_Fundamentos_Estadistica_Descriptiva

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FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 
(Conceptos estadísticos, Tablas de frecuencia y Gráficos estadísticos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
GENERACIÓN DE PRODUCTO: Manuales o productos publicables 
DOCUMENTO DE DOCENCIA 
 
Rojas Vega Homero Abraham 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA 
FACULTAD DE INGENIERÍAS 
PROGRMA DE INGENIERÍA CIVIL 
NEIVA 
2022 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fundamentos de Estadística descriptiva. 
 
1. Conceptos estadísticos 
 Importancia y Utilidad. 
 Definición de Estadística. 
 Tipos de Estadística. 
 Terminología Estadística. 
 
 
2. Tablas de frecuencia. 
 Tabla de frecuencias para Datos Agrupados en Forma Discreta. 
 
 
 Tabla de frecuencias para Datos Agrupados en Clases o Intervalos. 
 
 
3. Gráficos estadísticos. 
 
 Gráficas de frecuencias para representar Datos Agrupados en Forma Discreta 
(Diagrama de Barras, Diagrama de Pastel). 
 
 
 
 
 Gráficas de frecuencias para representar datos Agrupados en Clases o Intervalos 
(Histograma de frecuencias, Polígono de frecuencias, Ojiva). 
 
 
 
 
 
APLICACIÓN N° 1. 
APLICACIÓN N° 2. 
APLICACIÓN N° 3. 
APLICACIÓN N° 4. 
APLICACIÓN N° 6. 
APLICACIÓN N° 5. 
 
 
 
Fundamentos de Estadística descriptiva. 
 
1. Conceptos estadísticos 
 Importancia y Utilidad. 
La Estadística es tan antigua como la escritura misma, se puede decir, ha existido siempre. 
La Estadística es más que un conjunto de datos observados o medidos, los cuales, sometidos 
a conteo o tabulación se resumen en tablas y gráficas de frecuencias, así mismo, calculadas 
en ellos las medidas numéricas de resumen o estadísticas proporciona información, y una vez 
analizada la información genera alternativas de solución a situaciones problema enmarcadas 
preferiblemente en un contexto real. 
La estadística es por sí misma una ciencia, pero a su vez es auxiliar de las otras ciencias que 
utilizan sus técnicas y métodos para atender situaciones que en ellas se presentan. 
La estadística proporciona información para ser utilizada por investigadores, administradores, 
directores, gerentes, asesores, entre otros, quienes son las personas responsables de la toma 
de decisiones, una vez encuentran o les presentan diferentes alternativas como mejor opción 
de solución al problema y así elegir las más favorable. 
 
 Definición de Estadística. 
Estadística. - Ciencia que estudia el comportamiento de los datos, las variables y elementos a 
través de la aplicación de sus métodos y técnicas de descripción, interpretación e inferencia. 
La anterior definición involucra aspectos relacionados con tipos de Estadística al mencionar la 
aplicación de sus métodos y técnicas de descripción, y el estudio del comportamiento de los 
datos, variables y elementos. 
Además de estudiar los tipos de estadística se hace necesario en esta parte de fundamentos, 
desarrollar terminología estadística pertinente. 
 
 Tipos de Estadística. 
La Estadística es estudiada bajo dos grandes campos de acción, áreas o ramas, a saber: 
La Estadística Descriptiva hace referencia a la utilización de técnicas descriptivas, aplicadas a 
una muestra tomada de una población. Incluye: recolección, tabulación y representación de 
datos, medidas numéricas de resumen llamadas estadísticas, que proporcionan información 
y resultados para ser analizados, los cuales son atribuibles únicamente a la Muestra. 
La Estadística inferencial hace referencia a la utilización de técnicas interpretativas, aplicadas 
a resultados arrojados por la muestra, para la obtención de conclusiones y toma de decisiones, 
las cuales se generalizan a la población, basados en la muestra que debe tener como requisito 
indispensable ser aleatoria y representativa. 
 
 
 
La Estadística estudiada bajo el número de variables trabajadas, es: Estadística Uni-Variada, 
estudia una variable; Estadística Bi-Variada, compara, relaciona o asocia dos características 
o variables; y Estadística Multi-Variada, información de tres o más variables. 
 
