GUIA 20 ECUACION CUADRATICA (1)

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 20: ECUACIÓN CUADRÁTICA 
 
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 
Una ecuación de segundo grado o cuadrática tiene la forma estándar 
 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
 
donde a, b y c son números reales, a  0. 
La ecuación cuadrática es incompleta si falta el término en x o falta el 
término independiente. En ambos casos, la ecuación toma las formas: 
 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎, 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 
 
Resolver una ecuación cuadrática consiste en encontrar los valores de la 
incógnita x que satisfacen la ecuación. Dichas soluciones se llaman ceros 
o raíces de la ecuación. 
La ecuación cuadrática tiene dos ceros o raíces que pueden ser reales y 
distintas, dos raíces iguales o dos raíces complejas conjugadas. 
 
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA 
Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver de varias maneras: 
a) Método de factorización 
b) Método de Po-Shen Loh 
c) Por fórmula general. 
 
Solución por factorización 
Este método sólo es aplicable si la ecuación es factorizable. Se basa en la 
siguiente propiedad de los números reales: 
 
𝒂 ∗ 𝒃 = 𝟎 ⇔ 𝒂 = 𝟎 𝒚/𝒐 𝒃 = 𝟎 
 
Veamos algunos ejemplos. 
 
EJEMPLO 1. Una ecuación factorizable 
Resuelva la ecuación cuadrática 
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒𝟎 = 𝟎 
Solución. 
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒𝟎 = (𝒙 + 𝟖)(𝒙 − 𝟓) = 𝟎 
 
2 
𝒙 + 𝟖 = 𝟎 𝒐 𝒙 − 𝟓 = 𝟎 
𝒙 = −𝟖 𝒐 𝒙 = 𝟓. 
 
Las soluciones de la ecuación son 𝒙𝟏 = −𝟖, 𝒙𝟐 = 𝟓, que podemos escribirlas 
como 
𝑺 = {−𝟖, 𝟓} 
 
EJEMPLO 2. Una ecuación factorizable 
Resuelva la ecuación cuadrática 
 
𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟏𝟓 = 𝟎 
Solución. 
 
𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟏𝟓 =
𝟐(𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟏𝟓)
𝟐
=
(𝟐𝒙)𝟐 − 𝟏𝟑(𝟐𝒙) + 𝟑𝟎
𝟐
 
=
(𝟐𝒙 − 𝟏𝟎)(𝟐𝒙 − 𝟑)
𝟐
=
𝟐(𝒙 − 𝟓)(𝟐𝒙 − 𝟑)
𝟐
= (𝒙 − 𝟓)(𝟐𝒙 − 𝟑) = 𝟎. 
 
𝒙 − 𝟓 = 𝟎 𝒐 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 
𝒙 = 𝟓 𝒐 𝒙 = 𝟑 𝟐⁄ . 
 
Solución por fórmula general 
Las raíces de la ecuación cuadrática 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 se pueden hallar 
aplicando la fórmula general 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
 
EJEMPLO 3. Demostración de la fórmula general 
 
La ecuación es 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
Multiplicamos ambos lados por 4a 𝟒𝒂𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒂𝒃𝒙 + 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎 
Sumamos b2 a ambos lados 𝟒𝒂𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒂𝒃𝒙 + 𝟒𝒂𝒄 + 𝒃𝟐 = 𝒃𝟐 
Pasamos 4ac al lado derecho 𝟒𝒂𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒂𝒃𝒙 + 𝒃𝟐 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
Factorizamos el lado izquierdo (𝟐𝒂𝒙 + 𝒃)𝟐 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
Extraemos raíz cuadrada en ambos lados 𝟐𝒂𝒙 + 𝒃 = ±√𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
Pasamos b al lado derecho 𝟐𝒂𝒙 = −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
Despejamos x 𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
 
 
EJEMPLO 4. Aplicando la fórmula general 
Resuelva las ecuaciones cuadráticas por la fórmula general: 
 
(𝒂)𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 − 𝟓 = 𝟎 (𝒃) 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝟖 = 𝟎 (𝒄) 𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 = 𝟎 
 
