Ec de Grado Superior

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ECUACIONES DIFERENCIALES 
 
Ing. DAEN. Rosio J. Carrasco Mendoza Página 1 
 
Capítulo III 
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN GRADO SUPERIOR 
Introducción: 
 Se denomina así aquellas ecuaciones que presentan solamente derivadas de 
primer orden las mismas que están elevadas a un exponente y también entran dentro 
de esta clasificación las ecuaciones en las cuales no se puede determinar el grado 
debido a la presencia de funciones trascendentes donde el argumento es la derivada. 
 La ecuación general de primer orden de grado n se puede escribir en la forma: 
𝑷𝒐(𝒙, 𝒚)(𝒚
′)𝒏 + 𝑷𝟏(𝒙, 𝒚)(𝒚
′)𝒏−𝟏 + 𝑷𝟐(𝒙, 𝒚)(𝒚
′)𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝑷𝒏−𝟏(𝒙, 𝒚)𝒚
′ + 𝑷𝒏 = 𝟎 
Si se efectúa un renombre a la derivada 𝒑 = 𝒚′ se tendrá una ecuación del 
tipo algebraico de variable p grado n de la forma: 
 
 
 Para resolver este tipo de ecuaciones se disponen de varios métodos entre 
estos tenemos los siguientes: 
 Solución Respecto de p 
 Solución Respecto de y 
 Solución Respecto de x 
 Solución por Claireaut 
 Solución por Lagrange 
Solución Respecto de p: 
 Este método se puede aplicar cuando la ecuación en términos de p se puede 
factorizar para esta variable y además en lo posible los factores son lineales, de no 
ser así el factor no lineal se puede resolver por otro método de los ya listados. Si 
todos los factores son lineales para p se tiene el siguiente proceso: 
𝑷𝒐(𝒙, 𝒚)𝒑
𝒏 + 𝑷𝟏(𝒙, 𝒚)𝒑
𝒏−𝟏 + 𝑷𝟐(𝒙, 𝒚)𝒑
𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝑷𝒏−𝟏(𝒙, 𝒚)𝒑 + 𝑷𝒏 = 𝟎 
(𝒑 − 𝒇𝟏)(𝒑 − 𝒇𝟐)(𝒑 − 𝒇𝟑) ∙ … ∙ (𝒑 − 𝒇𝒏−𝟏)(𝒑 − 𝒇𝒏) = 𝟎 
Donde 𝒇𝒊 son funciones de x e y, entonces igualando cada factor a cero y resolviendo 
las n ecuaciones de primer grado primer orden se tendrá la solución (n soluciones) 
que se podrá escribir en forma individual o combinada en producto. 
𝑷𝒐(𝒙, 𝒚)𝒑
𝒏 + 𝑷𝟏(𝒙, 𝒚)𝒑
𝒏−𝟏 + 𝑷𝟐(𝒙, 𝒚)𝒑
𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝑷𝒏−𝟏(𝒙, 𝒚)𝒑 + 𝑷𝒏 = 𝟎 
 
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𝒑 − 𝒇𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝒑 = 𝒇𝟏 ⇒ 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇𝟏 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒇𝟏𝒅𝒙 ⇒ 𝒚 = 𝑭𝟏 + 𝑪 
𝒑 − 𝒇𝟐 = 𝟎 ⇒ 𝒑 = 𝒇𝟐 ⇒ 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇𝟐 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒇𝟐𝒅𝒙 ⇒ 𝒚 = 𝑭𝟐 + 𝑪 
𝒑 − 𝒇𝟑 = 𝟎 ⇒ 𝒑 = 𝒇𝟑 ⇒ 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇𝟑 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒇𝟑𝒅𝒙 ⇒ 𝒚 = 𝑭𝟑 + 𝑪 
 . 
 ⋮ 
 . 
𝒑 − 𝒇𝒏 = 𝟎 ⇒ 𝒑 = 𝒇𝒏 ⇒ 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇𝒏 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒇𝒏𝒅𝒙 ⇒ 𝒚 = 𝑭𝒏 + 𝑪 
 
 
 
Ejem. 1 Resolver respecto de p las siguientes ecuaciones: 
Solución Respecto de y: 
 Este método se puede aplicar cuando de la ecuación en términos de p se puede 
despejar la variable dependiente “y” una vez hecho esto, se deriva respecto de la 
otra variable (x), se renombra nuevamente a la derivada (
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒑) y la ecuación 
resultante será de primer grado primero orden para las variables p y x, resuelta la 
misma se debe retornar a las variables originales despejando p, para luego resolver 
la ecuación diferencial formada para las variables originales. En caso de no poder 
despejar p se presentará la solución en forma paramétrica siendo p el parámetro. 
𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒑) ⇒ 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝝏𝒇
𝝏𝒙
∙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
+
𝝏𝒇
𝝏𝒑
∙
𝝏𝒑
𝝏𝒙
 ⇒ 𝒑 =
𝝏𝒇
𝝏𝒙
+
𝝏𝒇
𝝏𝒑
∙
𝒅𝒑
𝒅𝒙
 
Ejem. 2 Resolver las siguientes ecuaciones respecto de y 
Solución Respecto de x: 
 Este método se puede aplicar cuando de la ecuación en términos de p se puede 
despejar la variable independiente “x” una vez hecho esto se deriva respecto de la 
otra variable (y), se renombra nuevamente a la derivada (
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒑 ⇒ 
𝒅𝒙
𝒅𝒚
=
𝟏
𝒑
) y la 
ecuación resultante será de primer grado primero orden para las variables p e y, 
resuelta la misma se debe retornar a las variables originales despejando p y 
 