 Terminología Estadística. 
Algunos términos, son: Población, Tipo de Población, Elemento, Muestra, Tipo de Muestreo, 
Variable, Tipo de Variable, Dato, Tipo de Dato, Fuente, Tipo de Fuente e Instrumento. 
Población, Conjunto finito o infinito de elementos. Finita. - Se puede conocer o contar el total 
de los elementos que la componen. Infinita. - El número total de elementos que la componen 
es ilimitado o difícil de establecer. 
Elemento, Individuo, persona, animal, sujeto, objeto, suceso, acontecimiento, hecho, caso o 
evento, que conforma la población, en quien se desea observar o medir una o más variables 
o características para ser estudiadas. 
Muestra, Subconjunto de elementos que conforman la población, seleccionados de ella, para 
ser observados y analizados. Muestreo No-Probabilístico. - Produce muestras subjetivas, de 
intención o a juicio del investigador, elige elementos al azar y no en forma aleatoria, opta por 
elementos de la población que estén más cerca o que sean fácilmente asequibles o que sean 
voluntarios. Muestreo Probabilístico. - La selección es aleatoria, los elementos de la población 
tienen la misma probabilidad de hacer parte de la muestra, el conjunto de muestras posibles 
que pueden seleccionarse de la población y la probabilidad de selección de cada una de ellas 
deben definirse aplicando la teoría de muestreo. 
Variable, Característica a ser analizada en elementos de una población o muestra. Pueden 
corresponder a una cualidad o cantidad. Cualitativa. - Corresponde a un atributo, susceptible 
de ser expresado en palabras o nombres y no en forma numérica. Cuantitativa. - Concierne 
a característica susceptible de ser expresada numéricamente. La variable cuantitativa puede 
ser: Discreta, asume valores numéricos enteros, entre valores consecutivos no hay valores 
intermedios, no puede asumir un número racional que no sea entero, y Continua, la resultante 
de una medición, entre valor y valor consecutivo si hay valores intermedios, puede asumir un 
número racional que no sea entero. 
Dato, Valor asignado a una variable o característica examinada en elementos de la población 
o muestra. Nominal. Asigna como valor, atributo o nombre susceptible de ser organizado en 
categorías. Ordinal. Asigna como valor, atributo o nombre susceptible de ser organizado en 
categorías ordenadas jerárquicamente. Numérico. Asigna como valor, número que representa 
una magnitud comparable. Numérico de Intervalo; presenta valores en intervalos de igual 
amplitud ordenados según su magnitud, la diferencia de valores tiene interpretación, incluye 
cero (0) como valor relativo o arbitrario el cual no implica ausencia de medición o magnitud 
de la variable. Numérico de Razón; la diferencia con el numérico de intervalo radica en que 
no solo tiene interpretación la diferencia de valores, sino que también tiene interpretación la 
diferencia de cocientes, y que incluye el cero (0) como valor absoluto, implicando valor nulo 
o ausencia de magnitud en la variable. 
Datos. - Colección o conjunto de valores asignados a una característica o variable examinada 
en los elementos de la población o muestra, por medio de la observación o medición. 
 
 
 
Fuente, Cuando se requiere de información para satisfacer una necesidad de conocimiento, 
cuando se pretende recolectar una serie de datos para solucionar situaciones problema del 
contexto realidad o para adelantar procesos de investigación, se recurre a una fuente de 
información. Fuente primaria. - información o dato observado o recogido por contacto directo 
con el elemento primario. Fuente secundaria. - información o dato recogido por otra persona, 
quien fue la que tuvo el contacto directo con el elemento primario. 
Instrumento, Cuando se hace referencia al instrumento de recolección dedato o información 
en el elemento de investigación o estudio, se habla del recurso utilizado para ese propósito, 
entre los que se encuentran: Observación, Encuesta, Entrevista, Cuestionario, Prueba, Test, 
Censo, entre otros. Ahora bien, hay que tener en cuenta que una cosa es el instrumento de 
recolección y otra bien distinta es el medio por el cual se aplica dicho instrumento. Es el caso, 
por ejemplo, la encuesta puede aplicarse de manera personal, virtual o cualquier otro medio 
de comunicación como forma de aplicación. Así mismo pasa con otros instrumentos, pueden 
ser aplicados por medios diferentes. 
 
 
 
A continuación, se plantea una situación problema del contexto real con base en la inclusión, 
en él, de la terminología estadística. 
Situación problema.- La línea de proyecto preferida por los estudiantes de VIII semestre del 
programa Ingeniería Industrial de la Universidad, en un determinado año, para desarrollar su 
trabajo de aula se revisa con la docente del curso diseño de producto y del registro total de 
noventa (90) trabajos se seleccionan aleatoriamente veinte (20) de ellos, observándose: 
Elaboración, Impacto ambiental, Elaboración, Impacto ambiental, Automatización, Rediseño, 
Elaboración, Impacto ambiental, Automatización, Impacto ambiental, Rediseño, Rediseño, 
Elaboración, Impacto ambiental, Impacto ambiental, Rediseño, Impacto ambiental, Impacto 
ambiental, Rediseño y Automatización,. 
Revisando el planteamiento anterior para descubrir en él y hacer la descripción de términos 
estadísticos que involucra, podemos deducir los siguientes: 
 1.- Población. Noventa (90) trabajos de aula desarrollados por estudiantes de VIII semestre 
del programa de Ingeniería Industrial de la Universidad, en un determinado año. 
 2.- Tipo de población. Finita, noventa (90) trabajos de aula. 
 3.- Muestra. Veinte (20) trabajos de aula seleccionados aleatoriamente. 
 4.- Tipo de muestreo. Probabilístico, selección aleatoria. 
 5.- Elemento. Trabajo de aula. 
 6.- Variable. Línea de proyecto. 
 7.- Tipo de variable. Cualitativa. 
 8.- Dato. Elaboración. 
 9.- Tipo de dato. Nominal, se expresa como nombre. 
10.- Datos. Elaboración, Impacto ambiental, Automatización, Rediseño. 
11.- Fuente. Secundaria, los datos fueron recolectados de los registros de la docente. 
12.- Instrumento. Observación, hecha a los registros de la docente. 
 
APLICACIÓN N° 1. 
 
 
Fundamentos de Estadística descriptiva. 
 
