04_Ecuaciones movimiento

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Dictado por: 
Profesor Aldo Valcarce 
 
2do semestre 2014 
Física para Ciencias: 
Ecuaciones de Movimiento 
FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 
Resumen clase 4 
 Se definieron los conceptos de: 
 Posición 
 
 Distancia 
 
 Desplazamiento 
 
 
 Trayectoria 
 
 
 Distancia recorrida 
 
∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 
Diferencia entre la posición final y la posición inicial. 
Puede ser positiva o negativa indicando la dirección con 
respecto al origen, o sea, es un vector. 
Ubicación de un objeto dependiendo del sistema de 
referencia usado y su respectivo origen. 
𝒙(𝒕) 
𝒅 Diferencia entre dos posiciones. Siempre es positiva. 
∆𝒙 
Unión de los puntos del espacio por donde pasa un móvil 
puntual. Puede ser rectilínea (sin cambio de dirección) o 
curvilínea (en 2 o 3 dimensiones). 
Suma de las distancias individuales de cada trayectoria 
rectilínea de un trayecto total. 
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Resumen clase 4 
 Cinemática: Movimiento en 1 dimensión: 
 Posición con respecto al tiempo. 
 Velocidad promedio ( 𝒗 ) e instantánea ( 𝒗𝒙 ). 
 
 
 
 
 Rapidez: escalar (no tiene signo). 
 Aceleración promedio ( 𝑎 ) e instantánea ( 𝑎𝑥 ). 
𝒗 =
𝚫𝒙
𝚫𝒕
= 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
 
𝒂 =
𝚫𝒗
𝚫𝒕
= 
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
 
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Gráficos: Interpretación Matemática 
Aceleración vs Tiempo 
Posición vs Tiempo 
Velocidad vs Tiempo 
Pendiente 
Línea tangente a la curva 
en un punto (+ o –). 
La pendiente de la curva 
𝒙 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica el valor 
de 𝒗(𝒕). 
La pendiente de la curva 
𝒗 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica el valor 
de 𝒂(𝒕). 
El área bajo la curva 
𝒂 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica la 
variación de 𝒗(𝒕). 
El área bajo la curva 
𝒗 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica la 
variación de 𝒙(𝒕). 
Área 
Superficie formada en 
un Δt con respecto al eje 
de las abscisas (+ o -). 
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Pendiente 
Pendiente 
Pendiente 
Pendiente 
Está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la 
diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta. 
𝒗 =
𝚫𝒙
𝚫𝒕
= 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
 
∆𝒕 
∆𝒙(𝒕) 
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Pendiente 
Pendiente 
Pendiente 
Pendiente 
Está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la 
diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta. 
𝒗(𝒕) 
𝒗 =
𝚫𝒙
𝚫𝒕
= 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
 𝒂 =
𝚫𝒗
𝚫𝒕
= 
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
 
∆𝑥(𝑡) ∆𝑣(𝑡) 
∆𝑡 
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Área: 𝑣 𝑐𝑡𝑒 𝑣𝑠 𝑡 
𝒗(𝒕) 
𝒕 
𝑣𝑖 𝑣𝑖: vel. inicial 
∆𝑡 
Área de un cuadrado: 
 A = largo × ancho 
Á𝑟𝑒𝑎 1 = 𝑣𝑖 × ∆𝑡 = ∆𝒙 
𝒗 =
𝚫𝒙
𝚫𝒕
= 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
 
Se puede interpretar usando la ecuación 
de velocidad promedio: 𝑣 → 𝑣𝑖 
𝒗𝒊 
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Área: 𝑣 𝑐𝑡𝑒 𝑣𝑠 𝑡 
𝒗(𝒕) 
𝒕 
∆𝑡 
Área de un cuadrado: 
 A = largo × ancho 
Á𝑟𝑒𝑎 1 = 𝑣𝑖 × ∆𝑡 = ∆𝒙 
𝒗 =
𝚫𝒙
𝚫𝒕
= 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
 
Se puede interpretar usando la ecuación 
de velocidad promedio: 𝑣 → 𝑣𝑖 
𝒗𝒊 
𝒂(𝒕) 
𝑣𝑖 𝒂 
𝑎 
𝒂 =
𝚫𝒗
𝚫𝒕
= 
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
 
aceleración 𝑎 → 𝑎 
𝒂 
𝒂 
𝑣𝑖: vel. inicial 
= ∆𝒗 
𝑎: acel. cte 
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Área: 𝑣 𝑣𝑠 𝑡 con 𝒂 constante ≠ 0 
𝒗(𝒕) 
𝑣𝑖 𝑣𝑖: vel. inicial 
𝒕 
Área de un cuadrado: 
 A = largo × ancho 
Á𝑟𝑒𝑎 1 = 𝑣𝑖 × ∆𝑡 
Área de un triángulo: 
 A = base × altura / 2 
Á𝑟𝑒𝑎 2 =
1
2
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 × ∆𝑡 
Entonces la variación de la posición 
∆𝑥 es: Á𝑟𝑒𝑎 1 + Á𝑟𝑒𝑎 2 
∆𝑥 = 𝑣𝑖 × ∆𝑡 +
1
2
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 × ∆𝑡 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =
1
2
𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × ∆𝑡 
∆𝒕 
𝑣𝑓: vel. final 𝑣𝑓 
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Ecuaciones de Movimiento 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =
1
2
𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡 Asumiendo 𝑡𝑖 = 0 → ∆𝑡 = 𝑡𝑓 = 𝑡 
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2da ecuación con 𝑎 cte 
Usando la ecuación de aceleración promedio 
 
 
 
Se asume 𝑎 = 𝑎 y 𝑡𝑖 = 0 → ∆𝑡 = 𝑡𝑓 = 𝑡, o sea: 
𝒂 =
𝚫𝒗
𝚫𝒕
= 
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
 
𝒂 = 
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡
 
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡 
Entonces: 
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Ecuaciones de Movimiento 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =
1
2
𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡 Asumiendo 𝑡𝑖 = 0 → ∆𝑡 = 𝑡𝑓 = 𝑡 
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡 
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3ra ecuación con 𝑎 cte 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =
1
2
𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡 𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =
1
2
𝑣𝑖 + 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡 × 𝑡 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 +
1
2
𝑎 × 𝑡2 
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Ecuaciones de Movimiento 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =
1
2
𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡 Asumiendo 𝑡𝑖 = 0 → ∆𝑡 = 𝑡𝑓 = 𝑡 
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 +
1
2
𝑎 × 𝑡2 
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4ta ecuación con 𝑎 cte 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =
1
2
𝑣𝑓 + 𝑣𝑖 × 𝑡 𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =
1
2
𝑣𝑓 + 𝑣𝑖 ×
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑎
 
2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑓
2−𝑣𝑖
2 
𝑡 =
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑎
 
𝑣𝑓
2 = 𝑣𝑖
2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 
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Ecuaciones de Movimiento 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =
1
2
𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡 Asumiendo 𝑡𝑖 = 0 → ∆𝑡 = 𝑡𝑓 = 𝑡 
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 +
1
2
𝑎 × 𝑡2 
𝑣𝑓
2 = 𝑣𝑖
2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 
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Ecuaciones de Movimiento con 𝑎 = 0 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =
1
2
𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡 
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 +
1
2
𝑎 × 𝑡2 
𝑣𝑓
2 = 𝑣𝑖
2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 
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Ejemplo 1: 
Si el metro se traslada desde la estación Baquedano a la estación 
San Joaquín en 20 min 
 
a) Calcule la velocidad promedio si las estaciones se encuentran a 
8 km de distancia. 
 
b) Si un ciclista se desplaza en promedio 2 m/s ¿cuánto se 
demora en recorrer esa misma distancia? 
 
 
FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 
Ejemplo 2: 
Un avión aterriza sobre un portaviones a 63 m/s. 
 
a) ¿Cuál es su aceleración si se detiene en 2,0 s? 
 
b) ¿Cuánta distancia recorre el avión mientras se está 
deteniendo? 
 
c) Realice los gráficos: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡, 𝑣 𝑣𝑠 𝑡, 𝑎 𝑣𝑠 𝑡 
 
 
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Ejemplo 3: 
 Un atleta corre desde el reposo en una línea recta. En los 
primeros 10s, su aceleración es 1,0 m/s² y en los próximos 6s, 
desacelera a 1.5 m/s²: 
 
a) ¿Cuál es su velocidad después de los primeros 10s? 
 
b) ¿Cuál es su velocidad después de16s? 
 
c) ¿Cuál es su velocidad promedio? 
 
d) Realice los gráficos: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡, 𝑣 𝑣𝑠 𝑡, 𝑎 𝑣𝑠 𝑡 
 
 
 
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Ejemplo 4: 
 Un auto viaja a una rapidez constante de 45 m/s y pasa por un 
anuncio detrás del cual se oculta una patrulla de policía. Un 
segundo después de que pasa el auto la patrulla parte del 
anuncio para atraparlo, acelerando a 3 m/s2. 
 
a) ¿Cuánto demora la patrulla en alcanzar al auto? 
 
b) Realice los gráficos: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡, 𝑣 𝑣𝑠 𝑡, 𝑎 𝑣𝑠 𝑡 
 
 
 
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Resumen 
 Interpretación matemática de los gráficos: 
 Pendiente: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡 → 𝑣 y 𝑣 𝑣𝑠 𝑡 → 𝑎 
 Área: 𝑣 𝑣𝑠 𝑡 → ∆𝑥 y 𝑎 𝑣𝑠 𝑡 → ∆𝑣 
 
 Ecuación de movimiento sin aceleración: 
 
 
 Ecuaciones de movimiento con aceleración constante: 
 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =
1
2
𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡 
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡 
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 +
1
2
𝑎 × 𝑡2 
𝑣𝑓
2 = 𝑣𝑖
2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 
FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014