Mecanica Clasica 2022-41-50

Vista previa del material en texto

3. Principio de los Trabajos Virtuales
Búsquenme donde se detiene el
viento, donde haya paz o no
exista el tiempo.
León Gieco
En las clases anteriores introdujimos una serie de conceptos centrales de los sistemas mecáni-
cos: grados de libertad, v́ınculos, fuerzas de v́ınculo y coordenadas generalizadas. Al estudiar
la dinámica de un sistema, antes que nada, tenemos que entender cómo se compone nuestro
sistema 20, cuáles son sus restricciones geométricas o cinemáticas, preguntarnos luego qué posi-
bilidades de movimiento tiene y una vez conocidos estos movimientos posibles debemos cuantifi-
carlos asociando a ellos coordenadas generalizadas 21. Es esencial entender y saber aplicar estos
conceptos antes de seguir, por lo tanto, si todav́ıa no lo hicieron ¡resuelvan el primer problema
de la gúıa práctica 1!
Lo visto hasta aqúı trata sobre la descripción de las configuraciones posibles de un sistema
mecánico, lo que se logra expresando la posición de cada part́ıcula en término de las coordenadas
generalizadas del sistema. También vimos cómo los posibles estados d el sistema (posición y
velocidad de cada part́ıcula) se pueden especificar en término de las coordenadas y velocidades
generalizadas. Hasta ahora no hablamos sobre cómo realmente se mueven los sistemas. En el
formalismo de Newton, la segunda ley F = ma es precisamente la que nos permite llegar a
dicha información. Conocidas las interacciones (fuerzas) que se ejercen las part́ıculas del sistema
entre śı y las interacciones que agentes externos ejercen sobre las part́ıculas, la segunda ley de
Newton nos da las ecuaciones (diferenciales) de movimiento. Las soluciones de estas ecuaciones,
habiendo fijado condiciones iniciales para las posiciones y velocidades de todas las part́ıculas
del sistema 22, nos permiten conocer las leyes de movimiento (o leyes horarias) en todo otro
instante. Esto es aśı porque si fijamos las posiciones y velocidades en el instante inicial t0, la
segunda ley de Newton, al darnos las aceleraciones de cada part́ıcula, predice dónde estará el
sistema en un instante posterior t0 + dt. De esta forma vamos avanzando
23 instante a instante
para conocer las leyes horarias.
En el formalismo de Lagrange el principio f́ısico fundamental es el principio de los trabajos
virtuales (1717), originalmente asociado a la estática de los sistemas mecánicos. Sobre este
principio, conocido también por sus siglas PTV, será la clase de hoy. En la próxima combinaremos
el PTV con la segunda ley de Newton para dar origen al principio de D’Alembert, otro de los
pilares del formalismo de Lagrange, asociado a la dinámica de los sistemas mecánicos. A primera
vista estos principios nos resultarán “extraños”. Se los puede pensar como respuestas a este
tipo de preguntas: de entre las infinitas configuraciones posibles de un sistema, ¿cómo “elige”
el sistema a la configuración de equilibrio?; de entre los infinitos posibles movimientos de un
sistema (sus potenciales movimientos), ¿cuál es el que se realiza f́ısicamente (su movimiento
20Recordemos que nuestro sistema debe incluir a todos los elementos que se afectan mutuamente entre śı.
21Recordemos también que en un sistema holónomo el número de coordenadas generalizadas es igual al núme-
ro de grados de libertad, en principio podemos entonces asociar una coordenada generalizada con cada grado
de libertad. Por otro lado, en los sistema no holónomos puede ocurrir que sea necesario un número mayor de
coordenadas generalizadas que el número de grado de libertad del sistema.
22Es un resultado emṕırico que podamos fijar arbitrariamente –pero respetando por supuesto los v́ınculos–
tanto posiciones como velocidades iniciales para las part́ıculas. Matemáticamente ese resultado está relacionado
con el hecho que las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.
23O retrocediendo hacia el pasado, porque las leyes de Newton son invariantes si hacemos que el tiempo “corra
al revés”.
41
actual) 24, el que vemos mientras avanzan las agujas de nuestros relojes? Para plantear estos
principios debemos detener la marcha de nuestros relojes y definir ciertas cantidades ’esotéricas’,
los desplazamientos virtuales, y pensar en “lo que ocurriŕıa si pasase tal cosa”.