2. Tablas de frecuencia. 
 
 Tabla de frecuencias para Datos Agrupados en Forma Discreta. 
A partir de los aspectos desarrollados en fundamentos de la Estadística, la construcción de la 
tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados en forma discreta debe concebirse 
como el resumen, en ella, de datos no agrupados de variables cualitativas o cuantitativas. 
Toda tabla de distribución de frecuencias debe contener como identificación un número y un 
título. Su configuración en matriz o marco, conformada por columnas y filas, presenta en la 
primera columna la variable, en las columnas siguientes las frecuencias absolutas, relativas, 
absolutas acumuladas y relativas acumuladas. Su proceso de elaboración es el siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variable (xi): x1, x2, . . ., x k. Corresponden a los valores diferentes que puede tomar la 
variable, bien sea cualitativa o cuantitativa. 
 
Frecuencia absoluta (ni): n1, n2, . . ., n k. Resultante de contar el número de veces que la 
variable toma determinado valor. Su sumatoria es igual al número total de datos 
o elementos o al tamaño de la muestra (n). 
 
Sumatoria (∑) indica sumar. Sumatoria de frecuencias absolutas (∑ n i) implica, 
∑ n i = n1 + n2 +. . . + n k = n. 
 
Frecuencia relativa (h i): h 1, h 2, . . ., h k. Resultan de dividir las frecuencias absolutas n 1, n 2, . 
. ., n k, anotadas en cada valor de la variable x 1, x 2, . . ., x k, con la ∑ n i o número 
total de datos o elementos o tamaño de muestra (n), así: h 1 = n 1 / n; h 2 = n 2 / 
n; . . .; h k = n k / n. 
 
∑ h i = h 1 + h 2 +. . . + h k = 1.00, y los valores de las frecuencias relativas deben 
estar entre 0.00 ≤ h i ≤ 1.00. 
 
Frecuencia absoluta acumulada (N i): N 1, N 2, . . ., N k. Corresponden a sumar las frecuencias 
absolutas, así: N 1 = n 1; N 2 = n 1 + n 2 o N 2 = N 1 + n 2; . . .; N k = n 1 + n 2 + . . . + n k. 
 
Frecuencia relativa acumulada (H i): H 1, H 2, . . ., H k. Corresponden a sumar las frecuencias 
relativas, así: H 1 = h 1; H 2 = h 1 + h 2 o H 2 = H 1 + h 2; . . .; H k = h 1 + h 2 + . . . + h k 
= ∑ h i = 1.00. 
Variable 
x i 
Frecuencia 
absoluta 
n i 
Frecuencia 
relativa 
h i 
Frec. Absol. 
Acumulada 
N i 
Frec. Relat. 
Acumulada 
H i 
x 1 n 1 h 1 N 1 H 1 
x 2 n 2 h 2 N 2 H 2 
* * * * * 
* * * * * 
* * * * * 
x k n k h k N k H k 
Total ∑n i = n ∑h i = 1.00 
 
 
 
 
 
 
La tendencia en una muestra de 20 trabajos de aula desarrollados por estudiantes del curso 
diseño de producto, en VIII semestre del programa Ingeniería Industrial de una Universidad, 
está enmarcada en las siguientes líneas de proyectos: 
 
Rediseño, Impacto ambiental, Automatización, Impacto ambiental, Elaboración, Rediseño, 
Automatización, Impacto ambiental, Impacto ambiental, Elaboración, Rediseño, Impacto 
ambiental, Rediseño, Impacto ambiental, Elaboración, Impacto ambiental, Automatización, 
Elaboración, Impacto ambiental, Rediseño. 
 
En el anterior planteamiento se observa la variable de tipo cualitativa Línea de Proyecto que 
toma como valores diferentes los siguientes datos de tipo nominal; Rediseño (de productos 
ergonómicos), Impacto ambiental (en energía solar y tratamiento de aguas), Automatización 
(de estructuras y maquetas) y Elaboración (de productos a partir de materiales naturales y 
material reciclado). Se encuentran veinte (20) trabajos de aula. Usando conteo se determina 
que cinco (5) de ellos son desarrollados prefiriendo la línea de proyecto Rediseño, ocho (8) 
son desarrollados en la línea de proyecto Impacto ambiental, tres (3) en la línea de proyecto 
Automatización y cuatro (4) en la línea de proyecto Elaboración. La tabla de frecuencias que 
resume esta situación, es la siguiente: 
 
Tabla N° 1.- Distribución de frecuencias. 
 Línea de proyecto preferida en trabajos de aula, en el curso diseño de producto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Línea de 
Proyecto 
N° trabajos 
de aula 
Frecuencia 
Relativa 
Frecuencia 
Absoluta 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
Rediseño 5 0.25 5 0.25 
Impacto ambiental 8 0.40 13 0.65 
Automatización 3 0.15 16 0.80 
Elaboración 4 0.20 20 1.00 
Total 20 1.00 
APLICACIÓN N° 2. 
 
 
 Tabla de frecuencias para Datos Agrupados en Clases o Intervalos. 
 
La tabla resume, en ella, datos no agrupados de variables cuantitativas. Se identifica con un 
número y un título, en la matriz o marco, formada por columnas y filas, la primera columna 
presenta la variable en grupos de datos, es decir en clases o intervalos, y en las columnas 
siguientes, las marcas de clases, frecuencias absolutas, frecuencias relativas, las absolutas 
acumuladas y las relativas acumuladas. Su proceso de elaboración es el siguiente: 
 
Variable (x i - 1 - x i + 1): (x i - 1 - x i + 1) ; (x i + 1 - x i + 2) ; . . . ; (x k - 1 - x k + 1). Corresponden a las 
clases o intervalos conformados por grupos de datos numéricos que toma la 
variable cuantitativa. Se expresan con un límite inferior x i – 1 y con un límite 
superior x i + 1. 
 
