Guia_N_4_2010

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Práctico 4. Rectas, planos en el espacio
2010
1. Determina los vectores A + B, A−B, 3A, −2B, y represéntalos gráficamente.
(a) A = (2,−1), B = (−1, 1) (b) A = (0, 3,−1), B = (2,−3, 7)
2. Determina el producto escalar A.B
(a) A = (−1, 3), B = (0, 4)
(b) A = (−1,−1, 3), B = (−1, 3,−4)
(c) A = (4, 3,−1), B = (2,−3, 7)
3. ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores son perpendiculares?
(a) A = (1,−1, 1), B = (2, 3, 1)
(b) A = (−5, 2, 7), B = (3,−1, 2)
(c) A = (4, 2,−1), B = (2,−3, 2)
4. Sea A en R3 un vector perpendicular a todo vector X de R3. Prueba que A = 0.
5. Obtén la longitud de cada uno de los siguientes vectores: A = (2,−1), B = (2, 3, 1),
C = (−t/2, 2, 7).
6. Determina el coseno de los ángulos del triángulo cuyos vértices son: (3, 1, 1), (−1, 2, 1) y
(2,−2, 5).
7. Ecuaciones de rectas en R3 : Sea un punto fijo en R3 representado por el vector r0 =
(x0, y0, z0) y sea u un vector dado. Se define la recta L que pasa por ese punto y tiene
la dirección del vector u (vector generador) al conjunto L = {r : r = r0 + tu, t ∈ R}
(ecuación vectorial de la recta L). Se dice que dos rectas son paralelas si sus vectores
generadores son colineales. Sea la recta L definida por r = r0 + tu, t ∈ R, tal que r0 6= 0;
(a) ¿asegura esto que la recta L no pasa por el origen?
(b) Da la ecuación vectorial de las siguientes rectas:
i. L pasa por (−3, 2) y es paralela a (1,−2),
ii. L pasa por los puntos (−3/2, 4) y (1,−5),
iii. L está definida por x = 3t + 1 ; y = 5t− 2 ; z = 2t + 1,
iv. L pasa por (2, 0) y es ortogonal a (1, 3),
v. L pasa por (1, 3) y es paralela a la recta que pasa por (−1, 4) y (3,−2).
8. Ecuación vectorial del plano en R3: Sea P un punto fijo en R3 representado por el vector
r0 = (x0, y0, z0) y sean u y v dos vectores no colineales. Se define al plano S generado por
los vectores u y v que contiene al punto P (r0) al conjunto: S = {r : r = r0+tu+sv, t, sR}
(ecuación vectorial del plano S). Da la ecuación vectorial de los siguients planos:
1
(a) S está generado por (−1, 0, 4) y (2, 3,−10) y contiene al punto (2, 3,−5),
(b) S está generado por (−1, 0, 4) y (2, 3,−10) y contiene al punto (3,−3, 6),
(c) S está generado por
(
−2, 1, 1
2
)
y
(
4,−1
5
,−1
)
y contiene al punto (0,−1, 4) ¿Pasa
este plano por el origen? ¿Contiene a los puntos
(
1,−1, 1
2
)
,
(
0,− 1
10
, 7
2
)
y
(
0, 3
2
, 1
)
?
9. Ecuación normal de un plano en R3. Sea S el plano generado por los vectores u y v
que contiene al punto P (r0) representado por el vector r0 = (x0, y0, z0) y sea n un vector
ortogonal a u y a v, entonces S es el conjunto de puntos r ∈ R3 tales que n · (r− r0) = 0
(ecuación normal del plano S). Da la ecuación normal de los planos siguientes:
(a) el plano que contiene a los puntos (1,−1, 1), (−2, 0, 1) y (−1, 1, 1),
(b) r = s(1, 2, 0) + t(2, 0, 1) + (1, 0, 0) para todo s, t ∈ R.
10. Da una ecuación vectorial de los siguientes planos:
(a) 3x + 3y + z = 1 (b) x + y − z = 2 (c) x− 3y + z + 2 = 0
11. Obtén el coseno del ángulo comprendido entre los planos:
(a) S1 : x+y+z = 0 y S2 : x+2y+3z = 1
(b) S1 : 3x + 2y − z = 0 y S2 : 6x− 3y +
2z = 5
(c) S1 : x + z = 1 y S2 : y + z = 1
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