3.1. Desplazamientos virtuales
¿Quién no tuvo la sensación que el tiempo se deteńıa en algún momento de su vida, por causas
tan variadas como emociones intensas o simplemente por tener la mente en blanco? Cuentos,
canciones, peĺıculas de ciencia ficción juegan con la idea de un tiempo que puede detenerse 25. En
lo que sigue congelaremos el tiempo y jugaremos con las potencialidades de nuestro sistema en
ese instante en el que las agujas del reloj están quietas: ¿cómo podŕıan desplazarse las part́ıculas?
¿qué trabajo haŕıan las fuerzas? De este análisis saldrá el principio de los trabajos virtuales.
Consideremos conocida la configuración de un sistema mecánico en el instante t. Esto significa
que podemos decir dónde está cada part́ıcula del sistema en ese preciso instante. Para ello basta
escribir los vectores posición {ri(t)}Ni=1 de todas las part́ıculas o bien, por su propia definición,
dar los valores de las coordenadas generalizadas {qj(t)}ni=1 del sistema. Dada dicha configuración
definimos como desplazamiento virtual del sistema a un desplazamiento infinitesimal de su
configuración (es decir, cambiamos “poquito” las posiciones de las part́ıculas), que cumple estas
condiciones:
El tiempo permanece fijo durante el desplazamiento virtual.
El desplazamiento virtual debe ser consistente con las ecuaciones de v́ınculo en el instan-
te fijo, esto significa que el sistema una vez desplazado tiene que seguir cumpliendo las
restricciones geométricas o cinemáticas a las que está sujeto. Más allá de esta condición
que debe cumplir, el desplazamiento virtual es arbitrario (pero infinitesimal) respecto a
los grados de libertad no restringidos.
Cuando hacemos un desplazamiento virtual las part́ıculas del sistema cambian infinitesimalmente
de posición. Teniendo en cuenta esto podemos describir matemáticamente un desplazamiento
virtual dando los corrimientos que provoca en cada uno de los vectores posición de las part́ıculas,
corrimientos infinitesimales que naturalmente son vectores, a los cuales notaremos como {δri}Ni=1
26 y llamaremos desplazamientos virtuales de los vectores posición de las part́ıculas:
ri → ri + δri i = 1, · · · , N (3.1)
antes → despues del desplazamiento virtual
La configuración de un sistema también está determinada de manera uńıvoca por sus coordena-
das generalizadas. Entonces, de manera alternativa, podemos describir el desplazamiento virtual
del sistema dando los desplazamientos infinitesimales de las coordenadas generalizadas, a los
que denotaremos como {δqj}nj=1 :
qj → qj + δqj j = 1, · · · , n (3.2)
antes → despues del desplazamiento virtual
Vimos en las clases pasadas que los v́ınculos a los que está sujeto un sistema obligan a que los
vectores posición de sus part́ıculas satisfagan determinadas relaciones. Por ejemplo, si el origen
24Aqúı actual hace referencia al “acto”, lo que se está realizando en contraposición a lo “potencial” que es lo
que se podŕıa realizar. Este tipo de distinciones se remonta a Aristóteles.
25Aunque otros, como el músico brasileño Cazuza,de nos dicen que el tiempo no para.
26La notación δ está asociada a variaciones que ocurren a tiempo fijo. Fue introducida por el mismo Lagrange.
42
del sistema de referencia coincide con el punto de suspensión de un péndulo simple entonces el
módulo del vector posición es constante, |r|−l = 0; en el caso del péndulo doble existe la siguiente
relación entre los vectores posición de ambas masas: |r1 − r2| − l2 = 0. Los v́ınculos prohiben
entonces que los vectores posición de las part́ıculas puedan ser cualquiera. Como luego del
desplazamiento virtual deben seguir valiendo los v́ınculos, los desplazamientos virtuales{δri}Ni=1
pueden no ser completamente arbitrarios. Por otro lado, para sistemas holónomos cada una de las
coordenadas generalizadas representa un grado de libertad no restringido, y por lo tanto puede
tomar cualquier valor dentro de su rango de definición. Si las coordenadas generalizadas pueden
tomar cualquier valor una respecto de otra, los desplazamientos virtuales {δqj} también pueden
elegirse arbitrariamente. Esta es una de las grandes ventajas de las coordenadas generalizadas,
en su propia definición ya están tenidos en cuenta los v́ınculos 27.
