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Robinson Crusoe
Universidad Torcuato Di Tella – 2 / 27
Consideremos una isla donde vive Robinson Crusoe (familia/empresa)
Robinson Crusoe elige cuánto trabajar y cuánto consumir
No hay mercados ni comercio: Robinson Crusoe es dueño de una parcela de tierra y produce para
sí mismo
La economía de Robinson Crusoe es una abstracción que usamos como punto de partida para
entender a la economía como el resultado de la agregación de las decisiones individuales
Este modelo contiene la esencia de los problemas de decisión que aparecen en economías más
complejas, con muchos agentes y mercados
Conceptos fundamentales de esta clase: efectos sustitución y riqueza ante cambios en las
oportunidades.
Definición de una economía
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Una economía está definida por:
1. Las preferencias y objetivos de los agentes económicos
2. Las restricciones que enfrentan los agentes en la toma de decisiones:
a) Restricciones presupuestarias
b) Restricciones tecnológicas
c) Dotaciones iniciales
3. Condiciones de consistencia agregada : OFERTA = DEMANDA
La economía de Robinson Crusoe
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Un único agente, Robinson Crusoe, cuyas preferencias están representadas por la función de
utilidad
u(c, h)
donde c es consumo y h es ocio.
• Suponemos que tanto el consumo como el ocio son bienes normales.
Restricciones en la toma de decisiones:
• Tecnología: función de producción y = f(l)
• Restricción sobre la dotación de tiempo: h+ l = 1
◦ Notar que normalizamos el total de tiempo disponible a 1.
Condición de consistencia agregada c = y.
Supuestos sobre la tecnología
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Robinson Crusoe tiene acceso a una tecnología (función de producción) que transforma trabajo, l,
en bienes de consumo y. No hay otro insumo de producción.
La función de producción es (ejemplo Cobb-Douglas en paréntesis)
y = f(l); (f(l) = Alα donde A > 0 y 0 < α < 1)
Propiedades de la función de producción:
• f(l) ≥ 0 ∀l ≥ 0; f(0) = 0 (no existen «almuerzos gratuitos»)
• Productividad marginal del trabajo positiva: incremento adicional del producto al incrementar el
trabajo en 1 unidad,
f
′(l) > 0; (f ′(l) = αAlα−1 > 0)
• Ley de rendimientos decrecientes: f ′(l) disminuye a medida que el trabajo aumenta,
f
′′(l) < 0; (f ′′(l) = −(1− α)αAlα−2 < 0).
A veces permitimos f ′′(l) = 0 (función de producción lineal).
Función de producción y productividad marginal del trabajo
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Avance tecnológico y aumentos de la productividad
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¿Cómo modelamos un avance tecnológico (o suba de la productividad)?
• Hay una mejora tecnológica cuando Robinson Crusoe puede producir más bienes con la
misma cantidad de trabajo:
f̂(l) > f(l) ∀l > 0
¿Qué pasa con la productividad marginal del trabajo cuando hay un avance tecnológico?
• En teoría, puede subir o bajar.
• Estudios empíricos muestran que la productividad marginal sube para cada nivel de l > 0.
• ¿Cómo son los rendimientos de la tecnología Cobb-Douglas f(l) = Alα cuando sube A?
Avance tecnológico y aumentos de la productividad
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Preferencias entre consumo y ocio
Universidad Torcuato Di Tella – 9 / 27
Robinson valora (obtiene utilidad de) los bienes de consumo y el ocio (de manera equivalente,
trabajar le genera desutilidad).
Sin embargo, el esfuerzo laboral le permite a Robinson conseguir bienes de consumo
Robinson debe elegir cuánto tiempo dedica a trabajar y cuánto tiempo dedica a disfrutar del ocio
Ejemplos de elección de fuerza laboral del hogar:
• Trabajo part-time o full-time
• Horas extra
• Participación de hombres y mujeres en la fuerza de trabajo
Supuestos sobre las preferencias
Universidad Torcuato Di Tella – 10 / 27
Representamos las preferencias de Robinson a través de una función de utilidad
u(c, h),
donde c es consumo del único bien (cocos) y h es el ocio.
Como Robinson valora el consumo y el ocio,
uc(c, h) > 0
uh(c, h) > 0.
Una curva de indiferencia se define como el conjunto de pares de consumo y ocio que dejan a
Robinson con el mismo nivel de utilidad (indiferente).
La pendiente de la curva de indiferencia (en valor absoluto) es la tasa marginal de sustitución
entre consumo y ocio. ¿Qué nos dice esta pendiente?
