Elementos_basicos_de_resistencia_de_mate

Vista previa del material en texto

Elementos básicos de 
Resistencia de Materiales
Jorge Olmedo Montoya Vallecilla
1.5 b
b
Sección transversal vigas
3.6m
1.2m
0.6m
0.6m
1.2m
Vigas de madera
Losa en concreto
1
1
Universidad de Ibagué 
Facultad de Ingeniería 
Programa de Ingeniería Civil 
Área de Estructuras
Elementos básicos de Resistencia 
de Materiales
Jorge Olmedo Montoya Vallecilla
2015
620.112
M978 Montoya Vallecilla, Jorge Olmedo
 Elementos básicos de resistencia de materiales / Jorge Olmedo Montoya Vallecilla. 
Ibagué: Universidad de Ibagué,
Facultad de Ingeniería, 2015.
628 p.
ISBN Impreso 978-958-754-136-6
 Digital 978-958-754-135-9
Descriptores: Resistencia de Materiales
Universidad de Ibagué
Facultad de Ingeniería
Programa de Ingeniería Civil
Área de Estructuras
Julio de 2015
© Universidad de Ibagué, 2015
© Jorge Olmedo Montoya Vallecilla, 2015
Dirección editorial: Ediciones Unibagué
ediciones.unibague.edu.co
publicaciones@unibague.edu.co
Universidad de Ibagué
Carrera 22, calle 67. Barrio Ambalá
Teléfono: +57 (8) 2709400
Ibagué, Tolima, Colombia.
www.unibague.edu.co
Ilustraciones de la portada: Jorge Olmedo Montoya Vallecilla
Diseño, diagramación e impresión
León Gráficas Ltda. PBX 2630088. Ibagué.
Esta obra no puede reproducirse sin la autorización expresa y por escrito de la Universidad de Ibagué.
Agradecimientos
El autor desea agradecer a los estudiantes de Ingeniería Civil, Jorge Mauricio 
Núñez y Juan Felipe Quintero, quienes se encargaron de la revisión y correc-
ción de los ejercicios resueltos y propuestos, y cuyo trabajo y participación 
desinteresada fueron de gran ayuda. 
Contenido
Introducción ...................................................................................................... 27
1 Esfuerzo y Deformación ........................................................................... 33
1.1 Esfuerzo normal y deformación unitaria normal ........................................33
1.2 Esfuerzo y deformación en cortante ..............................................................75
1.3 Ley generalizada de Hooke .............................................................................83
1.4 Esfuerzos sobre secciones inclinadas .............................................................85
1.5 Esfuerzos y cargas permisibles ........................................................................87
 Ejercicios propuestos......................................................................................106
2 Elementos cargados axialmente ............................................................. 119
2.1 Elementos sometidos a cargas axiales de tracción y compresión.............119
2.2 Deformación por efectos térmicos ...............................................................175
 Ejercicios propuestos......................................................................................186
3 Torsión .................................................................................................... 197
3.1 Torsión de barras circulares ..........................................................................198
3.2 Tubos de pared delgada .................................................................................246
 Ejercicios propuestos......................................................................................257
4 Fuerza cortante y momento flexionante en vigas ................................. 267
4.1 Tipos de vigas ..................................................................................................267
4.2 Tipos de cargas ................................................................................................269
4.3 Cálculo de reacciones y diagramas básicos de fuerza cortante y 
momento flexionante .....................................................................................270
4.4 Variación de la fuerza cortante y el momento flexionante ........................276
 Ejercicios propuestos......................................................................................332
5 Esfuerzos en vigas ................................................................................... 339
5.1 Teoría de la flexión .........................................................................................339
6 Deflexión de vigas ................................................................................... 481
6.1 Deflexión de vigas con carga transversal .....................................................481
7 Transformación de esfuerzo plano ........................................................ 533
7.1 Esfuerzo plano ................................................................................................533
8 Columnas ................................................................................................ 573
8.1 Carga crítica de una columna .......................................................................573
Referencias ....................................................................................................... 621
Tabla de deflexiones de vigas........................................................................... 623
Respuestas a ejercicios propuestos.................................................................. 625
Lista de figuras
Figura 1.1. Esfuerzos normales de tracción y compresión en barra circular .....34
Figura 1.2. Esfuerzos normales de tracción y compresión 
en barra rectangular .........................................................................................35
Figura 1.3. Distribución del esfuerzo normal en una sección transversal ..........37
Figura 1.4. Esfuerzos normales de tracción y compresión 
en un puente suspendido .................................................................................39
Figura 1.5. Deformación de una barra sometida a carga axial 
de tracción y compresión ................................................................................40
Figura 1.6. Máquina para ensayo de tracción en el acero .....................................42
Figura 1.7. Probeta para ensayo de tracción en el acero .......................................43
Figura 1.8. Máquina para ensayo de compresión en el concreto .........................44
Figura 1.9. Curva típica esfuerzo-deformación para un acero 
al bajo carbono ..................................................................................................45
Figura 1.10. Resiliencia y tenacidad del acero estructural, medidas 
a partir de la curva esfuerzo-deformación ....................................................48
Figura 1.11. Efecto Poisson en una barra sometida a carga de tracción .............50
Figura 1.12. Efecto Poisson en una barra sometida a carga de compresión .......51
Figura 1.13. Esquema barra en compresión. ER1.1 ...............................................52
Figura 1.14. Esquema barra en tracción. ER1.2 .....................................................54
Figura 1.15. Esquema barra en tracción. ER1.3 .....................................................56
Figura 1.16. Esquema barra sometida a cargas. ER1.4 ..........................................57
Figura 1.17. Cortes en barra sometida a cargas. ER1.4 .........................................58
Figura 1.18. Esquema estructura. ER1.5 .................................................................60
Figura 1.19. Esquema cono en compresión. ER1.6 ................................................63
Figura 1.20. Corte longitudinal cono en compresión. ER1.6 ...............................64
Figura 1.21. Corte transversal cono. ER1.6 .............................................................66
Figura 1.22. Esquema estructura sometida a cargas. ER1.7 ..................................68
Figura 1.23. Cortes estructura. ER1.7 ......................................................................69
Figura 1.24. Esquema estructura sometida a cargas. ER1.8 ..................................70
Figura 1.25. Cortesen estructura sometida a cargas. ER1.8 ................................71
Figura 1.26. Esquema columna en tracción. ER1.9 ...............................................73
Figura 1.27. Elemento en cortante simple ...............................................................75
Figura 1.28. Elemento en cortante doble .................................................................76
Figura 1.29. Perno en cortante simple .....................................................................77
Figura 1.30. Perno en cortante doble y aplastamiento ..........................................77
Figura 1.31. Esfuerzos generados en un elemento al interior de una estructura 78
Figura 1.32. Deformación de un elemento al interior de una estructura 
sometida a esfuerzos cortantes .......................................................................79
Figura 1.33. Deformación por cortante en la cara de un elemento .....................81
Figura 1.34. Esquema para ley generalizada de Hooke .........................................83
Figura 1.35. Área normal que resiste esfuerzos de compresión ...........................85
Figura 1.36. Superficie inclinada que resiste esfuerzos normales y tangenciales 86
Figura 1.37. Fuerzas actuantes en una superficie inclinada ..................................86
Figura 1.38. Medición de área inclinada para resistir esfuerzos 
normales y cortantes .......................................................................................87
Figura 1.39a. Estructura. ER 1.10 ............................................................................89
Figura 1.39b. Estructura. ER 1.10 ............................................................................91
Figura 1.40. Plano inclinado estructura. ER 1.10 ..................................................91
Figura 1.41. Perno en cortante. ER 1.11 .................................................................94
Figura 1.42. Estructura sometida a esfuerzos cortantes. ER 1.12 .......................96
Figura 1.43. Diagrama de cuerpo libre. ER 1.12 ....................................................96
Figura 1.44. Esquema estructura. ER 1.13 .............................................................98
Figura 1.45. Corte estructura. ER 1.13 ...................................................................98
Figura 1.46. Esquema estructura. ER 1.14 ...........................................................100
Figura 1.47. Estructura. ER 1.14 ............................................................................100