3 
 
Solución. 
(a) Identificamos coeficientes: a = 4, b = 19, c = -5 
 
𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 − 𝟓 = 𝟎 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
=
−𝟏𝟗 ± √𝟏𝟗𝟐 − 𝟒(𝟒)(−𝟓)
𝟐(𝟒)
=
−𝟏𝟗 ± √𝟑𝟔𝟏 + 𝟖𝟎
𝟖
 
=
−𝟏𝟗 ± √𝟒𝟒𝟏
𝟖
=
−𝟏𝟗 ± 𝟐𝟏
𝟖
 
 
𝒙𝟏 =
−𝟏𝟗 + 𝟐𝟏
𝟖
=
𝟐
𝟖
=
𝟏
𝟒
 
 
𝒙𝟐 =
−𝟏𝟗 − 𝟐𝟏
𝟖
=
−𝟒𝟎
𝟖
= −𝟓. 
 
Las soluciones de la ecuación son 𝒙𝟏 =
𝟏
𝟒
, 𝒙𝟐 = −𝟓 
(b) Identificamos coeficientes: a = 3, b = 0, c = -48 
 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝟖 = 𝟎 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
=
𝟎 ± √𝟎𝟐 − 𝟒(𝟑)(−𝟒𝟖)
𝟐(𝟑)
=
±√𝟓𝟕𝟔
𝟔
=
±𝟐𝟒
𝟔
= ±𝟒 
 
Las soluciones de la ecuación son 𝒙𝟏 = 𝟒, 𝒙𝟐 = −𝟒 
 
(c) Identificamos coeficientes: a = 5, b = ─10, c = 0 
 
𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 = 𝟎 
 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
=
−(−𝟏𝟎) ± √(−𝟏𝟎)𝟐 − 𝟒(𝟓)(𝟎)
𝟐(𝟓)
=
𝟏𝟎 ± √𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎
=
𝟏𝟎 ± 𝟏𝟎
𝟏𝟎
 
 
𝒙𝟏 =
𝟏𝟎 + 𝟏𝟎
𝟏𝟎
=
𝟐𝟎
𝟏𝟎
= 𝟐 
𝒙𝟐 =
𝟏𝟎 − 𝟏𝟎
𝟏𝟎
=
𝟎
𝟏𝟎
= 𝟎. 
 
 
 
4 
Solución por el Método de Po-Shen Loh 
Desde los tiempos de los babilonios (y ya han pasado más de 4000 años) 
las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado se venían resolviendo 
usando básicamente la famosa fórmula general para ecuaciones 
cuadráticas. Pero desde finales del 2019 tenemos una alternativa, el 
método es del profesor chino afincado en Estados Unidos, Po-Shen Loh. 
Esta forma de resolver las ecuaciones de 2º grado es rápido y fácil de 
entender. Como vas a ver, son cuatro los pasos en los que consiste. Y ahí 
los tienes: 
 
1) Para cualquier ecuación cuadrática del tipo 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 las 
soluciones están dadas por: 
 
𝒙𝟏 = −
𝒃
𝟐
+ 𝒖 𝒚 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝟐
− 𝒖, 
 
en donde u es un número a determinar. 
2) Multiplicamos entre sí estas dos soluciones y las igualamos al valor del 
coeficiente independiente de la ecuación de segundo grado, c: 
 
(−
𝒃
𝟐
+ 𝒖)(−
𝒃
𝟐
− 𝒖) = 𝒄 
 
3) Resolvemos esta ecuación, hallando el valor de u: 
 
(−𝒃/𝟐)𝟐 − 𝒖𝟐 = 𝒄 ↔ 𝒖 = ±√(−𝒃/𝟐)𝟐 − 𝒄 
 
4) Cogemos la solución de la raíz positiva y la sustituimos en x1 y en x2 y 
listo. 
Veámoslo con un ejemplo. 
 