Suponemos que las curvas de indiferencia son convexas. ¿Qué interpretación económica tiene
este supuesto?
Preferencias entre consumo/ocio y posibilidades de produc ción
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Supuestos sobre las preferencias
Universidad Torcuato Di Tella – 12 / 27
La pendiente de la curva de indiferencia entre consumo y ocio es negativa
• La utilidad marginal del consumo es positiva
• La utilidad marginal del ocio es positiva
• Entonces:
dc
dh
∣
∣
∣
dado un nivel del utilidad Ū
= −
uh(c, h)
uc(c, h)
< 0
La tasa marginal de sustitución es decreciente: curva de indiferencia convexa
• A mayor nivel de consumo, el consumidor está dispuesto a resignar cada vez menos ocio para
aumentar el consumo en una unidad adicional
Ejemplo: preferencias Cobb-Douglas
Universidad Torcuato Di Tella – 13 / 27
Supongamos la siguiente función de utilidad
u(c, h) = c
1
2 h
1
2
Entonces
uc(c, h) =
1
2
c
−
1
2 h
1
2
uh(c, h) =
1
2
c
1
2 h
−
1
2
uh(c, h)
uc(c, h)
=
c
h
Las curva de indiferencia tienen la siguiente forma:
Ū = c
1
2 h
1
2 ⇒ c =
Ū2
h
El problema de Robinson Crusoe
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máx
c,h,l
u(c, h) sujeta a
{
c = f(l)
l + h = 1
Se puede reescribir como
máx
c,h
u(c, h) sujeta a c = f(1− h)
Lagrangiano (λ es el multiplicador de Lagrange)
L = u(c, h) + λ[f(1− h)− c]
Condiciones de primer orden
∂L
∂c
= 0 ⇒ uc(c, h) = λ
∂L
∂h
= 0 ⇒ uh(c, h) = λf
′(1− h)
∂L
∂λ
= 0 ⇒ c = f(1− h)
El problema de Robinson Crusoe
Universidad Torcuato Di Tella – 15 / 27
Podemos reescribir la solución a este problema como un sistema de 2 ecuaciones en dos
incógnitas:
uh(c, h)
uc(c, h)
= f ′(1− h)
c = f(1− h)
Interpretación 1 de la primera ecuación:
• El lado izquierdo nos dice la tasa a la cual el consumidor está dispuesto a cambiar ocio por
bienes de consumo.
• El lado derecho nos dice la tasa a la cual la tecnología le permite cambiar ocio (trabajo) por
bienes de consumo.
Interpretación 2 de la primera ecuación: reescribirla como
uh(c, h) = f
′(1− h)uc(c, h)
El problema de Robinson Crusoe
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Forma equivalente: preferencias entre consumo y trabajo
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Escribimos a la función de utilidad en términos del trabajo utilizando la restricción del tiempo,
l + h = 1, para eliminar h :
u(c, 1− l)
Las propiedades de u(c, h) implican
∂u(c, 1− l)
∂c
= uc(c, 1− l) > 0
∂u(c, 1− l)
∂l
= −uh(c, 1− l) < 0
Las curvas de indiferencia tienen pendiente positiva: si Robinson trabaja más debe ser
compensado con más consumo para permanecer indiferente.
Las curvas de indiferencia son convexas: ante un aumento marginal del trabajo, para permanecer
indiferente la compensación en términos bienes de consumo debe ser mayor mientras mayor es el
nivel de trabajo inicial
Preferencias sobre consumo/trabajo y posibilidades de pro ducción
Universidad Torcuato Di Tella – 18 / 27
El problema de Robinson Crusoe en términos de trabajo
Universidad Torcuato Di Tella – 19 / 27
Usando la nueva notación, el problema de Robinson Crusoe es
máx
c,l
u(c, 1− l) sujeta a c = f(l)
Podemos escribir el Lagrangiano o directamente resolver el problema simplificado usando la
restricción para eliminar c de la función objetivo:
máx
l
u(f(l), 1− l)
La condición de primer orden es
uc(f(l), 1− l)f
′(l)− uh(f(l), 1− l) = 0
que es exactamente lo mismo que encontramos antes:
uh(c, 1− l)
uc(c, 1− l)
= f ′(l)
El problema de Robinson Crusoe en términos de trabajo
Universidad Torcuato Di Tella – 20 / 27
Ejemplo: función de utilidad Cobb-Douglas y tecnología Cob b-Douglas
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Consideremos las siguientes funciones de utilidad y producción:
u(c, h) = cφh1−φ
f(l) = Alα
donde φ y α son números entre 0 y 1.