Figura 1.48. Áreas que resisten los esfuerzos cortantes. ER 1.14 ......................101
Figura 1.49. Estructura ER 1.15 .............................................................................102
Figura 1.50. Fuerzas sobre el plano xy. ER 1.15 ..................................................103
Figura 1.51. Deformación por cortante. ER 1.15 ................................................104
Figura 1.52. Estructura. ER 1.16 ............................................................................105
Figura 1.53. Área que resiste los esfuerzos cortantes. ER 1.16 ..........................105
Figura 1.54. Estructura. EP 1.1 ..............................................................................106
Figura 1.55. Estructura. EP 1.2 ..............................................................................107
Figura 1.56. Estructura. EP 1.3 ..............................................................................108
Figura 1.57. Estructura. EP 1.4 ..............................................................................108
Figura 1.58. Estructura. EP 1.5 ..............................................................................109
Figura 1.59. Estructura EP 1.6 ...............................................................................110
Figura 1.60. Estructura. EP 1.7 ..............................................................................110
Figura 1.61. Estructura. EP 1.8 ..............................................................................111
Figura 1.62. Estructura. EP 1.9 ..............................................................................112
Figura 1.63. Estructura. EP 1.10 ............................................................................112
Figura 1.64. Estructura. EP 1.11 ............................................................................113
Figura 1.65. Estructura. EP 1.12 ............................................................................114
Figura 1.66. Estructura. EP 1.13 ............................................................................114
Figura 1.67. Estructura. EP 1.14 ............................................................................115
Figura 1.68. Estructura. EP 1.15 ............................................................................116
Figura 1.69. Estructura. EP 1.16 ............................................................................116
Figura 1.70. Estructura. EP 1.17 ............................................................................117
Figura 1.71. Estructura. EP 1.18 ............................................................................117
Figura 1.72. Estructura. EP 1.19 ............................................................................118
Figura 2.1. Alargamiento de una barra cargada en tracción ..............................119
Figura 2.2. Deformaciones por tracción y compresión en un resorte ..............122
Figura 2.3. Barra en tracción. ER2.1 .....................................................................123
Figura 2.4. Estructura ER2.2 ..................................................................................124
Figura 2.5. Diagrama de cuerpo libre ER2.2 ........................................................125
Figura 2.6. Deformaciones en B y C. ER 2.1 ........................................................126
Figura 2.7. Estructura. ER2.3 .................................................................................127
Figura 2.8. Diagrama de cuerpo libre. ER2.3 .......................................................129
Figura 2.9. Deformación en el extremo superior. ER2.3 ....................................130
Figura 2.10. Barra con cargas axiales intermedias ..............................................131
Figura 2.11. Cortes en barra con cargas axiales intermedias .............................132
Figura 2.12. Barra con carga axial intermedia y sección variable .....................134
Figura 2.13. Estructura. ER2.4 ................................................................................135
Figura 2.14. Corte en barra. ER2.4 .........................................................................135
Figura 2.15. Estructura. ER2.5 ...............................................................................137
Figura 2.16. Barra con carga y sección continuamente variables ......................139
Figura 2.17. Barra. ER2.6 ........................................................................................140
Figura 2.18. Diagrama de cuerpo libre. ER2.6 .....................................................141
Figura 2.19. Pilote trabajando a fricción. ER2.7 ..................................................142
Figura 2.20. Barra en tracción. ER2.8 ...................................................................144
Figura 2.21. Estructura. ER2.9 ...............................................................................147
Figura 2.22. Diagrama esfuerzo–deformación. ER2.9 ........................................150
Figura 2.23. Barra. ER2.10 ......................................................................................150
Figura 2.24. Barra biempotrada .............................................................................152
Figura 2.25. Liberación de apoyos y equilibrio de barra biempotrada .............153
Figura 2.26. Columnaen compresión. ER2.11 ....................................................156
Figura 2.27. Barra en compresión. ER2.12 ...........................................................159
Figura 2.28. Barra biempotrada ER2.13 ...............................................................162
Figura 2.29. Liberación de apoyo en A. ER2.13 ..................................................162
Figura 2.30. Barra en compresión. ER2.14 ...........................................................165
Figura 2.31. Estructura. ER2.15 .............................................................................168
Figura 2.32. Diagrama de cuerpo libre. ER 2.15 ..................................................169
Figura 2.33. Barra. ER2.16 ......................................................................................171
Figura 2.34. Geometría barra. ER 2.16 .................................................................172
Figura 2.35. Corte longitudinal barra. ER 2.16 ....................................................173
Figura 2.36. Retiro apoyo redundante. ER 2.16 ...................................................173
Figura 2.37. Estructura bajo la acción de cambio de temperatura ....................175
Figura 2.38. Fuerza axial producida por cambio en temperatura .....................177
Figura 2.39. Deformación por efectos térmicos y por carga externa ...............178
Figura 2.40. Estructura. ER 2.17 ............................................................................179
Figura 2.41. Estructura. ER 2.18 ............................................................................181
Figura 2.42. Fuerza axial por efecto de temperatura. ER2.18 ............................182
Figura 2.43. Columna de concreto reforzado. ER2.19 ........................................184
Figura 2.44. Estructura. EP 2.1 ..............................................................................186
Figura 2.45. Estructura. EP 2.2 ..............................................................................187
Figura 2.46. Estructura. EP 2.3 ..............................................................................187
Figura 2.47. Estructura. EP 2.4 ..............................................................................188
Figura 2.48. Estructura. EP 2.5 ..............................................................................189
Figura 2.49. Estructura. EP 2.6 ..............................................................................189
Figura 2.50. Estructura. EP 2.7 ..............................................................................190
Figura 2.51. Estructura. EP 2.8 ..............................................................................190
Figura 2.52. Estructura. EP 2.9 ..............................................................................191
Figura 2.53. Estructura. EP 2.10 ............................................................................192
Figura 2.54. Estructura. EP 2.11 ............................................................................192
Figura 2.55. Estructura. EP 2.12 ............................................................................193
Figura 2.56. Estructura. EP 2.13 ............................................................................194
Figura 2.57. Estructura. EP 2.14 ............................................................................194
Figura 2.58. Estructura. EP 2.15 ............................................................................195
Figura 2.59. Estructura. EP 2.16 .............................................................................196
Figura 3.1. Fuerzas P1 y P2 actuantes en viga en voladizo ................................198
Figura 3.2. Momentos torsores T1 y T2 generados por P1 y P2 .......................198
Figura 3.3. Línea inicial ab sobre barra empotrada 
en un extremo y libre en el otro ...................................................................199
Figura 3.4. Deformación longitudinal de barra debido al momento 
torsor T ...........................................................................................................199
Figura 3.5. Elemento infinitesimal en barra longitudinal ..................................200
Figura 3.6. Deformación cortante y ángulo de giro de elemento 
infinitesimal ....................................................................................................200
Figura 3.7. Deformación cortante máxima en una barra circular sólida .........202
Figura 3.8. Esfuerzos cortantes en barra sometida a pares de torsión .............203
Figura 3.9. Esfuerzos y deformaciones cortantes en superficie de elemento ...204
Figura 3.10. Esfuerzo cortante máximo en barra circular 
sometida a torsión .........................................................................................205
Figura 3.11. Esfuerzos normales y cortantes en elemento girado .....................206
Figura 3.12. Equilibrio de elemento girado 45º ...................................................206
