2017-04 Matemática I 3SE-MD

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3ro SE-MD
L Dadala función f tal que f (x) = ln{x+1)* 
*
x + 1
a) Decidir si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justificando:
i) La función f presenta algún ertrenno relativo.
i i ) 0 es la única raízdef .
ii i) La recta de ecuación 2x-y = 0es tangente al gráfico de f en el punto de absctsa 0.
EXAMEN MATEMATICA 1 5 de abri l de2A17
f l x i . . t - , t ¡ * )
b)Calcular los siguientes l ímites: i ) l i ¡ ¡ :J"t ¡ i ) l im (f (x)-x) i i i ¡ ¡¡¡ -J-
: . X x + + ! ' 
' - 
x + O + X
t
?. a)i) Defrnirfunción derivabie en un punto
:x f lx) - f (-1)i i ) D a d a f t a i q u e t ( * ) = e X + 2 , c a | c u | a r | i m f f i y d e d u c i r q u e | a f u n c i ó n f e s d e r i v a b | e e n - 1
iii) Verificar el resultado del límite anterior, obteniendo la función derivada f ' y calculando f '(-1)
b) Completar y demostrar:
S i f esder ivab leen aygesdenvab leen a , en tonces , f xg esder ivab le en ay ( f xg) ' (a )=
4
{ . - r
3 . S e a f t a l q u e f ( x ) = J ( x - o ) e 
x , s i x + 0
l 0 , s i x = 0
a) Demostrar que la recta de ecuación y = x-7 es asíntota al gráfico de f para x -> +ra
b) i) Enunciar el teorema de Rolle.
ii) Justiflcar que existe c e {0 , 6)tal que f 
'(c) = 0, y encontrarlo.
c) Completar un estudio analítico de f (sin f " ) y representar gráficamente.
i,
I
i e i l t + 2 , s i x < - 1
4 . S e a f t a l q u e f ( x ) - J X , s i " 
= - t
i lx + 1i /3x + 5' l
l t , " , ' . s i x > - 1
I I n ( x + 2 )
a) Hallar el valor de k para que la función f sea continuá 9r'l X = -1
b) i) Obtener el dominio de f.
ii) Demostrar que la función f es estrictamente decreciente en (-* , - t)
iii) Esiuciiar asíntoia al gráfico cÍe f para x -? -cc.
NOTA: Los aiumnos Categoría C y D deben elegir @ de los cuatro ejercicios
Los alumnos Libres deben trabaiar en los cuatro eiercicios