Variable (x i): x 1, x 2, . . ., x k. Corresponden a las marcas de clase o valor medio o valor de 
la mitad en cada una de las clases o intervalos. Se obtienen al dividir por dos 
el resultado de la suma del límite inferior más el límite superior. 
 
Frecuencia absoluta (n i): n 1, n 2, . . ., n k. Resultante de contar el número de valores o datos 
de la variable en cada una de las clases o intervalos.Se debe entender que en 
cada clase o intervalo se cuentan los valores o datos que estén entre el límite 
inferior incluyéndolo y el límite superior excluyéndolo. La suma del número de 
datos o frecuencia en cada clase o intervalo es igual al número total de datos 
o elementos del problema o tamaño de la muestra (n). 
 
Sumatoria (∑) indica sumar. La suma de las frecuencias absolutas ∑ n i implica, 
∑ n i = n 1 + n 2 +. . . + n k = n. 
 
Frecuencia relativa (h i): h 1, h 2, . . ., h k. Resulta de dividir las frecuencias absolutas n 1, n 2, . 
. ., n k, anotadas en las clases o intervalos y la ∑ n i o número total de datos o 
elementos o tamaño de muestra, así: h 1 = n 1 / n; h 2 = n 2 / n; h k = n k / n. Las 
frecuencias relativas deben estar entre 0.00 ≤ h i ≤ 1.00. 
 
Sumatoria (∑) indica sumar. La suma de las frecuencias relativas ∑ hi implica: 
∑ h i = h 1 + h 2 +. . . + h k = 1.00. 
 
Frecuencia absoluta acumulada (N i): N 1, N 2, . . ., N k. Corresponden a ir sumando una a una 
las frecuencias absolutas, así: N 1 = n1; N2 = n 1 + n 2 o N 2 = N 1 + n 2; . . .; N k = n1 
Variable 
(x i - 1 - x i + 1) 
Variable 
x i 
Frecuencia 
absoluta 
n i 
Frecuencia 
relativa 
h i 
Frec. Absol. 
Acumulada 
N i 
Frec. Relat. 
Acumulada 
H i 
(x i - 1 - x i + 1) x 1 n 1 h 1 N 1 H 1 
(x i + 1 - x i + 2) x 2 n 2 h 2 N 2 H 2 
* * * * * * 
* * * * * * 
* * * * * * 
(x k - 1 - x k + 1) x k n k h k N k H k 
Total ∑n i = n ∑h i = 1.00 
 
 
+ n 2 + . . . + n k = ∑ n i = n, así, la última frecuencia absoluta acumulada N k es 
igual a la sumatoria de las frecuencias absolutas ∑ n i o al número total de datos 
o elementos o tamaño de la muestra n. 
 
Frecuencia relativa acumulada (H i): H 1, H 2, ..., H k. Corresponden a ir sumando una a una las 
frecuencias relativas, así: H 1 = h 1; H 2 = h 1 + h 2 o H 2 = H 1 + h 2; ...; H k = h 1 + h 2 
+ . . . + h k = ∑ h i = 1.00, así, la última frecuencia relativa acumulada H k es igual 
a la suma de las frecuencias relativas ∑ h i o igual a 1.00. 
 
Surge ahora preguntas como: ¿Cuántas clases o intervalos debe contener la tabla?; ¿Cuál es 
el ancho o la amplitud de las clases o intervalos?; ¿Cómo conformar las clases o intervalos en 
cuanto a sus límites inferiores y superiores?; ¿Cómo calcular marcas de clase?; ¿Cómo tabular 
o ubicar los datos de la variable en las clases o intervalos?; entre otras. 
 
Para responder estos interrogantes, se presenta a continuación el método de clasificación a 
ser utilizado en la aplicación del tema datos agrupados en clases o intervalos y ser tenido en 
cuenta por los estudiantes en la actividad propuesta sobre el mismo tema. 
 
 Número de clases o intervalos. 
 
C = 1 + 3.3 Log (n). Siendo n = número total de datos o elementos o tamaño de la muestra. 
 El resultado siempre será aproximado al número entero siguiente. 
 
 Rango inicial o de la serie de datos de la variable X. 
 
R = X Máx. – X Mín. Se obtiene restando del valor máximo de la variable X el valor mínimo. 
 
 Amplitud o ancho de clase o intervalo. 
 
A = R / C Es el resultado de dividir el rango obtenido entre el número de clases o intervalos. 
 El resultado siempre se aproxima al entero, 1er decimal, 2° decimal, etc., siguiente. 
 
 Rango nuevo. 
 
R’ = C * A Consiste en multiplicar las clases o intervalos por la amplitud. Los resultados del 
número de clases y de la amplitud deben ser los aproximados. 
 
 Diferencia de rangos. 
 
D = R’ – R Se obtiene una vez reste del rango nuevo el rango inicial de la serie. Se debe tener 
presente que el rango nuevo siempre será mayor que el rango inicial de la serie, 
siempre habrá diferencia, ésta nunca será cero (0), mucho menos negativa. 
 
 Configuración de las clases o intervalos. 
 