(𝒚 − 𝑭𝟏 − 𝑪)(𝒚 − 𝑭𝟐 − 𝑪)(𝒚 − 𝑭𝟑 − 𝑪) ∙ … ∙ (𝒚 − 𝑭𝒏 − 𝑪) = 𝟎 
 
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resolviendo la ecuación diferencial formada para las variables originales. En caso de 
no poder despejar p se presentará la solución en forma paramétrica siendo p el 
parámetro. 
𝒙 = 𝒇(𝒚, 𝒑) ⇒ 
𝒅𝒙
𝒅𝒚
=
𝝏𝒇
𝝏𝒚
∙
𝒅𝒚
𝒅𝒚
+
𝝏𝒇
𝝏𝒑
∙
𝝏𝒑
𝝏𝒚
 ⇒ 
𝟏
𝒑
=
𝝏𝒇
𝝏𝒚
+
𝝏𝒇
𝝏𝒑
∙
𝒅𝒑
𝒅𝒚
 
Ejem. 3 Resolver las siguientes ecuaciones respecto de x 
Solución por Claireaut: 
 Este método se aplica cuando de la ecuación en términos de p se puede 
despejar la variable “y” y esta nueva ecuación queda en la forma general de Claireaut, 
si esto es así se reemplaza p por C (C = constante) y está será la solución general 
de la ecuación de primer orden grado superior original pero además de esto 
generalmente estas ecuaciones presentan también una solución denominada Solución 
singular la misma debe de ser encontrada mediante el proceso indicado. 
 La forma general de Claireaut es la siguiente: 
 
 
Su primitiva (Solución) está dada por: 𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝒇(𝑪) 
Soluciones Singulares: 
 Se denominan así aquellas soluciones que no son parte de la solución general 
como es el caso de la solución particular, estas normalmente aparecen en la ecuación 
de Claireaut, para determinar las mismas se procede como en la solución respecto 
de y la diferencia está en que en el proceso se considera que p’ debe ser siempre 
distinto de cero por lo que deberá ser cero el factor que se tenga para cumplir con 
la igualdad. Resumiendo, una solución singular de una ecuación diferencial satisface 
la ecuación, pero no es una solución particular. 
 Las soluciones singulares de una ecuación diferencial se encuentran 
expresando las condiciones: 
1. Que la ecuación diferencial (ecuación p) tenga raíces múltiples y 
2. Que la primitiva (solución general en términos de C) tenga raíces múltiples. 
En general, una ecuación de primer orden no tiene soluciones singulares; si es 
de primer grado no puede tener soluciones singulares. Aún más, una ecuación 
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒑) = 𝟎 no puede tener soluciones singulares si 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒑) puede resolverse 
𝒚 = 𝒑𝒙 + 𝒇(𝒑) 
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según factores que sean lineales en p y racionales en x e y, es decir que si son 
resolubles respecto de p, x ó y; no presentan solución singular. 
Nota: Cuando alguna solución singular no satisface la ecuación diferencial se la 
denomina Lugar Geométrico Extraño, entre estos tenemos: 
 Lugar de Choque 
 Lugar de Puntos Dobles 
 Lugar de Puntos de retroceso 
Ejem.4 Resolver las siguientes ecuaciones de Claireaut y encontrar sus soluciones 
singulares si es que existiesen las mismas. 
Solución por Lagrange: 
 La ecuación de Lagrange es la forma mejorada de Claireaut, para resolver la 
misma una vez que se ha determinado que corresponde a la forma de Lagrange se 
procede de la misma forma que en la resolución respecto de y con la diferencia de 
que la ecuación resultante (de primer grado primer orden para las variables x y p) 
siempre será resoluble por la ecuación general (Bellman) para la variable x. 
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝜑(𝑝) + 𝑥
𝜕𝜑
𝜕𝑝
∙
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+
𝜕𝛹
𝜕𝑝
∙
𝜕𝑝
𝜕𝑥
 ⇒ 𝑝 = 𝜑(𝑝) + 𝑥
𝜕𝜑
𝜕𝑝
∙
𝑑𝑝
𝑑𝑥
+
𝜕𝛹
𝜕𝑝
∙
𝑑𝑝
𝑑𝑥
 
𝑝 − 𝜑(𝑝) = (𝑥
𝜕𝜑
𝜕𝑝
+
𝜕𝛹
𝜕𝑝
)
𝑑𝑝
𝑑𝑥
 ⇒ 
𝑑𝑝
𝑑𝑥
=
𝑝 − 𝜑(𝑝)
(𝑥
𝜕𝜑
𝜕𝑝
+
𝜕𝛹
𝜕𝑝
)
 ⇒ 
𝑑𝑥
𝑑𝑝
=
(𝑥
𝜕𝜑
𝜕𝑝
+
𝜕𝛹
𝜕𝑝
)
𝑝 − 𝜑(𝑝)
 
𝑥′ + 𝑥 (
1
𝜑(𝑝) − 𝑝
)
𝜕𝜑
𝜕𝑝
=
1
𝑝 − 𝜑(𝑝)
𝜕𝛹
𝜕𝑝
 
Ejem. 5 Resolver las siguientes ecuaciones por Lagrange 
Ejercicios: 
 
𝒚 = 𝒙𝝋(𝒑) + 𝜳(𝒑)