GUIA 12 EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 12: EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 
 
Una fracción algebraica o una expresión algebraica racional es el cociente 
indicado de dos expresiones algebraicas o polinomios: P(x)/ Q(x). 
Al dividendo P(x) se le llama numerador de la fracción algebraica y al divisor Q(x), 
denominador. El numerador y el denominador son los términos de la fracción. 
 
EJEMPLO 1. Expresiones algebraicas racionales 
Son fracciones algebraicas las siguientes: 
4𝑎2𝑏
3𝑧
, −
5𝑥𝑦
2𝑤2𝑧3
,
4𝑥 − 5𝑦
3𝑥 + 2𝑦
,
2𝑥2 − 3𝑥 + 5
2𝑥 − 3
 
 
Como se puede notar en el ejemplo 1, los términos de una fracción algebraica 
pueden ser monomios o polinomios y la fracción puede ser positiva o negativa. 
Más adelante, cuando veamos la simplificación de expresiones algebraicas racionales 
y los términos son polinomios, en algunos casos se hace necesario cambiar el signo 
de la fracción. 
 
Cambio de signos cuando los términos de la fracción son polinomios 
Cuando el numerador y el denominador de una fracción algebraica es un polinomio, 
para cambiar el signo al numerador (o al denominador), se debe cambiar el signo 
a cada uno de los términos del polinomio. 
 
EJEMPLO 2. Cambio de signo en una fracción 
𝑚 − 𝑛
𝑥 − 𝑦
=
−𝑚 + 𝑛
−𝑥 + 𝑦
=
𝑛 − 𝑚
𝑦 − 𝑥
 
 
EJEMPLO 3. Cambio de signo en una fracción 
𝑥 − 5
𝑥 + 3
=
−𝑥 + 5
−𝑥 − 3
=
5 − 𝑥
−(𝑥 + 3)
= −
5 − 𝑥
𝑥 + 3
 
 
EJEMPLO 4. Cambio de signo en una fracción 
7𝑥
2 − 𝑥2
=
−7𝑥
−2 + 𝑥2
= −
7𝑥
𝑥2 − 2
 
 
 
2 
 
Cambio de signos cuando los términos de la fracción son productos indicados 
1) Se puede cambiar el signo a un número par de factores sin cambiar el 
signo de la fracción algebraica. 
 
EJEMPLO 5. Cambio de signo en una fracción 
(𝑥 − 5)(𝑥 − 2)
(𝑎 − 6)(𝑎 − 3)
=
(5 − 𝑥)(𝑥 − 2)
(6 − 𝑎)(𝑎 − 3)
=
(𝑥 − 5)(2 − 𝑥)
(𝑎 − 6)(3 − 𝑎)
=
(5 − 𝑥)(2 − 𝑥)
(6 − 𝑎)(3 − 𝑎)
 
 
2) Se puede cambiar el signo a un número impar de factores cambiando el 
signo de la fracción algebraica. 
 
EJEMPLO 6. Cambio de signo en una fracción 
(𝑥 − 5)(𝑥 − 2)
(𝑎 − 6)(𝑎 − 3)
= −
(5 − 𝑥)(𝑥 − 2)
(𝑎 − 6)(𝑎 − 3)
= −
(𝑥 − 5)(2 − 𝑥)
(6 − 𝑎)(3 − 𝑎)
 
 
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES 
Simplificar una expresión algebraica racional es convertirla en una fracción 
equivalente cuyos términos sean primos entre si. 
Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción es irreducible 
y entonces la fracción está reducida a su más simple expresión o a su mínima 
expresión. 
 
CASO I. Los términos de la fracción son monomios. 
Se dividen el numerador y el denominador entre sus factores comunes hasta que 
sean primos entre sí. 
 
EJEMPLO 7. Simplificación de una fracción 
Simplificar las siguientes expresiones algebraicas racionales. 
 
𝑎) 
4𝑎2𝑏5
6𝑎3𝑏3𝑥
=
2 ∙ 2𝑎2𝑏3𝑏2
2 ∙ 3𝑎2𝑎𝑏3𝑥
=
2𝑏2
3𝑎𝑥
 
 
𝑏) 
7𝑚2𝑛3
28𝑚4𝑛6
=
7𝑚2𝑛3
4 ∙ 7𝑚2𝑚2𝑛3𝑛3
=
1
4𝑚2𝑛3
 
 
Los pasos intermedios se pueden omitir. 
 
