Sustitución o Cambio de Variable para integrales definidas 22-23

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PROBLEMAS DE APLICACION DE LA INTEGRAL DEFINIDA 
Un movil lleva una velocidad en m/s , en funcion del tiempo, egun la función 
𝑣(𝑡) = 5𝑡 + 2, en donde t se mide en segundos. Calcular la distancia que 
recorrere el movil entre los 2 y 5 segundos del movimiento. 
∫ (5𝑡 + 2 )
5
2
𝑑𝑡 
= ∫ 5𝑡
5
2
𝑑𝑡 + 2 ∫ 
5
2
𝑑𝑡 
= [
5
2
𝑡2]
2
5
+ [2𝑡]2
5 
=
5
2
[(5)2 − (2)2] + 2(5 − 2) 
=
5
2
(21) + 6 =
105
2
+ 6 =
117
2
𝑚 
PROOBLEMAS 
1. La función que mide el caudal que sale de un deposito es 𝑓(𝑥) = 15 + 2𝑥, 
donde f(x) esta dado en litros por segundo, y x en segundos. Calcular la 
cantidad de agua que sale del deposito entre 3 y 6 segundos 
2. Una fábrica de cerámicas produce objetos para la decoración. La función 
de ingreso margina viene dada por 𝑖(𝑥) = 8 +
5
𝑥+4
, donde x es el número de 
objetos vendidos e i(x) viene dada en dólares. Calcular el incremento de 
los ingresos obtenidos cuando se pasa de vender 50 a vender 100 objetos. 
3. El ingreso margina de una empresa está determinada por 𝐼´(𝑥) = 30 + 4𝑥. 
Calcular el incremento del ingreso total, cuando los niveles de ventas 
aumentan de 150 a 500 unidades. 
 
INTEGRACIÓN POR PARTES PARA INTEGRALES DEFINIDAS 
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]´ = 𝑓´(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥) 
Integramos a ambos miembros de la identidad entre los límites a y b, se 
obtienen: 
∫[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]´𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫[𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥) + 𝑓´(𝑥)𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]𝑎
𝑏 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝑓´(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Despejando 
∫ 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= [ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]𝑎
𝑏 − ∫ 𝑓´(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Ejemplo: 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝜋
0
𝑑𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓´(𝑥) = 1 
𝑔´(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 
𝑔(𝑥) = −
1
2
cos 2𝑥 
 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝜋
0
𝑑𝑥 = [−
𝑥
2
cos 2𝑥]
0
𝜋
+
1
4
∫ cos 2𝑥 (2𝑑𝑥)
𝜋
0
= −
𝑥
2
cos 2𝑥 +
1
4
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢
𝜋
0
 
= [−
𝑥
2
cos 2𝑥 +
1
4
𝑠𝑒𝑛 2𝑥]
0
𝜋
= −
𝜋
2
cos(2𝜋) +
1
4
𝑠𝑒𝑛 (2𝜋) − (−
0
2
cos(0) +
1
4
𝑠𝑒𝑛 (0)) 
= −
𝜋
2
(1) +
1
4
(0) +
0
2
(1) −
1
4
(0) = −
𝜋
2
 
𝑢 = 2𝑥 
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 
 
Problema: 
El ingreso marginal de una empresa por la producción de unidades de uno de 
sus productos es 𝑅´(𝑥) = 200𝑒−0,05 𝑥 − 10𝑥𝑒0,05𝑥 dólares. Determine el ingreso 
total si se producen de 10 a 20 unidades. 
∫ (200𝑒0,05 𝑥 + 10𝑥𝑒0,05𝑥)
20
10
𝑑𝑥 
= 200 ∫ (𝑒−0,05 𝑥)
20
10
𝑑𝑥 + 10 ∫ (𝑥𝑒0,05𝑥)
20
10
𝑑𝑥 
 
𝑢 =
1
20
𝑥 
𝑑𝑢 =
1
20
𝑑𝑥 
 
20𝑢 = 𝑥 
 
𝑢 =
1
20
(10) =
1
2
 
𝑢 =
1
20
(20) = 1 
 
= 4000 ∫ (𝑒0,05 𝑥)
20
10
1
20
𝑑𝑥 + 200 ∫ (𝑥𝑒0,05𝑥)
20
10
1
20
𝑑𝑥 
= 4000 ∫ (𝑒𝑢)
1
1
2
𝑑𝑢 + 4000 ∫ (𝑢𝑒𝑢)
1
1
2
𝑑𝑢 
 
∫ (𝑢𝑒𝑢)
1
1
2
𝑑𝑢 
𝑓(𝑢) = 𝑢 𝑓´(𝑢) = 1 
𝑔´(𝑢) = 𝑒𝑢 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑢 
∫ (𝑢𝑒𝑢)
1
1
2
𝑑𝑢 = [𝑢 𝑒𝑢]1
2
1 − ∫ eu
1
1
2
𝑑𝑢 = [𝑢 𝑒𝑢]1
2
1 − [𝑒𝑢]1
2
1
 
[1(𝑒1) −
1
2
(𝑒
1
2)] − (𝑒1 − 𝑒
1
2) =
1
2
𝑒
1
2 
4000 ∫ (𝑒𝑢)
1
1
2
𝑑𝑢 + 4000 ∫ (𝑢𝑒𝑢)
1
1
2
𝑑𝑢 = 4000 (𝑒1−𝑒
1
2) + 4000 (
1
2
𝑒
1
2) = 4000(1,1) + 2000(1,6) = 7600 
 
 
 
SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE PARA INTEGRALES DEFINIDAS 
Si 𝑢 = 𝑔(𝑥) entonces ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢
𝑔(𝑏)
𝑔(𝑎)
𝑏
𝑎
 siempre y cuando 𝑓 y 𝑔´ sean 
integrables 
Ejemplo: 
∫
2
√3𝑥 − 3
13
4
𝑑𝑥 
𝑢 = 3𝑥 − 3 
𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 4 
𝑢 = 3(4) − 3 = 9 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 13 
 𝑢 = 3(13) − 3 = 36 
 
∫
2
√3𝑥 − 3
13
4
𝑑𝑥 =
2
3
∫
3
√3𝑥 − 3
13
4
𝑑𝑥 =
2
3
∫
1
√𝑢
36
9
𝑑𝑢
=
2
3
∫ 𝑢−
1
2
36
9
𝑑𝑢 =
2
3
𝑢
1
2
1
2
]
9
36
=
4
3
𝑢
1
2]
9
36
=
4
3
[(36)
1
2 − (9)
1
2] =
4
3
[6 − 3] = 4 
 
∫
2
√3𝑥 − 3
13
4
𝑑𝑥 =
2
3
∫
3
√3𝑥 − 3
13
4
𝑑𝑥 =
2
3
∫ 𝑢−
1
2
13
4
𝑑𝑢
=
4
3
𝑢
1
2]
4
13
=
4
3
(3𝑥 − 3)
1
2]
4
13
=
4
3
[√(3(13) − 3) − √(3(4) − 3)]
=
4
3
(6 − 3) = 4 
 
 
Resuelva: 
∫
1
(1 + 𝑥2)2
1
−1
𝑑𝑥 ∫
√𝑥 − 1
𝑥
5
1
𝑑𝑥 
 
∫ √6 − 𝑥
2
−3
𝑑𝑥 
 
∫
1
√𝑥(√𝑥 + 1)
4
1
𝑑𝑥 ∫
1
(3 − 2𝑥)2
1
0
𝑑𝑥 
∫
𝑥2
(𝑥3 − 2)2 
0
−2
𝑑𝑥 ∫ √𝑥 + 1
3
0
−2
𝑑𝑥 ∫ √2𝑥 − 1
3
5
1
𝑑𝑥 ∫ √5 − 𝑥
4
1
𝑑𝑥 ∫
𝑥
√𝑥2 − 9
4
0
𝑑𝑥 
∫
1
(𝑥 + 2)2
 𝑑𝑥
3
−1
 
 
∫ (𝑥2 − 1)3
1
−1
𝑑𝑥 ∫ √𝑥 + 4
5
0
𝑑𝑥 ∫
1
√𝑥2 + 1
4
3
3
𝑑𝑥 ∫ cos2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
0
 
 
∫ √7 + 2𝑥2(8𝑥) 𝑑𝑥
3
−3
 
 
∫ √𝑥3 + 1(3𝑥2) 𝑑𝑥
0
−1
 ∫
1
√2𝑥 + 2
 𝑑𝑥
7
1
 
 
∫ (𝑥2
1
0
+ 1)10(2𝑥) 𝑑𝑥 
 
∫
𝑥2 + 1
√𝑥3 + 3𝑥
 𝑑𝑥
3
1
 
 
∫
𝑥
√2 + 4𝑥
4
1
𝑑𝑥 
𝑢 = √2 + 4𝑥 
∫ 𝑥4 cos(2𝑥5) 𝑑𝑥
𝜋
0
 
 
∫
1
√𝑥2 + 1
5
2
2
𝑑𝑥 ∫ √𝑥 − 1𝑑𝑥
10
2
 
 
∫ √3𝑥 + 1 𝑑𝑥
8
5
 
 
∫
1
3 + 2 cos 𝑥
𝜋
0
𝑑𝑥 
𝑢 = tan
𝑥
2
 
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos2 𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑥 
𝑢 = cos 𝑥 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑥2)𝑑𝑥
1
0
 
 
∫ 𝑥4 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥5)𝑑𝑥
𝜋
0
 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑥)𝑑𝑥
1
2
0
 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛2(3𝑥) cos(3𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
2
0
 
 
 
∫ (cos 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
4
0
 
 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥2)𝑑𝑥
1
0
 
∫ (cos 3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 5𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
2
−
𝜋
2
 
 
 
∫ 𝑥2 𝑠𝑒𝑛2(𝑥3) cos(𝑥3) 𝑑𝑥
𝜋
2
−
𝜋
2
 ∫ 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥 − 3)𝑑𝑥
1
0
 
∫ cos 𝑥 cos (𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
2
−
𝜋
2
 
∫ 𝑥 cos3(𝑥2) sen(𝑥2) 𝑑𝑥
1
0
 
 
∫ √5𝑥 + 1 𝑑𝑥
7
2
 
 
 
Resuelva y compruebe: 
Ejercicio Respuesta Ejercicio Respuesta 
∫
1
1 + 𝑥2
1
0
𝑑𝑥 
𝜋
4
 ∫ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑥 1 
∫
1
√𝑥 − 1
3
2
𝑑𝑥 2√2 − 2 ∫ 𝑥(𝑥2 + 1)
3
2
1
0
𝑑𝑥 0,93 
∫
2𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥
2
1
𝑑𝑥 ln 3 ∫
𝑥2 + 2𝑥
√𝑥3 + 3𝑥2 + 4
3
1
0
𝑑𝑥 0,74 
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥
2𝜋
0
𝑑𝑥 0 ∫ cos4 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝜋
3
0
𝑑𝑥 
31
160
 
∫
1
𝑥2 + 1
1
0
𝑑𝑥 
𝜋
4
 ∫
1
2𝑥 − 1
3
1
−
1
2𝑥 + 1
𝑑𝑥 0,38 
∫
1
𝑥2 + 𝑥 − 2
5
2
𝑑𝑥 
2
3
ln 4 −
1
3
ln 7 ∫
3 ln 𝑥 − 5
𝑥
9
6
𝑑𝑥 0,39 
∫
𝑥
𝑥4 + 1
1
0
𝑑𝑥 
𝜋
8
 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝜋
0
𝑑𝑥 2 
∫ 𝑙𝑛 𝑥
2
1
𝑑𝑥 0,39 ∫ 𝑥√1 − 𝑥2
1
0
𝑑𝑥 
1
3
 
∫ cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝜋
0
𝑑𝑥 0 ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑥 1,14 
∫ 𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
0
𝑑𝑥 -214,6 ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑥 0,25 
∫ 𝑥 𝑒𝑥
2
1
0
𝑑𝑥 0,86 ∫
3𝑥 − 1
𝑥2 − 2𝑥 − 3
6
4
𝑑𝑥 2,53 
∫
𝑥
(𝑥2 + 1)3
1
0
𝑑𝑥 
3
16
 ∫
2
𝑥2 − 5𝑥 + 6
7
4
𝑑𝑥 0,94 
∫ √5𝑥 − 1
10
1
𝑑𝑥 
134
3
 ∫ 3𝑥√4 − 𝑥2
0
−2
𝑑𝑥 -8 
∫
1
(𝑥 + 2)3
3
−1
𝑑𝑥 12/25 ∫ 𝑥2√𝑥 − 4
5
4
𝑑𝑥 1486/105 
∫ (𝑥 + 2)√𝑥 + 1
3
0
𝑑𝑥 256/15