Solución taller 1 de Cálculo diferencial FAbio Calderon

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Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
(1000004) Cálculo Diferencial
Solucionario Taller 1
Esta es una guía para comprobar sus soluciones. Recuerde que lo realmente relevante es el procedimiento
por el cual llegó a la respuesta.
I. 1. y = 27x −
8
7
2. y = 932x −
67
32
3. y = 32x +
7
2
4. y = −32 x −
1
10
II. 1. R
2. R
3. R − {4}
4. R −
{
1
3
}
5. R −
{
−73
}
6. R
7. (−∞, 0)
8. (−∞, −4] ∪ [2, ∞)
9. R − {0}
10. (−∞, 2) ∪ [4, ∞)
11. R
III. Si c = 1, claramente se cumple la ecuación para todo x ∈ Dom(f). Si c ̸= 1, la ecuación se cumple
con x = 0 ∈ Dom(f). Así, para todo valor real c existe al menos un x haciendo válida la ecuación.
IV. 1. Dom(sgn) = R.
2. Dom(f) = R.
3. Dom(h) = R.
4. Dom(g) = R.
1
5. Dom(m) = R. 6. Dom(n) = R.
V. C = 0,177ppm.
VI. 1. −40◦C = −40◦F .
2. 2 × 160◦C = 320◦F .
VII. A = x
(
−11xπ
8 + 15
)
VIII. V = 4x3 − 64x2 + 240x
IX. 1. Dominio: R. Rango: {0, 1}.
2. Sí.
3. x ∈ (Q ∩ [1, ∞)) ∪ ((R − Q) ∩ [0, ∞)).
X. Dominio: R. Rango: Z. La función no es creciente.
XI. x ∈ Z.
XII. 1. (−1, 0) ∪ (0, ∞)
2. (−∞, 0) ∪ (9, ∞)
3. (0, 3)
4. (−2, 2)
5. (−
√
17, −1] ∪ [4,
√
17)
6. (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
7. ∅
XIII. 1. Par
2. Impar
3. Impar
4. Par
5. Ninguna
6. Impar
7. Impar
8. Par
9. Impar
XIV. La función y = 0 (y cualquier restricción a un conjunto simétrico (i.e., si x ∈ Dom ⇒ −x ∈ Dom))
es la única función que es par e impar a la vez.
2
XV. Caso 1: si b = 0 entonces y = mx la función es impar; si además m = 0 la función es además par
(ver punto anterior). Caso 2: si m = 0 entonces y = b es par; si además b = 0 la función es además
impar. En ninguna otra posibilidad hay simetrías.
XVI. Por ser impar, f(0) = −f(0), lo que obliga a f(0) = 0.
XVII. 1.
f + g f par f impar
g par Par Ninguna
g impar Ninguna Impar
2.
fg f par f impar
g par Par Impar
g impar Impar Par
3.
f ◦ g f par f impar
g par Par Par
g impar Par Impar
XVIII. 1. Decreciente: (−∞, ∞). Creciente: N/A. Gráfica:
2. Decreciente: (−∞, 0). Creciente: (0, ∞). Gráfica:
3. Decreciente: N/A. Creciente: (−∞, 0) ∪ (0, ∞). Gráfica:
3
4. Decreciente: (0, ∞). Creciente: (−∞, 0). Gráfica:
5. Decreciente: (−∞, 0]. Creciente: [0, ∞). Gráfica:
6. Decreciente: (−∞, 0). Creciente: N/A. Gráfica:
7. Decreciente: N/A. Creciente: (−∞, ∞). Gráfica:
8. Decreciente: (0, ∞). Creciente: N/A. Gráfica:
4
9. Decreciente: (0, ∞). Creciente: N/A. Gráfica:
10. Decreciente: (−∞, 0]. Creciente: [0, ∞). Gráfica:
XIX. La función y = sen x es creciente en [3π/2 + 2kπ, 5π/2 + 2kπ], k ∈ Z y decreciente en [π/2 +
2kπ, 3π/2+2kπ], k ∈ Z. La función y = cos x es creciente en [π + 2kπ, 2π + 2kπ], k ∈ Z y decreciente
en [2kπ, π + 2kπ], k ∈ Z.