CASO II. Los términos de la fracción son polinomios. 
Para simplificar estas fracciones, es necesario factorizar numerador y denominador. 
Este caso lo estudiaremos después de haber estudiado los casos de factorización. 
 
3 
 
OPERACIONES CON FRACCIONES 
 
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES 
1. Se simplifican las fracciones si es posible. 
2. Si tienen distinto denominador, se reducen las fracciones al mínimo común 
denominador. 
3. Se efectúan las multiplicaciones indicadas. 
4. Se reducen los términos semejantes en el numerador y se escribe el denominador 
común. 
5. Se simplifica la fracción resultante, si es posible. 
 
EJEMPLO 8. Suma de fracciones 
Calcular la suma 
5
2𝑥
+
𝑥 − 3
6𝑥2
 
 
Solución. El mínimo común denominador es 6x2. Este MCM se divide entre cada 
denominador y el cociente se multiplica por el respetivo numerador. 
 
5
2𝑥
+
𝑥 − 3
6𝑥2
=
5(3𝑥) + 1(𝑥 − 3)
6𝑥2
=
15𝑥 + 𝑥 − 3
6𝑥2
=
16𝑥 − 3
6𝑥2
 
 
EJEMPLO 9. Suma y resta de fracciones 
Realice la operación 
4
3𝑥2
−
2𝑥 − 3
6𝑥
+
𝑥 − 4
4𝑥
 
 
Solución. El mínimo común denominador es 12x2. Este MCM se divide entre cada 
denominador y el cociente se multiplica por el respetivo numerador. 
 
4
3𝑥2
−
2𝑥 − 3
6𝑥
+
𝑥 − 4
4𝑥
=
4(4) − 2𝑥(2𝑥 − 3) + 3𝑥(𝑥 − 4)
12𝑥2
 
 
 =
16 − 4𝑥2 + 6𝑥 + 3𝑥2 − 12𝑥
12𝑥2
=
−𝑥2 − 12𝑥 + 16
12𝑥2
 
 
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES 
Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí, y se simplifica el 
resultado, si es posible. 
 
EJEMPLO 10. Multiplicación de fracciones 
Realice las siguientes multiplicaciones de expresiones algebraicas racionales. 
4 
 
𝑎) 
2𝑧
3𝑚3
×
3𝑚2
4𝑥
×
𝑥2
2𝑧2
=
6𝑚2𝑥2𝑧
24𝑚3𝑥𝑧2
=
𝑥
4𝑚𝑧
 
 
𝑏) 
3𝑎
5𝑏3
×
10𝑏4𝑥
6𝑎2
=
30𝑎𝑏4𝑥
30𝑎2𝑏3
=
𝑏𝑥
𝑎
 
 
DIVISIÓN DE FRACCIONES 
Para dividir fracciones algebraicas, se multiplica el primero por el inverso del 
segundo. 
 
EJEMPLO 11. División de fracciones 
Realice las siguientes divisiones de expresiones algebraicas racionales. 
 
𝑎) 
3𝑎2
5𝑏3
÷
9𝑎4
10𝑏
=
3𝑎2
5𝑏3
×
10𝑏
9𝑎4
=
30𝑎2𝑏
45𝑎4𝑏3
=
2
3𝑎2𝑏2
 
 
𝑏) 
2𝑎2𝑥3
7𝑚
÷
𝑎3𝑥2
6𝑚
=
2𝑎2𝑥3
7𝑚
×
6𝑚
𝑎3𝑥2
=
12𝑎2𝑚𝑥3
7𝑎3𝑚𝑥2
=
12𝑥
7𝑎
 
 
EJERCICIOS 
 
En los ejercicios 1 a 6 cambie el signo de algunos de sus términos para obtener una 
fracción equivalente. 
 
