GUIA 32 FUNCIÓN INVERSA

Vista previa del material en texto

1 
 
 
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUIA 32: FUNCIÓN INVERSA 
 
Recordemos que una función y = f(x) es una regla que nos dice qué debemos 
hacer con la variable x. Por ejemplo, la función y = f(x) = 2x, multiplica a la 
variable x por 2. Una función inversa de f es una función que deshace lo 
que hace f. por ejemplo, la función g(x) = x/2que divide a la variable entre 2, 
es una inversa de f(x) = 2x. 
 
Para que una función f tenga inversa debe ser una función inyectiva, es decir 
uno a uno: para cada x en su dominio existe una única y en su rango. 
Definición de función inversa 
Sea f una función uno a uno y = f(x). La inversa de f, denotada por f-1 es 
una función tal que 
𝒇−𝟏[𝒇(𝒙)] = 𝒙, 
para todo x en el dominio de f, y 
𝒇[𝒇−𝟏(𝒙)] = 𝒙, 
para todo x en el dominio de f-1. 
NOTAS. 
1. El -1 utilizado en f-1 NO es un exponente. Es el símbolo usado para 
escribir que f-1 es la inversa de f. 
2. Para demostrar o comprobar que f-1 y f son inversas, se debe comprobar 
que 
 
2 
 
𝒇−𝟏[𝒇(𝒙)] = 𝒙, 𝒚 𝒇[𝒇−𝟏(𝒙)] = 𝒙. 
Además se cumple que 
𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒇 = 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒇−𝟏 
𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒇 = 𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒇−𝟏 
Interpretación geométrica. 
Si se dibujan las dos gráficas, la de f y la de f-1 en el mismo plano cartesiano, 
se observará que una es la reflexión de la otra con respecto a la recta y = x. 
Esto se debe a que si el punto (a, b) pertenece a f, entonces el punto (b, a) 
pertenece a la inversa f-1. 
EJEMPLO 1. Demostración de una función inversa. 
Sea 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟓. Demuestre que su inversa es 𝒇−𝟏(𝒙) = (𝒙 – 𝟓)/𝟐. 
 
 
Solución. 
Tenemos que demostrar dos cosas: 
f(x) = 2x + 5 f-1(x) = (x – 5)/2. 
𝒇−𝟏[𝒇(𝒙)] = 𝒇−𝟏(𝟐𝒙 + 𝟓) =
𝟐𝒙 + 𝟓 − 𝟓
𝟐
=
𝟐𝒙
𝟐
= 𝒙. 
𝒇[𝒇−𝟏(𝒙)] = 𝒇 (
𝒙 − 𝟓
𝟐
) = 𝟐 (
𝒙 − 𝟓
𝟐
) + 𝟓 = 𝒙 − 𝟓 + 𝟓 = 𝒙. 
 
3 
 
EJEMPLO 2. Determinación de la función inversa. 
Suponga que 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙– 𝟏 es uno a uno. Halle su inversa y verifique el 
resultado. 
Solución. 
Para determinar la inversa de una función, se sugieren los siguientes pasos: 
Paso 1: Escriba la función en la forma: 
𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏 
Paso 2: Intercambie las variables x e y: 
𝒙 = 𝟑𝒚 − 𝟏 
Paso 3: Despeje la variable y: 
𝒙 = 𝟑𝒚 − 𝟏 ↔ 𝒙 + 𝟏 = 𝟑𝒚 ↔
𝒙 + 𝟏
𝟑
= 𝒚 ↔ 𝒚 =
𝒙 + 𝟏
𝟑
 
Esta es la función inversa: 
𝒇−𝟏(𝒙) =
𝒙 + 𝟏
𝟑
 
Paso 4: Verifique el resultado aplicando la función de inversa: 
𝒇−𝟏[𝒇(𝒙)] = 𝒇−𝟏(𝟑𝒙 − 𝟏) =
𝟑𝒙 − 𝟏 + 𝟏
𝟑
=
𝟑𝒙
𝟑
= 𝒙. 
𝒇[𝒇−𝟏(𝒙)] = 𝒇 (
𝒙 + 𝟏
𝟑
) = 𝟑 (
𝒙 + 𝟏
𝟑
) − 𝟏 = 𝒙 + 𝟏 − 𝟏 = 𝒙. 
EJEMPLO 3. Determinación de la función inversa. 
Suponga que 𝒇(𝒙) = (𝟐𝒙 + 𝟏)/(𝒙 – 𝟏) es uno a uno. Halle su inversa y 
verifique el resultado. Dé el dominio y rango de cada función y realice la 
gráfica. 
Solución. 
Paso 1: 
𝒚 =
𝟐𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟏
 
Paso 2: 
𝒙 =
𝟐𝒚 + 𝟏
𝒚 − 𝟏
 
Paso 3: Despejamos y: 
𝒙 =
𝟐𝒚 + 𝟏
𝒚 − 𝟏
 
𝒙(𝒚 − 𝟏) = 𝟐𝒚 + 𝟏 
𝒙𝒚 − 𝒙 = 𝟐𝒚 + 𝟏 
𝒙𝒚 − 𝟐𝒚 = 𝒙 + 𝟏 
(𝒙 − 𝟐)𝒚 = 𝒙 + 𝟏 
 
4 
 
𝒚 =
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟐
 
La función inversa es: 
𝒇−𝟏(𝒙) =
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟐
 
 
Paso 4: Verificación: 
𝒇−𝟏[𝒇(𝒙)] = 𝒇−𝟏 (
𝟐𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟏
) =
𝟐𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟏
+ 𝟏
𝟐𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟏
− 𝟐
=
𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝒙 − 𝟏
𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐𝒙 + 𝟐
=
𝟑𝒙
𝟑
= 𝒙. 
𝒇[𝒇−𝟏(𝒙)] = 𝒇 (
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟐
) =
𝟐 (
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟐
) + 𝟏
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟐
− 𝟏
=
𝟐(𝒙 + 𝟏) + 𝒙 − 𝟐
𝒙 + 𝟏 − 𝒙 + 𝟐
=
𝟑𝒙
𝟑
= 𝒙. 
 
𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒇 = {𝒙 ∈ 𝑹|𝒙 ≠ 𝟏} = 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒇−𝟏 
𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒇 = {𝒙 ∈ 𝑹|𝒙 ≠ 𝟐} = 𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒇−𝟏 
 
 
5 
 
EJEMPLO 4. Determinación de la función inversa. 
Suponga que 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 es uno a uno. Halle su inversa y verifique el resultado. 
Dé el dominio y rango de cada función y realice la gráfica. 
Solución. 
Paso 1: 
𝒚 = 𝒙𝟑 
Paso 2: 
𝒙 = 𝒚𝟑 
Paso 3: Despejamos y: 
𝒚𝟑 = 𝒙 → 𝒚 = √𝒙
𝟑
 
La función inversa es: 
𝒇−𝟏(𝒙) = √𝒙
𝟑
 
 
Paso 4: Verificación: 
𝒇−𝟏[𝒇(𝒙)] = 𝒇−𝟏(𝒙𝟑) = √𝒙𝟑
𝟑
= 𝒙. 
𝒇[𝒇−𝟏(𝒙)] = 𝒇(√𝒙
𝟑 ) = (√𝒙
𝟑 )
𝟑
= 𝒙. 
𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒇 = 𝑹 = 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒇−𝟏 
𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒇 = 𝑹 = 𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒇−𝟏