BertJanssen-RelatividadGeneral-45

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O
O’
m
R + v t
0
r ’(t)r (t)
Figura 2.1: Las transformaciones de Galilei: Un observador O′ se mueve con velocidad ~v con respecto a
un observador O, tal que la posición de O′ en las coordenadas de O es ~R0 + ~vt. Una partı́cula, que tiene
posición ~r ′(t) en las coordenadas deO′ tendrá posición ~r(t) = ~R0 + ~r ′(t) + ~vt en las coordenadas deO.
Pero hay más. Si dos observadores observan el mismo suceso, cada uno en su propio sistema
de referencia, tiene que haber una manera de relacionar los resultados de un observador con los
resultados del otro. La relación entre los resultados de diferentes observadores se llama cambio de
coordenadas. Las rotaciones y las traslaciones en el tiempo y el espacio son ejemplos de cambios
de coordenadas, pero por lo menos igual de importantes son los cambios entre dos observadores
que están en movimiento uniforme rectilı́neo relativo.
Consideremos por simplicidad dos observadores O y O′ que tienen sus sistemas de coorde-
nadas orientados de tal manera que los ejes de sus coordenadas cartesianas son paralelos. El
observador O′ se mueve con una velocidad constante ~v con respecto al sistema de referencia de
O, ası́ que la posición del orı́gen de O′ con respecto a O en un momento t arbitrario viene dado
por ~R0 + ~vt, donde ~R0 es la posición de O′ a t = 0 en el sistema de O (véase Figura 2.1). Una
masa m que se encuentra en el momento t en la posición ~r ′ en el sistema de coordenadas de O′,
tendrá paraO, por la regla de suma de vectores, la posición
~r = ~R0 + ~r
′ + ~vt. (2.7)
Los observadoresO yO′ podrán relacionar sus mediciones de posición a través de estas transfor-
maciones, llamadas las transformaciones de Galilei. Muchas veces se presentan para el caso especial
cuando los dos sistemas de referencia coinciden a t = 0 yO′ se mueve a lo largo del eje x positivo
de O (es decir ~R0 = 0 y ~v = v~ex). En este caso (2.7) se reduce a
x = x′ + vt, y = y′, z = z′. (2.8)
Si la masa m se mueve con velocidad ~V para O y con velocidad ~V ′ para O′, su trayectoria
viene dada por ~r(t) = ~r0 + ~V t en las coordenadas de O y por ~r ′(t) = ~r0′ + ~V ′t en coordenadas
de O′, donde ~r0 y ~r0′ son las posiciones de la masa en el momento t = 0 en las coordenadas de
O y de O′ respectivamente. Utilizando (2.7), vemos que las dos trayectorias están relacionadas a
través de
~r0 + ~V t = ~R0 + ~vt + ~r0
′ + ~V ′t. (2.9)
Esta relación obviamento no es más que una reformulación de (2.7) para t arbitrario, pero su
interés está en que nos permite encontrar una relación entre las velocidades ~V y ~V ′ medidas por
O y O′. Derivando (2.9) con respecto al tiempo, obtenemos que la velocidad que O mide para la
masa m es la suma de la velocidad que mide O′ y la velocidad ~v de O′ relativa a O:
~V = ~v + ~V ′. (2.10)
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