Figura 3.13. Esfuerzo cortante sobre un elemento interior de radio ρ .............208
Figura 3.14. Sección transversal circular de radio r y diámetro d .................209
Figura 3.15. Deformación cortante en barra circular hueca ..............................211
Figura 3.16. Barra circular sólida en torsión. ER 3.1 ..........................................212
Figura 3.17. Barras sometidas a torsión. ER3.2 ...................................................214
Figura 3.18. Esfuerzos cortantes en barras. ER3.2 ..............................................216
Figura 3.19. Barra en torsión ER3.3 ......................................................................217
Figura 3.20. Momentos Torsores. ER3.3 ...............................................................218
Figura 3.21. Barra en torsión no uniforme ..........................................................220
Figura 3.22. Equilibrio barra en torsión no uniforme ........................................220
Figura 3.23. Barra en torsión no uniforme con sección variable ......................221
Figura 3.24. Barra con sección continuamente variable y torsión constante ..222
Figura 3.25. Barra con sección y torsión continuamente variables ..................224
Figura 3.26. Barra sometida a torsión ER3.4 .......................................................225
Figura 3.27. Barra sometida a torsión variable. ER3.5 .......................................227
Figura 3.28. Secciones en barra sometida a torsión variable. ER3.5 .................227
Figura 3.29. Barra sometida a torsión variable. ER2.6 .......................................229
Figura 3.30. Sección barra con torsión variable. ER3.6 ......................................230
Figura 3.31. Barra biempotrada sometida a torsión ...........................................232
Figura 3.32. Equilibrio secciones barra biempotrada sometida a torsión .......232
Figura 3.33. Viga biempotrada sometida a torsión. ER3.7 .................................233
Figura 3.34. Torques generados en extremo de viga. ER3.7 ..............................234
Figura 3.35. Retiro apoyo redundante. ER3.7 ......................................................234
Figura 3.36. Estructura sometida a torsión. ER3.8 .............................................237
Figura 3.37. Estructura sometida a torsión. ER3.9 .............................................240
Figura 3.38. Viga biempotrada en torsión. ER3.10 .............................................242
Figura 3.39. Equilibrio viga biempotrada en torsión ER3.10 .............................242
Figura 3.40. Secciones viga biempotrada en torsión. ER3.10 .............................243
Figura 3.41. Estructura sometida a torsión. ER3.11 ...........................................244
Figura 3.42. Torsión en un tubo de pared delgada ..............................................247
Figura3.43. Fuerza sobre un elemento infinitesimal en un tubo 
de pared delgada ............................................................................................248
Figura 3.44. Tubos de pared delgada de sección circular y rectangular ...........250
Figura 3.45. Tubos rectangulares de pared delgada sometidos 
a torsión. ER 3.12 ...........................................................................................252
Figura 3.46. Tubo de pared delgada. ER3.13 ........................................................254
Figura 3.47. Tubos rectangular y circular sometidos a torsión. ER 3.14 ..........255
Figura 3.48. Barra en torsión. EP 3.1 ....................................................................257
Figura 3.49. Barra en torsión. EP 3.2 ....................................................................258
Figura 3.50. Barras en torsión. EP 3.3 ...................................................................258
Figura 3.51. Barras en torsión. EP 3.4 ...................................................................259
Figura 3.52. Barra en torsión. EP 3.5 ....................................................................259
Figura 3.53. Barra en torsión. EP 3.6 ....................................................................260
Figura 3.54. Barras en torsión. EP 3.7 ...................................................................260
Figura 3.55. Barra en torsión. EP 3.8 ....................................................................261
Figura 3.56. Barra en torsión. EP 3.9 ....................................................................261
Figura 3.57. Barra en torsión. EP 3.10 ..................................................................262
Figura 3.58. Barras en torsión. EP 3.11 .................................................................263
Figura 3.59. Barra en torsión. EP 3.12 ..................................................................263
Figura 3.60. Barra en torsión. EP 3.13 ..................................................................264
Figura 3.61. Barra en torsión. EP 3.14 ..................................................................264
Figura 3.62. Tubo de pared delgada en torsión. EP 3.15 ....................................265
Figura 3.63. Tubo de pared delgada en torsión. EP 3.16 ....................................265
Figura 3.64. Tubo de pared delgada en torsión. EP 3.17 ....................................266
Figura 4.1. Vigas estáticamente determinadas ....................................................268
Figura 4.2. Vigas estáticamente indeterminadas .................................................268
Figura 4.3. Cargas típicas sobre una viga .............................................................269
Figura 4.4. Viga biapoyada sometida a una carga puntual 
en una posición cualquiera ..........................................................................271
Figura 4.5. Viga biapoyada sometida a una carga uniformemente 
distribuida ......................................................................................................272
Figura 4.6. Corte único para viga con carga uniformemente distribuida ........273
Figura 4.7. Viga empotrada sometida a una carga uniformemente 
distribuida ......................................................................................................274
Figura 4.8. Viga biapoyada con carga triangular .................................................275
Figura 4.9. Viga biapoyada con un par y una fuerza puntual ............................276
Figura 4.10. Fuerza cortante y momento flexionante interno a una 
distancia x .........................................................................................277
Figura 4.11. Convención de signos para la fuerza cortante interna .................278
Figura 4.12. Convención de signos para el momento flexionante interno ......279
Figura 4.13. Convención de signos para fuerza cortante y momento 
flexionante internos .......................................................................................279
Figura 4.14. Relación entre la fuerza cortante y el momento flexionante ........280
Figura 4.15. Viga biapoyada. ER4.1 ......................................................................283
Figura 4.16. Cortes estratégicos viga. ER4.1 ........................................................283
Figura 4.17. Corte 1 viga. ER4.1 .............................................................................284
Figura 4.18. Corte 2 viga. ER4.1 ............................................................................285
Figura 4.19. Corte 3 viga. ER4.1 ............................................................................286
Figura 4.20. Corte 4 viga. ER4.1 ............................................................................287
Figura 4.21. Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante viga. 
ER4.1 ...............................................................................................................289
Figura 4.22. Viga en voladizo. ER4.4 ....................................................................290
Figura 4.23. Equilibrio global viga. ER4.2 ............................................................290
Figura 4.24. Corte 1 viga. ER4.2 ............................................................................291
Figura 4.25. Corte 2 viga. ER4.2 ............................................................................293
Figura 4.26. Corte 3 viga. ER4.2 ............................................................................294
Figura 4.27. Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante viga. 
ER4.2 ...............................................................................................................295
Figura 4.28. Viga biapoyada. ER4.3 ......................................................................296
Figura 4.29. Corte único viga. ER4.3 ....................................................................297
Figura 4.30. Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante viga. 
ER4.3 ...............................................................................................................299
Figura 4.31. Viga biapoyada. ER4.4 ......................................................................300
Figura 4.32. Corte 1 viga. ER4.4 ............................................................................301
Figura 4.33. Corte 2 viga. ER4.4 ............................................................................303
Figura 4.34. Corte 3 viga. ER4.4 ............................................................................304
Figura 4.35. Equilibrio interno para carga triangular viga. ER4.4 ....................305
Figura 4.36. Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante viga. 
ER4.2 ...............................................................................................................308
Figura 4.37. Viga con voladizo. ER4.5 ..................................................................309
Figura 4.38. Cortes estratégicos viga ER4.5 .........................................................309
Figura 4.39. Corte 1 viga. ER4.5 .............................................................................310
Figura 4.40. Corte 2 viga. ER4.5 ............................................................................312
Figura 4.41. Corte 3 viga. ER4.5 ............................................................................313
Figura 4.42. Corte 4 viga. ER4.5 ............................................................................315
Figura 4.43. Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante viga. 
ER4.5 ...............................................................................................................317
Figura 4.44. Viga biapoyada. ER4.6 ......................................................................318
Figura 4.45. Corte 1 viga. ER4.6 ............................................................................319Figura 4.46. Corte 2, viga. ER4.6 ...........................................................................320
Figura 4.47. Corte 3 viga. ER4.6 ............................................................................321
Figura 4.48. Corte 4 viga. ER4.6 ............................................................................323
Figura 4.49. Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante viga. 
ER4.6 ...............................................................................................................324
Figura 4.50. Viga con voladizo ER4.7 ...................................................................325
Figura 4.51. Localización del centroide de la carga sobre la viga ER4.7 ..........326
Figura 4.52. Corte 1 viga. ER4.7 ............................................................................328
Figura 4.53. Corte 2 viga. ER4.7 ............................................................................329
Figura 4.54. Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante viga. 
ER4.7 ...............................................................................................................332
Figura 4.55. Viga. EP4.1 ..........................................................................................333
Figura 4.56. Viga. EP4.2 ..........................................................................................333
Figura 4.57. Viga. EP4.3 ..........................................................................................334
Figura 4.58. Viga. EP4.4 ..........................................................................................334
Figura 4.59. Viga. EP4.5 ..........................................................................................335
Figura 4.60. Viga. EP4.6 ..........................................................................................335
Figura 4.61. Viga. EP4.7 ..........................................................................................336
Figura 4.62. Viga. EP4.8 ..........................................................................................336
Figura 4.63. Viga. EP4.9 ..........................................................................................337
Figura 4.64. Viga. EP4.10 ........................................................................................337
Figura 5.1. Viga en flexión pura ............................................................................340
Figura 5.2. Viga en flexión no uniforme ...............................................................340
Figura 5.3. Deformada de una viga en voladizo ..................................................341
Figura 5.4. Convención de signos para la curvatura de una viga ......................343
Figura 5.5. Geometría de una viga deformada en flexión pura .........................343
Figura 5.6. Variación de los esfuerzos normales 
en la sección transversal de una viga ..........................................................346
Figura 5.7. Convención de signos para momento flexionante 
y curvatura en una viga ................................................................................349
Figura 5.8. Esfuerzos máximos de compresión y tracción en una viga ............349
Figura 5.9. Cálculo del módulo de sección de una viga rectangular ................352
Figura 5.10. Cálculo del módulo de sección de una viga circular ....................353
Figura 5.11. Viga en voladizo sometida a un par en su extremo libre. ER5.1 .355
Figura 5.12. Localización del eje neutro viga. ER5.1 ..........................................355
Figura 5.13. Esfuerzos normales resultantes viga. ER5.1 ...................................357
Figura 5.14. Viga canal sometida a un par en un extremo. ER5.1 ....................357
Figura 5.15. Localización del eje centroidal viga canal. ER5.2 ..........................358
Figura 5.16. Viga en flexión. ER5.3 .......................................................................360
Figura 5.17. Sección transversal viga. ER5.3 ........................................................360
Figura 5.18. Viga T en flexión. ER5.4 ...................................................................361
Figura 5.19. Sección transversal viga. ER5.4 ........................................................362
Figura 5.20. Localización eje centroidal viga. ER5.4 ..........................................363
Figura 5.21. Viga con voladizo. ER5.5 ..................................................................364
Figura 5.22. Esfuerzos de tracción y compresión entre apoyos. ER5.5 ............367
Figura 5.23. Esfuerzos de tracción y compresión en apoyo derecho. ER5.5 ....367
Figura 5.24. Viga con voladizo. ER5.6 ..................................................................368
Figura 5.25. Estructura. ER5.7 ...............................................................................371
Figura 5.26. Distribución de la fuerza entre postes. ER5.7 ................................372
Figura 5.27. Tablón entre postes. ER5.7 ...............................................................373
Figura 5.28. Deslizamiento entre tablas por esfuerzo cortante .........................375
Figura 5.29. Equilibrio de un elemento infinitesimal 
en una viga sometida a flexión .....................................................................375
Figura 5.30. Sección longitudinal para distribución de los esfuerzos 
normales desde el eje neutro ........................................................................376
Figura 5.31. Sección longitudinal para esfuerzos normales 
y cortantes en un elemento de viga en flexión ...........................................378
Figura 5.32. Elemento diferencial en una viga 
para el análisis de los esfuerzos cortantes ...................................................378
Figura 5.33. Equilibrio de fuerzas internas por flexión y cortante 
en una viga ......................................................................................................379
Figura 5.34. Geometría para el cálculo del momento estático 
en una viga rectangular .................................................................................381
Figura 5.35. Geometría para el cálculo del momento 
estático en una viga circular .........................................................................383
Figura 5.36. Viga sometida a cargas puntuales. ER 5.8 ......................................385
Figura 5.37. Variación del cortante a lo largo de la viga. ER 5.8 .......................386
Figura 5.38. Localización del eje centroidal de la viga. ER 5.8 ..........................387
Figura 5.39. Área para el cálculo del momento estático en a de la viga. 
ER 5.8 ..............................................................................................................387
Figura 5.40. Área para el cálculo del momento estático en b de la viga. 
ER 5.8 ..............................................................................................................388
Figura 5.41. Viga con carga trapezoidal. ER 5.9 ..................................................388
Figura 5.42. Secciones en I y T para la viga en ER 5.9 ........................................389
Figura 5.43. Cálculo de la inercia centroidal en viga en I. ER 5.9 .....................390
Figura 5.44. Cálculo de momentos estáticos en viga en I. ER 5.9 .....................391
Figura 5.45. Distribución de esfuerzos cortantes en la sección viga en I. 
ER 5.9 ..............................................................................................................392
Figura 5.46. Cálculo de la inercia centroidal en viga en T. ER 5.9 ....................393
Figura 5.47. Cálculo de momentos estáticos en viga en T. ER 5.9 ....................394
Figura 5.48. Distribución de esfuerzos cortantes en la sección viga en T. 
ER 5.9 ..............................................................................................................395Figura 5.49. Viga en cajón. ER 5.10 .......................................................................395
Figura 5.50. Sección transversal viga. ER 5.10 .....................................................396
Figura 5.51. Área 1 para cálculo del momento estático viga. ER 5.10 ..............397
Figura 5.52. Área 2 para cálculo del momento estático viga. ER 5.10 ..............398
Figura 5.53. Viga biapoyada. ER 5.11 ...................................................................399
Figura 5.54. Viga con voladizo. ER 5.12 ...............................................................401
Figura 5.55. Viga con voladizo. ER 5.12 ...............................................................403
Figura 5.56. Algunos tipos de vigas compuestas .................................................405
Figura 5.57. Esfuerzos y deformaciones en una viga hecha de dos materiales 406
Figura 5.58. Sección transformada para una viga hecha de dos materiales ....408
Figura 5.59. Distribución de esfuerzos en una sección transformada .............409
Figura 5.60. Sección transversal viga de concreto y madera. ER5.14 ...............410
Figura 5.61. Sección transformada a concreto viga compuesta. ER5.14. ..........411
Figura 5.62. Sección transformada a madera viga compuesta. ER5.14 ............413
Figura 5.63. Esfuerzos y deformaciones en viga compuesta. ER5.14 ...............415
Figura 5.64. Viga de aluminio y bronce. ER5.15 .................................................416
Figura 5.65. Viga transformada a bronce. ER5.15 ...............................................417
Figura 5.66. Áreas para flujo de cortante en algunos tipos de vigas .................418
Figura 5.67. Geometría para el cálculo del flujo de cortante en una viga ........419
Figura 5.68. Vigas compuestas. ER 5.16 ...............................................................421
Figura 5.69. Sección viga a para el cálculo de la inercia centroidal. ER 5.16. ..421
Figura 5.70. Sección viga b para el cálculo de la inercia centroidal. ER 5.6 ....423
Figura 5.71. Localización del eje neutro en una viga de concreto reforzado ..425
Figura 5.72. Viga de concreto reforzado. ER5.17 ................................................426
Figura 5.73. Localización del eje neutro viga de concreto reforzado. ER5.17 .427
Figura 5.74. Viga de concreto reforzado en ER5.18 ............................................428
Figura 5.75. Localización eje neutro viga de concreto reforzado en ER5.18 ...429
Figura 5.76. Geometría para el cálculo de los esfuerzos normales 
en una fibra para viga en T. ER5.18 ............................................................430
Figura 5.77. Viga de concreto reforzado. ER5.19 ................................................431
Figura 5.78. Diagrama de deformaciones viga. ER5.19 ......................................432
Figura 5.79. Sección para la localización del eje centroidal en viga. ER5.19 ...434
Figura 5.80. Fuerza y momento interno en una viga sometida 
a flexión y carga axial ....................................................................................436
Figura 5.81. Esfuerzos por superposición tipo 1 en una viga 
en flexión y carga axial ..................................................................................436
Figura 5.82. Esfuerzos por superposición tipo 2 en una viga en flexión 
y carga axial ....................................................................................................437
Figura 5.83. Esfuerzos por superposición tipo 3 en una viga en flexión 
y carga axial ....................................................................................................438
Figura 5.84. Esfuerzos por superposición tipo 4 en una viga en flexión 
y carga axial ....................................................................................................439
Figura 5.85. Viga con carga axial y flexión asimétrica ........................................440
Figura 5.86. Esfuerzos por momentos flexionantes y carga axial en una viga 441
Figura 5.87. Localización del eje neutro para una viga en flexión biaxial .......442
Figura 5.88. Localización de la dirección del momento actuante 
en una viga en flexión biaxial .......................................................................443
Figura 5. 89. Viga en flexión uniaxial ER 5.20 .....................................................445
Figura 5.90. Momentos flexionantes máximos en viga. ER 5.21 .......................447
Figura 5.91. Localización de puntos para cálculo de esfuerzos 
por superposición. ER 5.21 ..........................................................................448
Figura 5.92. Esfuerzos por superposición para el vano. ER 5.21 ......................450
Figura 5.93. Esfuerzos por superposición para el apoyo derecho. ER 5.21 .....451
Figura 5.94. Estructura. ER 5.22 ............................................................................451
Figura 5.95. Geometría zapata. ER 5.22 ...............................................................452
Figura 5.96. Localización del eje neutro zapata. ER 5.22 ...................................453
Figura 5.97. Esfuerzos por superposición. ER 5.22 ............................................454
Figura 5. 98. Viga en flexión biaxial. ER 5.23 ......................................................454
Figura 5.99. Momentos flexionantes y carga axial en sección viga. ER 5.23 ...455
Figura 5.100. Geometría de esfuerzos para el cálculo del eje neutro. 
ER 5.23 ............................................................................................................456
Figura 5.101. Esfuerzos por superposición en viga. ER 5.23 .............................457
Figura 5.102. Viga. EP5.1 ........................................................................................458
Figura 5.103. Viga. EP5.2 ........................................................................................458
Figura 5.104. Viga EP5.3 .........................................................................................459
Figura 5.105. Viga. EP 5.4 .......................................................................................459
Figura 5.106. Viga. EP5.5 ........................................................................................460
Figura 5.107. Estructura. EP5.6 .............................................................................461
Figura 5.108. Viga. EP5.7 ........................................................................................461
Figura 5.109. Viga. EP5.8 ........................................................................................462
Figura 5.110. Viga. EP5.9 ........................................................................................462
Figura 5.111. Viga. EP5.10 .....................................................................................463
Figura 5.112. Viga. EP5.11 .....................................................................................463
Figura 5.113. Viga. EP5.12 .....................................................................................464
Figura 5.114. Viga. EP5.13 .....................................................................................464
Figura 5.115. Estructura. EP5.14 ...........................................................................465
Figura 5.116. Estructura. EP 5.15 ..........................................................................466
Figura 5.117. Viga. EP5.16 .....................................................................................466
Figura 5.118. Viga. EP5.17 .....................................................................................467
Figura 5.119. Estructura. EP5.18 ...........................................................................468
Figura 5.120. Sección viga. EP5.19 ........................................................................468
Figura 5.121. Secciónviga. EP5.20 ........................................................................469
Figura 5.122. Sección viga. EP5.21 ........................................................................469
Figura 5.123. Sección viga. EP5.22 ........................................................................470
Figura 5.124. Sección viga. EP5.23 ........................................................................470
Figura 5.125. Sección viga. EP5.24 ........................................................................471
Figura 5.126. Sección viga. EP5.25 ........................................................................471
Figura 5.127. Sección viga. EP5.26 ........................................................................472
Figura 5.128. Estructura. EP5.27 ...........................................................................472
Figura 5.129. Estructura. EP5.28 ...........................................................................473
Figura 5.130. Viga. EP5.29 .....................................................................................474
Figura 5.131. Viga. EP5.30 .....................................................................................474
Figura 5.132. Viga. EP5.31 .....................................................................................475
Figura 5.133. Viga. EP5.32 .....................................................................................476
Figura 5.134. Viga. EP5.33 .....................................................................................476
Figura 5.135. Sección viga. EP5.34 ........................................................................477
Figura 5.136. Sección viga. EP5.35 ........................................................................478
Figura 5.137. Viga. EP5.36 .....................................................................................478
Figura 5.138. Viga. EP5.37 .....................................................................................479
Figura 5.139. Viga. EP5.38 .....................................................................................480
Figura 5.140. Viga. EP5.39 .....................................................................................480
Figura 6.1. Vigas estáticamente determinadas con diferentes tipos 
de apoyos ........................................................................................................481
Figura 6.2. Deformada de una viga empotrada con una carga puntual 
en su extremo libre ........................................................................................482
Figura 6.3. Geometría para el cálculo de la ecuación diferencial 
de la elástica ....................................................................................................484
Figura 6.4. Geometría para el cálculo del giro a una distancia x desde 
el apoyo izquierdo .........................................................................................487
Figura 6.5. Relación entre el tipo de apoyo, el giro y la deflexión .....................488
Figura 6.6. Viga empotrada. ER 6.1 ......................................................................489
Figura 6.7. Corte único viga empotrada. ER 6.1 .................................................490
Figura 6.8. Variación de la deflexión en la viga. ER6.1 .......................................492
Figura 6.9. Viga biapoyada. ER 6.2 ........................................................................493
Figura 6.10. Variación de la deflexión en la viga. ER 6.2 ....................................495
Figura 6.11. Algunos tipos de carga sobre vigas ..................................................497
Figura 6.12. Carga tipo momento flexionante para funciones 
de discontinuidad ..........................................................................................499
Figura 6.13. Carga tipo fuerza puntual para funciones de discontinuidad .....500
Figura 6.14. Carga tipo rampa unitaria para funciones de discontinuidad .....500
Figura 6.15. Carga tipo triangular para funciones de discontinuidad .............500
Figura 6.16. Carga de exponente n para funciones de discontinuidad ............501
Figura 6.17. Carga uniformemente distribuida entre a1 y a2 ............................501
Figura 6.18. Carga triangular entre a1 y a2 ..........................................................502
Figura 6.19. Carga triangular inversa entre a1 y a2 ............................................502
Figura 6.20. Viga con voladizos. ER 6.3 ................................................................503
Figura 6.21. Variación de la magnitud de la carga con la longitud 
de la viga. ER6.3 ..............................................................................................504
Figura 6.22. Diagrama de fuerza cortante. ER6.3 ...............................................506
Figura 6.23. Diagrama de momento flexionante. ER6.3 ....................................507
Figura 6.24. Variación de la deflexión en la viga. ER6.3 .....................................507
Figura 6.25. Viga con voladizo. ER 6.4 .................................................................508
Figura 6.26. Diagrama de fuerza cortante. ER 6.4 ..............................................512
Figura 6.27. Diagrama de momento flexionante. ER 6.4 ...................................513
Figura 6.28. Variación de la deflexión a lo largo de la viga. ER 6.4 ...................513
Figura 6.29. Viga estáticamente indeterminada con carga uniformemente 
distribuida ......................................................................................................514
Figura 6.30. Diagrama de cuerpo libre viga estáticamente indeterminada 
con carga uniformemente distribuida ........................................................515
Figura 6.31. Viga estáticamente indeterminada con carga triangular. ER 6.6 .518
Figura 6.32. Diagrama de cuerpo libre viga. ER 6.6 ...........................................519
Figura 6.33. Variación de la carga con la longitud en viga. ER 6.6 ...................519
Figura 6.34. Viga biempotrada con carga rectangular, triangular 
y puntual. ER 6.7 ............................................................................................522
Figura 6.35. Diagrama de cuerpo libre viga. ER 6.7 ...........................................522
Figura 6.36. Variación de las cargas con la longitud en viga. ER 6.7 ................523
Figura 6.37. Diagrama de cuerpo libre viga ER6.7 ..............................................524
Figura 6.38. Viga. EP6.1 ..........................................................................................527
Figura 6.39. Viga. EP6.2 ..........................................................................................528
Figura 6.40. Viga. EP6.3 ..........................................................................................528
Figura 6.41.Viga. EP6.4 ...........................................................................................529
Figura 6.42. Viga. EP6.5 ..........................................................................................529
Figura 6.43. Viga. EP6.6 ..........................................................................................530
Figura 6.44. Viga. EP6.7 ..........................................................................................530
Figura. 6.45. Viga. EP6.8 .........................................................................................531
Figura 6.46. Viga. EP6.9 ..........................................................................................532
Figura 6.47. Viga. EP6.10 ........................................................................................532
Figura 7.1. Elemento sometido a estado triaxial de esfuerzos ...........................534
Figura 7.2. Esfuerzos normales y cortantes en la superficie de una viga .........535Figura 7.3. Elemento sometido a estado biaxial de esfuerzos en la superficie 535
Figura 7.4. Estado de esfuerzos para un elemento girado θ° .............................536
Figura 7.5a. Equilibrio de fuerzas en las direcciones x’, y’ ..................................536
Figura 7.5b. Equilibrio de fuerzas en las direcciones x’, y’ ..................................537
Figura 7.6. Gráfico para la ecuación paramétrica de un círculo x’, y’ ...............542
Figura 7.7. Construcción del círculo de Mohr según la dirección 
de medición del ángulo θ .............................................................................543
Figura 7.8. Localización del radio y el centro para la construcción 
del círculo de Mohr .......................................................................................544
Figura 7.9. Localización de los puntos A, A’, B, B’ 
para la localización de esfuerzos ..................................................................545
Figura 7.10. Medición de esfuerzos a partir de los puntos A’, B’ .......................545
Figura 7.11. Estado inicial de esfuerzos en elemento. ER7.1 .............................546
Figura 7.12. Localización del centro y el radio del círculo. ER7.1 ....................549
Figura 7.13. Unión de los puntos A, B en ER7.1 .................................................550
Figura 7.14. Localización de esfuerzos para 40°. ER7.1 .....................................550
Figura 7.15. Localización de esfuerzos principales. ER7.1 ................................551
Figura 7.16. Localización de esfuerzo cortante máximo. ER7.1 .......................551
Figura 7.17. Barra en torsión. ER7.2 .....................................................................552
Figura 7.18. Estado inicial de esfuerzos por torsión. ER7.2 ...............................553
Figura 7.19. Viga en flexión uniaxial. ER7.3 ........................................................555
Figura 7.20. Áreas para el cálculo de momentos estáticos en 1 y 2. ER7.3 ......556
Figura 7.21. Fuerzas y momentos por flexión y carga axial. ER7.3 ...................557
Figura 7.22. Estado final de esfuerzos. ER7.3 ......................................................559
Figura 7.23. Pilote barrenado. ER7.4 ....................................................................560
Figura 7.24. Estado final de esfuerzos en el punto 1. ER7.4 ..............................562
Figura 7.25. Viga biapoyada. ER7.5 ......................................................................562
Figura 7.26. Corte en viga biapoyada. ER7.5 .......................................................563
Figura 7.27. Área para cálculo del momento estático 
en a para viga biapoyada. ER7.5 ..................................................................564
Figura 7.28. Estado final de esfuerzos en a para viga biapoyada. ER7.5 ..........566
Figura 7.29. Estado de esfuerzos. EP7.1 ...............................................................566
Figura 7.30. Estructura. EP7.2 ...............................................................................567
Figura 7.31. Estado de esfuerzos. EP7.3 ...............................................................567
Figura 7.32. Estado de esfuerzos. EP7.4 ...............................................................568
Figura 7.33. Estructura. EP7.5 ...............................................................................568
Figura 7.34. Estado de esfuerzos. EP7.6 ...............................................................569
Figura 7.35. Estructura. EP7.7 ...............................................................................569
Figura 7.36. Estructura. EP7.8 ...............................................................................570
Figura 7.37. Estructura. EP7.9 ...............................................................................570
Figura 7.38. Estructura y estado de esfuerzos. EP7.10 .......................................571
Figura 8.1. Idealización de una columna sometida a pandeo ............................574
Figura 8.2. Rotación y momento interno en una columna con pandeo ..........575
Figura 8.3. Deflexión lateral por pandeo en una columna articulada ..............576
Figura 8.4. Columna sometida a carga axial. ER8.1 ............................................579
Figura 8.5. Columna sometida a carga axial. ER 8.2 ...........................................581
Figura 8.6. Longitud efectiva de una columna empotrada en un extremo 
y libre en el otro .............................................................................................584
Figura 8.7. Longitud efectiva de una columna empotrada-empotrada ............584
Figura 8.8. Longitud efectiva de una columna empotrada-articulada .............585
Figura 8.9. Longitud efectiva y carga crítica de columnas con diferentes 
tipos de apoyo ................................................................................................586
Figura 8.10. Sección trasversal columna. ER 8.3 .................................................586
Figura 8.11. Estructura. ER8.3 ...............................................................................588
Figura 8.12. Sección trasversal columna. ER 85 ..................................................590
Figura 8.13. Pandeo de columna sometida a carga axial excéntrica .................592