𝟏. 
𝒂 − 𝒙
𝒃 − 𝟐
 𝟐. 
𝟐𝒙 − 𝟑
𝟓 − 𝒙
 𝟑. 
𝟒 − 𝒂
𝒃 − 𝟑
 
𝟒. 
(𝟐 − 𝒙)(𝟑 − 𝒙)
𝟒 − 𝒙
 𝟓. 
(𝒙 − 𝟓)(𝟑 − 𝒙)
(𝟒 − 𝒙)(𝒙 − 𝟕)
 𝟔. 
(𝟐𝒙 − 𝟓)(𝟑𝒙 − 𝟐)
(𝟔 − 𝒙)(𝒙 − 𝟔)
 
 
En los ejercicios 7 a 15, simplifique las expresiones algebraicas racionales. 
 
𝟕. 
𝟑𝒎𝟐𝒛𝟑
𝟔𝒎𝒛𝟐
 𝟖. 
𝟒𝒂𝒙𝟐𝒛𝟑
𝟏𝟐𝒂𝟐𝒙𝒛𝟐
 𝟗. 
𝟏𝟐𝒎𝟑𝒚𝟒𝒛𝟓
𝟑𝟐𝒙𝒚𝟐𝒛
 
𝟏𝟎. 
𝟏𝟐𝒂𝟐𝒃𝟑
𝟔𝟎𝒂𝟑𝒃𝟓𝒙𝟔
 𝟏𝟏. 
𝟐𝟏𝒎𝒏𝟑𝒛𝟔
𝟐𝟖𝒎𝟒𝒏𝟐𝒛𝟓
 𝟏𝟐. 
𝟓𝟒𝒙𝟗𝒚𝟏𝟏𝒛𝟏𝟑
𝟔𝟑𝒙𝟏𝟎𝒚𝟏𝟎𝒛𝟏𝟒
 
𝟏𝟑. 
𝟔𝟑𝒂𝟓𝒃𝟑𝒄𝟐
𝟐𝟏𝒂𝟔𝒃𝟐𝒄𝟑
 𝟏𝟒. 
𝟕𝟓𝒂𝟕𝒎𝟓
𝟏𝟎𝟎𝒂𝟔𝒎𝟔
 𝟏𝟓. 
𝟏𝟑𝒙𝟒𝒚𝟑
𝟑𝟗𝒙𝟓𝒚𝟐
 
 
 
En los ejercicios 16 a 25, resuelva las operaciones dadas. 
5 
 
𝟏𝟔. 
𝟐
𝟑𝒂𝟐
−
𝟒 − 𝟐𝒂
𝟗𝒂
+
𝟑 + 𝟐𝒂
𝟔𝒂𝟐
 𝟏𝟕. 
𝒂 + 𝟑𝒃
𝒂𝒃
+
𝟐𝒂 − 𝟑𝒎
𝒂𝒎
+
𝟑
𝒂
 
𝟏𝟖. 
𝒂 + 𝟐𝒃
𝟑𝒂
−
𝟒𝒂𝒃𝟐 − 𝟑
𝟔𝒂𝟐𝒃
 𝟏𝟗. 
𝒙 − 𝟏
𝟑
−
𝒙 − 𝟐
𝟒
−
𝒙 + 𝟑
𝟔
 
𝟐𝟎. 
𝟑𝒂
𝟐𝒙𝟐
×
𝟒𝒙𝟑
𝟔𝒂𝟐𝒚𝟐
×
𝟓𝒂𝒚𝟐
𝟐𝒙
 𝟐𝟏. 
𝒂𝟐𝒚
𝟓
×
𝟏𝟎𝒙𝟑
𝟑𝒎𝟐
×
𝟗𝒎
𝒂𝟑
 
𝟐𝟐. 
𝟓𝒙𝟐
𝟕𝒚𝟑
×
𝟒𝒚𝟐
𝟕𝒎𝟑
×
𝟏𝟒𝒎
𝟓𝒙𝟑
 𝟐𝟑. 
𝒙𝟐
𝟑𝒂𝟐
÷
𝟐𝒙
𝒂𝟑
 
𝟐𝟒. 
𝟏𝟓𝒎𝟐
𝟏𝟗𝒂𝒙𝟑
÷
𝟐𝟎𝒚𝟐
𝟑𝟖𝒂𝟑𝒙𝟒
 𝟐𝟓. 
𝟒𝒙𝟐
𝟑𝒚𝟐
÷
𝟐𝒃𝒙
𝟗𝒚𝟑