GUIA 26 NUMEROS COMPLEJOS (1)

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 26: NÚMEROS COMPLEJOS 
 
ECUACIONES CUADRÁTICAS CON SOLUCIONES COMPLEJAS 
 
En la Guía 20 vimos que la solución de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, se 
halla usando la formula general 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
que nos da las dos soluciones de la ecuación. Pero en todas las ecuaciones que 
resolvimos, el discriminante b2 – 4ac era mayor o igual a cero, lo que daba siempre 
soluciones reales. 
En esta Guía pasamos a resolver ecuaciones cuadráticas con el discriminante menor 
que cero, lo que origina soluciones complejas. Veremos que las dos soluciones son 
complejas conjugadas. 
 
EJEMPLO 1. Ecuación cuadrática con raíces complejas 
Resolver la ecuación cuadrática x2 – 4x + 13 = 0. 
 
Solución. La ecuación no es factorizable en R, así que aplicamos la fórmula general 
con a = 1, b = – 4, c = 13. 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−4) ± √(−4)2 − 4(1)(13)
2(1)
=
4 ± √16 − 52
2
=
4 ± √−36
2
 
 
𝑥 =
4 ± √36 ∙ (−1)
2
=
4 ± √36√−1
2
=
4 ± 6𝑖
2
=
2(2 ± 3𝑖)
2
= 2 ± 3𝑖. 
 
De manera que las soluciones de la ecuación son las raíces complejas conjugadas 
 
𝑥1 = 2 + 3𝑖, 𝑥2 = 2 − 3𝑖. 
 
 
EJEMPLO 2. Ecuación cuadrática con raíces complejas 
Resolver la ecuación cuadrática 9x2 – 6x + 5 = 0. 
2 
 
Solución. La ecuación no es factorizable en R, así que aplicamos la fórmula general 
con a = 9, b = – 6, c = 5. 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−6) ± √(−6)2 − 4(9)(5)
2(9)
=
6 ± √36 − 180
18
=
6 ± √−144
18
 
 
𝑥 =
6 ± √144 ∙ (−1)
18
=
6 ± √144√−1
18
=
6 ± 12𝑖
18
=
6(1 ± 2𝑖)
18
=
1 ± 2𝑖
3
. 
 
De manera que las soluciones de la ecuación son las raíces complejas conjugadas 
 
𝑥1 =
1
3
+
2
3
𝑖, 𝑥2 =
1
3
−
2
3
𝑖. 
 
 
EJEMPLO 3. Ecuación cuadrática con raíces complejas 
Resolver la ecuación cuadrática x2 – 4x + 9 = 0. 
 
Solución. La ecuación no es factorizable en R, así que aplicamos la fórmula general 
con a = 1, b = – 4, c = 9. 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−4) ± √(−4)2 − 4(1)(9)
2(1)
=
4 ± √16 − 36
2
=
4 ± √−20
2
 
 
𝑥 =
4 ± √20 ∙ (−1)
2
=
4 ± √4 ∙ 5√−1
2
=
4 ± 2√5𝑖
2
=
2(2 ± √5𝑖)
2
= 2 ± √5𝑖. 
 
De manera que las soluciones de la ecuación son las raíces complejas conjugadas 
 
𝑥1 = 2 + √5𝑖, 𝑥2 = 2 − √5𝑖. 
 
 
EJERCICIOS 
Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas. 
 
1. 𝑥2 − 2𝑥 + 26 = 0 2. 4𝑥2 − 8𝑥 + 53 = 0 3. 9𝑥2 + 12𝑥 + 5 = 0 
4. 𝑥2 − 4𝑥 + 7 = 0 5. 16𝑥2 + 9 = 0 6. 4𝑥2 − 12𝑥 + 45 = 0 
7. 𝑥2 + 10𝑥 + 30 = 0 8. 𝑥2 − 14𝑥 + 58 = 0 9. 4𝑥2 − 24𝑥 + 37 = 0