S15 s1 - Material - Funciones

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FUNCIONES
DOMINIO Y RANGO
¿Para que sirven las funciones?
https://gazeta.gt/la-epidemiologia-matematica-y-los-escenarios-de-propagacion-iii/
Modelo matemático SIR, que muestra un crecimiento 
de tipo exponencial, consecuentemente el ritmo de 
crecimiento es proporcional a la cantidad que existe 
en un determinado momento lo que generará 
necesariamente un comportamiento de tipo 
geométrico exponencial.
https://www.oei.es/historico/divulgacioncientifica/?Aplicaciones-
matematicas-desde-una-suma-hasta-la-comprension-y-reinterpretacion
Funciones
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante identifica los diferentes 
tipos de funciones y determina su dominio, rango y gráfico respectivo.
Datos/Observaciones
DOMINIO RANGO
DOMINIO Y RANGO
Una función 𝑓 de un conjunto 𝐴 en un conjunto 𝐵 es una regla (procedimiento o 
mecanismo) de manera que asociamos a cada elemento "𝑥" del conjunto 𝐴 un único 
elemento "𝑦" en el conjunto 𝐵.
¿Qué es una función?
𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵
𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥
Funciones
¿Cómo puedo identificar una función geométricamente?
 
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
No es funciónEs función
Sea 𝑓 ∶ 𝐴 ⟶ 𝐵 , llamaremos dominio
de la función al conjunto de todas sus 
primeras componentes (preimagen) y 
lo denotaremos por 𝐷𝑓 o 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ), es 
decir: 
𝑫𝒇 = 𝑥 ∈ Τ𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓
1 DOMINIO y RANGO
y llamaremos rango de la función 𝑓 al 
conjunto de las imágenes de todos los 
elementos de 𝐴, mediante 𝑓 al cual 
denotaremos 𝑅𝑓 o 𝑅𝑎𝑛 𝑓 , es decir:
𝑹𝒇 = 𝑦 ∈ Τ𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑓
𝑥
𝑦
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜
𝑓 𝑥
Funciones
2 FUNCIONES ESPECIALES 
Dominio y Rango
1. Función Constante 𝑓 𝑥 = 𝑘
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℛ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = {𝑘}
𝑥
𝑦
1
𝑘
2 3
2. Función Lineal 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 ; 𝑚 ≠ 0
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℛ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℛ
𝑥
𝑦
𝑚 > 0
Funciones
2 FUNCIONES ESPECIALES 
Dominio y Rango
3. Función Cuadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎 ≠ 0
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝓡
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ቊ
[𝑘, +∞[ , 𝑎 > 0
] − ∞, 𝑘], 𝑎 < 0
𝑥
𝑦
ℎ, 𝑘
𝑘
ℎ
𝑉 𝑘, 𝑘 = −
𝑏
2𝑎
, 𝑓 −
𝑏
2𝑎
El vértice se puede obtener mediante
la siguiente fórmula:
ℎ = −
𝑏
2𝑎
𝑘 = 𝑓 −
𝑏
2𝑎
Funciones
𝑹𝒂𝒏 𝒇 =[𝒌,+∞[
Datos/Observaciones
Determine el dominio, rango y graficar la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 10Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
ℎ = −
𝑏
2𝑎 = −
−6
2 1
= 3
𝑘 = 𝑓 −
𝑏
2𝑎
= 𝑓 3
= 9 − 18 + 10 = 1
= 3 2 − 6 3 + 10
𝑉 ℎ, 𝑘 = −
𝑏
2𝑎
, 𝑓 −
𝑏
2𝑎
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℛ
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 1,+∞
RPTA:
𝑎 = 1; 𝑏 = −6; 𝑐 = 10
𝑉 = (3; 1)
2 FUNCIONES ESPECIALES 
Dominio y Rango
4. Función Raíz Cuadrada 𝑓 𝑥 = 𝑥
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [0; )+∞
𝑥
𝑦
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = [0; )+∞
5. Función Valor Absoluto 𝑓 𝑥 = 𝑥
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℛ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = [0; )+∞
𝑥
𝑦
Funciones
2 FUNCIONES ESPECIALES 
Dominio y Rango
6. Función Racional 𝑓 𝑥 =
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℛ − 𝑨. 𝑽.
𝑥
𝑦
Funciones
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃 𝑥 = 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄 𝑥
⟹ 𝑦 =
𝑎
𝑐
1.
𝑓 𝑥 =
𝑎𝑥𝑛 + 𝑏
𝑐𝑥𝑛 + 𝑑
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃 𝑥 > 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄 𝑥2.
∄ 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃 𝑥 < 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄 𝑥3.
⟹ 𝑦 = 0𝑓 𝑥 =
𝑎𝑥𝑛 + 𝑏
𝑐𝑥𝑚 + 𝑑
𝑨.𝑯. Asíntota Horizontal
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℛ − 𝑨.𝑯.