En un sistema holónomo los desplazamientos virtuales de las coordenadas generali-
zadas {δq1, δq2, · · · , δqn} son independientes, esto quiere decir que se pueden elegir
arbitrariamente unos respecto de otros.
Ejemplo 3.1. Desplazamiento virtual de un péndulo simple
Para ilustrar lo anterior pensemos en un péndulo simple de longitud l que en el instante t
forma un ángulo θ con la dirección vertical (ver figura 3.1). La longitud del péndulo (distancia
de la masa al punto de suspensión) al desplazarse virtualmente cambia de
|r| a |r + δr| =
√
r2 + 2r · δr + δr2.
Como δr es infinitesimal, podemos despreciar a su cuadrado δr2 en la expresión anterior. Si
queremos que el desplazamiento virtual no cambie la longitud del péndulo necesitamos entonces
que valga r · δr = 0, es decir, que el desplazamiento δr no puede ser cualquier vector infitesimal
sino que tiene que ser perpendicular a la dirección radial. Por otro lado, cualquier variación
infinitesimal δθ corresponde a un desplazamiento virtual válido. Eso es aśı porque la coordenada
generalizada θ cuantifica a un grado de libertal no restringido.
3.1.1. Relación entre los desplazamientos virtuales de los vectores posición de las
part́ıculas y de las coordenadas generalizadas
Sabemos que la configuración de un sistema puede expresarse mediante los vectores posición
de las part́ıculas {ri} o las coordenadas generalizadas {qj} del sistema, estando ambos conjuntos
ligados por las relaciones constitutivas,
ri = ri(q1, q2, · · · , qn; t), i = 1, · · · , N.
Usándolas podemos calcular la relación entre los desplazamientos virtuales de coordenadas ge-
neralizadas y los desplazamientos de los vectores posición. Supongamos que hacemos un des-
plazamiento virtual {δqj} de las coordenadas generalizadas, esto es, pasamos de coordenadas
{qj} –a las cuales corresponden los vectores posición {ri(q1, q2, · · · , qn; t)}– a las coordenadas
{q′j = qj + δqj} –a las cuales corresponden los vectores posición {r′i = ri(q′1, q′2, · · · , q′n; t)}.
Tenemos entonces
δri ≡ ri(q1 + δq1, q2 + δq2, · · · , qn + δqn; t)− ri(q1, q2, · · · , qn; t). (3.3)
27En sistemas no holónomos tampoco existen relaciones funcionales entre sus coordenadas generalizadas, es
decir, no podemos escribir un coordenada en término de las otras, sin embargo, los desplazamientos virtuales de
las coordenadas śı puede ser que estén relacionados. Ver por ejemplo, el caso del disco rodando sobre un plano.
43
rδ
r
rδr+
x
y
δθ
θ
m
Figura 3.1: Desplazamiento virtual de un péndulo simple.
Como los δq’s son infinitesimales, hacemos un desarrollo en serie de Taylor hasta primer orden
en ellos:
δri =
n∑
j=1
∂ri
∂qj
δqj , (3.4)
Esta ecuación nos dice cómo se desplazan virtualmente los vectores posición al desplazar
virtualmente las coordenadas generalizadas.
Ejemplo 3.2. Péndulo simple
Para el péndulo simple de la figura 3.1 la relación constitutiva es
r(θ; t) = lêr = (l sin θ, l cos θ) , (3.5)
siendo êr el versor radial, en la dirección de la cuerda del péndulo. Como el v́ınculo es escleróno-
mo, entonces el tiempo no aparece expĺıcitamente en la relación constitutiva. Ahora desplazamos
virtualmente al ángulo θ → θ + δθ, ¿cómo cambia el vector posición? De acuerdo a (3.4)
δr =
∂r
∂θ
δθ = (l cos θ,−l sin θ) δθ = lδθ êθ, (3.6)
donde êθ es el versor tangencial.
