GUIA 30 OPERACIONES CON FUNCIONES

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUIA 30: OPERACIONES CON FUNCIONES 
 
Al igual que los números reales las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y 
dividir. Veamos las definiciones generales para dos funciones f y g. 
 
DEFINICIÓN DE LAS OPERACIONES CON FUNCIONES 
Función suma La suma f + g es la función definida por 
(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) 
Función diferencia La diferencia f – g es la función definida por 
(𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) 
Función producto El producto f x g es la función definida por 
(𝒇 ∙ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) 
Función cociente El cociente f/g es la función definida por 
(
𝒇
𝒈
) (𝒙) =
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
, 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎 
 
En cada caso, el dominio de la función resultante consta de los números que son 
comunes a ambos dominios de f y de g, es decir, es la intersección de los dos 
dominios, pero los números x para los cuales g (x) = 0 deben excluirse del dominio 
de f/g. 
 
EJEMPLO 1. Operaciones con funciones 
Sean las funciones f : R R y g: R R definidas por f(x) = 2x2 -2x +3 y g(x) = 4x 
– 8. 
Tenemos 
𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) = ( 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑) + (𝟒𝒙 − 𝟖) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 + 𝟒𝒙 − 𝟖 
 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓. 
𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) = ( 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑) − (𝟒𝒙 − 𝟖) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 − 𝟒𝒙 + 𝟖 
 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟏. 
𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) = ( 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑) ∙ (𝟒𝒙 − 𝟖) = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 
 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟐𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟖𝒙 − 𝟐𝟒. 
 
2 
 
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
=
𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑
𝟒𝒙 − 𝟖
 
 
El dominio de las 3 primeras funciones obtenidas es R mientras que el dominio de 
f/g es R, exceptuando el valor x = 2. 
 
EJEMPLO 2. Operaciones con funciones 
Sean las funciones f y g definidas como 
𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟐 𝒚 𝒈(𝒙) = √𝒙 − 𝟑 
Tenemos: 
 
(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) = √𝒙 + 𝟐 + √𝒙 − 𝟑 
(𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) = √𝒙 + 𝟐 − √𝒙 − 𝟑 
(𝒇 ∙ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) = (√𝒙 + 𝟐)(√𝒙 − 𝟑) = √(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟑) 
(
𝒇
𝒈
) (𝒙) =
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
 
=
√𝒙 + 𝟐
√𝒙 − 𝟑
= √
𝒙 + 𝟐
𝒙 − 𝟑
 
 
El dominio de f consta de todos los números reales x tales que x ≥ ─2; el dominio de 
g consta de todos los números reales x tales que x ≥ 3. Los números x comunes a 
ambos dominios cumplen la condición x ≥ 3. Como resultado de ello, se concluye 
que el dominio de la suma, la diferencia y del producto, tienen como dominio 
{𝒙 ∈ 𝑹|𝒙 ≥ 𝟑}. 
Para la función cociente f/g, debemos excluir de este dominio el valor x = 3 que 
anula al denominador. Luego el dominio de f/g es 
{𝒙 ∈ 𝑹|𝒙 > 𝟑}. 
 
EJEMPLO 3. Operaciones con funciones racionales 
Sean las funciones f y g definidas como 
𝒇(𝒙) =
𝟐𝒙 + 𝟑
𝟑𝒙 − 𝟐
 𝒚 𝒈(𝒙) =
𝟒𝒙
𝟑𝒙 − 𝟐
 
Tenemos: 
 
(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) 
=
𝟐𝒙 + 𝟑
𝟑𝒙 − 𝟐
+
𝟒𝒙
𝟑𝒙 − 𝟐
=
𝟔𝒙 + 𝟑
𝟑𝒙 − 𝟐
 
(𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) 
=
𝟐𝒙 + 𝟑
𝟑𝒙 − 𝟐
−
𝟒𝒙
𝟑𝒙 − 𝟐
=
−𝟐𝒙 + 𝟑
𝟑𝒙 − 𝟐
 
(𝒇 ∙ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) 
= (
𝟐𝒙 + 𝟑
𝟑𝒙 − 𝟐
) (
𝟒𝒙
𝟑𝒙 − 𝟐
) =
𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙
(𝟑𝒙 − 𝟐)𝟐
 
 
3 
 
(
𝒇
𝒈
) (𝒙) =
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
 =
𝟐𝒙 + 𝟑
𝟑𝒙 − 𝟐
÷
𝟒𝒙
𝟑𝒙 − 𝟐
= (
𝟐𝒙 + 𝟑
𝟑𝒙 − 𝟐
) (
𝟑𝒙 − 𝟐
𝟒𝒙
) =
𝟐𝒙 + 𝟑
𝟒𝒙
 
 
Los dominios de f y de g constan de todos los números reales x tales que x  2/3 de 
modo que los números x comunes a ambos dominios cumplen la condición x  2/3. 
Como resultado de ello, se concluye que el dominio de la suma, la diferencia y del 
producto, tienen como dominio 
{𝒙 ∈ 𝑹|𝒙 ≠ 𝟐 𝟑⁄ }. 
Para la función cociente f/g, debemos excluir de este dominio el valor x = 0 que 
anula al denominador. Luego el dominio de f/g es 
{𝒙 ∈ 𝑹|𝒙 ≠ 𝟎, 𝒙 ≠ 𝟐 𝟑⁄ }. 
 
EJERCICIOS 
En los ejercicios 1 a 4, dadas las siguientes funciones f, g y h, definidas como sigue, 
hallar las operaciones solicitadas y dé el respectivo dominio. 
𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒈(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒉(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟐 
 
(𝟏) 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) (𝟐) 𝒇(𝒙) ∙ 𝒉(𝒙) 
(𝟑) 𝒉(𝒙) + 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) 
(𝟒) 
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
 
 
En los ejercicios 5 a 10, para las funciones dadas f y g, determine las siguientes 
funciones y el dominio de cada una. 
(a) f + g (b) f – g (c) fxg (d) f/g 
 
(𝟓) 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟓, 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑 (𝟔) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓, 𝒈(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 
(𝟕) 𝒇(𝒙) = 𝟏 +
𝟏
𝒙
, 𝒈(𝒙) =
𝟏
𝒙
 (𝟖) 𝒇(𝒙) =
𝟐𝒙 + 𝟒
𝒙 + 𝟐
 𝒈(𝒙) =
𝒙 + 𝟑
𝒙 − 𝟐
 
(𝟗) 𝒇(𝒙) =
𝟒𝒙 − 𝟑
𝟐𝒙 − 𝟒
, 𝒈(𝒙) =
𝟐𝒙 + 𝟐
𝟐𝒙 − 𝟒
 (𝟏𝟎) 𝒇(𝒙) =
𝟑
𝒙
, 𝒈(𝒙) =
𝒙
𝟑