EJEMPLO 5. El método de Po-Shen Loh 
Resuelva la ecuación cuadrática 
 
𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟑𝟑 = 𝟎 
 
Como 𝒃 = ─𝟖, esta ecuación cuadrática va a tener las siguientes 
soluciones: 
𝒙𝟏 = −
−𝟖
𝟐
+ 𝒖 𝒚 𝒙𝟐 = −
−𝟖
𝟐
− 𝒖 
𝒙𝟏 = 𝟒 + 𝒖 𝒚 𝒙𝟐 = 𝟒 − 𝒖 
 
Como c = ─33, tenemos: 
(𝟒 + 𝒖)(𝟒 − 𝒖) = −𝟑𝟑 
 
5 
𝟏𝟔 − 𝒖𝟐 = −𝟑𝟑 → 𝒖𝟐 = 𝟏𝟔 + 𝟑𝟑 = 𝟒𝟗 → 𝒖 = ±√𝟒𝟗 = ±𝟕 
 
Nos quedamos con la raíz positiva, u=7 y la sustituimos en 
 
𝒙𝟏 = 𝟒 + 𝒖 𝒚 𝒙𝟐 = 𝟒 − 𝒖 
𝒙𝟏 = 𝟒 + 𝟕 𝒚 𝒙𝟐 = 𝟒 − 𝟕 
𝒙𝟏 = 𝟏𝟏 𝒚 𝒙𝟐 = −𝟑 
 
EJEMPLO 6. Ordenar una ecuación cuadrática 
Resuelva la ecuación cuadrática 
 
(𝒙 + 𝟒)𝟐 = 𝟐𝒙(𝟓𝒙 − 𝟏) − 𝟕(𝒙 − 𝟐). 
 
Solución. 
Para resolver este tipo de ecuaciones, se resuelven primero todas las 
operaciones, se transponen todos los términos a la izquierda y se reducen 
términos hasta llegar a la forma estándar: 
 
(𝒙 + 𝟒)𝟐 = 𝟐𝒙(𝟓𝒙 − 𝟏) − 𝟕(𝒙 − 𝟐). 
𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟒. 
𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟕𝒙 − 𝟏𝟒 = 𝟎 
−𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟕𝒙 + 𝟐 = 𝟎 
𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 − 𝟐 = 𝟎 
 
Identificamos coeficientes: a = 9, b = ─17, c = ─2: 
 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
=
−(−𝟏𝟕) ± √(−𝟏𝟕)𝟐 − 𝟒(𝟗)(−𝟐)
𝟐(𝟗)
=
𝟏𝟕 ± √𝟐𝟖𝟗 + 𝟕𝟐
𝟏𝟖
=
𝟏𝟕 ± √𝟑𝟔𝟏
𝟏𝟖
=
𝟏𝟕 ± 𝟏𝟗
𝟏𝟖
 
 
𝒙𝟏 =
𝟏𝟕 + 𝟏𝟗
𝟏𝟖
=
𝟑𝟔
𝟏𝟖
= 𝟐 
𝒙𝟐 =
𝟏𝟕 − 𝟏𝟗
𝟏𝟖
=
−𝟐
𝟏𝟖
= −
𝟏
𝟗
 
 
 
EJEMPLO 7. Una ecuación cuadrática racional 
Resuelva la ecuación cuadrática 
 
𝟏
𝟑𝒙
=
𝟕
𝟓𝒙𝟐
−
𝟏𝟏
𝟔𝟎
 
Solución. 
 
6 
Para resolver este tipo de ecuaciones, se halla el MCM de los 
denominadores, que en este caso es 60x2, se multiplican ambos lados de 
la ecuación por el MCM encontrado, se simplifica y se lleva la ecuación a 
la forma general: 
𝟏
𝟑𝒙
=
𝟕
𝟓𝒙𝟐
−
𝟏𝟏
𝟔𝟎
 
 
𝟏(𝟔𝟎𝒙𝟐)
𝟑𝒙
=
𝟕(𝟔𝟎𝒙𝟐)
𝟓𝒙𝟐
−
𝟏𝟏(𝟔𝟎𝒙𝟐)
𝟔𝟎
 
 
𝟐𝟎𝒙 = 𝟖𝟒 − 𝟏𝟏𝒙𝟐 
𝟏𝟏𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 − 𝟖𝟒 = 𝟎 
 