Ejemplo 3.3. Péndulo doble
En el caso del péndulo doble de la figura 3.2 los vectores posición son
r1 = (l1 sin θ1, l1 cos θ1) , (3.7)
r2 = r1 + (l2 sin θ2, l2 cos θ2) = (l1 sin θ1 + l2 sin θ2, l1 cos θ1 + l2 cos θ2) . (3.8)
44
θ2
θ
1
x
y
l
m
m
2
l2
1
1
Figura 3.2: Péndulo doble.
θ1 y θ2 son coordenadas generalizadas independientes (podemos cambiar una de ellos sin
cambiar la otra y viceversa), por lo tanto cualquier variación infinitesimal δθ1, δθ2 corresponde
a un desplazamiento virtual del sistema válido con desplazamientos virtuales de los vectores
posición de ambas part́ıculas dados por
δr1 =
∂r1
∂θ1
δθ1 +
∂r1
∂θ2
δθ2 = l1 (cos θ1,− sin θ1) δθ1, (3.9)
δr2 =
∂r2
∂θ1
δθ1 +
∂r2
∂θ2
δθ2 = l1 (cos θ1,− sin θ1) δθ1 + l2 (cos θ2,− sin θ2) δθ2. (3.10)
3.1.2. Desplazamientos virtuales y reales
Con el objetivo de evitar confusiones hablemos de los distintos tipos de desplazamientos de
un sistema. Dada una configuración {ri}Ni=1 de un sistema tenemos dos tipos de desplazamientos:
Por un lado, los desplazamientos reales o actuales, son los que ocurren cuando transcurre el
tiempo, es decir, son los desplazamientos que “se ven”, los que asociamos con el movimiento
real del sistema. Por ejemplo, definimos un desplazamiento real infinitesimal {dri}Ni=1 como
dri(t) ≡ ri(t+ dt)− ri(t), i = 1, · · · , N. (3.11)
Estos desplazamientos están relacionados con la cinemática de las part́ıculas, aśı, si dividi-
mos la expresión anterior por el intervalo diferencial de tiempo dt obtenemos las velocida-
des de las part́ıculas. O bien obtenemos lo mismo haciendo un desarrollo de Taylor hasta
primer orden en el intervalo de tiempo infinitesimal dt:
dri(t) = ṙi(t)dt. (3.12)
Ahora, conocer cómo se mueve el sistema implica conocer sus leyes horarias: cómo de-
penden los vectores posición de cada part́ıcula con el tiempo, ri(t). Si conocemos las
leyes horarias de las coordenadas generalizadas qj(t) accedemos a las leyes horarias de los
vectores posición simplemente usando las relaciones constitutivas ri = ri(q1, · · · , qn; t),
reemplazando las variables q’s en ellas por las leyes horarias q(t)’s:
ri(t) = ri (q1(t), q2(t), · · · , qn(t); t) . (3.13)
45
Mediante esta expresión y la regla de la cadena, la velocidad de cada part́ıcula se puede
escribir como
ṙi =
n∑
j=1
∂ri
∂qj
q̇j +
∂ri
∂t
, (3.14)
de donde resulta que el desplazamiento real infinitesimal se expresa como
dri =
n∑
j=1
∂ri
∂qj
dqj +
∂ri
∂t
dt, (3.15)
donde dqj es lo que se desplazó la coordenada generalizada qj en el intervalo dt: dqj ≡
qj(t+ dt)− qj(t).
Por otro lado, tenemos los desplazamientos virtuales que recién definimos. Podemos decir
que estos desplazamientos son de “carácter geométrico”, tienen que ver con cuáles son las
posibilidades de desplazamientos infinitesimales del sistema, en un instante t fijo.
Como obtuvimos en la ecuación 3.4 la relación entre desplazamientos virtuales de vectores
posición y coordenadas generalizadas es
δri =
n∑
j=1
∂ri
∂qj
δqj . (3.16)
No necesariamente todo desplazamiento virtual puede ser un desplazamiento real del sistema,
es decir, pueden existir desplazamientos virtuales que no pueden realizarse en la realidad. Esto
ocurre cuando hay relaciones constitutivas que dependen expĺıcitamente del tiempo. Veamos un
ejemplo.
