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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Cómputo Reporte de Exposición Fórmulas de Integración Directas (Algebraicas y Exponenciales) Alumnos: Castañeda González Giovanni Martinez Riquelme Paola Natalia Materia: Cálculo Profesor(a): Claudia Jisela Dorantes Fecha: 19/11/2021 Fórmulas de Integración directa Las integrales directas o inmediatas son las integrales que por su sencillez no requieren la aplicación de un método de integración para su resolución. 1. ∫(𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑤) = ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣 − ∫ 𝑑𝑤 Definición: La integral de un producto se puede separar siempre y cuando no se altere su ecuación. De esta forma se integra en partes. No tienen que ser 3 productos necesariamente para usar la formula 2. ∫ 𝑎 𝑑𝑣 = 𝑎∫ 𝑑𝑣 Definición: La integral de una constante siempre será constante * variable +C (ax+C). 3. ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 Definición: La integral de “x” número siempre será x + C. 4. ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 + 𝐶, 𝑛 ≠ 1 Definición: La integral de X elevado a “n” número será Xn+1, lo que se haga en la exponenciación de la X se pondrá también abajo dividiéndola, es una regla establecida. 5. ∫ 𝑑𝑣𝑣 = 𝑙𝑛[𝑣] + 𝑐 Definición: La integral que divide arriba sobre una variable abajo será logaritmo natural de variable más C. La formula marca ln[v]+C porque arriba en dx no tiene constante ni variable pero sí un 1 imaginario 6. ∫ 𝑎𝑢𝑑𝑣 = 𝑎 𝑣 𝑙𝑛 𝑎 + 𝑐 Definición: Se utiliza para sacar una constante que está multiplicando una función en la integral 7. ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑣 = 𝑒𝑢 + 𝑐 Definición: En esta función exponencial se utiliza el caso particular donde a=e (Euler) Demostración ∫ 𝑎 𝑑 𝑣 = 𝑎∫ 𝑑𝑣 Esta comprobación es simple. Supongamos que F(x) es una antiderivada de f(x), es decir F´(x) =f (x). Entonces por las propiedades de las derivadas tenemos que: 𝑎 𝐹´(𝑥) = 𝑎𝐹´(𝑋) = 𝑎 𝑓 (𝑥) Y entonces a F´(x) es una antiderivada de es decir .En𝑎 𝑓 (𝑥) (𝑎𝐹´(𝑥))´ = 𝑎 𝑓 (𝑥) otras palabras: ∫ 𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑣 = 𝑎 𝐹(𝑥) + 𝐶 = 𝑎∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑣 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Para: ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑣 = 𝑒𝑢 + 𝑐 Su comprobación se basa en la antiderivada de función de la suma de la función𝑒𝑥 exponencial natural y de la constante de la integración (c) 𝑑 𝑑𝑥 (𝑒 𝑥 + 𝑐) = 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐 Entonces: ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐 Por lo tanto, está comprobado que la integración de la función exponencial natural con respecto de la variable es igual a la suma de la función exponencial natural y de la constante de la integración. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Para: ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 + 𝐶, 𝑛 ≠ 1 Se evalúa que la derivada de la expresión es . De acuerdo con la𝑥𝑛+1 + 𝑐 (𝑛 + 1)𝑥𝑛 operación inversa, la antiderivada de la expresión , esta es igual a(𝑛 + 1)𝑥𝑛 .(𝑛 + 1)𝑥𝑛 + 𝑐 El factor constante n+1 puede ser separado de la operación integral al ser multiplicado por la regla de la integración, teniendo: 𝑛 + 1𝑥 ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 + 𝐶 Ahora simplificamos la ecuación matemática ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1+𝑐 𝑛+1 ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 + 𝑐 𝑛+1 En el lado derecho de la expresión de la ecuación, el primer término es una función en x pero el segundo término es una constante. Entonces puede ser denotada por una constante c que es conocida como la constante de la integración. Entonces: ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 + 𝐶 Ejemplos Para una mejor comprensión de las fórmulas inmediatas de integración, se adjuntará 4 ejemplos donde se aplicará alguna de las 7 fórmulas de integración previamente expuestas. Ejercicios de Tarea:
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