XX. 1. f + h =
√
x − 3 + |x|; [3, ∞)
2. l − g = (x + 3) − 1
x
; (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
3. l + m = (x + 3) + x2; (−∞, ∞)
4. fg =
√
x − 3
x
; [3, ∞)
5. mh = x2|x| = |x|3; (−∞, ∞)
6. hgl = |x|(x + 3)
x
; (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
7. h
f
= |x|√
x − 3
; (3, ∞)
5
8. l
h
= x + 3
|x|
; (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
9. g
f
m = x
2
x
√
x − 3
; (3, ∞)
10. f ◦ h = |
√
x − 3|; [3, ∞)
11. h ◦ g = 1
|x|
; (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
12. g ◦ h =
∣∣∣∣1x
∣∣∣∣; (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
13. f ◦ l =
√
x − 3 + 3; [3, ∞)
14. f ◦ l ◦ m = (
√
x − 3 + 3)2; [3, ∞)
15. f−1 = x2 + 3 (para x > 3); (0, ∞)
16. m−1 =
√
x (para x ≥ 0); [0, ∞)
XXI. No. Aunque ambas funciones posean la misma fórmula, no tienen el mismo dominio y por tanto no
son iguales.
XXII. 1. f(x) = x10 y g(x) = x2 + 1.
2. f(x) = sen x y g(x) =
√
x.
3. f(x) = |x| y g(x) = cos x.
4. f(x) = x1+x y g(x) = 3
√
x.
5. f(x) = 5
√
x y g(x) = x1−x .
XXIII. g(x) = 4x − 17.
XXIV. 1. z.
2. f(z).
3. f(z) en ambos casos.
XXV. 1. Falso.
2. Falso.
3. Verdadero.
4. Falso.
5. Falso.
6. Falso.
7. Falso.
8. Verdadero.
XXVI. Caso 1: a = b y c = d = 0; caso 2: b = −a y c, d ∈ R.
XXVII. 1.
2.
6
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
XXVIII. 1. V (t) = 120H(t).
7
2. V (t) = 240H(t − 5).
XXIX. m = n = 6.
XXX. 1. No inyectiva; restricción: x ∈ [0, ∞); f−1(x) = x.
2. Inyectiva; f−1(x) = −x2 − 1.
3. Inyectiva; f−1(x) = 5x − 12x + 3 .
4. Inyectiva; f−1(x) = x + 1
x − 2 .
5. Inyectiva; f−1(x) = 3
√
x + 1 + 3.
6. Inyectiva; f−1(x) =
√
−2
x − 1 .
XXXI. 1. No necesariamente.
2. No necesariamente.
3. Sí; suponga f(g(x1)) = f(g(x2)) y use la inyectividad de f y luego la de g.
XXXII. 1. Que f sea impar es equivalente a ver si ln ((−x) +
√
(−x)2 + 1) + ln (x +
√
x2 + 1) = 0 para
todo x del dominio. Aplique propiedades de logaritmos a la izquierda para verificar que, en
efecto, esa expresión es 0.
2. Verifique que la función es inyectiva planteando ln(x1 +
√
x21 + 1) = ln(x2 +
√
x22 + 1) y viendo
que la única opción es que x1 = x2. Además, f−1(x) = e
2x−1
2ex .
XXXIII. En todos los casos es hacer f ◦ g y g ◦ f y verificar que, luego de simplificar, siempre se obtiene x.
XXXIV. (n = 0) f1 = f0+1 = f0 ◦ f0 = 2−x−2x+3 , (n = 1) f2 = f1+1 = f0 ◦ f1 =
−2x+3
−3x+4 , (n = 2) f3 = f2+1 =
f0 ◦ f2 = −3x+4−4x+5 , (n = 3) f4 = f3+1 = f0 ◦ f3 =
−4x+5
−5x+6 , (n = 4) f5 = f4+1 = f0 ◦ f4 =
−5x+6
−6x+7 , (n = 5)
f6 = f5+1 = f0 ◦ f5 = −6x+7−7x+8 , (n = 6) f7 = f6+1 = f0 ◦ f6 =
−7x+8
−8x+9 , (n = 7) f8 = f7+1 = f0 ◦ f7 =
−8x+9
−9x+10 , (n = 8) f9 = f8+1 = f0 ◦ f8 =
−9x+10
−10x+11 , (n = 9) f10 = f9+1 = f0 ◦ f9 =
−10x+11
−11x+12 .