Ejemplo 3.4. Desplazamiento virtual del péndulo de Ehrenfest
El péndulo de Ehrenfest es un péndulo simple cuya longitud l(t) cambia en el tiempo de una
manera determinada externamente (figura 2.4). Podemos pensar que existe un motor que alarga
o acorta la cuerda del péndulo, de forma tal que estos cambios no dependen de cómo se está
moviendo el péndulo. Es decir, el motor no se ve afectado por el péndulo. El vector posición de
la masa es
r = l(t) (sin θ, cos θ) . (3.17)
Un desplazamiento virtual será
δr =
∂r
∂θ
δθ = l(t) (cos θ,− sin θ) δθ = l(t) êθδθ. (3.18)
Por otro lado el desplazamiento real infinitesimal es de acuerdo a (3.15):
dr =
∂r
∂θ
dθ +
∂r
∂t
dt = l(t) êθdθ + l̇(t) êrdt (3.19)
Como δθ es arbitrario lo podemos considerar igual al desplazamientoreal del ángulo, dθ. Sin
embargo, vemos que es imposible que el desplazamiento real dr sea uno de los desplazamientos
virtuales δr porque el desplazamiento real tiene una componente radial que no existe para el
desplazamiento virtual. La única manera que ambos desplazamientos coincidan es que l̇(t) = 0,
es decir que tengamos un péndulo simple de longitud l constante.
46
Notemos la siguiente sutileza. Mientras el desplazamiento real debe ser consistente con el
v́ınculo reónomo del sistema –en el instante t el módulo de r(t) debe ser igual a l(t) mientras que
en el instante t+ dt el módulo de r(t+ dt) debe ser igual a l(t+ dt)–, el desplazamiento virtual
debe ser consistente con el v́ınculo en el instante t –la longitud del péndulo está fija entonces en
l(t), el módulo de r(t) antes y después del desplazamiento debe ser igual a l(t). Por esa razón
cuando existen v́ınculos reónomos el desplazamiento virtual puede no ser llevado a cabo en el
movimiento real del sistema; los δr’s pueden no obedecer el v́ınculo “real” del sistema, el que
vaŕıa en el tiempo; mientras que para v́ınculos esclerónomos ambos tipos de desplazamientos
satisfacen el mismo v́ınculo porque no cambia en el tiempo.
3.2. Desplazamientos virtuales de las velocidades de las part́ıculas
Recordemos algunos resultados: las relaciones constitutivas
ri = ri(q1, · · · , qn, t) (3.20)
nos permiten, por un lado, deducir las variaciones virtuales de los desplazamientos virtuales
de los vectores posición de las part́ıculas en término de los desplazamientos virtuales de las
coordenadas generalizadas,
δri =
n∑
j=1
∂ri
∂qj
δqj , (3.21)
y, por otro lado, deducir las velocidades de las part́ıculas
ṙi =
n∑
j=1
∂ri
∂qj
q̇j +
∂ri
∂t
(3.22)
en función de las coordenadas y velocidades generalizadas. A partir de esta última expresión po-
demos calcular cómo vaŕıan virtualmente las velocidades de las part́ıculas, ésto es, cómo cambian
estas velocidades cuando se realiza un desplazamiento virtual de las coordenadas generalizadas
δṙi =
n∑
j=1
δ
(
∂ri
∂qj
)
q̇j + δ
(
∂ri
∂t
)
. (3.23)
Calculamos las variaciones virtuales de las derivadas parciales que aparecen en (3.23)
δ
(
∂ri
∂qj
)
=
n∑
k=1
∂2ri
∂qk∂qj
δqk, δ
(
∂ri
∂t
)
=
n∑
k=1
∂2ri
∂qk∂t
δqk (3.24)
Por lo tanto, tenemos que las variaciones virtuales de las velocidades son
δṙi =
n∑
k=1
 n∑
j=1
∂2ri
∂qk∂qj
q̇j +
∂2ri
∂qk∂t
 δqk. (3.25)
3.2.1. Desplazamiento virtual de una función cualquiera
Dada una función cualquiera F (r1, · · · , rN , t), que depende de las posiciones de las part́ıculas
y del tiempo, su valor númerico cambiará si hacemos un desplazamiento virtual porque estamos
47
cambiando sus argumentos. Este cambio infinitesimal del valor de la función F se puede calcular
haciendo un desarrollo de Taylor a primer orden en los desplazamientos de las part́ıculas:
δF ≡ F (r1 + δr1, · · · , rN + δrN ; t)− F (r1, · · · , rN ; t) = (3.26)
= ∇1F · δr1 + · · ·+∇NF · δrN ≡
N∑
i=1
∇iF · δri.
