Ecuaciones exponenciales y logaritmicas

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ECUACIONES
CON RADICALES
ECUACIONES CON RADICALES 
O IRRACIONALES
Una ecuación con radicales o ecuación irracional, es toda aquella que tiene una incógnita bajo el
signo radical. Para resolver ecuaciones de este tipo se deben aislar las raíces y posteriormente
elevar ambos miembros a una potencia igual al índice de la raíz.
Ejemplo 1: Resolver 3√ (4x + 3) = 3
Elevamos al cubo ambos miembros:
[3√ (4x + 3) ]3 = 33 = 4x + 3 = 27
Restamos 3 en ambos miembros de la ecuación:
4x = 27 – 3
Dividimos entre 4 ambos miembros de la ecuación:
x = 24 / 4
Posible solución:
x = 6
Al sustituir x = 6 en la ecuación original para evaluar si es una raíz extraña o
no, comprobamos que 3√ (4x + 3) = 3, es correcta. Por tanto:
Solución: x = 6
EJEMPLOS RESUELTOS
Ejemplo 2: Resolver 3√ [2 + 5√(x + 5) ] = 2
Elevamos al cubo ambos miembros:
{ 3√ [2 + 5√(x + 5) ] }3 = 23
Eliminamos el radical al cubo:
2 + 5√(x + 5) = 8
Restamos 2 en ambos miembros de la ecuación:
√(x + 5) = 8 – 2
Observemos que la incógnita está bajo un signo radical:
√(x + 5) = 6
Por lo tanto, elevamos al cuadrado ambos miembros:
[√(x + 5)]2 = 62
Eliminamos el radical al cuadrado:
x + 5 = 36
Restamos 5 en ambos miembros de la ecuación:
x = 36 – 1
Posible solución:
x = 31
Al sustituir en la ecuación original para evaluar si es una raíz extraña o 
no, comprobamos que 3√ {2 + 5√[(31) + 5] } = 2, es correcta. Por tanto:
Solución: x = 31
Ejemplo 3: Resolver √ [ 2 + √ (x – 5 ) ] = √ (13 – x)
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
{ √ [ 2 + √ (x – 5 ) ] }2 = { √ (13 – x) }2
Eliminamos los radicales al cuadrado:
2 + √ (x – 5 ) = 13 – x
Restamos 2 en ambos miembros de la ecuación:
√ (x – 5 ) = 13 – x – 2
Observemos que la incógnita está bajo un signo radical:
√ (x – 5 ) = 11 – x
Por lo tanto, elevamos al cuadrado ambos miembros:
[ √ (x – 5 ) ]2 = ( 11 – x )2
Eliminamos el radical al cuadrado; recordemos que (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 :
x – 5 = 121 – 22x + x2
Obtenemos una ecuación de segundo grado (cuadrática):
x2 – 23x + 126 = 0
Al resolver la ecuación, obtenemos dos posibles soluciones:
x = [ – b ± √(b2 – 4ac) ] / 2a
Con a = 1, b = -23, c = 126:
x = { 23 ± √[ ( – 23)2 – 4(1)(126) ] } / 2a
x1 = [ 23 + √ ( 529 – 504 ) ] / 2 = ( 23 + √25 ) / 2 = ( 23 + 5 ) / 2 = 28 / 2 = 14
x2 = [ 23 – √ ( 529 – 504 ) ] / 2 = ( 23 – √25 ) / 2 = ( 23 – 5 ) / 2 = 18 / 2 = 9
Al sustituir x1 = 14 en la ecuación original para evaluar si es una raíz extraña o
no, comprobamos que √ [ 2 + √ (14 – 5 ) ] ≠ √ (13 – 14), no se cumple. Por tanto:
x1 = 14 es una raíz extraña
Ahora, al sustituir x2 = 9 en la ecuación original para evaluar si es una raíz
extraña o no, comprobamos que √ [ 2 + √ (9 – 5 ) ] = √ (9 – 14), es correcta. Por
tanto:
PARA RESOLVER:
ECUACIONES 
CUADRÁTICAS
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Las ecuaciones cuadráticas
también llamadas ecuaciones de
segundo grado son aquellas que el
exponente del término desconocido
está elevado al cuadrado (2) esto
quiere decir que la incógnita esta
elevada al cuadro x2
Tiene la siguiente forma
Con la condición de que a sea distinto de 0
Dónde: a, b, c son constantes y x la variable
Pueden ser ecuaciones completas o incompletas
Se las resuelve con la factorización, el método de
Ruffini o con la fórmula general ya q esta resuelve
cualquier ejercicio elevado al cuadrado.
