GUIA 15 FACTORIZACION 2

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 15: FACTORIZACIÓN 2 
 
Diferencia de Cuadrados 
Se basa en el producto notable de los binomios conjugados. Este caso se 
identifica porque: 
 Contiene dos términos separados por el signo menos. 
 Cada término es un cuadrado perfecto, es decir, tienen raíz 
cuadrada exacta. 
 
La factorización de una diferencia de cuadrados permite descomponerlo 
en dos factores: 
 Primer factor: La suma de las raíces cuadradas. 
 Segundo factor: La diferencia de las raíces cuadradas. 
 
a2 – b2 = (a + b)(a ─ b) 
 
Ejemplo 1. Diferencia de cuadrados 
Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados. 
(𝟏) 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙𝟒 = (𝒙 + 𝟑𝒙𝟐)(𝒙 − 𝟑𝒙𝟐) 
 
(𝟐) 𝟏𝟔𝒂𝟐𝒃𝟔 − 𝒃𝟒 = (𝟒𝒂𝒃𝟑 + 𝒃𝟐)(𝟒𝒂𝒃𝟑 − 𝒃𝟐) 
 
(𝟑) 
 𝟔𝟒𝒚𝟐
𝟐𝟓
−
𝟑𝟔
𝒛𝟒
= (
𝟖𝒚
𝟓
+
𝟔
𝒛𝟐
) (
𝟖𝒚
𝟓
−
𝟔
𝒛𝟐
) 
 
En algunas ocasiones hay que factorizar más de una vez, como vemos en los 
ejemplos que siguen: 
(𝟒) 𝟏𝟔𝒂𝟒 − 𝟖𝟏𝒃𝟖 = (𝟒𝒂𝟐 + 𝟗𝒃𝟒)(𝟒𝒂𝟐 − 𝟗𝒃𝟒) = (𝟒𝒂𝟐 + 𝟗𝒃𝟒)(𝟐𝒂 + 𝟑𝒃𝟐)(𝟐𝒂 − 𝟑𝒃𝟐). 
(𝟓) 𝒂𝟏𝟐 − 𝟔𝟐𝟓𝒃𝟒 = (𝒂𝟔 + 𝟐𝟓𝒃𝟐)(𝒂𝟔 − 𝟐𝟓𝒃𝟐) = (𝒂𝟔 + 𝟐𝟓𝒃𝟐)(𝒂𝟑 + 𝟓𝒃)(𝒂𝟑 − 𝟓𝒃). 
 
 
2 
Trinomio Cuadrado Perfecto 
Se deduce del producto notable cuadrado de un binomio, pero visto en la dirección 
contraria. Este caso se identifica porque: 
 Contiene tres términos, ya que es un trinomio. 
 El primer y el tercer término son cuadrados perfectos, es decir, 
tienen raíz cuadrada exacta. 
 El término del medio es el doble producto de las dos raíces. 
 
La factorización se hace según el modelo siguiente: 
 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
a2 ─ 2ab + b2 = (a ─ b)2 
 
Ejemplo 2. Trinomio cuadrado perfecto 
Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos. 
(𝟏) 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙𝒚𝟐 + 𝟒𝒚𝟒 
 
 
 
(𝟐) 𝟏𝟐𝟏𝒙𝟐 − 𝟔𝟔𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐 
 
 
 
(𝟑) 
𝟗
𝒙𝟐
 − 𝟐 + 
𝒙𝟐
𝟗
 
 
 
3 
 
 
Combinación de los dos casos 
Hay algunos polinomios en los cuales mediante una agrupación conveniente 
obtenemos uno o dos trinomios cuadrados y descomponiendo estos trinomios se 
llega a una diferencia de cuadrados. 
 
Ejemplo 3. Trinomio y diferencia de cuadrados 
Factorizar los siguientes polinomios. 
(𝟏) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 − 𝟏. 
Los tres primeros términos conforman un trinomio cuadrado perfecto: 
 
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 − 𝟏 = (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐) − 𝟏 
(factorizando el trinomio) = (𝒙 − 𝒚)𝟐 − 𝟏 
(factorizando la diferencia de cuadrados) = (𝒙 − 𝒚 + 𝟏)(𝒙 − 𝒚 − 𝟏) 
 
(𝟐) 𝟗𝒂𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏. 
Los tres últimos términos conforman un trinomio cuadrado perfecto, si el x2 fuera 
positivo. Para lograr esto agrupamos los 3 últimos en un paréntesis precedido de un 
signo menos: 
 
𝟗𝒂𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟗𝒂𝟐𝒙𝟐 − (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏). 
(factorizando el trinomio) = 𝟗𝒂𝟐𝒙𝟐 − (𝒙 − 𝟏)𝟐 
(factorizando la diferencia de cuadrados) = (𝟑𝒂𝒙 + 𝒙 − 𝟏)(𝟑𝒂𝒙 − (𝒙 − 𝟏)) 
 = (𝟑𝒂𝒙 + 𝒙 − 𝟏)(𝟑𝒂𝒙 − 𝒙 + 𝟏) 
 