Tasa marginal de sustitución entre ocio y consumo (escrita en términos del trabajo):
uh(c, 1− l)
uc(c, 1− l)
=
1− φ
φ
c
1− l
Productividad marginal del trabajo
f
′(l) = αAlα−1
Igualando las dos condiciones y usando c = Alα tenemos
1− φ
φ
Alα
1− l
= αAlα−1
Ejemplo: función de utilidad Cobb-Douglas y tecnología Cob b-Douglas
Universidad Torcuato Di Tella – 22 / 27
Resolviendo para el trabajo:
l
∗ =
φα
1− φ+ φα
Resolviendo para el consumo:
c
∗ = A
(
φα
1− φ+ φα
)α
Notar que l∗ no depende del nivel de productividad A.
Cambio tecnológico: suba de la productividad
Universidad Torcuato Di Tella – 23 / 27
Vamos a analizar cómo reacciona la economía ante una mejora tecnológica.
¿Cómo podemos interpretar un shock tecnológico?
• Sequías, crisis del petróleo, aparición de la electricidad, internet, etc.
Suponemos una mejora tecnológica que incrementa la productividad marginal del trabajo.
En particular, consideramos una función de producción de la forma
y = Af(l)
y modelamos la mejora tecnológica como una suba del parámetro A.
Cambio tecnológico: suba de la productividad
Universidad Torcuato Di Tella – 24 / 27
Efecto riqueza
Universidad Torcuato Di Tella – 25 / 27
Si Robinson Crusoe puede producir (y por lo tanto consumir) más bienes con la misma cantidad
de trabajo, entonces su riqueza aumenta (efecto riqueza positivo)
En el caso más simple de un efecto riqueza puro , la función de producción se desplaza en forma
paralela hacia arriba (la productividad marginal del trabajo no cambia)
¿Cuál es la reacción óptima ante este cambio?
• Supondremos que el ocio y el consumo son bienes normales
• Entonces la reacción óptima es aumentar el consumo de bienes y de ocio (reducir las horas de
trabajo).
Efecto sustitución
Universidad Torcuato Di Tella – 26 / 27
Sin embargo, la mejora tecnológica genera también una rotación de la función de producción
asociada con una mayor productividad marginal del trabajo.
Este aumento de la productividad marginal del trabajo implica que la tasa a la cual Robinson
Crusoe puede cambiar bienes por ocio se modifica.
El cambio en la pendiente genera un efecto sustitución.
Para calcularlo (efecto sustitución de Hicks), trasladamos la nueva función de producción
paralelamente hacia abajo de manera de dejar al consumidor con el nivel de utilidad original:
elegimos una constante K tal que la curva c = f(ℓ)−K sea tangente a la curva de indiferencia
original.
• Consumo sube
• Trabajo sube (ocio baja)
Combinando los efectos sustitución e ingreso
Universidad Torcuato Di Tella – 27 / 27
Para el consumo, los efectos riqueza y sustitución van en la misma dirección.
Para el trabajo, los efectos riqueza y sustitución van en direcciones opuestas:
• Efecto sustitución: sube la productividad marginal del trabajo, el ocio se hace más caro en
relación al consumo, y Robinson trabaja más
• Efecto riqueza: Robinson es más rico, por lo que quiere consumir más ocio y trabajar menos
• El efecto total sobre el trabajo depende del efecto dominante.
	Robinson Crusoe
	Definición de una economía
	La economía de Robinson Crusoe
	Supuestos sobre la tecnología
	Función de producción y productividad marginal del trabajo
	Avance tecnológico y aumentos de la productividad
	Avance tecnológico y aumentos de la productividad
	Preferencias entre consumo y ocio
	Supuestos sobre las preferencias
	Preferencias entre consumo/ocio y posibilidades de producción
	Supuestos sobre las preferencias
	Ejemplo: preferencias Cobb-Douglas
	El problema de Robinson Crusoe
	El problema de Robinson Crusoe
	El problema de Robinson Crusoe
	Forma equivalente: preferencias entre consumo y trabajo
	Preferencias sobre consumo/trabajo y posibilidades de producción
	El problema de Robinson Crusoe en términos de trabajo
	El problema de Robinson Crusoe en términos de trabajo
	Ejemplo: función de utilidad Cobb-Douglas y tecnología Cobb-Douglas
	Ejemplo: función de utilidad Cobb-Douglas y tecnología Cobb-Douglas
	Cambio tecnológico: suba de la productividad
	Cambio tecnológico: suba de la productividad
	Efecto riqueza
	Efecto sustitución
	Combinando los efectos sustitución e ingreso