Ecuación cuadrática 
completa:
• Dada la ecuación 
x2 +8x-84=0
• Factorizar
(x+14)(x-6) =0
• Igualar a 0 y Sacar las raíces
X+14=0
X1=-14
X-6=0
X2= 6
FORMAS DE RESOLVER UNA ECUACION DE 
SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICA
Ecuación cuadrática incompleta:
Dada la ecuación: 
2x2 + 8x=0
Se divide para 2( ÷2) ambos lados y 
quedaría así la función:
(÷2) 2x2 +8x=0(÷2)
X2 + 4x=0
Factor común:
X(x+4)=0
Igualar a 0 y Sacar las raíces
X=0
X1=0
X+4=0
X2= -4
Por comodidad, resolveremos la ecuación
de tres formas distintas según los valores
de los coeficientes b y c.
Se llama discriminante, Δ, a
El signo de Δ nos permite conocer el tipo de
soluciones de la ecuación:
•Si Δ > 0 , hay dos soluciones reales
distintas.
•Si Δ = 0 , hay dos soluciones reales
iguales.
•Si Δ < 0 no hay soluciones reales (hay
dos soluciones complejas distintas).
M E T O D O S D E S O L U C I Ó N
FÓRMULA GENERAL
De la forma
A partir de la
ecuación planteada se
identifican los valores de a,
b y c para proceder con la
solución de la ecuación
EJ
EM
P
LO
S:
M É T O D O S D E S O L U C I Ó N
MÉTODO DE FACTORIZACION
Primero se debe verificar si el
trinomio es factorizable, de lo
contrario la solución de la ecuación
debe ser con el uso de la formula
general
ASPAS
Otra forma de solución es el método de aspas,
que funciona también solo si el trinomio es
factorizable
PARA RESOLVER:
ECUACIONES 
EXPONENCIALES
Y LOGARÍTMICAS
Se conoce como ecuación exponencial a una ecuación donde la incógnita forma parte sólo
de los exponentes de potencias para ciertas bases constantes. Una de las ecuaciones
exponenciales más simples, cuya solución se reduce a la de una ecuación algebraica, es
la ecuación del tipo, pero también hay ecuaciones exponenciales del tipo
ECUACIÓN EXPONENCIAL
Definición
pero también hay ecuaciones exponenciales del 
tipo
EJEMPLO:
1. MÉTODO DE REDUCCIÓN A UNA BASE COMÚN.
 Si ambos miembros de una ecuación se pueden representar como
potencias de base común, donde la base es un número positivo, distinto
de 1.
Usando la propiedad:
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
En otras palabras, los exponentes se igualan y resulta un
tipo de ecuación en el cual se aplican las transformaciones
algebraicas explicadas anteriormente.
Método de logaritmación de una ecuación exponencial. Se
aplica logaritmos a conveniencia en ambos lados de la
ecuación y se procede con las transformaciones algebraicas
y las leyes de logaritmos conocidas.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
EJEMPLO:
PROPIEDADES A CONSIDERAR
PARA RESOLVER:
Sea a un real positivo fijo, a≠1 y sea x cualquier número real positivo, entonces:
ECUACIÓN LOGARÍTMICA
Definición:
La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en
base a≠1, denotada por
 función logarítmica de base a
 el número loga x se llama logaritmo de x en la base a
 La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que: el
logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al
cual se debe elevar la base para obtener el número.
PROPIEDADES DE LOS 
LOGARITMOS
1. El logaritmo de la base es 1.
2. El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base.
3. El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
PROPIEDADES DE LOS 
LOGARITMOS
4. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador
menos el logaritmo del denominador
5. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo
de la base de la potencia
6. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando
dividido por el índice
PROPIEDADES DE LOS 
LOGARITMOS
7. Cambio de base: El logaritmo en base a de un número se
puede obtener a partir de logaritmos en otra base
 Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces, loga x < loga y
 Es decir, la función logarítmica de base a > 1 es
estrictamente creciente en su dominio.
 Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y , entonces, loga x >
loga y .
 La función logarítmica de base entre 0 y 1; es
estrictamente decreciente en su dominio.
A considerar:
EJEMPLO:
PARA RESOLVER: