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Factorización de Expresiones 
algebraicas
MATEMATICA BASICA IP2021
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32
5 81 6
Factorización de expresiones algebraicas
(saber previo)
 Máximo común divisor de expresiones algebraicas: Un factor o divisor es una 
expresión que está contenida exactamente en otra. Los números que se 
multiplican se llaman factores o divisores del producto.
 Por ejemplo:
 6𝑥𝑦 tiene unos divisores los cuáles son: 1, 2 ,3, 6, x, y, 𝑦 . Porque la 
expresión se puede escribir como el producto de ellos:
 6𝑥𝑦 = 2 3 𝑥 𝑦 𝑦
 6𝑥𝑦 = 2 3 𝑥 𝑦
 6𝑥𝑦 = 6 𝑥 𝑦
 El máximo común divisor de un conjunto de expresiones algebraicas es la 
expresión de mayor coeficiente numérico y de mayor grado que está 
contenida exactamente de cada una de ellas.
Factorización de expresiones algebraicas
(saber previo)
 Para conocer el máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas, se 
determina el máximo común divisor MCD entre los coeficientes, y se escriben las 
letras comunes presentes en los términos, con el menor exponente que tengan en 
la expresión dada.
 Hallar el MCD de 38𝑎 𝑥 𝑦 , 76𝑚𝑥 𝑦 , 95𝑥 𝑦
1. Hallamos el MCD de los coeficientes. Para ello, los descomponemos en factores 
primos tomando los factores comunes con el menor exponente:
Máximo común divisor de una expresión 
algebraica
 38 = 2 19 76 = 2 19 95 = 5 19
 MCD = 19
2. Ahora seleccionaremos las letras comunes en los tres términos
38𝑎 𝑥 𝑦 , 76𝑚𝑥 𝑦 , 95𝑥 𝑦
Son x ^ y, ahora tomaremos las que tengan menores exponentes 𝑥 𝑦
3. Conformamos un término con los resultados anteriores el MCD de la expresión 
será: 19𝑥 𝑦
38𝑎 𝑥 𝑦 + 76𝑚𝑥 𝑦 + 95𝑥 𝑦
Factorización de expresiones algebraicas
(saber previo)
 Vamos a desarrollar los siguientes productos:
a)
b)
c)
Factorización de expresiones algebraicas
(saber previo)
 Hallar el Máximo Común Divisor (MCD) de los términos de la siguiente 
expresión:
 5𝑥 𝑦 + 55𝑦
Factorización de expresiones algebraicas
 Así como es posible descomponer un número en factores primos, también 
podemos descomponer un polinomio en factores. Logrando de esta manera 
escribir la misma expresión en una nueva equivalente, como el producto 
indicado de sus factores o divisores distintos de la unidad (1).
 FACTORIZACIÓN DE UN MONOMIO:
 Factorizar un monomio es expresarlo como el producto de sus divisores, o factores.
 Ejemplo:
 75𝑎 𝑏 𝑐 𝑒𝑠 3 5 5 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 𝑐 𝑐
Factorización de Polinomios
 Las expresiones algebraicas que están constituidas por dos o más términos, pueden 
presentar una forma tal que sea posible expresar como producto de sus divisores o 
factores.
 Antes de iniciar la factorización de polinomios hay que tener en cuenta que No todo 
polinomio se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo 
modo que, en aritmética, hay números primos que sólo son divisibles por ellos mismo y 
por 1, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellas mismas y por 1, y que 
por tanto, no son productos de otras expresiones algebraicas. Así 𝑎 + 𝑏 no puede 
descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible entre el mismo 𝑎 +
𝑏 y el 1
 Para los polinomios que si sea posible expresarlos en términos de factores multiplicativos, 
a continuación veremos algunos métodos para encontrar, dicha notación.
Factorización de expresiones 
algebraicas: Factor común monomio
 Para Factorizar un polinomio en el que sus términos tienen un factor común, 
se toma como primer factor el divisor común de todos los términos del 
polinomio y el segundo factor es la suma algebraica de los cocientes que 
resultan de dividir los términos entre el factor común.
 Realizar esta factorización equivale a realizar el proceso inverso a la suma y 
la resta:
 Factorizar 10𝑥𝑧 + 20𝑧
𝑀𝐶𝐷 = 2 5 = 10
𝑀𝐶𝐷 = 𝑧
10𝑧
10𝑥𝑧
10𝑧
= x
20𝑧
10𝑧
= 2z
Factorización de expresiones 
algebraicas: Factor común polinomio
 Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común que es un 
polinomio, se procede de la misma forma que en el caso anterior: Se escribe 
el polinomio común como factor de los cocientes obtenidos al dividir cada 
término del polinomio entre dicho factor común.
 Ejemplo: Factorizar 𝑎 𝑎 − 𝑏 + 1 − 𝑏 (𝑎 − 𝑏 + 1)
 Los dos términos de esta expresión tienen como factor común el trinomio 𝑎 − 𝑏 + 1
, entonces se escribe 𝑎 − 𝑏 + 1 como primer factor y dentro de un paréntesis se 
escriben los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el 
factor común
(𝑎 − 𝑏 + 1) (𝑎 − 𝑏 )
Factorización de expresiones algebraicas: 
Factor común por agrupación.
 Algunas veces no todos los términos de un polinomio tienen factor común, 
pero pueden ser asociados y factorizados de manera independiente. Si los 
términos que quedan dentro del paréntesis son iguales se puede factorizar la 
expresión.
 Ejemplo Factorizar 2𝑎𝑏 − 6𝑎𝑐 + 3𝑏 − 9𝑐
 El primer y el tercer término tienen como factor común a 𝑏, mientras que el 
segundo y cuarto término tienen como factor común a 3𝑐. La expresión se 
factoriza así:
 2𝑎𝑏 − 6𝑎𝑐 + 3𝑏 − 9𝑐 = 2𝑎𝑏 + 3𝑏 − 6𝑎𝑐 + 9𝑐
 → 𝑏 2𝑎 + 3 − 3𝑐 2𝑎 + 3

El malvado número 13:
Como bien sabemos, el número 13 está considerado en las sociedades occidentales como el 
número de la mala suerte.
La superstición en torno a este número no es algo fruto de los tiempos modernos, debemos 
remontarnos muchos siglos atrás para comprender estos miedos. De hecho, se debe a que en la 
última cena se sentaron los doce apóstoles más Jesucristo, y este murió.
Por eso la tradición primitiva cristiana considera que nunca se han de sentar trece personas en 
una comida o cena, pues existiría el riesgo de que alguna muera al terminar el año.
Si continuamos con tradiciones religiosas, vemos que el capítulo décimo-tercero del Apocalipsis está dedicado al anticristo.
De todas formas, no solo en la religión cristiana, los hindúes ya veían el 13 como un número maldito, el código Hammurabi, 
por ejemplo, lo omite.
Mientras que para nosotros el marte y 13 es el día de la mala suerte, para los anglosajones se mantiene el número 13 pero 
es del viernes. Sin embargo para los japoneses el viernes y si encima es 13, es el día propicio para tener todo tipo de 
suertes. Como vemos, todo depende de las interpretaciones. Por cierto, cuando alguien tiene miedo al número 13 se dice 
que padece triscadecafobia.
Factorización de expresiones algebraicas: 
Trinomio cuadrado perfecto.
 Expliquen si la siguiente expresión es verdadera:
 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏
 Resuelva la siguiente operación:
 𝑥 + 4
Factorización de expresiones algebraicas: 
Trinomio cuadrado perfecto.
 Un trinomio cuadrado perfecto (TCP) es el que resulta de desarrollar el 
cuadrado de la suma o diferencia de un binomio.
 De otro lado, un trinomio ordenado con relación a una letra es un cuadrado 
perfecto cuando el primero y tercer término con cuadrados perfectos (o 
tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble 
producto de sus raíces cuadradas.
 Para factorizar un TCP, se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término 
y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así 
formado, se eleva al cuadrado.
Factorización de expresiones algebraicas: 
Trinomio cuadrado perfecto.
 Factorizar: 𝑥 + 8𝑥 + 16 
 Efectivamente la raíz de 𝑥 es 𝑥, la de 16 es 4 y el doble producto de estas 
raíces es 2 4𝑥 = 8𝑥 que es el segundo término de la expresión. Por lo 
tanto:
 𝑥 + 8𝑥 + 16 = 𝑥 + 4
Factorización de expresiones 
algebraicas: Trinomios .
 Los trinomios de la forma 𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 corresponden al producto de dos binomios:

 Factorizar el trinomio: 𝑥 + 9𝑥 + 20
 Para factorizar este trinomio, que no es cuadrado perfecto, se deben multiplicar dos 
binomios de tal forma que el primer término de ellos es la raíz cuadrada deltrinomio, en 
este caso x: 𝑥 + 9𝑥 + 20 = 𝑥 + _ 𝑥 + _ 
 Los números que completan cada binomio deben ser tales que su suma sea el valor 
absoluto del segundo término del trinomio y su producto el valor absoluto del tercer 
término.
 Para este caso tales números son 5 ^ 4, pues 5+4=9 y además 5x4=20
 Tomando como base lo anterior: (𝑥 + 5)(𝑥 + 4)
Factorización de expresiones 
algebraicas: Trinomios .
 Este tipo de tipo de trinomios corresponden al igual que en el caso anterior al 
producto de dos binomios. Veamos como se factorizan trinomios de esta 
forma.
 Factorizar: 3𝑥 − 10𝑥 + 3
 Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente numérico del primer 
término, en este caso ‘3’, de esta manera se obtiene:
 3𝑥 − 10𝑥 + 3 =
 El trinomio obtenido tiene la misma forma que los trinomios del caso anterior 
y por lo tanto su factorización se logra en la misma forma, es decir, 
extrayendo la raíz cuadrada del primer término y buscando dos números cuya 
suma sea -10 y cuyo producto sea 9
Factorización de expresiones 
algebraicas: Trinomios .
 haremos ‘zoom’ a la parte superior del quebrado.

 buscaremos dos números cuya suma sea -10 y cuyo producto sea 9
 (3𝑥 − 9)(3𝑥 − 1) quitamos el ‘zoom’ para no olvidar que la expresión original 
que tenemos es 
( )( )
ahora sacamos el factor común donde aplique 
( )( )
, ahora simplificamos, que en este ejercicio significa cancelar 
el 3 del numerador con el 3 del denominador.
 El resultado final será:

Factorización de la diferencia de 
cuadrados perfectos.
 Para factorizar una diferencia de cuadrados perfectos se extrae la raíz 
cuadrada del minuendo y del sustraendo; y se multiplica la suma de estas 
raíces cuadradas por su diferencia.
 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 𝑥 + 𝑦
 Ejemplo: Factorice la siguiente expresión 9𝑥 − 16𝑦
 Extraemos las raíces cuadradas de los dos términos que son: 3𝑥 ∧ 4𝑦
 Y ahora vamos a multiplicar la suma de estas dos raíces por su resta

Factorización de la suma de cubos.
 La suma de dos cubos perfectos se factoriza en dos términos: En el primero se 
escribe la suma de las raíces cúbicas y en el segundo se escribe el cuadrado 
de la primera raíz, menos el producto de las raíces, más el cuadrado de la 
segunda raíz:
 𝑥 + 𝑦 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 )
 Ejemplo: Factorice la siguiente expresión 343𝑥 + 512𝑦
 Calculamos las raíces cúbicas de los dos términos que son: 7𝑥 ∧ 8𝑦
 Con base en ello reemplazamos en la forma general, resultando la siguiente 
solución.
 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒
Factorización de la diferencia de cubos.
 Se factoriza la diferencia en dos términos: En el primero se escribe la 
diferencia de las raíces cúbicas y en el segundo se escribe el cuadrado de la 
primera raíz, más el producto de las dos raíces más el cuadrado de la segunda 
raíz:
 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦
 Factorizar: 𝑥 𝑦 − 216𝑦
 Calcularemos las raíces cúbicas de los términos que son 𝑥𝑦 ∧ 6𝑦
 Con base en ello reemplazaremos los valores de la forma general para 
factorizar una diferencia de cubos:
 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 𝟓 𝟔