XXXV. 1. Dominio: R. Rango: [−1, 1]. Periodo: π. Simetría: impar. Gráfica:
2. Dominio: R − {x : x = πk, k ∈ Z}. Rango: R − (−1, 1). Periodo: π. Simetría: impar. Gráfica:
8
3. Dominio: [−1/2, 1/2]. Rango: [−π/2, π/2]. Periodo: no tiene. Simetría: impar. Gráfica:
4. Dominio: [−1, 1]. Rango: [1, π + 1]. Periodo: no tiene. Simetría: no tiene. Gráfica:
5. Dominio: R. Rango: (0, pi). Periodo: no tiene. Simetría: no tiene. Gráfica:
6. Dominio: R. Rango: [−2, 2]. Periodo: 1. Simetría: par. Gráfica:
7. Dominio: R. Rango: [−1, 5]. Periodo: 4. Simetría: no tiene. Gráfica:
8. Dominio: R. Rango: [0, 3]. Periodo: π/2. Simetría: par. Gráfica:
XXXVI. y = x − ⌊x⌋.
9
XXXVII. 1. Dominio: R. Inversa: y = − log2 x. Gráfica:
2. Dominio: R. Inversa: y = log2(−x). Gráfica:
3. Dominio: R. Inversa: y = log2(x + 3). Gráfica:
4. Dominio: R. Inversa: la función no es inyectiva. Gráfica:
5. Dominio: R. Inversa: la función no es inyectiva. Gráfica:
10
6. Dominio: R. Inversa: y = log2(3 − x). Gráfica:
7. Dominio: R. Inversa: y = log2(x) − 3. Gráfica:
8. Dominio: R. Inversa: y = log2(x − 4) − 1. Gráfica:
XXXVIII. 1. x = e
3 + 1
2
2. x = ln(10) + 32
3. x = 3ln(2) + 5
4. x = 3
5. x = ee
6. x = 163
7. x = 1 +
√
1 + 4e
2
8. x =
√
2 + 1
9. x ≈ 5,669
10. x = 3
11. x = 4 o x = 2
12. x = 5
XXXIX. 1.
2.
3.
4.
XL. M ≈ 8,59
11
XLI. Para f(x) = 2 − log3(x + 1) tenemos que su dominio es (−1, ∞) y su rango es (−∞, ∞). Además:
Ahora, f−1(x) = 32−x − 1 de donde su dominio es (−∞, ∞) y su rango es (−1, ∞). Además:
XLII. 1. Tenemos n−1(t) = 3(log2(t) − log2(100)). Esta función permite saber cuánto tiempo habrá
pasado cuando hay un determinado numero t de ejemplares.
2. En 3 log2(500) ≈ 26,8 horas.
XLIII. 1. Se debe pasar la expresión 2 senh x cosh x a términos de e, para luego simplificar hasta que se
pueda sustituir por senh 2x.
2. Se debe pasar la expresión cosh2 x + senh2 x a términos de e, para luego simplificar hasta que
se pueda sustituir por cosh 2x.
3. Pasar el lado derecho de la ecuación a términos de e y realizar operaciones. Tomar ln y notar
que esto es lo mismo que haber pasado el lado izquierdo a términos de e y también haber
tomado ln.
4. Pasar el lado derecho de la ecuación a términos de e y realizar operaciones. Tomar ln y notar
que esto es lo mismo que haber pasado el lado izquierdo a términos de e y también haber
tomado ln.
5. Se debe expresar la ecuación 1−sech2 x en términos de coseno hiperbólico y después se simplifica
teniendo en cuenta la primera identidad de este ejercicio.
6. Se debe expresar la ecuación 1 + csch2 x en términos de seno hiperbólico y después se simplifica
teniendo en cuenta la segunda identidad de este ejercicio.
7. Tomar seno hiperbólico al ladoderecho y verificar que es la misma expresión que al tomar seno
hiperbólico en el lado izquierdo.
8. Tomar tangente hiperbólica al lado derecho y verificar que es la misma expresión que al tomar
tangente hiperbólica en el lado izquierdo.
12