Notemos en la expresión de arriba la presencia de un sub́ındice de part́ıcual en el operador
gradiente, ∇i. Esto es aśı porque como la función F depende de N vectores posición se define
un gradiente respecto a cada uno de ellos 28:
∇iF ≡
(
∂F
∂xi
,
∂F
∂yi
,
∂F
∂zi
)
. (3.27)
Usando la expresión (3.4) podemos reescribir la variación virtual de la función F en término
de los desplazamientos virtuales de las coordenadas generalizadas
δF =
n∑
j=1
[
N∑
i=1
∇iF ·
∂ri
∂qj
]
δqj . (3.28)
3.3. Trabajo virtual
Consideremos que {Fi}Ni=1 son las resultantes de fuerzas que actúan sobre las part́ıculas de un
sistema. En un dado instante hacemos un desplazamiento virtual {ri}Ni=1 del sistema. Definimos
el trabajo virtual como el trabajo que haŕıan las fuerzas que actuán sobre las part́ıculas del
sistema si éste experimentase el desplazamiento virtual:
δW ≡
N∑
i=1
Fi · δri (3.29)
Sobre una part́ıcula pueden actuar varias fuerzas, las cuales podemos separar en dos tipos: las
fuerzas de v́ınculo y las fuerzas que no son de v́ınculo. Por lo tanto, la resultante de fuerzas que
actúan sobre la i-ésima part́ıcula se puede descomponer como
Fi = F
(v)
i + F
(nv)
i , (3.30)
donde F
(v)
i (F
(nv)
i ) es la suma de todas las fuerzas de v́ınculo (fuerzas que no son de v́ınculo).
Consecuentemente el trabajo virtual δW se puede escribir como
δW =
N∑
i=1
F
(nv)
i · δri +
N∑
i=1
F
(v)
i · δri. (3.31)
28Otra notación usual para el operador gradiente es ∇iF ≡ ∂F∂ri .
48
3.4. Principio de los trabajos virtuales (PTV)
El principio de los trabajos virtuales nos dice que las fuerzas de v́ınculo no hacen trabajo
neto en un desplazamiento virtual del sistema 29
N∑
i=1
F
(v)
i · δri = 0. (3.32)
Notemos que el PTV no dice que una fuerza de v́ınculo en particular no hace trabajo virtual,
sino que el trabajo virtual neto se anula.
El PTV es un principio fundamental de la Mecánica sostenido por la evidencia emṕırica.
Es un postulado que no puede deducirse a partir de otros principios, por ejemplo, no puede
obtenerse a partir de las leyes de Newton.
3.5. Condiciones de equilibrio estático
Históricamente el origen del principio de los trabajos virtuales estuvo asociado con el estudio
de la estática. Veamos cómo funciona: en la formulación de Newton una condición necesaria para
que una part́ıcula se encuentre en equilibrio estático, respecto a un sistema de referencia inercial,
es que la resultante de fuerzas que actúan sobre ella se anule:
Fi = 0, i = 1, · · · , N. (3.33)
Supongamos que un sistema de N part́ıculas está en equilibrio estático, hacemos un desplaza-
miento virtual {δri}Ni=1 de sus part́ıculas y calculamos el trabajo virtual correspondiente:
δW =
N∑
i=1
Fi · δri = 0. (3.34)
Trivialmente el trabajo virtual es nulo porque cada una de las resultantes Fi es nula (estamos
en una situación de equilibrio). Ahora, como hicimos antes, expresamos cada resultante Fi como
la suma de la resultante debido a las fuerzas de v́ınculo y la resultante debido a las fuerzas que
no son de v́ınculo. Reemplazando en (3.34) tenemos
δW =
N∑
i=1
F
(v)
i · δri +
N∑
i=1
F
(nv)
i · δri = 0. (3.35)
El primer término de la derecha se anula en virtud del PTV. Por lo tanto, la condición de
equilibrio estático resulta:
δW =
N∑
i=1
F
(nv)
i · δri = 0. (3.36)
Las fuerzas que no son de v́ınculo que actúan sobre una part́ıcula no tienen porqué anularse.
