2018-04 Matemática I 3MD 0001

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Examen de Matemáiica l. 3oMD.
1. a) i) Definir función continua en un punto y función derivable en un punto
ii) Enunciar y demostrar la relación existente entre continuidad y derivabilidad en un punto,
b) A partir del gráfico adjunto de una función f, deducir:
i) Dominio de f y recorrido de f
ii) Completar:
l im f ( x )= . . .
x+ -2-
or(x )
l im
^- - r X+2
27 de abril de 2018.
lim
X-) -€
l im
x-+ -€
f ( x ) = . . . . . . . .
t ( * )
g*
lim
x-+ -T
lim
x+ -z
- ? t Y t
a ' \ - _ , -
f ( x ) = . . . . .
, l im 
f ( x )= t -
_fim_ 
L(f (x)) =...
a) Calcular los siguientes límites:
' , , ' * 
*x1+7x-10 
i i ) r im 3x2 
+e ' . 
i i i ) r im' x + 2 
2 X ' - 5 X + 2 x ) + € - X + l n { X ) 
' x + 2
l i m . f ( x ) = . .
x + 2 '-9* f(*)=""""
ii) La función f, ¿es continua en 2? Justificar.
iv) Completar el esquema de signo de la función derivada de
f (es decir, de f'):
2.
f ( x ) : l l f - l f
- 3 _ 2 - 1 2
,_[-x + s j
\ 2x -1 )
^ -2
b) Se considera la función f tal que f (*) ='-fqi{l
I x2 +1 J
i) Justificar que f presenta un único extremo relatívo en 0, que corresponde a un mínimo y es absoluto.
ii) Bosquejar el gráfico de f.
Dada lafunciónf tal que f(x) = x + 4 Ll¡: l i\ / 
i x+11
a) Realizar el estudio negesario para deducir que f tiene tres raíces (0 es una de ellas)
b) Completar el estudio analítico y graficar la función f.
4. a) Enunciar elteorema de Weierstrass.
I -1 ̂
b) Dada f tal que f (*) = ](x 
- t¡e{-tY , si x *1
10 , s i x=1
Justificar que f verifica la hipótesis del teorema de Weierstrass en el
de fen [0 ,2 ] .
t'U\ü
[0 , 2] y encontrar el máximo y el mínimo
5. Una empresa construdora está a cargo deldiseño y ejecución de obra de una pileta para una curtiembre.
La pileta, que será un prisma recto de base rectangular sin tapa, debe tener un metro y medío de profundidad y
una capacidad de 50000 litros. Al mismo tiempo, las paredes interiores de la pileta serán recubiertas con un
anticonosivo muy costoso. Determinar las dimensiones del prisma que hacen mínima la superficie a recubrir.
Se recuerda que 1000 litros = 1 m3 .
Nota: Los estudiantes reglamentados deben elegir tres de los cinco ejercicios.
Los estudiantes libres deben elegir cuatro de los cinco ejercicios.