Figura 8.14. Momento interno en columna con carga axial excéntrica ...........593
Figura 8.15. Columna. ER 8.6 ................................................................................597
Figura 8.16. Sección trasversal columna. ER 8.6 .................................................598
Figura 8.17. Columna ER 8.7 .................................................................................600
Figura 8.18. Columna. ER 8.8 ................................................................................601
Figura 8.19. Columna. ER 8.9 ................................................................................603
Figura 8.20. Datos empíricos para esfuerzo crítico en columnas 
de diferente relación de esbeltez ..................................................................605
Figura 8.21. Zona de transición para cálculo de esfuerzos en columnas 
de acero ...........................................................................................................606
Figura 8.22. Columna con carga axial excéntrica ...............................................607
Figura 8.23. Esfuerzos por flexión y carga axial en columna con carga 
excéntrica ........................................................................................................608
Figura 8.24. Gráfica de la fórmula de la secante ..................................................609
Figura 8.25. Columna en flexión biaxial ..............................................................610
Figura 8.26. Esfuerzos en columna en flexión biaxial ........................................610
Figura 8.27. Columna. ER8.10 ...............................................................................611
Figura 8.28. Sección transversal columna. EP 8.1 ...............................................614
Figura 8.29. Columna. EP8.12 ...............................................................................615
Figura 8.30. Columna. EP8.3 .................................................................................616
Figura 8.31. Sección transversal columna. EP8.4 ................................................616
Figura 8.32. Estructura. EP8.5 ...............................................................................617
Figura 8.33. Estructura. EP8.6 ...............................................................................618
Figura 8.34. Columna. EP8.7 .................................................................................618
Figura 8.35. Estructura. EP8.8 ...............................................................................619Figura 8.36. Columna. EP8.9 .................................................................................620
Figura 8.37. Columna. EP8.10 ...............................................................................620
Lista de tablas
Tabla 2.1. Deformación debida a carga axial de tracción. ER 2.8 .....................145
Tabla 2.2. Deformación debida a carga axial de compresión. ER 2.9 ...............149
Tabla 4.1. Fuerza cortante corte 1 viga. ER4.1 .....................................................284
Tabla 4.2. Momento flexionante corte 1 viga. ER4.1 ...........................................285
Tabla 4.3. Momento flexionante corte 2 viga. ER4.1 ...........................................286
Tabla 4.4. Momento flexionante corte 3 viga. ER4.1 ...........................................287
Tabla 4.5. Fuerza cortante corte 4 viga. ER4.1 .....................................................288
Tabla 4.6. Momento flexionante corte 4 viga. ER4.1 ...........................................288
Tabla 4.7. Fuerza cortante corte 1 viga. ER4.2 .....................................................292
Tabla 4.8. Momento flexionante corte 1 viga. ER4.2 ...........................................292
Tabla 4.9. Momento flexionante corte 2 viga. ER4.2 ...........................................293
Tabla 4.10. Momento flexionante corte 3 viga. ER4.2 .........................................294
Tabla 4.11. Fuerza cortante corte 1 viga. ER4.4 ...................................................302
Tabla 4.12. Momento flexionante corte 1 viga. ER4.4 .........................................302
Tabla 4.13. Fuerza cortante corte 2 viga. ER4.4 ...................................................303
Tabla 4.14. Momento flexionante corte 2 viga. ER4.4 .........................................304
Tabla 4.15. Fuerza cortante corte 3 viga. ER4.4 ...................................................306
Tabla 4.16. Momento flexionante corte 3 viga. ER4.4 .........................................306
Tabla 4.17. Fuerza cortante corte 1 viga. ER4.5 ...................................................311
Tabla 4.18. Momento flexionante corte 1 viga. ER4.5 .........................................312
Tabla 4.19. Fuerza cortante corte 2 viga. ER4.5 ...................................................313
Tabla 4.20. Momento flexionante corte 2 viga. ER4.5 .........................................313
Tabla 4.21. Fuerza cortante corte 3 viga. ER4.5 ...................................................314
Tabla 4.22. Momento flexionante corte 3 viga. ER4.5 .........................................314
Tabla 4.23. Fuerza cortante corte 4 viga. ER4.5 ...................................................315
Tabla 4.24. Momento flexionante corte 4 viga. ER4.5 .........................................316
Tabla 4.25. Fuerza cortante y momento flexionante corte 1 viga. ER4.6 .........319
Tabla 4.26. Fuerza cortante y momento flexionante corte 2 viga. ER4.6 .........320
Tabla 4.27. Variación del momento flexionante cerca a la discontinuidad 
viga. ER4.6 ......................................................................................................321
Tabla 4.28. Fuerza cortante y momento flexionante corte 3 viga. ER4.6 .........322
Tabla 4.29. Fuerza cortante y momento flexionante corte 4 viga. ER4.6 .........323
Tabla 4.30. Fuerza cortante y momento flexionante corte 4 viga. ER4.6 .........331
Tabla 5.1. Variación de los esfuerzos cortantes en el ala de la viga en I. 
ER5.9 ...............................................................................................................391
Tabla 5.2. Variación de los esfuerzos cortantes en el alma de la viga en I 
ER5.9 ................................................................................................................392
Tabla 5.3. Variación de los esfuerzos cortantes en el ala de la viga en T. 
ER5.9 ...............................................................................................................393
Tabla 5.4. Variación de los esfuerzos cortantes en el alma de la viga en T 
ER5.9 ................................................................................................................394
Tabla 5.5. Esfuerzos y deformaciones de la sección compuesta 
convertida en concreto ER5.9 ......................................................................412
Tabla 5.6. Esfuerzos y deformaciones de la sección compuesta 
convertida en madera. ER5.9 .......................................................................414
Tabla 6.1. Variación del momento flexionante, el giro 
y la deflexión a lo largo de la viga. ER6.1 ...................................................492
Tabla 6.2. Variación del giro y la deflexión a lo largo de la viga. ER6.2 ...........495
Tabla 6.3. Variación de la fuerza cortante, el momento flexionante, 
el giro y la deflexión a lo largo de la viga. ER6.3 .......................................506
Tabla 6.4. Variación de la fuerza cortante, el momento flexionante, 
el giro y la deflexión a lo largo de la viga. ER6.4 .......................................511
Elementos Básicos de Resistencia de Materiales 27
Introducción
Elementos básicos de resistencia de materiales es un texto en el que se 
estudian, analizan y desarrollan conceptos teóricos de la Resistencia de 
Materiales, basado en preceptos aplicados en el área en decenas de años; 
por ello no obedece al resultado de investigaciones sino a la experiencia 
docente del autor durante años de enseñanza universitaria. En concreto, 
consiste en un enfoque básico del área y como tal debe clasificarse, ra-
zón por la cual no pretende competir con la amplia bibliografía que en 
el tema se ha publicado, sino por el contrario, servir de complemento en 
el estudio de los esfuerzos y las deformaciones lineales de los materiales, 
especialmente respecto a la solución minuciosa, paso a paso, de los ejer-
cicios de aplicación.
El libro consta de ocho capítulos. En cada uno se plantea la teoría que 
sustenta cada tema tratado. Dado que la resistencia de materiales trata el 
comportamiento de los sólidos sometidos a fuerzas, la misma corresponde 
a la aplicación de conceptos de mecánica y matemáticas a los materiales, 
con lo cual, las ecuaciones que rigen y explican los diferentes fenómenos 
(básicamente esfuerzos y deformaciones) deben ser deducidas con rigor y 
cada una de ellas analizadas de manera secuencial y organizada, de tal ma-
nera que el lector conozca su procedencia y pueda aplicarlas con amplitud 
de criterio en la solución de problemas. Es por eso que a pesar del contexto 
básico en el cual se enmarca el texto, en ninguno de los capítulos se deja de 
lado la rigurosidad del análisis matemático de la teoría y, por lo tanto, puede 
considerarse una de las fortalezas del presente libro.
Cada capítulo contiene ejercicios propuestos y resueltos. Se decidió 
incluir una variedad y cantidad de ejercicios resueltos que sirvan de apo-
yo y complemento al lector en la solución de problemas, tanto de este tex-
to como de otros. En total, se incluyen aproximadamente 100 ejercicios 
resueltos y 140 propuestos, la mayoría de ellos acompañados de gráficos y 
28 Jorge Olmedo Montoya Vallecilla
figuras para mejor comprensión. Los ejercicios resueltos están precedidos 
por una sección denominada Fundamentación, en la cual se explica de 
manera general cómo se abordará la solución del problema.
El capítulo uno es una introducción a la Resistencia de Materiales, 
en el cual se deduce la teoría de esfuerzos y deformaciones y realiza una 
introducción al comportamiento mecánico de los materiales, con énfa-
sis en la curva esfuerzo deformación, principalmente de los materiales 
dúctiles. De la misma manera, se presentan algunas propiedades como: 
módulo de elasticidad, coeficiente de Poisson, tenacidad, ductilidad, rigi-
dez, entre otros. Los esfuerzos normal y cortante promediosse deducen 
a partir de cargas actuantes en elementos de secciones transversales cir-
culares y rectangulares. Los ejercicios de aplicación se incluyen al final de 
cada tema.
Los elementos cargados axialmente son presentados en el capítulo 
dos. En este, se consideran elementos bajo cargas axiales de tracción y 
compresión, puntuales, variables, secciones variables y elementos estáti-
camente indeterminados. El objetivo principal de este capítulo es reforzar 
el concepto de módulo de elasticidad y deformaciones longitudinales y 
transversales, toda vez que las deformaciones en los materiales dependen 
de la rigidez de estos últimos así como del área resistente.
El capítulo tres es una introducción a la torsión de barras circulares 
sólidas y huecas, y tubos de pared delgada. El estudio de la torsión es 
importante en aplicaciones de ingeniería cuando se requiera analizar el 
efecto de esta en las estructuras, debido a las tracciones producidas por 
los esfuerzos cortantes generados. Las ecuaciones para esfuerzo cortante 
máximo y ángulo de torsión, son deducidas en el presente capítulo a par-
tir de la aplicación de un par externo en un elemento de sección trans-
versal circular. Algunos conceptos de estática, como momento polar de 
inercia y el método de secciones, son reforzados con el objeto de lograr 
una mejor comprensión de los efectos de la torsión en estructuras.
Un tema de estática que se retoma en el presente texto, con un análi-
sis más riguroso, es el de fuerza cortante y momento flexionante en vigas, 
el cual se estudia en el capítulo cuatro. En este, se examina la construc-
ción de diagramas de fuerza cortante y momento flexionante a partir de 
Elementos Básicos de Resistencia de Materiales 29
cortes longitudinales sucesivos en una viga, con lo cual se refuerza la re-
lación existente entre carga, fuerza cortante y momento flexionante. Los 
ejercicios de aplicación fueron seleccionados para variedades de vigas y 
cargas, y las soluciones se presentan paso a paso. Al final de cada ejem-
plo de aplicación se dibujan los diagramas de fuerza cortante y momento 
flexionante junto con la viga, para un mejor análisis de los cambios en el 
comportamiento de estos en función de las cargas aplicadas.
Las vigas bajo cargas transversales y axiales céntricas y excéntricas 
también se estudian en este texto en el capítulo cinco. En la primera parte 
se incluyen los efectos de las cargas transversales que actúan sobre una 
viga, los cuales producen esfuerzos normales máximos y mínimos en las 
fibras extremas de la sección transversal, así como esfuerzos cortantes que 
son máximos en el eje centroidal. La fórmula de la flexión elástica se de-
duce a partir de la deformada de una viga en flexión pura y se analiza la 
relación existente entre el momento flexionante y el radio de curvatura de 
la viga y por ende, su curvatura; conocimiento que es de gran interés en 
estudios más avanzados de ingeniería.
Los conceptos de primer y segundo momento de un área son refor-
zados para una mejor comprensión tanto de los esfuerzos cortantes como 
de los esfuerzos normales. De la misma manera, se estudian los efectos 
ocasionados en la sección transversal de una viga, por la aplicación de 
cargas axiales, las cuales producen esfuerzos normales adicionales que 
deben ser superpuestos a los esfuerzos por cargas transversales. Cuando 
estas cargas son aplicadas de manera excéntrica respecto a los dos ejes 
de la sección, producen flexión biaxial, la cual también se estudia en el 
presente capítulo. Además, se examina el tema de vigas compuestas de 
varios materiales, que son de utilidad y aplicación en algunas ingenierías. 
En los ejemplos de aplicación se incluyen, entre otras, las vigas metálicas 
y de madera. Por último, se analizan las vigas de concreto y reforzadas con 
acero, las cuales son de aplicación directa en Ingeniería Civil.
El método de la doble integración para la deflexión de vigas se estu-
dia en el capítulo seis. A pesar de que existen otros métodos para el cálcu-
lo de la deflexión de una viga, se seleccionó este por ser versátil y preciso. 
Para esto, se analiza la teoría de la curva elástica y se proponen integracio-
30 Jorge Olmedo Montoya Vallecilla
nes sucesivas a partir de la carga para calcular en cualquier punto de una 
viga: la fuerza cortante, el momento flexionante, el giro y la deflexión. El 
mayor provecho de este método se obtiene cuando se aplican funciones 
de discontinuidad (funciones de Macaulay y de Singularidad), las cuales 
también se tratan en este capítulo.
Aunque inicialmente se analizan y se proponen ejemplos de aplica-
ción para vigas isostáticas, al final se aplican ambos (método de la doble 
integración y funciones de discontinuidad) para el estudio de vigas hiper-
estáticas.
En el capítulo siete se presenta la transformación de los esfuerzos 
planos y la aplicación al círculo de Mohr. En este se realiza un análisis ri-
guroso de las ecuaciones de transformación de esfuerzos, a los cuales está 
sometida una partícula que se encuentra en el interior de una estructura 
sometida a cargas. Los esfuerzos normales máximo y mínimo, los esfuer-
zos cortantes máximos y los ángulos donde estos ocurren, son analizados 
de manera individual, para lo cual se utiliza la geometría y trigonometría, 
además de los conceptos de resistencia de materiales, ya estudiados hasta 
aquí. Las ecuaciones de trasformación de esfuerzos, así como los con-
ceptos de esfuerzos normales y cortantes máximos se entienden mejor 
cuando se calculan por el círculo de Mohr, el cual se incluye al final del 
capítulo.
El capítulo ocho está dedicado a columnas, que son elementos que 
resisten cargas principalmente en dirección axial y por lo general están so-
metidas a flexo-compresión. En este apartado se estudian las columnas con 
apoyos articulados, empotrados o con un apoyo libre, para las cuales se 
determina su longitud efectiva, la cual es útil para calcular la carga crítica 
de Euler; esta última, importante para predecir la falla de la columna. La de-
ducción y aplicación de la fórmula de la secante para columnas con cargas 
excéntricas, también se realiza en la presente sección, para lo cual se analiza 
la ecuación diferencial de la elástica, retomada del capítulo siete.
Las unidades de uso principal del presente texto son las del Sistema 
Internacional de Unidades. No obstante, los datos de algunos problemas 
y unos pocos ejercicios resueltos se desarrollan en el sistema inglés, con el 
fin de que el lector se familiarice con algunas medidas que se trabajan en 
Elementos Básicos de Resistencia de Materiales 31
la industria con dicho sistema, como los diámetros de barras de acero, en 
el caso de la Ingeniería Civil.
Se espera que el libro sirva al lector como apoyo en sus inicios del 
estudio de la Resistencia de Materiales y que le brinde las herramientas 
necesarias para enfrentarse a retos de mayor complejidad en el área.
Elementos Básicos de Resistencia de Materiales 33
1 
Esfuerzo y Deformación
1.1 Esfuerzo normal y deformación unitaria normal
Las fuerzas actuantes sobre los elementos de una estructura pueden de-
terminarse a partir de conocimientos básicos de la estática. No obstante, 
estos conocimientos no son suficientes para decir si dichos elementos re-
sisten estas fuerzas o para predecir su comportamiento; para esto se hace 
necesario el conocimiento de la respuesta interna de los materiales de 
qué está hecha la estructura. Esta respuesta se presenta en función de los 
esfuerzos y las deformaciones, los cuales se estudian en la Resistencia de 
Materiales. Una estructura que es sometida a la acción de ciertas cargas, 
sufre deformaciones, al tiempo que se generan esfuerzos internos. Los 
materiales usados para la construcción de dichas estructuras deben te-
ner unas características mecánicas tales que permitan mantener tanto los 
esfuerzos como las deformaciones