2022 Segundo parcial 2Cuatri Tema 1

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ÁLGEBRA (FCE) (71) (Cátedra: GACHE ) 
2° PARCIAL 
 
 
 
TEMA 1 
 
 
PUNTAJE 1) 2 puntos 2) a) 1,5 puntos b) 0,5 puntos 3) 2,5 puntos 4 ) al 10) 0,5 cada uno 
 
 
1) Hallar los valores de ,a b para que el vector ( )1;4; ;u a b= sea combinación lineal de los vectores del conjunto 
( ) ( ) 1;2; 1;2 , 0;1;2;1A = − RESOLUCIÓN EN LA HOJA 3 
 
2) a) Demostrar que el conjunto de vectores ( ) ( ) ( ) 1;2;0 , 2; 1;1 , 1;0;1A = − es un sistema de generadores de 3 
 b) ¿El conjunto A constituye una base de 
3 ?Justifique adecuadamente su respuesta 
 
 RESOLUCIÓN EN LA HOJA 3 
3) Un empresario desea fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe 
pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintado y control de calidad. Los 
congeladores requieren, respectivamente, 2,5 y 3 horas de ensamblaje, de esmalte para el pintado 3 y 6 Kg y 
14 y 10 horas de control de calidad. Los costos totales de fabricación por unidad son, respectivamente, 30 y 28, 
y los precios de venta 52 y 48, todos ellos en miles de pesos. El empresario dispone semanalmente de 4.500 
horas para ensamblaje, de 8.400 Kg. de esmalte y 20.000 horas para control de calidad. Los estudios de mercado 
muestran que la demanda semanal de congeladores no supera las 1.700 unidades y que, en particular, la de 
tipo A es de, al menos, 600 unidades. Se desea conocer el plan de producción que maximice el beneficio, 
resuelva empleando el método gráfico RESOLUCIÓN EN LA HOJA 4 
4) Dada la siguiente función ( ); 6 3 2F x y x y= + − y la región determinada por las siguientes 
restricciones 
2 6
2 5 30
2 6
x y
x y
x y
+ 

+ 
 − 
 los vértices de la región de soluciones factibles son: 
 a) ( ) ( )0;0 3;0 (0;6)A B C  b) ( ) ( ) ( )3;0 5;4 15;0A B C 
 c) ( ) ( ) ( )0;6 5;4 3;0A B C  d) No existen soluciones factibles 
 
 
5) El ó los valores de  para que el vector ( )0;1;1; 4u = − pertenezca al subespacio generado por los vectores del 
conjunto ( ) ( ) 0;2; 1; , 0; ; 1;2A  = − − son: 
 
 
 a) 2 =  b)   
 c) 2   d)   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) El ó los valores de m para que ( ) ( ) ( ) 0;1;1 , ;3; 1 , 1;0;S m m= − − sean linealmente dependientes son: 
 a)  m  b) 2 2m m −   
 c) m   d) 2 2m m= −  = 
 
 
7) Sea la región del plano R 
0
1
3 12
5 3 15
x
y
x y
x y




+ 
 + 
 y la función 5 15Z x y= + señale la respuesta correcta: 
 
 a) 60, 0máx mínZ Z= =  b) 27, 0máx mínZ Z= = 
 c) 60, 27máx mínZ Z= =  d) Ninguna respuesta es correcta 
 
8) Dado el sistema homogéneo
( 2) 0
2 0
2 0
y k z
x y z
x ky
− + + =

− + − =
− + =
 el conjunto de valores de k para que el conjunto solución sea 
un subespacio de dimensión distinta de cero es: 
 a)  0  b)  
 c)  0 −  d)  
 
 
9) Sea 
 2
2 3
 2 2
x y z
x y z
x y
+ − =

− + =
 − =
, entonces la dimensión del conjunto solución del sistema homogéneo asociado es: 
 
 a) 0Dim S =  b) 1Dim S = 
 c) 2Dim S =  d) 3Dim S = 
 
 
10) Si el vector de precios es un múltiplo escalar de ( )2;5;5 , una posibilidad de consumo es ( ) ( )1 2 3; ; 10;20;20x x x = 
 y el ingreso es de I = $1320, entonces la ecuación presupuestaria es: 
 a) 
1 2 3
12 30 30 1320x x x+ + =  b) 
1 2 3
10 20 20 1320x x x+ + = 
 c) 
1 2 3
2 5 5 1320x x x+ + =  d) 31 2 1
12 30 30
xx x
+ + = 
 
 
 
 
1) Hallar los valores de ,a b para que el vector ( )1;4; ;u a b= sea combinación lineal de los vectores del conjunto 
( ) ( ) 1;2; 1;2 , 0;1;2;1A = − 
 Planteamos la combinación lineal de los vectores de la familia A y la igualamos al vector ( )1;4; ;u a b= 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1;2; 1;2 0;1;2;1
1 ;2 ; 1 ;2 0;1 ;2 ;1
1 ; 2
1;4; ;
1
2 1 ; 1 ;2 1
1
2 1
1
;4; ;
1;4; ;
4
1
1
2
2
a b
a b
a b
a
b
 
      
      

 
 
 
+ =
+ =
+ + + =
=

+ =

−
−
=
−


+
+ =
−
 
 Aplicamos las operaciones multiplicación por escalar, adición de vectores e igualación de estos y escribimos la matriz 
ampliada del sistema que resulta: 
 
1 0 1 1 0 1 1 0 1
2 1 4 0 1 2 0 1 2
1 2 0 2 1 0 0 3
2 1 0 1 2 0 0 4
3 0 4 0 3 4
a a a
b b b
 A a b a b
    
    
    
      
    
−    + − 
    
− −     
− =  − =  =  =El vector es CL de si el sistema resulta compatible entonces 
 
 
2) a) Demostrar que el conjunto de vectores ( ) ( ) ( ) 1;2;0 , 2; 1;1 , 1;0;1A = − es un sistema de generadores de 3 
 El conjunto de vectores A será un sistema de generador de 
3 si todo vector del espacio se puede expresar como 
combinación lineal de ellos. 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
; ;
0 ; ;
; ;
1 2 1 1 2 1
1 1 1 2
2 1
1;2;0 2; 1;1 1;0;
00 2 1 0 1 1 1 2 1 4
1
1 ;2 ; 2 ; ;1 ;0;
1 2 ;2 ;
1 2
3
2 0 2 1
0 1 1
2
0 1 1
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z

 
 

 
    
    

 

 
+ =
+ =
+ + =
+ + =  
  
= → − → −
=
− +
− +
−
= − + = − − + − − = −   
+
−
−

+
 
 
 
El conjunto es un sistema de generador dado que el determinante de la matriz de los coeficientes del sistema que 
queda plantado al expresar la combinación lineal del vector genérico es no nulo, por lo tanto, TODO vector de 
3 es 
combinación lineal de los vectores. 
 b) ¿El conjunto A constituye una base de 
3 ?Justifique adecuadamente su respuesta 
Si constituye una base del espacio, por la propiedad que establece que n vectores de 
n constituyen una base siempre 
que sean sistema de generadores o linealmente independientes. 
 
 
3) Un empresario desea fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe 
pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintado y control de calidad. Los 
congeladores requieren, respectivamente, 2,5 y 3 horas de ensamblaje, de esmalte para el pintado 3 y 6 Kg y 
14 y 10 horas de control de calidad. Los costos totales de fabricación por unidad son, respectivamente, 30 y 
28, y los precios de venta 52 y 48, todos ellos en miles de pesos. El empresario dispone semanalmente de 
4.500 horas para ensamblaje, de 8.400 Kg. de esmalte y 20.000 horas para control de calidad. Los estudios 
de mercado muestran que la demanda semanal de congeladores no supera las 1.700 unidades y que, en 
particular, la de tipo A es de, al menos, 600 unidades. Se desea conocer el plan de producción que maximice 
el beneficio, resuelva empleando el método gráfico 
 Con los datos del enunciado armamos una tabla que nos permitirá plantear el problema. 
 
 
 
 
 
 
La función objetivo es ( ) ; 22 20B x y x y= + , sujeta a las restricciones 
 2,5 3 4500
3 6 8400
14 10 20000
1700
600
, 0
x y
x y
x y
x y
x
x y
+ 

+ 

 + 

+ 
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aclaraciones: 
• Al ser unidades de producto se deben aproximar los vértices, teniendo en cuenta las condiciones de aproximación 
• La región de soluciones factibles es la que está sombreada en naranja y quedo determinada por los vértices 
indicados. 
 A B Disponibilidad 
Ensamblaje 2,5 3 4500 
Pintado 3 6 8400 
Control de calidad 14 10 20.000 
Utilidad $ 22 $ 20 
 
Evaluamos la función de beneficio ( ) ; 22 20B x y x y= + en cada uno de los vértices de la región. 
( )
( )
( )
( )
600;0 22 600 20 0 13.200
600;1000 22 600 20 1000 33.200
882;765 22 882 20 765 34.704
1429;0 22 1429 20 0 31.438
 
 
 
 
B
B
B
B
=  +  =
=  +  =
=  +  =
=  +  =
 
El plan óptimo de producción será producir 882 congeladores del tipo A y 764 del tipoB. Dando un beneficio máximo 
de $34.704