(𝟑)𝟐𝟐𝟓 𝒂𝟐 − 𝟏𝟔𝟗𝒃𝟐 + 𝟏 + 𝟑𝟎𝒂 + 𝟐𝟔𝒃𝒄 − 𝒄𝟐. 
Ordenamos de modo que los tres primeros términos conformen un trinomio 
cuadrado perfecto, lo mismo que los tres últimos: 
 
𝟐𝟐𝟓 𝒂𝟐 − 𝟏𝟔𝟗𝒃𝟐 + 𝟏 + 𝟑𝟎𝒂 + 𝟐𝟔𝒃𝒄 − 𝒄𝟐 = (𝟐𝟐𝟓 𝒂𝟐 + 𝟑𝟎𝒂 + 𝟏) − (𝟏𝟔𝟗𝒃𝟐 − 𝟐𝟔𝒃𝒄
+ 𝒄𝟐) 
(factorizando los trinomios) = (𝟏𝟓𝒂 + 𝟏)𝟐 − (𝟏𝟑𝒃 − 𝒄)𝟐 
 
4 
(factorizando la diferencia de cuadrados) = (𝟏𝟓𝒂 + 𝟏 + 𝟏𝟑𝒃 − 𝒄)(𝟏𝟓𝒂 + 𝟏 − (𝟏𝟑𝒃 − 𝒄)) 
 = (𝟏𝟓𝒂 + 𝟏 + 𝟏𝟑𝒃 − 𝒄)(𝟏𝟓𝒂 + 𝟏 − 𝟏𝟑𝒃 + 𝒄) 
 
EJERCICIOS 
Factorizar los polinomios siguientes, como diferencia de cuadrados. 
 
1. 𝟐𝟓 − 𝒏𝟐 6. 𝒂𝟏𝟎 − 𝟒𝟗𝒃𝟏𝟐 
2. 𝟒𝒂𝟐 − 𝟗 7. 𝒂𝟒𝒏 − 𝟔𝟐𝟓𝒃𝟒 
3. 𝟏 − 𝟒𝟗𝒂𝟐𝒃𝟐 8. 𝒂𝟐𝒏 − 𝟖𝟏𝒃𝟐 
4. 
𝒂𝟐
𝟑𝟔
−
𝒙𝟔
𝟐𝟓
 9. 
𝒙𝟐
𝟏𝟎𝟎
−
𝟗
𝒚𝟐
 
5. 𝟏𝟎𝟎𝒎𝟐𝒏𝟒 − 𝟏𝟔𝟗𝒚𝟔 
10. 
𝟏
𝟏𝟔
−
𝒙𝟖
𝟔𝟐𝟓
 
 
Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos. 
 
11. 𝒚𝟒 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝟏 17. 𝟗𝒃𝟐 − 𝟑𝟎𝒂𝟐𝒃 + 𝟐𝟓𝒂𝟒 
12. 𝒂𝟖 + 𝟏𝟖𝒂𝟒 + 𝟖𝟏 18. 𝟏 + 𝟏𝟒𝒙𝟐𝒚 + 𝟒𝟗𝒙𝟒𝒚𝟐 
13. 𝒂𝟔 − 𝟐𝒂𝟑𝒃𝟑 + 𝒃𝟔 19. 𝟏𝟐𝟏 + 𝟏𝟗𝟖𝒂𝟔 + 𝟖𝟏𝒂𝟏𝟐 
14. 𝟒𝒎𝟐 − 𝟏𝟐𝒎𝒏 + 𝟗𝒏𝟐 
20. 𝟏 +
𝟐𝒃
𝟑
+
𝒃𝟐
𝟗
 
15. (𝒎 + 𝒏)𝟐 − 𝟐(𝒎 + 𝒏)(𝒂 − 𝒎) + (𝒂 − 𝒎)𝟐 
16. 𝟗(𝒙 − 𝒚)𝟐 + 𝟏𝟐(𝒙 − 𝒚)𝒂 + 𝟒𝒂𝟐 
 
Descomponer en dos factores a los siguientes polinomios. 
 
𝟐𝟏) 𝒎𝟐 + 𝟐𝒎𝒏 + 𝒏𝟐 − 𝟏 
𝟐𝟐) 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂 + 𝟏 − 𝒃𝟐 
𝟐𝟑) 𝒂𝟐 − 𝟒𝒂 + 𝟒 − 𝟗𝒃𝟐 
𝟐𝟒) 𝟏 + 𝟔𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐 − 𝒙𝟒 − 𝟏𝟔𝒂𝒃 
𝟐𝟓) 𝟗𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝟏𝟔𝒂𝟐 − 𝟐𝟒𝒂𝒙 
𝟐𝟔) 𝟏𝟔𝒂𝟐 − 𝟏 − 𝟏𝟎𝒎 + 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒂𝒙 − 𝟐𝟓𝒎𝟐 
𝟐𝟕) 𝟒𝒂𝟐 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝟗𝒃𝟐 − 𝟑𝟎𝒙𝒚 − 𝟐𝟓𝒚𝟐 − 𝟐𝟖𝒂𝒃