GUIA 22 ECUACIONES CON RADICALES (1)

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 22: ECUACIONES CON RADICALES 
 
Una ecuación irracional o con radicales es una ecuación en la que 
aparecen raíces que contienen a la incógnita en su radicando, es decir, la 
incógnita se encuentra bajo signos radicales. 
Para resolverlas, se elevan ambos lados de la ecuación al orden de la raíz 
(al cuadrado, al cubo...). 
Este procedimiento aumenta el grado de la ecuación, por lo que 
posiblemente estamos añadiendo soluciones. Es por ello por lo 
que siempre comprobaremos las soluciones. 
Otro problema que conlleva esta potenciación, en el caso de las raíces de 
orden par, es que debemos asegurarnos de que las expresiones de los 
radicandos son positivas o cero (una vez encontrada la solución) para que 
exista la raíz. 
Para solucionar una ecuación con radicales, se sugieren los siguientes 
pasos: 
 
ESTRATEGIA PARA RESOLVER ECUACIONES CON RADICALES 
1. Aislar uno de los radicales en uno de los lados de la ecuación. 
2. Reducir términos semejantes si los hay. 
3. Elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado. 
4. Si quedan radicales, repetir los tres pasos anteriores. 
5. Resolver la ecuación resultante. 
6. Probar las soluciones en la ecuación original, pues es probable que al elevar al 
cuadrado, se hayan añadido soluciones. 
 
EJEMPLO 1. Una ecuación con un solo radical 
Resolver la ecuación 
√𝟓 − 𝒙 + 𝟏 = 𝒙 − 𝟐 
 
Solución. 
√𝟓 − 𝒙 + 𝟏 = 𝒙 − 𝟐 
√𝟓 − 𝒙 = 𝒙 − 𝟐 − 𝟏 
√𝟓 − 𝒙 = 𝒙 − 𝟑 
(√𝟓 − 𝒙)
𝟐
= (𝒙 − 𝟑)𝟐 
2 
 
𝟓 − 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 
𝟓 − 𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟗 = 𝟎 
−𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟎 
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎 
𝒙 = 𝟒, 𝒙 = 𝟏. 
 
Prueba. 
 
Si x = 4: 
√𝟓 − 𝒙 + 𝟏 = 𝒙 − 𝟐 
√𝟓 − 𝟒 + 𝟏 = 𝟒 − 𝟐 
𝟏 + 𝟏 = 𝟒 − 𝟐 
𝟐 = 𝟐 
Si x = 1: 
√𝟓 − 𝒙 + 𝟏 = 𝒙 − 𝟐 
√𝟓 − 𝟏 + 𝟏 = 𝟏 − 𝟐 
𝟐 + 𝟏 = 𝟏 − 𝟐 
𝟑 ≠ −𝟏 
 
 
En conclusión, x = 4 es solución de la ecuación, pero x = 1 no lo es. 
 
EJEMPLO 2. Una ecuación con un solo radical 
Resolver la ecuación 
𝒙 + √𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟓 
 
Solución. 
𝒙 + √𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟓 
√𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟓 − 𝒙 
(√𝟒𝒙 + 𝟏)
𝟐
= (𝟓 − 𝒙)𝟐 
𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝒙𝟐 
𝟒𝒙 + 𝟏 − 𝟐𝟓 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝒙𝟐 = 𝟎 
𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
(𝒙 − 𝟏𝟐)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 
𝒙 = 𝟏𝟐, 𝒙 = 𝟐. 
 
Prueba. 
 
Si x = 12: 
𝒙 + √𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟓 
𝟏𝟐 + √𝟒(𝟏𝟐) + 𝟏 = 𝟓 
𝟏𝟐 + 𝟕 = 𝟓 
𝟏𝟗 ≠ 𝟓 
Si x = 2: 
𝒙 + √𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟓 
𝟐 + √𝟒(𝟐) + 𝟏 = 𝟓 
𝟐 + 𝟑 = 𝟓 
 
 
En conclusión, x = 2 es solución de la ecuación, pero x = 12 no lo es. 
 
 
3 
 
EJEMPLO 3. Una ecuación con dos radicales 
Resolver la ecuación 
√√𝟖𝒙 + 𝟏 = 𝟑 
Solución. 
√√𝟖𝒙 + 𝟏 = 𝟑 
(√√𝟖𝒙 + 𝟏)
𝟐
= 𝟑𝟐 
√𝟖𝒙 + 𝟏 = 𝟗 
(√𝟖𝒙 + 𝟏)
𝟐
= 𝟗𝟐 
𝟖𝒙 + 𝟏 = 𝟖𝟏 
𝟖𝒙 = 𝟖𝟏 − 𝟏 
𝟖𝒙 = 𝟖𝟎 
𝒙 = 𝟏𝟎 
 
Prueba. 
√√𝟖(𝟏𝟎) + 𝟏 = 𝟑 
√√𝟖𝟏 = 𝟑 
√𝟗 = 𝟑 
𝟑 = 𝟑 
 
EJEMPLO 4. Una ecuación con dos radicales 
Resolver la ecuación 
√𝟒𝒙 − 𝟑 − √𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟏 
 
