Tema 2 - Clase 3

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Tema 2: La economía de Robinson Crusoe 
 
CLASE 3 
 
1 Preferencias sobre consumo y ocio/trabajo 
 
Robinson Crusoe tiene la siguiente función de utilidad 
 
u (c, h) (4) 
 
donde c denota el consumo de bienes y h es el consumo de ocio. Supondremos además que Robinson 
Crusoe tiene una dotación de tiempo T que puede dedicar a trabajar o a consumir ocio 
 
l + h = T. (5) 
 
Usualmente normalizamos el tiempo disponible a T = 1. Esto no es otra cosa que elegir las unidades 
de medición del tiempo. 
Supondremos que consumir bienes y ocio genera utilidad: 
 
∂u (c, h) 
∂c 
= uc (c, h) > 0; 
∂u (c, h) 
∂h 
= uh (c, h) > 0 (6) 
 
y además supondremos que la función de utilidad es cóncava: 
 
∂2u (c, h) 
∂c2 
= ucc (c, h) < 0; 
∂2u (c, h) 
∂h2 
= uhh (c, h) < 0 (7) 
 
ucc (c, h) uhh (c, h) − uch (c, h)
2 > 0. (8) 
Esta propiedad nos permitirá mostrar que las curvas de indiferencia son convexas.1 
Curvas de indiferencia entre consumo y ocio 
Las curvas de indiferencias de un consumidor son los pares de consumo y ocio (c, h) que derivan 
cierto nivel de utilidad: 
Ū = u (c, h) (9) 
Podemos pensar a una curva de indiferencia como un gráfico de consumo c como función del ocio h 
dado un nivel de utilidad Ū . Naturalmente, como la utilidad es mayor cuando aumenta el consumo de 
bienes o de ocio, el nivel de utilidad es mayor si nos movemos hacia curvas de indiferencias que 
quedan hacia el nordeste. 
 
 
− 
El panel A de la Figura 3 muestra un mapa de curvas de indiferencia entre consumo y ocio con 
niveles de utilidad Ū2 > Ū1. Las curvas de indiferencias son decrecientes y convexas. Son 
decrecientes porque satisfacen el principio de que “más es mejor”. Esto es, si subo la cantidad de 
uno de los bienes, voy a tener que bajar la del otro para dejarlo indiferente. De otro modo, la utilidad 
subir´ıa. La convexidad de la curva de indiferencia refleja la ley de las utilidades marginales 
decrecientes: sobre la curva de indiferencia, la tasa a la cual estoy dispuesto a renunciar al consumo 
de bienes c para aumentar el consumo de ocio h en cierta cantidad decrece en la medida que el nivel 
de consumo es menor. 
Veamos las propiedades anteriores anal´ıticamente. Para ver que la curva de indiferencia es 
decreciente, pensamos a c como una función de h, c (h) , dado un nivel de utilidad Ū . De este 
modo, la curva de indiferencia (9) satisface 
 
Ū = u (c (h) , h) . 
 
Derivando ambos lados de la ecuación con respecto al ocio h y usando la regla de la cadena 
obtenemos 
d 
Ū = 
d 
u (c (h) , h) 
dh dh 
dc 
0 = uc (c, h) 
dh 
+ uh (c, h) . 
Resolviendo para dc/dh encontramos que, en los puntos (c, h) donde u (c, h) = Ū , se cumple que 
 
dc 
= 
uh (c, h) 
< 0. (10)
 
dh uc (c, h) 
 
Esto prueba que la curva de indiferencia tiene pendiente negativa. El término uh/uc se denomina la 
“tasa marginal de sustitución” entre ocio y consumo y refleja la valuación subjetiva del ocio en 
términos de unidades de consumo: cuantas unidades de bienes de consumo estoy dispuesto a 
renunciar para que me den una unidad más de ocio. 
Probar que las curvas de indiferencia son convexas requiere más trabajo. Dejamos la demos- tración 
formal para el Anexo al final de la nota. 
 
 
 
Preferencias sobre consumo y trabajo 
En el libro de Barro verán que las curvas de indiferencia están dibujadas en términos de consumo y 
trabajo (un “mal” en el sentido de que trabajar genera desutilidad) en vez de consumo y ocio. 
Matemáticamente lo que está haciendo Barro es reemplazar la restricción de tiempo (5), h + l = 1, en 
la función de utilidad en lugar del ocio (normalizamos T = 1), 
 
u (c, 1 − l) , 
1 
3 
1 1 
hh 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figure 3: Preferencias sobre consumo-ocio y consumo-trabajo 
 
y dibujar las curvas de indiferencia en los ejes (c, l) en lugar de los ejes (c, h). El panel derecho de la 
Figura 3 muestra las curvas de indiferencia entre consumo y trabajo. 
Ejercicio: explique intuitivamente por qué las curvas de indiferencias en los ejes (c, l) tienen 
pendiente positiva, son convexas y los niveles de utilidad crecen a medida que nos movemos hacia el 
noroeste. 
 
Ejemplo: función de utilidad Cobb-Douglas 
Consideremos la siguiente función de utilidad Cobb-Douglas: 
 
1 1 
u (c, h) = c 2 h 2 
 
Entonces 
1 − 1 
 
 
 
 
uc = 
2 
c 
1 1 
 
 
 
 
2 h 2 > 0, 
 
− 
 
 
uh = 
2 
c 2 h 2 > 0, 
u = − 
1 
c− 
3 1
 
cc 4 
1 
u = − 
2 h 2 < 0 
— < 0 
u 
1 − h− > 0. 
 
 
ch = 
4 
c 2 2 
Estas derivadas satisfacen las condiciones (6), (7) y (8) por lo que las curvas de indiferencia tie- 
nen pendiente negativa y son convexas. En este caso incluso podemos encontrar las curvas de 
indiferencia de manera anal´ıtica: 
¯ 1 1 U = c 2 h 2 
1 
c 2 h 
4 
1 
Resuelvo para c como función de h : 
 
 
o bien 
1 Ū 
c 2 = 1 
h 2 
Ū 2 
c = 
h 
. (11) 
Veamos las propiedades de las curvas de indiferencia. Primero, vemos que son decrecientes 
 
dc Ū 2 
dh 
= − 
h2 
< 0. 
Derivamos una vez más para mostrar que son cóncavas, 
 
d2c Ū 2 
dh2 
= 2 
h3 
> 0. 
En términos de consumo y trabajo, podemos reemplazar h = 1 − l en (11) y obtenemos, 
Ū 2 c = . 
1 − l 
 
Veremos que la pendiente es positiva y que es convexa. Derivando con respecto a l, 
 
dc Ū 2 
dl 
= 
(1 − l)2 
> 0.
 
Para ver convexidad, derivamos una vez más: 
 
5