Esta ecuación es el primer resultado práctico importante que encontraremos en la materia: la
configuración de equilibrio de un sistema es aquella en la cual las fuerzas que no son de v́ınculo
no realizan trabajo neto al desplazarse virtualmente el sistema.
29Ideas relacionadas con el principio de los trabajos virtuales han estado presente desde la época de Aristóteles,
en la discusión sobre las condiciones de equilibrio de los cuerpos. Da Vinci, Galileo, Descartes entre otros gigantes
se han ocupado del tema. Una de las primeras versiones modernas del PTV fue enunciada por Juan Bernoulli en
1717 (en una carta del 26 de enero dirigida a Pierre Varignon).
49
3.6. Fuerza generalizada
Hab́ıamos definido el trabajo virtual en término de los desplazamientos virtuales de los
vectores posición de las part́ıculas del sistema. Pasaremos a describir el mismo trabajo en término
de los desplazamientos de las coordenadas generalizadas y veremos cómo surgen naturalmente
las denominadas fuerzas generalizadas y cómo la condición de equilibrio que nos da el PTV se
puede escribir de una manera familiar. Usamos la ecuación (3.4) que relaciona los δr’s con los
δq’s:
δW =
N∑
i=1
F
(nv)
i · δri =
N∑
i=1
F
(nv)
i ·
n∑
j=1
∂ri
∂qj
δqj =
n∑
j=1
[
N∑
i=1
F (nv) · ∂ri
∂qj
]
δqj . (3.37)
Definimos las fuerzas generalizadas
Qj ≡
N∑
i=1
F
(nv)
i ·
∂ri
∂qj
j = 1, · · · , n, (3.38)
las cuales pueden interpretarse como las “proyecciones” de las fuerzas que no son de v́ınculo
en la dirección de la coordenada generalizada qj (ver la sección 2.7.1 acerca de las derivadas
parcialesde las relaciones constitutivas). Remarcamos que estas fuerzas son en general propie-
dades del sistema como un todo, basta ver la suma sobre part́ıculas que entra en su definición;
cada fuerza generalizada no está asociada a una part́ıcula sino a una coordenada generalizada
del sistema. Además Qj puede tener unidades que distintas a las de fuerza (por ejemplo, si qj
es un ángulo, Qj tiene dimensión de torque).
En término de las fuerzas generalizadas el trabajo virtual (3.37) tiene la forma familiar
δW =
n∑
j=1
Qjδqj (3.39)
del producto de una fuerza por un desplazamiento. Aunque por supuesto, en este caso las
fuerzas son las generalizadas y los desplazamientos son los de las coordenadas generalizadas. Si
bien Qj puede no tener dimensiones de fuerza y δqj de longitud, el producto de ambas tiene
dimensión de trabajo (enerǵıa).
Configuración de equilibrio en término de las fuerzas generalizadas
En una situación de equilibrio vimos que el trabajo virtual se anula (3.36), por lo tanto vale
δW =
n∑
j=1
Qjδqj = 0. (3.40)
Si el sistema mecánico es holónomo los desplazamientos virtuales son independientes. Esta in-
dependencia nos permite elegir un desplazamiento virtual de la forma δq1 6= 0, δq2 = δq3 =
· · · δqn = 0, el cual reemplazado en (3.40) resulta en la condición Q1 = 0. Repitiendo lo mismo
para las otras coordenadas llegamos finalmente a que en la configuración de equilibrio vale
Qi = 0 i = 1, · · · , n. (3.41)
50
	Principio de los Trabajos Virtuales
	Desplazamientos virtuales
	Relación entre los desplazamientos virtuales de los vectores posición de las partículas y de las coordenadas generalizadas
	Desplazamientos virtuales y reales
	Desplazamientos virtuales de las velocidades de las partículas
	Desplazamiento virtual de una función cualquiera
	Trabajo virtual
	Principio de los trabajos virtuales (PTV)
	Condiciones de equilibrio estático
	Fuerza generalizada
	pbs@ARFix@41: 
	pbs@ARFix@42: 
	pbs@ARFix@43: 
	pbs@ARFix@44: 
	pbs@ARFix@45: 
	pbs@ARFix@46: 
	pbs@ARFix@47: 
	pbs@ARFix@48: 
	pbs@ARFix@49: 
	pbs@ARFix@50: