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Estudiaremos una relación bilateral, un contrato, entre diversos
entes (instituciones, empresas, individuos...).
Llamamos a la parte que diseña y ofrece el contrato, principal.
Llamamos a la parte que acepta o no el contrato y realiza lo
especi�cado en el mismo, agente.
Dos situaciones con�uyen entre las partes: con�icto de intereses y
asimetría de información. Esto genera problemáticas muy
interesantes.
Economía de la Información II. Modelo Base 2 / 40
El modelo base
En nuestro modelo de referencia vamos a mantener la idea de
intereses (parcial o totalmente) opuestos.
Sin embargo, asumiremos que no existe asimetría de información:
todas las partes conocen lo mismo acerca de variables no
veri�cables.
Economía de la Información II. Modelo Base 3 / 40
De�niciones preliminares
La relación entre las partes genera un determinado resultado, cuyo
valor monetario denominaremos x . Llamemos X al conjunto de
posibles valores monetarios de los distintos resultados.
El resultado obtenido depende (por simplicidad) de sólo dos cosas:
el esfuerzo que realice el agente para cumplir con lo pedido, al que
denominaremos e; y una variable aleatoria con distribución
conocida por ambos agentes.
Por ejemplo, pensemos en una relación entre un empleado de una
tienda de ropa y el dueño de la misma...
Economía de la Información II. Modelo Base 4 / 40
De�niciones preliminares
Dado que el resultado depende no sólo del esfuerzo del agente sino
que tiene un componente aleatorio, el resultado es, en sí mismo,
una variable aleatoria. Suponiendo a X �nito y discreto, podemos
de�nir la probabilidad del valor monetario xi del resultado i
condicional a un esfuerzo e como:
P (x = xi |e) = pi (e) .
para i = 1, 2, . . . , n. Si X fuese continuo, tendríamos una
distribución condicional y su respectiva densidad. Naturalmente,∑n
i=1 pi (e) = 1. Asumiremos, además, que pi (e) > 0 para todo i
y para todo e. ¾Es esto razonable? ¾Por qué?
Economía de la Información II. Modelo Base 5 / 40
De�niciones preliminares
Si pensamos a la situación como un juego, podríamos diagramar la
secuencia de eventos de la siguiente manera:
P diseña el contrato
A acepta (o rechaza)
A realiza esfuerzo
N determina el valor de la RV
Resultado y pagos
Aplicaremos el concepto de equilibrio perfecto en subjuegos: cada
agente hace lo óptimo en el momento en que le toca decidir.
Utilizaremos, naturalmente, backward induction.
Economía de la Información II. Modelo Base 6 / 40
Incertidumbre
En este contexto, tanto el principal como el agente conocen la
distribución del componente aleatorio que afecta el resultado.
Esto implica que ambos tienen la misma distribución sobre los
posibles resultados a la hora de �rmar el contrato.
La presencia de este componente aleatorio nos hace pensar en
situaciones de incertidumbre. Vamos a usar lo que aprendimos en la
primera parte de la materia: las partes van a tener cada una su
función de utilidad esperada, con las respectivas funciones de
utilidad Bernoulli sobre valores monetarios.
Economía de la Información II. Modelo Base 7 / 40
Funciones de utilidad
Comencemos por el principal. El principal es la parte que obtiene el
valor monetario x asociado al resultado �nal. Además, debe pagarle
una compensación al agente, que llamamos w . La función de
utilidad Bernoulli del principal, entonces, será:
B (x − w)
con B ′ (·) > 0 y B ′′ (·) ≤ 0. Es decir, el principal puede ser averso
o neutral al riesgo. Notemos que la utilidad del principal no
depende directamente del esfuerzo del agente, e.
Economía de la Información II. Modelo Base 8 / 40
Funciones de utilidad
Por otro lado, el agente recibe una compensación monetaria por su
participación en el contrato, y aporta un esfuerzo que le representa
algun costo. Formalmente, suponemos que la utilidad del agente
viene dada por:
U (w , e) = u (w)− v (e)
La separabilidad aditiva de u y v en la función de utilidad del
agente implica que el grado de aversión al riesgo no depende del
esfuerzo que realiza. Es un supuesto muy útil en términos de
simpli�cación, con costos en términos de generalidad bajos.
Economía de la Información II. Modelo Base 9 / 40
Funciones de utilidad
Vamos a suponer, además, que el agente puede ser averso o neutral
al riesgo, y que la (des)utilidad marginal del esfuerzo es creciente,
es decir:
u′ (w) > 0; u′′ (w) ≤ 0; v ′ (e) > 0; v ′′ (e) ≥ 0
Al nivel de utilidad de reserva del agente lo denominaremos U.
Economía de la Información II. Modelo Base 10 / 40
Con�icto de intereses
De lo recién especi�cado, puede observarse que existe un con�icto
de intereses entre las partes:
• El resultado es relevante para el principal, pero no para el
agente.
• El esfuerzo no es de especial interés para el principal, pero es
costoso para el agente.
• Es razonable que un esfuerzo más alto por parte del agente
derive en una mayor chance de obtener buenos resultados.
El contrato, a través de w , es el mecanismo que permite
compatibilizar estos intereses opuestos. (Coincidence? I don't think
so...)
Economía de la Información II. Modelo Base 11 / 40
Objetivos del modelo
La Teoría de Contratos estudia estos mecanismos, con especial
interés en encontrar el contrato óptimo para las distintas relaciones
posibles.
Recordemos que el contrato diseñado debe especi�car
completamente la tarea a realizar por el agente, y el mecanismo
de compensación. Completamente, en un sentido de contingencia,
para cada posible situación.
A su vez, el contrato, es decir, las especi�caciones del mismo,
deben establecerse sobre contingencias y términos veri�cables u
observables.
Todas las situaciones que vamos a estudiar son del tipo "one-shot".
Pero sería interesante estudiar situaciones "repetidas", donde los
agentes podrían "aprender".
Economía de la Información II. Modelo Base 12 / 40
Diseño del contrato
En el modelo base, asumimos que toda la información es veri�cable.
El problema del principal es, entonces, diseñar un contrato que el
agente acepte en una situación de información simétrica.
Es decir, el principal deberá elegir tanto el esfuerzo e que exige al
agente, como el mecanismo de pagos {w (xi )}i para cada resultado.
¾Qué contrato (combinación de e y {w (xi )}i ) terminará
ofreciendo? Podemos empezar pensando en que no va a ofrecer
aquellos contratos que otorguen al agente de una utilidad menor a
su utilidad de reserva y, en consecuencia, rechazaría.
Por otro lado, de aquellos contratos que el agente no rechazaría,
maximizar la utilidad esperada implica elegir el más barato de todos.
Economía de la Información II. Modelo Base 13 / 40
Diseño del contrato
La situación con información simétrica es e�ciente en el sentido de
Pareto. La incógnita a resolver es cómo resulta la manera óptima
de repartir el riesgo entre el agente y el principal. Formalmente,
dicha solución e�ciente es la que resuelve este problema:
max
e,{w(xi )}i
n∑
i=1
pi (e)B (xi − w (xi ))
sujeto a:
n∑
i=1
pi (e) u (w (xi ))− v (e) ≥ U
Economía de la Información II. Modelo Base 14 / 40
Diseño del contrato
El problema de maximización anterior indica que el principal
maximiza el excedente que obtiene de la relación contractual, bajo
la restricción de que el agente desea aceptar el contrato.
Esa restricción es una de las tres condiciones que, hemos visto,
deben cumplir los buenos mecanismos, y se la conoce como
participation constraint (restricción de participación).
Notar que el problema del agente consiste en aceptar o no el
contrato. Esa comparación es inmediata y no requiere un análisis
demasiado profundo.
Economía de la Información II. Modelo Base 15 / 40
Diseño del contrato
En el caso de información simétrica, todas las variables son
veri�cables. Entre ellas, el esfuerzo que realiza el agente.
El principal puede exigirle un determinado nivel de esfuerzo al
agente sin mayores inconvenientes.
Sólo necesita asegurarse de que se cumpla la PC. Es decir,
compensar adecuadamenteal agente por el esfuerzo exigido.
Pero la PC involucra una desigualdad...
Economía de la Información II. Modelo Base 16 / 40
Interludio: Kuhn-Tucker
Las condiciones de Kuhn-Tucker sobre problemas de optimización
son una generalización de aquellas establecidas por Lagrange.
Esencialmente, nos permiten trabajar con restricciones de
desigualdad. Lo que necesitamos es que esas restricciones
conformen un conjunto convexo.
El planteo original está establecido para una función objetivo
convexa. Es decir, se plantea un problema de minimización. Sin
embargo, puede aplicarse a funciones cóncavas sin problemas, como
veremos a continuación.
Economía de la Información II. Modelo Base 17 / 40
Interludio: Kuhn-Tucker
Planteemos el lagrangiano del problema del principal, ignorando la
desigualdad en la restricción. Siendo λ el multiplicador de Lagrange
asociado...
L (w (xi ) , e, λ) =
n∑
i=1
pi (e)B (xi − w (xi ))
− λ
(
U −
n∑
i=1
pi (e) u (w (xi )) + v (e)
)
Las condiciones de primer orden estándar respecto a las variables de
control serán necesarias y su�cientes para caracterizarlo, de acuerdo
al método de Kuhn-Tucker.
Economía de la Información II. Modelo Base 18 / 40
Interludio: Kuhn-Tucker
La novedad tiene lugar en aquella condición con respecto a la
restricción:
(λ) : λ
(
U −
n∑
i=1
pi (e) u (w (xi )) + v (e)
)
= 0
Esta condición puede satisfacerse de dos maneras. Si en la solución
al problema el término entre paréntesis es igual a 0, es porque la
restricción se cumple con igualdad. En este caso, el problema es
una optimización como las de siempre, pues la restricción es
binding (está operativa).
Economía de la Información II. Modelo Base 19 / 40
Interludio: Kuhn-Tucker
Si, por otro lado, el término entre paréntesis es distinto de 0, debe
ser que λ es 0. En este caso, la restricción no es binding, la
solución es un punto interior en el conjunto de la restricción, por lo
que ésta se cumple con desigualdad.
Por lo tanto, deberíamos prestar atención, en lo que sigue, al valor
de los multiplicadores de Lagrange. Particularmente, si son 0 o no.
Economía de la Información II. Modelo Base 20 / 40
Solución al problema del principal
Volvamos al problema del principal. Calculemos la FOC con
respecto a w (xi ). Llamando e
O y
{
wO (xi )
}
i
a los niveles de
esfuerzo y pagos asociados, respectivamente, debe ser cierto para
todo i que:
(w (xi )) : −pi
(
eO
)
B ′
(
xi − wO (xi )
)
+λOpi
(
eO
)
u′
(
wO (xi )
)
= 0
De lo que se desprende que, para todo i :
λO =
B ′
(
xi − wO (xi )
)
u′ (wO (xi ))
Por la forma de las funciones B y u, en el óptimo, las derivadas no
pueden ser 0 o in�nito. Por lo tanto, λO 6= 0, y la PC es binding,
se cumple con igualdad.
Economía de la Información II. Modelo Base 21 / 40
Solución al problema del principal
Este resultado es intuitivo: supongamos que la PC se cumple con
desigualdad para ŵ (xi ) dado e
O . Entonces, el principal estaría
pagando demasiado al agente, en el sentido de que podría
convencerlo de realizar el mismo esfuerzo reduciendo el pago de
manera tal que la PC se siga cumpliendo.
ŵ (xi ), entonces, no puede ser la solución al problema de
maximización.
Economía de la Información II. Modelo Base 22 / 40
Contrato óptimo
De la solución al problema del principal, obtenemos la siguiente
relación entre utilidades marginales:
B ′
(
xi − wO (xi )
)
u′ (wO (xi ))
= constante
Esta es la condición que caracteriza las situaciones Pareto
e�cientes, y el conjunto de puntos que lo cumplen se denomina
conjunto de Pareto (remember Edgeworth Box?).
B ′
(
x2 − wO (x2)
)
B ′ (x1 − wO (x1))
=
u′
(
wO (x2)
)
u′ (wO (x1))
Economía de la Información II. Modelo Base 23 / 40
Contrato óptimo
El óptimo, entonces, está determinado por esta condición, y la PC
binding:
n∑
i=1
pi (e) u (w (xi ))− v (e) = U
El agente no va a aceptar contratos por debajo de su nivel de
utilidad de reserva. Aquellos puntos donde se cumplan ambas
condiciones conforman la curva de contrato (½Súper importante la
diferencia!).
Queda por determinar quién asume los riesgos de la relación...
Economía de la Información II. Modelo Base 24 / 40
Mecanismo de pagos óptimo
Comencemos por el caso en el que el principal es neutral al riesgo y
el agente es averso al riesgo.
Esto implica que B ′ (·) es constante y u′ (·) es estrictamente
decreciente.
Por lo tanto, para que se cumpla la igualdad de tasas marginales de
sustitución que vimos antes...
B ′
(
xi − wO (xi )
)
u′ (wO (xi ))
= constante
debe ocurrir que u′
(
wO (xi )
)
sea constante para todo i . Esto sólo
ocurrirá, en este caso, si wO (xi ) = w
O (xj) para i 6= j .
Economía de la Información II. Modelo Base 25 / 40
Mecanismo de pagos óptimo
En el contrato óptimo para esta situación, entonces, el agente
recibe un pago independiente del resultado obtenido:
wO (xi ) = w
O (xj) = w
O para todo i 6= j .
La distribución del riesgo óptima, entonces, es que el principal,
neutral al riesgo, lo asuma completamente, asegurando en su
totalidad al agente. Utilizando la PC (que es binding), podemos
obtener el pago óptimo, wO :
wO = u−1
(
U + v
(
eO
))
Economía de la Información II. Modelo Base 26 / 40
Mecanismo de pagos óptimo
Asumamos ahora que el agente es neutral al riesgo y el principal es
averso al riesgo. Esta situación es exactamente la opuesta a la
anterior: ahora, u′ (·) es constante y B ′ (·) es estrictamente
decreciente.
De manera análoga, para que se cumpla la igualdad de tasas
marginales de sustitución, debe ocurrir que B ′
(
xi − wO (xi )
)
sea
constante para todo i . Esto sólo va a ocurrir si
xi − wO (xi ) = xj − wO (xj) para todo i 6= j .
Entonces, el principal recibe un monto que no depende del
resultado �nal. Es decir, el agente asume todo el riesgo de la
relación y asegura completamente al principal.
Economía de la Información II. Modelo Base 27 / 40
Mecanismo de pagos óptimo
El mecanismo de pagos óptimo, en este caso, es:
wO (xi ) = xi − k
Podemos pensar en este contrato como una "franquicia": el agente
se queda con el valor del resultado, x , y paga al principal un monto
�jo k independiente de dicho resultado. Podemos obtener el valor
de k a partir de la PC:
k =
n∑
i=1
pi
(
eO
)
xi − U − v
(
eO
)
Si pensamos el contrato en estos términos, el monto que el
principal exige al agente a cambio del derecho a obtener el
resultado es la diferencia entre el bene�cio esperado del resultado y
el monto requerido por el agente para aceptar el contrato.
Economía de la Información II. Modelo Base 28 / 40
Mecanismo de pagos óptimo
Hasta este punto, vimos que la parte neutral siempre asegura a la
parte aversa, y el mecanismo de pagos óptimo re�eja esta situación.
¾Qué ocurre si ambas partes son aversas al riesgo? Partamos de la
condición de primer orden respecto a w (xi ):
−B ′
(
xi − wO (xi )
)
+ λOu′
(
wO (xi )
)
= 0
Si asumimos que X es continuo, podemos diferenciar esta expresión
contra xi :
−B ′′ (·)
[
1− dw
O (xi )
dxi
]
+ λOu′′ (·) dw
O (xi )
dxi
= 0
Economía de la Información II. Modelo Base 29 / 40
Mecanismo de pagos óptimo
Juntando ambas expresiones, obtenemos:
−B
′′ (·)
B ′ (·)
[
1− dw
O (xi )
dxi
]
+
u′′ (·)
u′ (·)
dwO (xi )
dxi
= 0
Si de�nimos rp = −B
′′(·)
B′(·) y ra = −
u′′(·)
u′(·) como los coe�cientes de
aversión absoluta al riesgo del principal y del agente,
respectivamente, esto nos permite reexpresar lo anterior:
dwO (xi )
dxi
=
rp
rp + ra
Economía de la Información II. Modelo Base 30 / 40
Mecanismo de pagos óptimo
La ecuación nos indica cómo cambia el pago al agente cuando
cambia el valor monetario del resultado. Dado que
rp
rp+ra
∈ (0, 1)
cuando ambas partes son aversas al riesgo, el agente sólo recibe
una parte del cambio en el resultado en forma de pago.
Por otro lado, cuanto más aversa al riesgo es cada parte, menos
in�uenciado se ve el monto �nal que reciben por un cambio en el
resultado (¾qué pasa en los casos que analizamos antes?).
Economía dela Información II. Modelo Base 31 / 40
Esfuerzo óptimo
La segunda parte del contrato debe especi�car lo exigido por el
principal al agente, y el agente deberá, si acepta el contrato, elegir
el nivel de esfuerzo que considere óptimo para realizar tal tarea.
Si, como suponemos en el modelo base, el esfuerzo es veri�cable, el
principal puede exigir un determinado nivel de esfuerzo que el
agente debe realizar de aceptar los términos.
Economía de la Información II. Modelo Base 32 / 40
Esfuerzo óptimo
Con esta idea, veamos el problema del principal nuevamente...
max
e,{w(xi )}i
n∑
i=1
pi (e)B (xi − w (xi ))
sujeto a:
n∑
i=1
pi (e) u (w (xi ))− v (e) ≥ U
Tenemos problemas. No por el lado de v (e), pues si es convexa
(que es lo que asumimos), no di�cultará el cálculo la solución.
Pero e también afecta la distribución de probabilidad de los
resultados. Si la densidad no es "amigable", el problema será
imposible de resolver en forma cerrada (encontrar una expresión
para eO). Ni que hablar si X es discreto...
Economía de la Información II. Modelo Base 33 / 40
Esfuerzo óptimo
Vamos a limitarnos, entonces, a los dos primeros casos que
analizamos antes. Comencemos por la situación en la cual el
principal es neutral al riesgo y el agente es averso al riesgo.
Sabemos que, en un caso como este, el mecanismo de pagos
óptimo es:
wO = u−1
(
U + v
(
eO
))
Es decir, el pago óptimo no depende del resultado, pero sí depende
del nivel de esfuerzo que el principal exija. Utilizando esto,
podemos reescribir el problema del principal como:
max
e
n∑
i=1
pi (e) xi − u−1 (U + v (e))
Economía de la Información II. Modelo Base 34 / 40
Esfuerzo óptimo
No podemos garantizar encontrar una expresión para el eO que
resuelva este problema. Sin embargo, la condición de primer orden
sigue siendo necesaria, por lo tanto, debe ocurrir que:
(e) :
n∑
i=1
p′i
(
eO
)
xi −
(
u−1
)′ (
U + v
(
eO
))
v ′
(
eO
)
= 0
Es decir:
n∑
i=1
p′i (e) xi =
(
u−1
)′ (
U + v
(
eO
))
v ′
(
eO
)
Economía de la Información II. Modelo Base 35 / 40
Esfuerzo óptimo
¾Cómo podemos interpretar la condición anterior? Como siempre,
es una comparación entre bene�cios marginales y costos
marginales...
n∑
i=1
p′i
(
eO
)
xi =
(
u−1
)′ (
U + v
(
eO
))
v ′
(
eO
)
El lado izquierdo representa el cambio en el bene�cio esperado a
partir de un cambio en el esfuerzo, y el lado derecho representa el
cambio en el pago óptimo producto de un cambio en el esfuerzo.
En la solución, ambos deben coincidir.
No detallaremos demasiado en las condiciones que deben cumplir
las funciones para que este problema tenga una solución con
sentido. Pero, intuitivamente, ¾qué debería ocurrir con lo que no
especi�camos?
Economía de la Información II. Modelo Base 36 / 40
Esfuerzo óptimo
Veamos el caso que falta, cuando el agente es neutral al riesgo y el
principal es averso al riesgo. Sabemos que, en un caso como este,
el mecanismo de pagos óptimo es:
wO (xi ) = xi − k
Habíamos dicho que podemos pensar este tipo de contratos como
franquicias: el principal le "vende" la "�rma" al agente a cambio
de un monto �jo, y le trans�ere todo el riesgo de la actividad.
Economía de la Información II. Modelo Base 37 / 40
Esfuerzo óptimo
Introduciendo esto en el problema del principal, obtenemos:
max
e
n∑
i=1
pi (e) xi − v (e)
Podemos interpretar esto como una situación en la que el principal
maximiza el valor esperado de la actividad que va a vender al
agente, descontando por la utilidad que el esfuerzo exigido le cuesta
a este último.
Economía de la Información II. Modelo Base 38 / 40
Esfuerzo óptimo
La condición de primer orden del problema anterior, es:
(e) :
n∑
i=1
p′i (e) xi − v ′ (e) = 0
Es decir que el nivel óptimo de esfuerzo elegido por el principal, eO ,
debe satisfacer:
n∑
i=1
p′i
(
eO
)
xi = v
′
(
eO
)
Como en el caso previo, en el óptimo, el cambio en el bene�cio
esperado en el esfuerzo debe ser igual al cambio en la utilidad
producido por una variación en el mismo.
Economía de la Información II. Modelo Base 39 / 40
Conclusiones
Hemos visto que, en el caso de información simétrica, el contrato
óptimo es un mecanismo que genera una situación Pareto e�ciente.
El mecanismo de pagos depende de la actitud frente al riesgo de
ambas partes. Aquella parte más aversa al riesgo, será quien esté
más segura (lo cual está en línea con el criterio de e�ciencia).
El nivel de esfuerzo, al ser veri�cable, puede ser una variable a
incluir en el contrato, lo que representa un margen adicional de
optimización para el principal.
Naturalmente, el principal, que diseña el contrato, maximizará el
rédito de la relación eligiendo el mecanismo de pagos y el nivel de
esfuerzo de manera tal que deba transferirle lo menos posible al
agente para garantizar su participación.
Economía de la Información II. Modelo Base 40 / 40