𝑨. 𝑽. ∶ Asíntota Vertical
𝑨. 𝑽. = 𝑥 ∈ ℛ/𝑄 𝑥 = 0
Datos/Observaciones
Determine el dominio, rango y gráfica de la función 𝑓 𝑥 =
𝑥−3
2𝑥−7
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
𝑄 𝑥 = 0
𝑥
𝑦
2𝑥 − 7 = 0
𝑥 =
7
2
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℛ −
7
2
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃 𝑥 = 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄 𝑥
𝑦 =
𝑎
𝑐
=
1
2
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℛ −
1
2Τ7 2
Τ1 2
2 FUNCIONES ESPECIALES 
Dominio y Rango
7. Función por Partes (por Tramos, a Trozos)
𝑓 𝑥 = ൞
𝑓1, 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓1
𝑓2, 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓2
𝑓3, 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓3
Funciones
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓1 ∪ 𝐷𝑜𝑚 𝑓2 ∪ 𝐷𝑜𝑚 𝑓3
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Determine el dominio, rango de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 11𝑥 + 12 + 1
(Sug.: Obtenga el rango a partir de la tabulación de la función en su dominio)
SOLUCIÓN:
2𝑥2 − 11𝑥 + 12 ≥ 0
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ⟨−∞,3/2] ∪ [4,+∞⟩
2𝑥 − 3 𝑥 − 4 ≥ 0
𝑥 =
3
2
𝑥 = 4
43
2
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = [1, +∞)
𝑥 0 3/2 4 5
𝑦 4.5 1 1 22.4
Evaluando los signos
2𝑥 − 3 𝑥 − 4 ≥ 0
−3 −4
+
1 −2
−
7 1
+
43
2
𝑥 = 0 𝑥 = 2 𝑥 = 5
Funciones
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Sea 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 2𝑥 + 8; donde −1 < 𝑥 < 5. Determine el dominio, rango y gráfica de la función 
considerando sus interceptos a los ejes coordenados si los hubiera.
SOLUCIÓN:
ℎ = −
2
2 −1
𝑘 = 𝑓 1
𝑉 ℎ, 𝑘 = −
𝑏
2𝑎
; 𝑓 −
𝑏
2𝑎
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = −1; 5
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ⟨−7; 9]
= 1
𝑘 = −1 + 2 + 8
𝑘 = 9
𝐸𝑗𝑒 𝑦:
INTERCEPTOS CON LOS EJES
𝐸𝑗𝑒 𝑥:
⟹ 𝑥 = 0
𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 + 8
𝑦 = 0 + 2 0 + 8
𝑦 = 8
⟹ 𝑦 = 0
0 = −𝑥2 + 2𝑥 + 8
𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0
𝑥 − 4 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = 4 𝑥 = −2
0, 8
4, 0
Funciones
𝑉 = 1; 9
−1 < 𝑥 < 5
𝑓 −1 = −1 − 2 + 8 = 5
𝑓 5 = −25 + 10 + 8 = −7
LISTO PARA MIS EJERCICIOS RETOS
Experiencia 
Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos 
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min
EJERCICIOS RETOS
1. Hallar el dominio y rango de 𝑓 𝑥 =
𝑥2−1
𝑥2+4
.
2. Halle los valores de a y b para que el conjunto de pares ordenados sea una función:
𝑓 = 1, 3 ; 2, −3 ; 1, 𝑎2 + 𝑏2 ; −1, 𝑎 + 𝑏 ; 𝑎2 + 𝑏, 𝑎 ; 𝑏 + 𝑎2, 𝑏
3. Dado el polinomio 𝑝 𝑥 = 𝑥3 + 𝑎 + 1 𝑥2 + 𝑥 se define la función 𝑓 con dominio 
{0,1,2,3,5}, por 𝑓 𝑎 = 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝(𝑥) entre (𝑥 + 𝑎), Calcular: 𝑓 2 + 𝑓(3).
4. Dado la función 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑥 ∈ ℝ , Halle las constantes 𝑎 y 𝑏 si 𝑓 𝑥 + 𝑦 = 𝑓 𝑥 +
𝑓 𝑦 , ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ y si 𝑓 −2 = −6.
5. La grafica de la función 𝑦 =
2
3
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 intercectan al eje 𝑥 en los puntos (-2, 0) y (5,0) 
y al eje 𝑦 en el punto (0, k). Halle el valor de (b + c + k).
Espacio de 
Preguntas
Tiempo : 10 min
Pregunta a través del chat o levantando
la mano en el Zoom. Comparte tus
dudas de la sesión o de los ejercicios y
problemas que acaban de trabajar en
los grupos. Si no tienes preguntas el
profesor realizará algunas
Datos/Observaciones
Conclusiones 
1. DOMINIO
Es el conjunto de todas sus primeras componentes 
(preimagen) y lo denotaremos por 𝐷𝑓 o 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ).
2. RANGO
Es el conjunto de todas las imágenes de los elementos 
de 𝐴 mediante 𝑓, al cual denotaremos 𝑅𝑓 o 𝑅𝑎𝑛 𝑓 .
Datos/Observaciones
Dominio y Rango
Datos/Observaciones
FINALMENTE
Excelente tu 
participación
Los ganadores nos ponemos 
metas los perdedores se 
ponen excusas
Ésta sesión quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los ejercicios 
propuestos de ésta sesión y 
práctica con la tarea .
2. Consulta en el FORO tus 
dudas.