 Primera Clase o Intervalo. 
 
Límite inferior = X Mín. – D / 2 Al dato menor restarle la mitad de la diferencia. 
Límite superior = Límite inferior de la clase o intervalo + Amplitud o ancho de clase. 
 
 Segunda Clase o Intervalo. 
 
Límite inferior = Límite superior de la 1ª. Clase o Intervalo. 
Límite superior = Límite inferior de la 2ª. Clase o Intervalo + Amplitud o ancho de clase. 
 
 A partir de la Tercera Clase o Intervalo. 
 
Límite inferior = Límite superior de la Clase o Intervalo anterior. 
Límite superior = Límite inferior de la Clase o Intervalo + Amplitud o ancho de clase. 
 
 
 
 
 
Para la construcción de la tabla de distribución de frecuencias de datos agrupados en clases o 
intervalos se tiene en cuenta, para ser utilizado en esta aplicación, el método de clasificación 
propuesto en la temática. 
Para esta aplicación, se parte de las calificaciones o notas definitivas del semestre, antes de 
habilitación, de cuarenta (40) estudiantes de dos (2) de los cursos de Estadística Descriptiva 
uno de la jornada diurna y el otro de la jornada nocturna, cuyos datos resultantes fueron: 
2.6 3.0 3.4 3.5 3.4 3.0 3.2 2.8 3.1 3.7 
4.0 3.9 3.3 2.0 3.8 3.9 3.4 3.3 2.6 3.6 
3.1 3.5 2.2 3.3 2.5 2.9 2.5 2.7 3.0 3.0 
3.2 2.8 3.0 3.1 2.3 2.4 3.0 3.6 2.7 2.2 
 
 C = 1 + 3.3 Log (40) = 1 + 3.3 (1.60205999) = 1 + 5.286797967 = 6.286797967 
 Resultado de aproximar clases al número entero siguiente. Siempre será entero. 
 R = X Máx. – X Mín. = 4.0 – 2.0 = 2.0 
 Resultado de restar de la calificación máxima definitiva, la calificación mínima. 
 A = R / C = 2.0 / 7 = 0.285714286 
 La amplitud se deja en un decimal, aproximada al decimal siguiente es decir 0.3, 
por estar las calificaciones dadas en este estilo de datos. 
 R’ = C ٭ A = 7 2.1 = 0.3 ٭ 
 Por efecto de las aproximaciones, el rango inicial 2.0 pasa a 2.1 rango nuevo. 
 D = R’ – R = 2.1 – 2.0 = 0.1 
 Resultado de restar del rango nuevo, el rango inicial. 
 Primera Clase o Intervalo 
 = X Mín. – D / 2 = 2.0 – 0.1 / 2 = 2.0 – 0.05 = 2.0 – 0.0 = 
Obsérvese que a la calificación o nota mínima que está dada con un decimal 2.0 cuando se le 
va a restar la mitad de la diferencia D / 2, por ser esta impar, 0.1 el resultado da con dos 
decimales 0.05, el cual para restarse debe aproximarse bien dejándolo con un decimal, 0.0. 
 = Límite INF + A = 2.0 + 0.3 = 
 Segunda Clase o Intervalo 
Límite INF = Límite SUP de la primera clase o Intervalo = 2.3 
Límite SUP = Límite INF de la segunda Clase o Intervalo + A = 2.3 + 0.3 = 2.6 
 Tercera Clase o Intervalo y siguientes 
Límite INF = Límite SUP de la segunda clase o Intervalo = 2.6 
Límite SUP = Límite INF de la tercera Clase o Intervalo + A = 2.6 + 0.3 = 2.9 
APLICACIÓN N° 3. 
C ≈ 7 
R = 2.0 
A ≈ 0.3 
R’ = 2.1 
D = 0.1 
Límite INF 
Límite SUP 
2.0 
2.3 
 
 
 
Para las Clases o Intervalos siguientes se hace el mismo procedimiento que se ha explicado, 
por lo tanto, el Límite INF = Límite SUP de la Clase o Intervalo anterior y el Límite SUP = Límite INF 
de la Clase o Intervalo que se está estableciendo sumándole la Amplitud. 
 
Así los datos estén dados en enteros, con un decimal, con dos decimales o más, las Clases o 
Intervalos siempre será aproximada a número entero siguiente al resultante de su cálculo. 
Observe como para las calificaciones o notas trabajadas, dadas con un decimal, a excepción 
de las Clases o Intervalos que se dan en entero, todas las demás medidas incluyendo límites 
inferiores y superiores de las Clases o intervalos se dan en valores con un decimal. 
Si la información a trabajar está dada en enteros, todos los valores calculados deben estar en 
enteros. Si son con 1 decimal todos los valores deben quedar con 1 decimal, excepto las Clases 
o Intervalos que siempre será aproximado a entero, y así sucesivamente. 
Debe tener bien en cuenta al determinar cuál de los valores de los datos es el mayor o X Máx. 
y cuál es el menor o X Mín. porque desde ahí pueden empezar los problemasde clasificación. 
Así como el número de Clases o Intervalos se aproxima a número entero siguiente, la Amplitud 
de Clase o Intervalo también debe aproximarse, pero teniendo en cuenta de dejarla en número 
entero si los datos o información a trabajar son enteros, en número con un decimal si la 
información o datos a trabajar está presentada en este estilo, en número con dos decimales 
si es este el caso y así sucesivamente. 
 
