 ) 1
3
               
2 2 1
M(1 ,1 , ) M , ,
3 3 3
        
 
Las coordenadas del punto P'':   
2 1 d 1
d     
3 2 3
P P'' 2 1 e 1 1 1 2
M e      P'' , ,
2 3 2 3 3 3 3
1 f 2
f       
3 2 3
  

          
 
   



2 2 2
a) Determina el centro y el radio de la esfera: 
                 x y z 2x 4y 8z 4 0
      b) Determina el centro y el radio de la circunferencia intersección  
          de la esfera del apartado
      
27. 
 anterior con el plano z 0.
Solución:
a)  La ecuación de una esfera de centro C(a,b, c) y radio  r  es:
                        
2 2 2 2(x a) (y b) (z c) r     
2 2 2 2 2 2 2x 2ax y 2by z 2zx a b c r 0         
2 2 2Comparando con la ecuación:  x y z 2x 4y 8z 4 0      
22 2 2
2a 2                    a 1                                                 
2b 4                      b 2                                             
2c 8                     
a b c r 4
   
   
 
     

2
c 4                                               
r 1 4 16 4 25 r 5



  
       
El centro de la esfera es el punto  C(1, 2, 4)  y el radio  r 5  
b) Primero se calcula la ecuación de la circunferencia resolviendo
    el sistema:
2 2 2
2 2x y z 2x 4y 8z 4 0 x y 2x 4y 4 0
z 0                                                
       
     

 La ecuación de la circunferencia de centro  C(a,b) y radio  r:  
2 2 2 2 2 2 2 2(x a) (y b) r x 2ax y 2by a b r 0           
2 2Comparando con la ecuación:  x y 2x 4y 4 0    
2 2 2 2
2a 2            a 1                                 
2b 4              b 2                              
a b r 4 r 1 4 4 r 3
    
      
          
El centro de la circunferencia es el punto  C(1, ‐2)  y radio  r 3  
2x y z 3 0
Halla la distancia entre el punto  P(2,1, 3)  y la recta  r:   
x y z 2 0  
   
    
28. 
Solución:
   La recta  r  en forma paramétrica:
o o1 2
x 1 2   
2x y z 3 0 x 1 2z                    
r: r: y 1 3
x y z 2 0   y x z 2 1 3z
z           
                              
También se podía haber hecho:
z 02x y z 3 0 2x y 3
r: x 1 y 1 A(1, 1, 0)
x y z 2 0   x y 2  
      
             
r
i j k
2x y z 3 0 n (2, 1, 1)
r: u 1 1 1 (2, 3,1)
x y z 2 0   n' (1, 1,1) 
2 1 1
       
            
 



r El plano     que pasa por P(2,1, 3) y es perpendicular a r:  n u (2, 3,1)    
 
2(x 2) 3(y 1) (z 3) 0 2x 3y z 10 0             
x 1 2   
 El punto de corte del plano   2x 3y z 10 0  con   r: y 1 3
z           
  
          
  
11
2(1 2 ) 3( 1 3 ) 10 0  
14
            
36 19 11
 El punto de corte Q(1 2 , 1 3 , ) Q , ,
14 14 14
         
 
2 2 2
8 5 31 8 5 31 75
 d(P,r) d(P,Q) PQ , ,
14 14 14 14 14 14 14
                      
       

x 1 y z 2
Calcula la distancia del punto  P(1,2, 3)  a la recta  r:   
2 1 2
 
 

29. 
Solución:
r
x 1 y z 2
r: A( 1, 0,2) u ( 2,1,2) AP (2,2,1)
2 1 2
 
      


 Utilizando la expresión vectorial la distancia del punto P a la recta r:
r
r
x x
i j k
2 2 1
2 1 2AP u (2,2,1) ( 2,1,2) (3, 6, 6)
d(P,r)
u ( 2,1,2) ( 2,1,2) ( 2,1,2)
 
    
  
 
 

2 2 2
2 2 2
3 ( 6) 6 9
                                                                  3
3( 2) 1 2
  
  
  
 La distancia del punto a la recta es independiente del punto de la recta
   que se tome y del vector director.

r
x 1 2
 r: y             B( 3,1, 4) v (4,2, 4) BP (4,1, 1)
z 2 2   
   
        
   

r
r
x x
i j k
4 1 1
4 2 4BP v (4,1, 1) (4, 2, 4) ( 6,12, 12)
d(P,r) 3
v (4, 2, 4) (4, 2, 4) (4, 2, 4)

     
    
     
 
 

a) Halla el lugar geométrico de  los puntos que  equidistan de  los  planos de  
          ecuaciones  3x 4y 5 0   y  2x 2y z 9 0
      b) ¿Qué puntos del eje OY equidistan de ambos planos?
      
30. 
Solución:
a) Si  P(x, y, z) es uno de los puntos del lugar geométrico, entonces:
2 2 2 2 2
3x 4y 5 2x 2y z 9 3x 4y 5 2x 2y z 9
5 33 ( 4) 2 ( 2) 1
         
  
    
9x 12y 15 10x 10y 5z 45  
3 3x 4y 5 5 2x 2y z 9
9x 12y 15 10x 10y 5z 45
     
     
      


x 2y 5z 30 0      
resultando   
19x 22y 5z 60 0
   
    
Son los planos bisectores del diedro que determinan los dos planos dados.
b) Un punto del eje  OY  tiene la forma  P(0, y, 0). La distancia de  P  a cada 
    uno de los planos ha de ser igual, es decir: 
2 2 2 2 2
4y 5 2y 9 4y 5 2y 9
5 33 ( 4) 2 ( 2) 1
       
  
    
12y 15 10y 45 y 15  
3 4y 5 5 2y 9
30
12y 15 10y 45   y    
11
      
    
    




1 2
30
Hay dos puntos  P (0, 15, 0)  y   P 0, , 0
11
   
 
http://www.estadistica.net/Algoritmos2/pau-geometria.html