Identificamos coeficientes: a = 11, b = 20, c = ─84: 
 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
=
−(𝟐𝟎) ± √(𝟐𝟎)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟏)(−𝟖𝟒)
𝟐(𝟏𝟏)
=
−𝟐𝟎 ± √𝟒𝟎𝟎 + 𝟑𝟔𝟗𝟔
𝟐𝟐
 
 
=
−𝟐𝟎 ± √𝟒𝟎𝟗𝟔
𝟐𝟐
=
−𝟐𝟎 ± 𝟔𝟒
𝟐𝟐
 
 
𝒙𝟏 =
−𝟐𝟎 + 𝟔𝟒
𝟐𝟐
=
𝟒𝟒
𝟐𝟐
= 𝟐 
𝒙𝟐 =
−𝟐𝟎 − 𝟔𝟒
𝟐𝟐
=
−𝟖𝟒
𝟐𝟐
= −
𝟒𝟐
𝟏𝟏
 
 
 
EJEMPLO 8. Una ecuación cuadrática literal 
Resuelva la ecuación cuadrática 
 
𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 − 𝟑𝒂𝟐 = 𝟎 
Solución. 
En este tipo de ecuaciones, las raíces además de números reales tienen 
una parte literal. 
Identificamos coeficientes: a = 2, b = a, c = ─3a2: 
 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
=
−(𝒂) ± √(𝒂)𝟐 − 𝟒(𝟐)(−𝟑𝒂𝟐)
𝟐(𝟐)
=
−𝒂 ± √𝒂𝟐 + 𝟐𝟒𝒂𝟐
𝟒
 
 
=
−𝒂 ± √𝟐𝟓𝒂𝟐
𝟒
=
−𝒂 ± 𝟓𝒂
𝟒
 
 
 
7 
𝒙𝟏 =
−𝒂 + 𝟓𝒂
𝟒
=
𝟒𝒂
𝟒
= 𝒂 
𝒙𝟐 =
−𝒂 − 𝟓𝒂𝟒
=
−𝟔𝒂
𝟒
= −
𝟑𝒂
𝟐
 
 
EJERCICIOS 
 
Resuelva las ecuaciones cuadráticas 1 a 6, mediante cualquier método. 
 
𝟏) 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟎 𝟒) 𝒙𝟐 = 𝟏𝟔𝒙 − 𝟔𝟑 
𝟐) 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝟐 = 𝟎 𝟓) 𝟓𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟗𝟎 = 𝟎 
𝟑) 𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 = −𝟐𝟒 𝟔) 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 = 𝟎 
 
Resuelva las ecuaciones cuadráticas 7 a 10. Resuelva primero las 
operaciones indicadas. 
 
𝟕) 𝒙(𝒙 + 𝟑) = 𝟓𝒙 + 𝟑 
𝟖) 𝟗𝒙 + 𝟏 = 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟓) − (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟐) 
𝟗) (𝟐𝒙 − 𝟑)𝟐 − (𝒙 + 𝟓)𝟐 = −𝟐𝟑 
𝟏𝟎) 𝟑𝒙(𝒙 − 𝟐) − (𝒙 − 𝟔) = 𝟐𝟑(𝒙 − 𝟑) 
 
Resuelva las ecuaciones cuadráticas 11 a 14 
 
𝟏𝟏) 
𝒙𝟐
𝟓
−
𝒙
𝟐
=
𝟑
𝟏𝟎
 𝟏𝟑) 
𝟏𝟓
𝒙
−
𝟏𝟏𝒙 + 𝟓
𝒙𝟐
= −𝟏 
𝟏𝟐) 𝟒𝒙 −
𝟏𝟑
𝒙
=
𝟑
𝟐
 𝟏𝟒) 
𝟖𝒙
𝟑𝒙 + 𝟓
+
𝟓𝒙 − 𝟏
𝒙 + 𝟏
= 𝟑 
 
Resuelva las ecuaciones cuadráticas literales 15 a 17 
 
𝟏𝟓) 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 − 𝟑𝟓𝒂𝟐 = 𝟎 
𝟏𝟔) 𝟏𝟎𝒙𝟐 = 𝟑𝟔𝒂𝟐 − 𝟑𝟕𝒂𝒙 
𝟏𝟕) 𝟖𝟗𝒃𝒙 = 𝟒𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝟐𝒃𝟐