El Rango nuevo R’ siempre será mayor que el Rango inicial R, por consiguiente, siempre habrá 
una diferencia, la diferencia no podrá ser cero (0), mucho menos negativa (–) 
Para el cálculo del límite INF de la primera Clase o Intervalo en lo que refiere a la mitad de la 
diferencia D / 2 que se debe restar del dato menor X MÍN., en datos enteros si la diferencia es 
impar su mitad se transforma en resultado con un decimal, si los datos son con un decimal y 
la diferencia es impar igual su mitad se convierte en resultado con dos decimales, y así si los 
datos son con dos decimales y la diferencia es impar su mitad se vuelve con tres decimales. 
En consecuencia, para cada uno de estos casos se debe aproximar bien dejándolo en entero, 
en un decimal o dos decimales según el caso, para restar de X MÍN. entero una D / 2 entero, de 
X MÍN. con un decimal restar una D / 2 con un decimal y de X MÍN. con dos decimales restar una 
D / 2 con dos decimales. Recuerde que para aproximar bien el criterio de aproximación a utilizar 
debe ser el de compensación, es decir, si el número anterior o número que se debe aproximar 
es par no se aproxima, se deja así, pero en cambio si el número anterior o número a aproximar 
es impar si se aproxima, al número siguiente, sea para dejarlo en entero, con un decimal, dos 
decimales, etc. 
La tabla de frecuencia que refleja el método de clasificación utilizado para resumir los datos 
numéricos expresados con un decimal de la variable cuantitativa calificaciones definitivas del 
semestre, antes de habilitación, de cuarenta (40) estudiantes de dos (2) de los cursos de 
Estadística Descriptiva, unos de jornada diurna y otros de jornada nocturna, es: 
Para recordar: 
 
 
 
 Tabla N° 2.- Distribución de frecuencias. 
 Calificaciones definitivas del semestre, antes de habilitación, de 40 estudiantes, diurnos y 
nocturnos, de Estadística Descriptiva. 
 
La tabla de distribución de frecuencias se construye teniendo en cuenta los resultados de la 
clasificación propuesta y utilizada. Ella presenta: 7 clases o intervalos de amplitud constante 
de 0.3, cada una, entre el límite inferior y superior; el nuevo rango de 2.1 que va desde 2.0 
hasta 4.1 donde se incluyen todas las calificaciones o notas definitivas del semestre teniendo 
en cuenta que la mínima fue de 2.0 y la máxima de 4.0; y la diferencia de rangos que fue de 
0.1 comprobada al observar en que calificación o nota menos que la menor inicia la 1ª Clase 
o Intervalo y en que más que la mayor termina la última clase (inicia en la mínima 2.0 pero 
termina en 4.1, es decir 0.1 más que la máxima que fue de 4.0). 
La segunda columna de la tabla corresponde a la marca de clase. Se debe recordar que ésta 
se calcula sumando el límite inferior más el límite superior y esta suma dividirla por dos. Este 
procedimiento se repite en todas las clases o intervalos de la tabla, pero si se quiere obviar, 
también se pueden obtener si a la primera marca de clase se le suma la amplitud para hallar 
la segunda, a la segunda se le suma la amplitud para obtener la tercera y así sucesivamente, 
hasta obtener la última. 
Para establecer el N° de estudiantes en cada Clase o Intervalo debe entenderse como incluir 
en él las calificaciones o notas que van desde la representada en el límite inferior hasta una 
menos de la expresada en el límite superior, esto es lo que se conoce como límite inferior 
incluyente, límite superior excluyente. Así las cosas, para obtener cuantos estudiantes tienen 
calificaciones o notas entre (2.0 - 2.3) revisamos los datos para ver el número de ellos que 
quedaron con definitiva de 2.0, 2.1 o 2.2. 
2.6 3.0 3.4 3.5 3.4 3.0 3.2 2.8 3.1 3.7 
4.0 3.9 3.3 2.0 3.8 3.9 3.4 3.3 2.6 3.6 
3.1 3.5 2.2 3.3 2.5 2.9 2.5 2.7 3.0 3.0 
3.2 2.8 3.0 3.1 2.3 2.4 3.0 3.6 2.7 2.2 
Se observa son tres los estudiantes que obtienen calificación o nota definitiva del semestre, 
antes de habilitación, que cumplen con la condición de estar entre 2.0 y menos de 2.3. 
Calificaciones 
definitivas 
Calificaciones 
definitivas 
N° de 
Estudiantes 
Frecuencia 
Relativa 
Frecuencia 
Absoluta 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
(2.0 – 2.3) 2.15 3 0.08 3 0.08 
(2.3 – 2.6) 2.45 4 0.10 7 0.18 
(2.6 – 2.9) 2.75 6 0.15 13 0.33 
(2.9 – 3.2) 3.05 10 0.25 23 0.58 
(3.2 – 3.5) 3.35 8 0.20 31 0.78 
(3.5 – 3.8) 3.65 5 0.12 36 0.90 
(3.8 – 4.1) 3.95 4 0.10 40 1.00 
Total Total 40 1.00 
 
 
 
