GUIA 23 INECUACIONES LINEALES (1)

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 23: INECUACIONES LINEALES 
 
INECUACIONES O DESIGUALDADES LINEALES 
 
Las inecuaciones lineales o de primer grado se resuelven de manera semejante a una 
ecuación de primer grado, salvo que su solución no es un número real, sino un 
subconjunto, llamado intervalo. 
Resolver una inecuación consiste en hallar los valores de x que satisfacen dicha 
inecuación. Veamos algunos ejemplos. 
 
EJEMPLO 1. Resolver la siguiente inecuación. 
 
𝟓𝒙 − 𝟏𝟎 + 𝟑𝒙 ≥ 𝟐𝒙 − 𝟖 + 𝟑𝒙 + 𝟐𝟖 
SOLUCIÓN. 
𝟓𝒙 − 𝟏𝟎 + 𝟑𝒙 ≥ 𝟐𝒙 − 𝟖 + 𝟑𝒙 + 𝟐𝟖 
𝟓𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙 ≥ −𝟖 + 𝟐𝟖 + 𝟏𝟎 
𝟑𝒙 ≥ 𝟑𝟎 
𝒙 ≥
𝟑𝟎
𝟑
 
𝒙 ≥ 𝟏𝟎 
La última desigualdad dice que la solución son todos los números reales mayores o 
iguales a 10. Esta respuesta se puede dar en forma de conjunto o en forma de intervalo de 
la siguiente manera: 
 
𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ/𝒙 ≥ 𝟏𝟎} = [𝟏𝟎, ∞) 
 
EJEMPLO 2. Resolver la siguiente inecuación. 
 
𝟐𝟎 + 𝟑𝒙 − 𝟐 + 𝟑𝒙 < 𝟐𝒙 + 𝟐𝟓 
SOLUCIÓN: 
𝟐𝟎 + 𝟑𝒙 − 𝟐 + 𝟑𝒙 < 𝟐𝒙 + 𝟐𝟓 
𝟑𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 < 𝟐𝟓 − 𝟐𝟎 + 𝟐 
𝟒𝒙 < 𝟕 
𝒙 <
𝟕
𝟒
 
 
La última desigualdad dice que la solución son todos los números reales menores que 7/4. 
Esta respuesta se puede dar en forma de conjunto o en forma de intervalo de la siguiente 
manera 
𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ /𝒙 <
𝟕
𝟒
} = (−∞,
𝟕
𝟒
) 
 
2 
 
Observe que cuando en la desigualdad hay un menor o igual o mayor o igual, se usan 
CORCHETES para indicar un intervalo semiabierto, mientras que si aparece mayor o 
menor se usan PARENTÉSIS, para indicar un intervalo abierto. 
La diferencia está en que en los intervalos CERRADOS, como en el ejemplo 1, 10 forma 
parte de la solución, mientras que en los ABIERTOS, como en el ejemplo 2, 7/4 no forma 
parte de la solución. 
 
EJEMPLO 3. Resolver la siguiente inecuación. 
 
𝟐𝒙 − 𝟏𝟔 + 𝟑𝒙 + 𝟒 > −𝟏𝟎 + 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝟖 
SOLUCIÓN. 
 
𝟐𝒙 − 𝟏𝟔 + 𝟑𝒙 + 𝟒 > −𝟏𝟎 + 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝟖 
𝟐𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟓𝒙 > −𝟏𝟎 + 𝟐𝟖 + 𝟏𝟔 − 𝟒 
−𝟏𝟎𝒙 > 𝟑𝟎 
Ahora nos quedó un 10x negativo. Lo que hacemos es multiplicar ambos lados por -1, 
pero, al multiplicar una desigualdad por un negativo, ésta CAMBIA DE SENTIDO y nos 
queda: 
𝟏𝟎𝒙 < −𝟑𝟎 
 
𝒙 <
−𝟑𝟎
𝟏𝟎
 
𝒙 < −𝟑 
 
La última desigualdad dice que la solución son todos los números reales menores que -3. 
Esta respuesta se puede dar en forma de conjunto o en forma de intervalo de la siguiente 
manera: 
𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ /𝒙 < −𝟑} = (−∞, −𝟑) 
 
EJEMPLO 4. Resolver la siguiente inecuación. 
 
𝒙
𝟐
+
𝟏
𝟑
−
𝟓𝒙
𝟔
≥ 𝟏𝟎 +
𝒙
𝟔
−
𝟒𝟗
𝟔
 
 
SOLUCIÓN. 
Se halla primero el MCM de los denominadores. En este caso: MCM {2, 3, 6} = 6. Se 
multiplican los dos lados de la desigualdad por 6, y se simplifica: 
 
𝟔𝒙
𝟐
+
𝟏 ∙ 𝟔
𝟑
−
𝟓 ∙ 𝟔𝒙
𝟔
≥ 𝟏𝟎 ∙ 𝟔 +
𝟔𝒙
𝟔
−
𝟒𝟗 ∙ 𝟔
𝟔
 
 
𝟑𝒙 + 𝟐 − 𝟓𝒙 ≥ 𝟔𝟎 + 𝒙 − 𝟒𝟗 
𝟑𝒙 − 𝟓𝒙 − 𝒙 ≥ 𝟔𝟎 − 𝟒𝟗 − 𝟐 
−𝟑𝒙 ≥ 𝟗 
 
Ahora nos quedó un 3x negativo. Lo que hacemos es multiplicar ambos lados por -1, pero, 
al multiplicar una desigualdad por un negativo, ésta CAMBIA DE SENTIDO y nos 
queda: 
𝟑𝒙 ≤ −𝟗 
3 
 
𝒙 ≤ −𝟑 
 
La última desigualdad dice que la solución son todos los números reales menores o 
iguales que -3. Esta respuesta se puede dar en forma de conjunto o en forma de intervalo 
de la siguiente manera: 
𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ /𝒙 ≤ −𝟑} = (−∞, −𝟑] 
 
 
EJERCICIOS 
 
En los ejercicios 1 a 10, resolver las siguientes inecuaciones. 
 
(𝟏) 𝟖𝒙 − 𝟏𝟎 + 𝟑 − 𝟓𝒙 > 𝟖 − 𝟐𝒙 (𝟔) 𝟒𝒙 − 𝟖 < 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟐 + 𝟒 
(𝟐) 𝟑𝒙 − 𝟓𝒙 ≥ 𝟏𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 (𝟕) 𝟑𝒙 − 𝟔 + 𝟓𝒙 − 𝟐 ≤ 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 
(𝟑) 𝟒𝒙 + 𝟏𝟒 < 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐 (𝟖) 𝟖 + 𝟗 − 𝟑 > 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑𝒙 
(𝟒) 𝟑𝒙 + 𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝒙 ≤ 𝟎 (𝟗) 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝟒 − 𝟑𝒙 ≥ 𝟔𝒙 + 𝟔𝟎 
(𝟓)
𝟑𝒙
𝟒
−
𝟏
𝟐
+
𝒙
𝟖
>
𝟑𝒙
𝟖
−
𝟏
𝟐
 (𝟏𝟎)
𝟓
𝟏𝟐
−
𝒙
𝟑
+
𝟓𝒙
𝟒
<
𝒙
𝟏𝟐
−
𝟓
𝟏𝟐
+
𝟐𝟎
𝟑