Solución. 
√𝟒𝒙 − 𝟑 − √𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟏 
√𝟒𝒙 − 𝟑 = 𝟏 + √𝟐𝒙 − 𝟐 
(√𝟒𝒙 − 𝟑)𝟐 = (𝟏 + √𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 
𝟒𝒙 − 𝟑 = 𝟏 + 𝟐√𝟐𝒙 − 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐 
𝟒𝒙 − 𝟑 − 𝟏 − 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟐√𝟐𝒙 − 𝟐 
𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟐√𝟐𝒙 − 𝟐 
𝒙 − 𝟏 = √𝟐𝒙 − 𝟐 
(𝒙 − 𝟏)𝟐 = (√𝟐𝒙 − 𝟐)𝟐 
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙 − 𝟐 
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎 
𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎 
(𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎 
𝒙 = 𝟑, 𝒙 = 𝟏. 
4 
 
Prueba. 
 
Si x = 3: 
√𝟒𝒙 − 𝟑 − √𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟏 
√𝟒(𝟑) − 𝟑 − √𝟐(𝟑) − 𝟐 = 𝟏 
𝟑 − 𝟐 = 𝟏 
𝟏 = 𝟏 
Si x = 1: 
√𝟒𝒙 − 𝟑 − √𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟏 
√𝟒(𝟏) − 𝟑 − √𝟐(𝟏) − 𝟐 = 𝟏 
𝟏 − 𝟎 = 𝟏 
𝟏 = 𝟏 
 
En conclusión, tanto x = 1 como x = 3 son soluciones de la ecuación. 
 
EJEMPLO 5. Una ecuación con dos radicales 
Resolver la ecuación 
√𝒙 + 𝟑 +
𝟔
√𝒙 + 𝟑
= 𝟓 
 
Solución. 
Simplificamos primero la ecuación, multiplicando ambos lados por el 
radical: 
√𝒙 + 𝟑 (√𝒙 + 𝟑 +
𝟔
√𝒙 + 𝟑
) = 𝟓√𝒙 + 𝟑 
 
(√𝒙 + 𝟑)𝟐 +
𝟔√𝒙 + 𝟑
√𝒙 + 𝟑
= 𝟓√𝒙 + 𝟑 
 
𝒙 + 𝟑 + 𝟔 = 𝟓√𝒙 + 𝟑 
𝒙 + 𝟗 = 𝟓√𝒙 + 𝟑 
(𝒙 + 𝟗)𝟐 = (𝟓√𝒙 + 𝟑)𝟐 
𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 + 𝟖𝟏 = 𝟐𝟓(𝒙 + 𝟑) 
𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 + 𝟖𝟏 − 𝟐𝟓𝒙 − 𝟕𝟓 = 𝟎 
𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟔 = 𝟎 
(𝒙 − 𝟔)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎 
𝒙 = 𝟔, 𝒙 = 𝟏. 
Prueba. 
 
Si x = 6: 
√𝒙 + 𝟑 +
𝟔
√𝒙 + 𝟑
= 𝟓 
√𝟔 + 𝟑 +
𝟔
√𝟔 + 𝟑
= 𝟓 
𝟑 + 𝟐 = 𝟓 
𝟓 = 𝟓 
Si x = 1: 
√𝒙 + 𝟑 +
𝟔
√𝒙 + 𝟑
= 𝟓 
√𝟏 + 𝟑 +
𝟔
√𝟏 + 𝟑
= 𝟓 
𝟐 + 𝟑 = 𝟓 
𝟓 = 𝟓 
 
5 
 
En conclusión, tanto x = 1 como x = 6 son soluciones de la ecuación. 
 
EJERCICIOS 
 
Resolver las siguientes ecuaciones con radicales. 
 
𝟏) 𝟐 + √𝟕 + 𝒙 = 𝒙 − 𝟑 𝟔) √𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟓 − 𝟐𝒙 = −𝟏 
𝟐) 𝟐𝒙 + 𝟏𝟒 = √𝟒 − 𝟑𝒙 + 𝟐 
𝟕) √𝒙 + √𝒙 + 𝟖 = 𝟐√𝒙 
 
𝟑) √𝟓𝒙 − 𝟏 + √𝒙 + 𝟑 = 𝟒 𝟖) 𝟐 + √𝟗 + 𝒙 = 𝒙 − 𝟏 
𝟒) √√𝟕𝒙 − 𝟑 = √𝒙 − 𝟑 
 
𝟗) √𝒙 + 𝟕 + √𝒙 − 𝟏 − 𝟐√𝒙 + 𝟐 = 𝟎 
𝟓) √𝟐𝒙 + √𝟒𝒙 − 𝟑 = 𝟑 
 
𝟏𝟎) √𝟐𝒙 + 𝟐 + √𝟑𝒙 + 𝟒 = 𝟗