Doble Integración en Vigas Hiperestáticas Cálculo de reacciones y Diagramas DFC y DMF

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Curso: Análisis Estructural I Tema: Doble Integración
Diagrama de Cuerpo Libre [D.C.L.]
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠, 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑎𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝐷𝐹𝐶 𝑦 𝐷𝑀𝐹. 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝐸 = 25𝑥106𝐾𝑁/𝑚2
𝐵𝑦𝐴𝑦
𝐴𝑥
Física con JoseAsesorías al Wsp: +51 902 188 071
1
1
Método de la Doble Integración
Física con Jose
𝐵𝑥
𝑀𝐵
Método de Corte
Corte 1-1
𝑀1
20𝑥
𝑥/2
𝑀1 − 𝐴𝑦 𝑥 − 6 − 20𝑥
𝑥
2
= 0
𝑀1 = 𝐴𝑦 𝑥 + 6 + 10𝑥2
0 ≤ 𝑥 ≤ 6𝑚.
𝑀1 = 𝐴𝑦 𝑥 + 6 + 10𝑥²
𝐸𝐼 𝑦" = 𝑀(𝑥) 𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝜃 𝑦 = ∆
Tramo 01 0 ≤ 𝑥 ≤ 6𝑚.
𝐸𝐼 𝜃 = 𝐴𝑦
𝑥2
2
+ 6𝑥 + 10
𝑥3
3
+ 𝐶1
𝐸𝐼 𝑦 = 𝐴𝑦
𝑥3
6
+ 6
𝑥2
2
+ 10
𝑥4
12
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2
Condiciones de Frontera
𝑥 = 0 𝑦 = 0
0 = 𝐴𝑦
0 3
6
+ 6
0 2
2
+ 10
0 4
12
+ 𝐶1(0) + 𝐶2
𝐶2 = 0
𝑥 = 6 𝑦 = 0
0 = 𝐴𝑦
6 3
6
+ 6
6 2
2
+ 10
6 4
12
+ 𝐶1(6)
Condiciones de Frontera
36 𝐴𝑦 + 6 𝐶1 = −1188 … (1)
𝑥 = 6 𝜃 = 0
18 𝐴𝑦 + 𝐶1 = −756 … (2)
0 = 𝐴𝑦
6 2
2
+ 6(6) + 10
(6)3
3
+ 𝐶1
Resolviendo el sistema de ecuaciones
36 𝐴𝑦 + 6 𝐶1 = −1188
18 𝐴𝑦 + −198 − 6𝐴𝑦 = −756
𝐶1 = −198 − 6 𝐴𝑦 Reemplazando en ecu (2)
18 𝐴𝑦 + 𝐶1 = −756
𝐴𝑦 = −46.50 𝐾𝑁 𝐴𝑦 = 46.50 𝐾𝑁
𝐶1 = 81Reemplazando en ecu (1)
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Curso: Análisis Estructural I 
Ecuación de la Curva Elástica
Asesorías al Wsp: +51 902 188 071
Física con Jose
𝑀1 = −46.50 𝑥 + 6 + 10𝑥²
Tramo 01 0 ≤ 𝑥 ≤ 6𝑚.
𝐸𝐼 𝜃 = −46.50
𝑥2
2
+ 6𝑥 + 10
𝑥3
3
+ 81
𝐸𝐼 𝑦 = −46.50
𝑥3
6
+ 6
𝑥2
2
+ 10
𝑥4
12
+ 81𝑥
Calculando la Inercia de la Sección
𝐼𝑥 =
(0.60)(0.30)3
12
𝐼𝑥 = 1.35 ∗ 10
−3 𝑚4
Determinando la Pendiente en el centro de la Viga
𝐸𝐼 𝜃 = −46.50 ∗
32
2
+ 6(3) + 10
(3)3
3
+ 81
𝜃 = −
20.25 𝐾𝑁 ∗ 𝑚²
25 ∗ 106
𝐾𝑁
𝑚2
∗ 1.35 ∗ 10−3 𝑚4
𝜃 = − 6 ∗ 10−4 𝑟𝑎𝑑.
Determinando la Deflexión en el centro de la Viga
𝑦 = −
128.25 𝐾𝑁 ∗ 𝑚3
25 ∗ 106
𝐾𝑁
𝑚2
∗ 1.35 ∗ 10−3 𝑚4
𝑦 = 3.80 ∗ 10−3 𝑚.
𝐸𝐼 𝑦 = −46.50 ∗
33
6
+ 6
32
2
+ 10
34
12
+ 81(3)
𝑦 = 3.80 𝑚𝑚.
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠, 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑎𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝐷𝐹𝐶 𝑦 𝐷𝑀𝐹. 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝐸 = 25𝑥106𝐾𝑁/𝑚2
Calculando las Reacciones
𝐵𝑦46.50
𝐴𝑥 𝐵𝑥
𝑀𝐵
෍ 𝑀𝐵 = 0
Ecuaciones del Equilibrio
𝑀𝐵 + 46.50 6 − 6 − 20 6 3 = 0
𝑀𝐵 = 87 𝐾𝑁 ∗ 𝑚
෍ 𝐹𝑦 = 0
−46.50 + 20 6 + 𝐵𝑦 = 0
𝐵𝑦 = − 73.50 𝐾𝑁 𝐵𝑦 = 73.50 𝐾𝑁 ∗ 𝑚
Física con Jose Tema: Doble Integración
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Curso: Análisis Estructural I 
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠, 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴, 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑎𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝐷𝐹𝐶 𝑦 𝐷𝑀𝐹.
Asesorías al Wsp: +51 902 188 071
𝑉
+
−
𝑀
+
−
46.50
73.50
48.17
+
+
−
−
2.33 𝑚.
3.67 𝑚.
6
87
Diagrama de Cuerpo Libre [D.C.L.]
Física con Jose
𝑀1 = −46.50 𝑥 + 6 + 10𝑥²
Tramo 01 0 ≤ 𝑥 ≤ 6𝑚.
𝑑𝑀1 = 𝑉1
𝑉1 = −46.50 + 20𝑥
𝑉1 = 0 𝑥 = 2.33
Comprobación de en el Software “Sap2000”
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Tema: Doble Integración
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