Para saber cuántos estudiantes tienen calificaciones o notas entre (2.3 - 2.6) revisamos los 
datos para ver el número de ellos que quedaron con definitiva de 2.3, 2.4 o 2.5. 
2.6 3.0 3.4 3.5 3.4 3.0 3.2 2.8 3.1 3.7 
4.0 3.9 3.3 2.0 3.8 3.9 3.4 3.3 2.6 3.6 
3.1 3.5 2.2 3.3 2.5 2.9 2.5 2.7 3.0 3.0 
3.2 2.8 3.0 3.1 2.3 2.4 3.0 3.6 2.7 2.2 
Se observa son cuatro estudiantes que obtienen calificación o nota definitiva del semestre, 
antes de habilitación, que cumplen con la condición de estar entre 2.3 y menos de 2.6. 
Siguiendo este mismo procedimiento se obtiene que para la Clase o Intervalo (2.6 - 2.9), es 
decir calificaciones definitivas de 2.6, 2.7 o 2.8, se encuentran seis estudiantes; (2.9 - 3.2), 
notas de 2.9, 3.0 o 3.1, se obtienen diez estudiantes; (3.2 - 3.5), notas de 3.2, 3.3 o 3.4, se 
hallan ocho estudiantes; (3.5 - 3.8), notas de 3.5, 3.6 o 3.7, se localizan cinco estudiantes y 
de (3.8 - 4.1), notas de 3.8, 3.9 o 4.0, se cuentan cuatro estudiantes. 
Para la obtención de frecuencia relativa, frecuencia absoluta acumulada y frecuencia relativa 
acumulada, se deben seguir los lineamientos planteados en el desarrollo de la temática tabla 
de frecuencias para datos agrupados en Clases o Intervalos, expresados anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fundamentos de Estadística descriptiva. 
 
3. Gráficos estadísticos. 
 
 Gráficas de frecuencias para representar Datos Agrupados en Forma Discreta 
(Diagrama de Barras, Diagrama de Pastel). 
La construcción de gráficas de frecuencias, diagrama de barras y diagrama de pastel, para 
representar información contenida en tablas de frecuencias para datos agrupados en forma 
discreta, debe entenderse como la forma de resumir en ella datos no agrupados de variables 
cualitativas o cuantitativas. Toda gráfica de frecuencias debe identificarse con un número y 
con un título. 
 
Diagrama de Barras. - Utiliza el primer cuadrante del plano cartesiano, representa en el eje 
equis (x) o abscisa la variable y en el eje ye (y) u ordenada la frecuencia bien sea absoluta o 
relativa manejando escala. Se traza una línea a la altura de la frecuencia a representar y se 
une con perpendiculares al eje formando una barra. Las barras se representan de manera 
vertical u horizontalmente. De ser necesario utiliza convenciones para dar claridad al gráfico. 
 
 
 
Retomando el ejercicio planteado en la aplicación anterior sobre línea de proyecto preferida 
en los trabajos de aula en el curso diseño de producto y con base en la tabla de frecuencias 
para él elaborada, se construye diagrama de barras representando las frecuencias absolutas 
y las frecuencias relativas en forma de barras verticales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfica N° 1. - Diagrama de barras. Línea de proyecto preferida en trabajos de aula, en el curso de 
 diseño de producto. 
 
0
2
4
6
8
Rediseño Impacto ambiental Automatización Elaboración
N
°
tr
a
b
a
jo
s
 d
e
 a
u
la
Línea de proyecto
Línea de 
Proyecto 
N° trabajos 
de aula 
FrecuenciaRelativa 
Rediseño 5 0.25 
Impacto ambiental 8 0.40 
Automatización 3 0.15 
Elaboración 4 0.20 
Total 20 1.00 
APLICACIÓN N° 4. 
 
 
 
 
 
 Gráfica N° 2.- Diagrama de barras. Línea de proyecto preferida en trabajos de aula, en el curso de 
 diseño de producto. 
 
Diagrama de pastel. - Llamado también de Torta o Circular. Utiliza la circunferencia, presenta 
los datos en sectores circulares de manera proporcional una vez convertidas las frecuencias 
absolutas o relativas en porcentajes, de forma tal que a mayor porcentaje mayor sector o 
porción de pastel. Requiere de expresar en el título del gráfico el total de elementos. De ser 
necesario utiliza convenciones para dar claridad al gráfico. 
 
 
 
Se retoma el ejercicio planteado en la aplicación anterior sobre línea de proyecto preferida en 
los trabajos de aula en el curso diseño de producto y con base en la tabla de frecuencias, 
convirtiendo las frecuencias relativas en valores porcentuales, multiplicando éstas por 100, se 
construye diagrama de pastel representando porcentajes. 
 
Gráfica N° 3. - Diagrama de Pastel. – Línea de 
proyecto preferida en 20 trabajos de aula en el 
curso diseño de producto. 
 
 
 
 Gráficas de frecuencias para representar datos Agrupados en Clases o Intervalos 
(Histograma de frecuencias, Polígono de frecuencias, Ojiva). 
La elaboración de las gráficas de frecuencias, Histograma, Polígono y Ojiva, diseñadas para 
representar información contenida en tablas de frecuencias para datos agrupados en forma 
de Clases o intervalos debe ser entendida como el resumen, en ella, de datos no agrupados 
de variables cuantitativas que presentan alta variabilidad en sus datos. Todas las gráficas de 
frecuencias deben identificarse con un número y un título. 
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
Rediseño Impacto ambiental Automatización Elaboración
N
°
tr
a
b
a
jo
s
 d
e
 a
u
la
Línea de proyecto
Línea de 
Proyecto 
N° trabajos 
de aula 
Porcentaje 
(%) 
Rediseño 5 25% 
Impacto ambiental 8 40% 
Automatización 3 15% 
Elaboración 4 20% 
Total 20 100% 
APLICACIÓN N° 5. 
25%
40%
15%
20%
Rediseño Impacto ambiental
Automatización Elaboración
 
 
 
Histograma de frecuencias. - Utiliza el primer cuadrante del plano cartesiano, representa en 
el eje equis (x) o abscisa la variable cuantitativa expresada en Clases o Intervalos y en el eje 
ye (y) u ordenada la frecuencia bien sea absoluta o relativa, manejando escala. Se traza una 
línea a lo largo de cada Clase o Intervalo y a la altura de la frecuencia a representar. Las líneas 
así trazadas se unen con perpendiculares al eje formando una barra. Las barras se representan 
de manera vertical, pero a diferencia del diagrama de barras, en el Histograma las barras 
quedan unidas, contiguas o pegadas, formando así esta gráfica. De ser necesario se utiliza 
convenciones para hacer claridad. 
Polígono de frecuencias. - Igual que la gráfica anterior, utiliza el primer cuadrante del plano 
cartesiano, representa en el eje equis (x) o abscisa la variable cuantitativa expresada en 
Clases o Intervalos y en el eje ye (y) u ordenada la frecuencia bien sea absoluta o relativa, 
manejando escala. Se coloca un punto en la mitad de cada Clase o Intervalo y a la altura de 
su correspondiente frecuencia. Los puntos así colocados a lo largo de la gráfica se unen con 
una línea recta, formando el Polígono. También, de ser necesario, utiliza convenciones. 
Ojiva. - Igual que las dos gráficas anteriores, Histograma y Polígono de frecuencias, la Ojiva 
utiliza también el primer cuadrante del plano cartesiano, pero a diferencia del Histograma de 
frecuencias y el Polígono de frecuencias que representan las frecuencias absolutas o relativas, 
la Ojiva representa las frecuencias absolutas acumuladas o relativas acumuladas, manejando 
una escala según los datos. Se coloca un punto al finalizar de cada Clase o Intervalo y a la 
altura de su correspondiente frecuencia acumulada a representar. Los puntos así colocados se 
unen con una línea curva, formando la Ojiva. 
 
 
La ilustración de cada una de las gráficas, Histograma, Polígono y Ojiva, que representa de 
manera resumida información procesada de datos no agrupados de variable cuantitativa en 
datos agrupados en Clases o Intervalos, utilizando datos de la tabla sobre calificaciones o 
notas definitivas del semestre, antes de habilitación, de cuarenta (40) estudiantes de dos (2) 
de los cursos de Estadística Descriptiva uno de la jornada diurna y el otro de la jornada 
nocturna, se observa a continuación: 
Gráfica N° 4.- Histograma de frecuencias.- Calificaciones 
definitivas de semestre, estudiantes Estadística Descriptiva. 
Calificaciones 
definitivas 
N° de 
Estudiantes 
(2.0 – 2.3) 3 
(2.3 – 2.6) 4 
(2.6 – 2.9) 6 
(2.9 – 3.2) 10 
(3.2 – 3.5) 8 
(3.5 – 3.8) 5 
(3.8 – 4.1) 4 
Total 40 
APLICACIÓN N° 6. 
 
 
 
Gráfica N° 5.- Polígono de frecuencias.- Calificaciones 
definitivas de semestre, estudiantes Estadística Descriptiva. 
 
 
Gráfica N° 6.- Ojiva. - Calificaciones definitivas de semestre, 
estudiantes Estadística Descriptiva. 
 
 
 
Las gráficas que se presentan en esta aplicación N° 6, Histograma de frecuencias, Polígono de 
frecuencias y Ojiva, están construidas en Excel. 
Las gráficas así construidas representan datos numéricos de variables cuantitativas, que una 
vez resumidos en tablas de frecuencias para datos agrupados en Clases o Intervalos, revelan 
información pertinente a una situación problema de un contexto real. 
El Histograma de Frecuencias y el Polígono de Frecuencias representan frecuencias absolutas 
simples o relativas simples. La Ojiva representa frecuencias absolutas acumuladas o relativas 
acumuladas. 
En la construcción del Polígono de Frecuencias el punto se ubica en la mitad del intervalo. En 
la Ojiva el punto se ubica al finalizar el intervalo. 
Calificaciones 
definitivas 
N° de 
Estudiantes 
(2.0 – 2.3) 3 
(2.3 – 2.6) 4 
(2.6 – 2.9) 6 
(2.9 – 3.2) 10 
(3.2 – 3.5) 8 
(3.5 – 3.8) 5 
(3.8 – 4.1) 4 
Total 40 
Calificaciones 
definitivas 
Frecuencia 
Absoluta 
Acumulada 
(2.0 – 2.3) 3 
(2.3 – 2.6) 7 
(2.6 – 2.9) 13 
(2.9 – 3.2) 23 
(3.2 – 3.5) 31 
(3.5 – 3.8) 36 
(3.8 – 4.1) 40 
Total 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
2,0 2,3 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1
N
ú
m
e
ro
 d
e
 e
s
tu
d
ia
n
te
s
Calificaciones definitivas
Para recordar: