Montaner, Pedro y Arnau Hilari - Teoria y practica de la logica proposicional Vicens-Vives

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TEORIA Y 
PRÁCTICA 
DE LA LÓGICA 
PROPOSICIONAL
Biblioteca Didáctica de Filosofía 
 
Vicens Vives
r
TEORIA Y 
PRÁCTICA 
DE LA LÓGICA 
PROPOSICIONAL
Volumen 4
Pedro Montaner
Profesor Agregado de Filosofía del I.B. 
“Albéniz" de Badalona (Barcelona)
Hilari Amau
Catedrático de Filosofía de I.B. 
"Albéniz" de Badalona (Barcelona)
Biblioteca Didáctica de Filosofía
□
Vicens Vives
La presente Colección ofrece dos versiones: una consta de ejercicios prác­
ticos y la otra presenta textos filosóficos pensados para el comentario. Ambas 
modalidades han contado con el temario oficial de Filosofía de BUP —incluidas 
las asignaturas de Ética de todos los cursos— , aunque sin ceñirse exclusivamen­
te a él a fin de quedar abiertos, los trabajos, a. todo tipo de iniciación a la 
Filosofía.
Con la novedosa introducción de estos cuadernos de ejercicios y textos, 
especializados en las ramas de psicología, lógica, metodología del saber científi­
co, ética, sociología y metafísica, ofrecemos al profesorado de todos los niveles 
académicos una valiosa herramienta de aprendizaje, que contribuirá, sin duda, 
a facilitar su ardua labor cotidiana, y al propio tiempo brindamos, a quienes 
pretendan introducirse en el discurso filosófico por su cuenta, una manera prác­
tica de lograrlo.
Esperamos que esta Biblioteca Didáctica de Filosofía resulte útil.
Octavio Füllat 
Pedro Fontán
4
I n t r o d u c c ió n ..................................................................................................................................... 1
I. N ociones b ásicas del cá lcu lo p r o p o s lc io n a l................................................... 9
1. S i g n o s ....................................................................................................................... 9
2. L e n g u a j e ................................................................................................................ 9
3. Lenguaje n a t u r a l ................................................................................................. 10
4. Lenguaje a r t i f i c i a l .......................................................................................... 12
5. L enguaje f o r m a l ................................................................................................. 14
6. La lógica com o lenguaje f o r m a l .................................................................... 16
7. La lógica p r o p o s i c io n a l .................................................................................. 10
8. V ocabulario y operadores de la lóg ica p roposicional . . . . 20
9. Las fórm ulas de la lógica p r o p o s ic io n a l..................................................... 21
— R eglas y ejerc ic io s d e s im b o liz a c ió n ..................................................... 24
— N orm as referen tes al u so d e p a r é n te s is ............................................. 30
— E jercicios d e sim bolización y u so d e parén tesis . . . . 32
10. La deducción en la lóg ica p r o p o s ic io n a l..................................................... 34
— E j e r c i c i o s .............................................................................................................. 38
II. La lóg ica proposlcional co m o sistem a d e reg las d e Inferencia. Cuadro
sin ó p tico d e r e g la s .............................................................................................................. 45
E stu d io d e la s reg las . . . 50
1. M odus P onens / E je r c ic io s ........................................................................... 50
2. M odus T o llen s / E j e r c ic io s ........................................................................... 52
3. S ilog ism o D isyuntivo / E j e r c ic io s ............................................................ 55
— E jercic io s d e r e su m e n ........................................................................................ 58
4. D oble negación / E je r c ic io s ........................................................................... 59
5. E lim inación del n egador / E j e r c ic io s ..................................................... 62
6. In troducción del con ju n tor / E je r c ic io s ..................................................... 64
7. E lim inación del con ju n tor / E je r c ic io s ..................................................... 68
8. C onm utativa d e la con junción / E je r c ic io s ............................................. 70
— E jercic ios d e r e su m e n ................................................................................... 74
9. In troducción del d isyu n tor / E je r c ic io s ..................................................... 75
10. E lim inación del d isyu n tor / E je r c ic io s ..................................................... 77
11. C onm utativa d e la d isyunción / E je r c ic io s ............................................. 80
— E jercic ios de r e su m e n ................................................................................... 83
12. T ransitiva del con d icion ad or / E j e r c ic io s ............................................. 84
13. In troducción del b icond icionador / E je r c ic io s ...................................... 87
14. E lim inación del b icond icionador / E je r c ic io s ...................................... 90
15. C onm utativa del b icondicionador / E je r c ic io s ...................................... 92
16. T ransitiva del b icond icionador / E jercic ios . . . . . . . 95
— E jercic io s de r e su m e n ................................................................................... 99
5
R eglas de interdefinición y de De M o r g a n ............................................................. 100
17. Definición del con juntor 1 / E je r c ic io s ............................................................. 101
18. D efinición del conjuntor 2 / E je r c ic io s ............................................................. 104
19. Definición del d isyuntor 1 / E je r c ic io s ............................................................. 107
20. D efinición del d isyuntor 2 / E je r c ic io s ............................................................. 110
21. D efinición del condicionador i / E je r c ic io s ...................................................... 113
22. Definición del cond icionador 2 / E je r c ic io s ......................................................116
— E jercic ios de r e su m e n ........................................................................................... 119
23. R egla prim era de De M organ / E je r c ic io s ......................................................120
24. R egla segunda de De M organ / E je r c ic io s ...................................................... 123
— E jercicios de r e su m e n ........................................................................................... 126
D i le m a s ........................................................................................................................................127
25. D ilem as constru ctivos / E je r c ic io s .....................................................................128
26. D ilem as d estru ctivos / E j e r c i c i o s .....................................................................131
R eglas que utilizan su p u esto s p r o v is io n a le s ............................................................. 134
27. Introducción del cond icionador o teorem a de la deducción /
E j e r c i c i o s .........................................................................................................................136
28. E lim inación del d isyu n tor o prueba por ca so s / E jercic ios . . 139
29. In troducción del negador o reducción al absurdo / E jercic ios . 143
— E jercicios de r e su m e n.............................. 146
III. La lóg ica proposicional co m o cá lcu lo in te r p r e ta d o ..............................................147
C ategorías sem án ticas de la lóg ica p r o p o s ic io n a l.............................................. 147
E valuación d e f ó r m u l a s ...................................................................................................153
— E j e r c i c i o s .........................................................................................................................162
U tilización de las tablas de verdad para la com probación d e la validez 
de los rozam ientos o a r g u m e n ta c io n e s ..................................................................... 167
— E j e r c i c i o s .........................................................................................................................170
6
Introducción
La Teoría y práctica de la Lógica Proposicional ha sido pensada y realizada 
según los criterios que a continuación se indican:
En primer lugar, se ha procurado presentar la teoría de la inferencia de­
ductiva de la lógica proposicional de una forma eminentemente didáctica. 
En función de esta exigencia, la articulación de los temas y el desarrollo de 
los contenidos han sido tratados de manera analítica y al mismo tiempo induc­
tiva. Analítica, porque las principales estructuras del razonamiento lógico se 
han introducido de modo gradual y con dificultad progresiva. Inductiva, porque 
cada regla o instrucción lógica va acompañada de ejemplos y ejercicios que 
tienen por objeto reforzar el aprendizaje y facilitar el conocimiento y el domi­
nio de la materia.
En relación con lo anterior no nos encontramos en modo alguno con 
un libro de texto en el sentido usual del término, sino que se ha concebido 
como un material de trabajo donde se combina la teoría con la práctica en la 
resolución de ejercicios de variada y gradual complejidad. Asimismo, se ha 
intentado aunar el rigor y la profundidad que el tema de la lógica exige con 
la claridad expositiva, la variedad e incluso amenidad de los ejercicios y el 
refuerzo de lo aprendido mediante la introducción de resúmenes en los que 
entran en juego diferentes reglas o bien estrategias de resolución diversas.
Se ha partido del análisis del lenguaje natural y de sus limitaciones para 
introducir la necesidad del estudio de la lógica y de las reglas del lenguaje 
formal del cálculo de enunciados. Se contempla, pues, de un modo explícito 
la simbolización, la formulación y, sobre todo, el cálculo de deducción natural 
al que se dedica las dos terceras partes del libro.
7
Por último, y en relación con los objetivos señalados anteriormente, se 
ha evitado presentar un mero formulario de las nociones básicas de la lógica, 
como suele suceder, por limitación de espacio, en la mayoría de textos o ma­
nuales de Filosofía. Por el contrario, se han multiplicado las definiciones, ejem­
plos y ejercicios con objeto de garantizar al lector/alumno el dominio del 
cálculo lógico elemental, ejercitándole en la resolución de problemas que, por 
su formulación o temática, le aproximan a las formas de razonar que, implícita 
o inconscientemente, utilizan los hombres cuando piensan correctamente o se 
expresan con propiedad.
Los Autores
8
I. N ociones básicas del cálculo 
proposicional
1. SIGNOS
Los signos pueden definirse como todo aquello que representa o evoca 
otra cosa en algún aspecto para alguien. Las señales de tráfico, las palabras, la 
danza de las abejas, el humo, las representaciones de figuras geométricas, las 
notas musicales, etc., son signos.
Para que algo pueda ser considerado signo es necesario que tenga signi­
ficado y que exista un organismo receptor — intérprete— para el cual el sig­
no sea signo.
Por la relación que mantienen con su significado, los signos se pueden
dasificar en:
a ) Vestigios: la relación de un vestigio con su significado es de tipo 
natural. Por ejemplo, el humo es un vestigio del fuego.
b ) Im ágenes: mantienen con su significado una relación de semejan­
za. Por ejemplo, algunas señales de tráfico o las pinturas del nuevo 
realismo son imágenes de aquello que representan.
c ) S ím bolos: son signos que mantienen con su significado una relación 
puramente arbitraria. Las palabras, los números o los signos de la 
lógica formal son símbolos.
2. LENGUAJE
El lenguaje es un fenómeno social basado en la capacidad que poseen 
algunas especies animales de comunicarse mediante símbolos.
Esta capacidad se encuentra especialmente desarrollada en el hombre pues, 
aunque las abejas posean también una simbólica universal muy compleja que 
les permite referirse a objetos y acontecimientos muy diversos, el lenguaje
9
humano puede, además, referirse a sí mismo: es un metalenguaje '"y el hombre 
es el único ser que puede desempeñar esta actividad.
3. LENGUAJE NATURAL
Por lenguaje natural se entiende la lengua utilizada por una comunidad 
lingüística1 2. Es un lenguaje que aprendemos —en las otras especies animales 
el lenguaje es innato— y que utilizamos para nombrar objetos, hacer preguntas, 
expresar emociones, describir sucesos, etc. El ruso, el catalán, el inglés o el 
castellano son ejemplos de lenguajes naturales.
3.1 ¿Cuáles son los elem entos que in tegran un lenguaje n a tu ra l?
Un lenguaje natural consta de un conjunto finito de símbolos — las pala­
bras o signos lingüísticos— y un número determinado de reglas — morfo- 
sintaxis— para la formación de oraciones.
Las reglas morfosintácticas permiten infinitas realizaciones expresivas. Por 
ejemplo, en castellano siempre podremos añadir a un segmento lingüístico otras 
palabras mediante la conjunción «y».
3.2 ¿Cuáles son los usos del lenguaje n a tu ra l?
Las posibilidades expresivas del lenguaje natural son prácticamente ilimi­
tadas. Construyendo oraciones podemos enunciar hechos, describir fenómenos, 
expresar estados de ánimo, dudas, súplicas, mandatos, ... y también referir­
nos al propio lenguaje mediante expresiones metalingüísticas.
1. Cuando utilizamos el lenguaje para hablar de otro lenguaje (o para hablar de sí 
mismo), el lenguaje del que se habla se denomina «lenguaje objeto»; el lenguaje que se 
usa para hablar del lenguaje objeto se conoce como «metalenguaje». Obsérvese que la dis­
tinción no es absoluta: se podría usar el castellano (metalenguaje) para hablar de la lengua 
inglesa (lenguaje objeto) o el inglés para hablar del castellano.
En la oración «La palabra "nieve'1 es bisílaba», lenguaje objeto y metalenguaje se ex­
presan en la misma lengua. Para estos casos, algunos autores prefieren la expresión «uso 
reflexivo del lenguaje».
2. Las expresiones «lenguaje cotidiano», «lenguaje histórico» o «lenguaje ordinario» 
se emplean, en ocasiones, como sinónimos de lenguaje natural.
10
3 3 ¿Q ué.es u n a oración?
Una oración es una expresión3 lingüística gramaticalmente correcta y que 
posee sentido completo. Por ejemplo, «El cuarzo es un mineral», «¿Qué hora 
es?», «Llueve» o «Cierra la puerta» son oraciones. Por el contrario «vivir 
con» o «suyo papel sintiendo» no son oraciones.
Desde el punto de vista de su significado, las oraciones se clasifican en: 
enunciativas, desiderativas, de posibilidad, dubitativas, exhortativas, interro­
gativas y exclamativas. Cada una de ellas puede, además, afirmar o negar la 
conformidad objetiva del sujeto con el predicado.
33.1 ¿Podemos decir de una oración que es verdadera o falsa?
Sólo podemos atribuir valor de verdad al contenido que expresan las ora­
ciones enunciativas. Por ejemplo, «El cuarzo es un mineral» es una oración 
enunciativa que expresa un contenido verdadero. El contenido de la oración 
«Llueve» será verdadero o falso en función del momento en que se exprese. 
Por el contrario las órdenes, los deseos, las exclamaciones o las preguntas, por 
ejemplo, no tienen valor de verdad y carece de sentido preguntarse si son 
verdaderos o falsos 4.
3.3.2 ¿Qué es un enunciado?Un enunciado es un segmento lingüístico que tiene sentido completo —se 
trata de una oración enunciativa— y que es susceptible de ser verdadero o falso 5.
3.3.3 Relación entre «expresión», «oración» y «enunciado»
— Toda oración es una expresión, pero no al revés.
— Todo enunciado es una oración, pero no al revés.
3. Se llama «expresión» a cualquier combinación de símbolos de un lenguaje. Un 
símbolo aislado también es una expresión.
4. Desde Aristóteles, se denomina «uso apofántico» a la utilización del lenguaje para 
formular oraciones que expresen contenidos verdaderos o falsos. Estos discursos reciben 
el nombre de «enunciados».
5. En sentido estricto, sólo las proposiciones —esto es, los contenidos que expresan 
los enunciados— pueden ser verdaderas o falsas. No obstante, en el presente «dossier» uti­
lizaremos indistintamente «enunciado» y «proposición» para referirnos a expresiones que 
puedan ser verdaderas o falsas, por simples razones didácticas.
11
El lenguaje natural resulta poco apropiado para las construcciones teóricas 
de la ciencia o para la expresión de razonamientos complejos, necesitados de 
una exactitud que el lenguaje ordinario no posee.
Estas insuficiencias son consecuencia de:
a) Imprecisiones semánticas. En los lenguajes naturales no se da una 
correspondencia biunívoca entre signos y objetos representados:
— hay palabras insuficientemente definidas (términos vagos), como 
«rápido», «difícil» o «agradable» que impiden la exacta com­
prensión del mensaje. Los políticos, por ejemplo, hacen un uso 
constante de expresiones vagas. ¿Qué quieren decir exactamente 
cuando anuncian que se tomarán medidas?
— hay palabras que tienen más de un significado y que se usan ambi­
guamente: en tales casos resulta imposible averiguar por el con­
texto con cuál de sus significados se está usando. Por ejemplo, en 
la oración «Pedro ha alquilado una casa» se expresan dos propo­
siciones: o la ha alquilado para él, o ha alquilado una de las 
casas de su propiedad a otra persona.
b) Deficiencias sintácticas. Las reglas morfosintácticas del lenguaje na­
tural resultan, con frecuencia, ineficaces porque:
— carecen de criterios rigurosos y suficientes para evitar las oracio­
nes sin-sentido. ¿Qué decir de un enunciado como «Los tambores 
participios paladean libertad»? ¿Es falso? ¿Carece de significado 
y, consecuentemente, no puede ser ni verdadero ni falso?
— no permiten operar con exactitud y eficacia, de manera que un 
enunciado como «Tras lanzar el salvavidas don Ramón, se hun­
día en el lago» nos hace dudar de su significado (¿quién se hundía? 
¿don Ramón o el salvavidas?). Preguntémonos ahora, ¿podría la 
ciencia, por ejemplo, trabajar con enunciados ambiguos?
3.4 ¿Cuáles son las insuficiencias del lenguaje natural?
4. LENGUAJE ARTIFICIAL
Para superar las deficiencias del lenguaje natural y dotar a las ciencias 
de una expresividad rigurosa y exacta, se construyen lenguajes artificiales, esto 
es, lenguajes bien definidos que poseen una estructura operativa y eficaz.
12
Los lenguajes artificiales permiten profundizar en la investigación mate­
mática y científica sin exponerse a caer en las imprecisiones del lenguaje or­
dinario.
En líneas generales puede decirse que todas las ciencias emplean lenguajes 
artificiales y que ésta es una de las condiciones de su progreso.
4.1 ¿Cómo su p era r las deficiencias lógicas del lenguaje na tu ra l?
a) Las deficiencias que proceden de la vaguedad de las palabras o de 
sus usos ambiguos, mediante:
— la redefinición de los conceptos ordinarios, y
— la utilización de un simbolismo artificial basado en una corres­
pondencia biunívoca —de uno a uno— entre símbolo y objeto 
representado.
La física, por ejemplo, dispone de un extenso repertorio de térmi­
nos ordinarios redefinidos unívocamente (tales como «fuerza», «masa» 
o «energía») así como de otros símbolos convencionales («t», «e», 
«v», etc.) que permiten a los investigadores operar con fórmulas.
b) Las deficiencias que resultan de la vaguedad de los enunciados (con­
fusiones, contrasentidos, etc.) mediante la estipulación de unas reglas 
con criterios técnicos suficientes para evitarlas.
c) Las incongruencias de los razonamientos (sofismas, paradojas, apo- 
rías, etc.) mediante la dotación de reglas operativas tan eficaces y ri­
gurosas que hagan imposible la demostración de contradicicones.
4.2 ¿Cuáles son los elem entos que In tegran un lenguaje artificial?
Básicamente consta de los mismos elementos que cualquier otro lenguaje, 
esto es, signos y reglas sintácticas, pero se le exige además:
a) Que los signos estén bien definidos.
b) Que el conjunto de reglas para la formación de enunciados sea efec­
tivo, es decir, permita saber en cualquier momento si nos encontra­
mos ante una expresión bien formada del lenguaje artificial que se 
trate.
c) Que el conjunto de reglas operativas permita pasar de unas expre­
siones a otras construyendo cadenas deductivas rigurosas y exactas.
13
Desde el punto de vista expresivo, los lenguajes artificiales disponen de 
un campo muy limitado. Sólo sirven para satisfacer las necesidades opresivas 
de aquellos sectores del conocimiento para los que fueron diseñados.
Pero desde el punto de vista de su aplicación a la ciencia, el uso de len­
guajes artificiales resulta, en la actualidad, imprescindible.
La lógica formal y la matemática son prototipos de lenguajes artificiales. 
Su aplicación al terreno científico ha sido la condición de su espectacular desa­
rrollo: la física, por ejemplo, inició su despegue a partir del momento en que 
Galileo (s. xvi) matematizó sus enunciados y la sometió a la exactitud y rigor 
del método matemático.
43 ¿Cuáles son los usos del lenguaje artificial?
5. LENGUAJE FORMAL
Se denomina «lenguaje formal» al lenguaje artificial que utiliza una tabla 
de símbolos formales — formas que carecen de significado fijo— y cuyas re­
glas sintácticas poseen la operatividad y eficacia del cálculo. La lógica y la 
matemática son lenguajes formales.
5.1 ¿Qué es una tab la de sím bolos form ales?
Una tabla de símbolos formales es el conjunto de signos —constantes y 
variables— que utiliza un determinado lenguaje formal.
La tabla de símbolos formales se establece por convenio y contiene tantos 
símbolos como sean necesarios para operar en el lenguaje artificial que se trate.
5.1.1 ¿Cuál es la diferencia entre «variable» y «constante»?
Las variables son signos que carecen de significado fijo —como su nom­
bre indica, su sentido es variable— y, en consecuencia, pueden «recibir» un sur­
tido ¡limitado de contenidos: podemos establecer correspondencias entre tales 
símbolos, por una parte, y objetos o procesos de la realidad, por otra.
En matemáticas, los números pueden utilizarse para contabilizar ca­
ballos, conjuntos, ángulos o conceptos, pero jamás diremos del número 3 
que se refiere exclusivamente a los caballos, los conjuntos, etc.
En lógica, el símbolo «p» puede traducir cualquier enunciado afirma­
tivo como «París es una ciudad» o «Cada día hace más calor».
14
Los símbolos variables constituyen el vocabulario primitivo del lenguaje 
formal.
Las constantes son signos con un sentido fijo que sirven para enlazar entre 
sí los símbolos del vocabulario primitivo. En los lenguajes formales, los símbo­
los constantes se llaman también operadores.
En matemáticas, los signos de sumar, restar o dividir son símbolos cons­
tantes u operadores.
En lógica, el conjuntor «A» o el condicionador «—»», son signos opera­
dores que enlazan unas variables con otras.
5.2 ¿Cuáles son las reglas que u tiliza un lenguaje fo rm al?
Todo lenguaje formal se sirve de dos tipos de reglas: las reglas de for­
mación de fórmulas y las reglas de transformación de fórmulas.
a) Se denominan «reglas de formación de fórmulas» las que establecen 
los criterios para combinar correctamente los símbolos formales.
En matemáticas, la expresión «(3 + 4) • 7» es una fórmula bien 
formada en el cálculo de los números naturales.En lógica, la expresión «(p V q )—>r» es también una fórmula bien 
formada.
b) Se denominan «reglas de transformación de fórmulas» las que per­
miten operar con fórmulas dentro del cálculo, esto es, pasar de una 
fórmula a otra.
En matemáticas, podemos transformar la expresión «(3 + 4) ♦ 7» a 
otra que le sea equivalente, por ejemplo «49» o «45 + 4» o 
«50 — 1».
En lógica también podemos pasar de unas expresiones a otras aplican­
do las reglas de transformación que más adelante se estudiarán. Por 
ejemplo; podemos transformar la fórmula «A A B» en «~r(A —*• ~ rB)» 
mediante una regla de definición.
5 3 ¿Q ué significa que las reg las del lenguaje fo rm al poseen 
la eficacia del cálculo?
Las reglas de un lenguaje formal son operativas y eficaces por tres razo­
nes fundamentales:
15
a) Porque mediante tales reglas siempre podemos saber si una fórmula 
pertenece o no a su lenguaje.
b) Porque mediante las reglas podemos obtener todas las fórmulas váli­
das dentro de un sistema formal determinado.
c) Porque de su aplicación estricta es imposible deducir, en el lengua­
je que se trate, una fórmula y su negación.
6. LA LOGICA COMO LENGUAJE FORMAL
6.1 ¿Qué es la lógica?
La lógica puede definirse como la teoría de las condiciones del razona­
miento * formalmente válido.
6.1.1 ¿Qué es un razonamiento?
Un razonamiento es un proceso mental (como lo son también la imagina­
ción o el recuerdo) que se caracteriza porque en él se produce un paso de uno 
o más enunciados (las premisas) a otro posterior (la conclusión) que se deriva 
necesariamente de aquéllos.
En el lenguaje natural, la conclusión de los razonamientos viene introdu­
cida por expresiones como «por tanto», «luego», «en consecuencia», «se de­
duce que», etc.
Por ejemplo:
Le dije que si me prestaba un libro, me distraerla durante el 
viaje, y él me lo prestó. Puedes deducir que he tenido un viaje muy 
distraído.
Aunque todo razonamiento es una forma de pensamiento, todo pensa­
miento no es razonamiento.
La lógica se ocupa de la estructura del razonamiento en vistas a que dicho' 
razonamiento sea formalmente válido, de ahí que prescinda de los contenidos y 
que se diferencie claramente de otras disciplinas que, como la psicología, se 
interesan también por el razonamiento pero desde otra óptica. 6
6. «Inferencia» y «argumento» suelen utilizarse como sinónimos de «razonamiento».
16
El razonamiento del ejemplo anterior y este otro, aun teniendo diverso 
contenido, poseen la misma estructura:
Si las ballenas son una especie en extinción, las leyes deberían 
prohibir su busca y captura. Todo el mundo sabe que las ballenas 
se están extinguiendo. Por tanto, las leyes deberían prohibir que se 
las cace.
En ambos razonamientos, la primera premisa es un enunciado condicional 
(Si X, entonces Y). La segunda premisa no es más que la afirmación del ante­
cedente del condicional (sea «X» prestar un libro o las ballenas son una especie 
en extinción). La conclusión inferida es el consecuente del condicional, o 
sea «Y».
Es fácil imaginar que la estructura
Si X entonces Y 
X,
luego Y.
es aplicable a una infinidad de razonamientos sean cuales quieran sus con­
tenidos.
6.1.2 ¿Cuáles son las condiciones que debe respetar un razonamiento 
para ser fo rm alm ente válido?
Un razonamiento es formalmente válido, esto es, posee una estructura 
correcta, cuando existe una conexión adecuada entre las premisas y la conclusión.
La validez formal de un razonamiento es relativa al sistema en que este­
mos operando, como la corrección de una operación matemática depende del 
sistema en que calculemos.
24 + 1 = 1 (en el sistema aritmético que utilizamos para contar 
las horas del día).
En líneas generales, un razonamiento es formalmente válido si:
— la conclusión se deriva de las premisas y /o de los axiomas7 del sis-
7. En los lenguajes formales (como la lógica o la matemática) se denomina «axioma» 
toda proposición que se toma como principio sea o no evidente. Los axiomas se establecen 
sin demostración y una vez establecidos, su verdad es incuestionable en el sistema al que 
pertenecen. La serie de números naturales y toda la aritmética elemental, por ejemplo, 
se fundamenta en los cinco axiomas establecidos por Peano en 1889: 1.*, cero es un número; 
2.*, el siguiente de un número es una número; 3®, no existen dos números con el mismo
17
tema, por aplicación de las reglas de razonamiento establecidas en 
dicho sistema. (Validez sintáctica);
— la conclusión es verdadera para todos los casos de interpretación de 
las premisas si las premisas son verdaderas (Validez semántica). En un 
razonamiento válido, la conclusión se deriva rigurosamente de las pre­
misas, de manera que es imposible que alguien mantenga las premisas 
y niegue la conclusión sin contradecirse.
6 2 ¿Por qué la lógica es un lenguaje form al?
Porque dispone de una tabla de símbolos formales —constantes y varia­
bles— , de unas reglas de formación de fórmulas que legitiman la combinación 
de símbolos y de unas reglas de transformación de fórmulas que permiten ope­
rar con ellas con la eficacia de un cálculo.
Dado que estas características también las posee la geometría, la arit­
mética, las formalizaciones de la física, etc., conviene recordar de nuevo el 
objeto de la lógica, con el fin de distinguirla de otros lenguajes formales: la 
lógica se ocupa de la validez de los argumentos independientemente de su con­
tenido. En consecuencia, serán sistemas lógicos aquellos que son aplicables 
al razonamiento con independencia de su contenido.
7. LA LOGICA PROPOSICIONAL
La lógica proposidonal o de enunciados es el apartado más elemental y 
básico de la lógica. Es el más elemental porque es el más sencillo; es el apar­
tado básico porque sirve de fundamento al resto del edificio de la lógica 
«clásica» *. 8
siguiente; 4.*, cero no es el siguiente de ningún número y 5.*, toda propiedad válida para 
cero y para el siguiente de un número que goce de aquella propiedad pertenece a todos 
los números.
A partir de los axiomas de un sistema y de las reglas de deducción del mismo, se 
demuestran otras proposiciones a las que se denomina teoremas.
8. Por lógica «clásica» entendemos el cálculo bivalente de proposiciones y el cálculo 
de predicados. Junto a la lógica clásica se admiten también como sistemas de lógica aque­
llos otros sistemas formales que se ocupan de la validez de razonamientos en cuanto 
tales, pero que añaden nuevo vocabulario lógico («necesariamente» y «posiblemente» en 
las lógicas modales, «solía ser el caso que» y «será el caso que» en las lógicas tempo­
rales, etc.) junto con nuevos axiomas o reglas para el nuevo vocabulario,-o que aplican 
operaciones lógicas a expresiones no enunciativas (lógica imperativa o interrogativa, por 
ejemplo).
18
La lógica proposicional trata de la validez formal de los razonamientos 
donde las premisas y la conclusión son proposiciones —enunciados— tomados 
en bloque, esto es, sin analizar.
7.1.1 ¿Qué son enunciados tomados en bloque?
Un enunciado es tomado en bloque cuando se prescinde de los elementos 
que lo integran y pasa a ser considerado como un todo —una unidad lin­
güística— .
El enunciado «Todos los hombres son mortales», desde el punto de vista 
de la lógica de predicados, sufriría la siguiente interpretación simbólica:
Vx (Px —» Qx)
(Para todos los casos de x, si x tiene la propiedad de ser un hombre (Px), 
entonces x tiene la propiedad de ser mortal (Qx).)
Obsérvese que la simbolización atiende a la estructura interna del enun­
ciado.
En cambio, si tomamos el enunciado en bloque prescindimos de anali­
zar su estructura interna y lo simbolizamos con una consonante como «p», 
«q», etc.
«Todos los hombres son mortales» = p
«Nadie conoce el verdadero significado de la vida» = q
«Camine la sana razón por la senda iniciada por los sentidos» = r
Frente a la ventaja de su sencillez, la lógica proposicional se limita a 
analizar y estudiar sistemáticamente aquellos razonamientos cuya validezno 
depende de la estructura interna de sus enunciados.
7.1.2 ¿Cómo se combinan los enunciados en bloque para construir ar­
gumentos?
La lógica proposicional establece las combinaciones válidas de enunciados 
simples —atómicos *— y compuestos — moleculares w— en argumentos cuya 
validez queda determinada por las reglas de deducción. 9 10
7.1 ¿De qué se ocupa la lógica proposicional?
9. Un enunciado atómico es el que no está formado por otros enunciados y por ello 
no contiene términos de enlace o conectivas. Por ejemplo, «El hierro es un metal».
10. Un enunciado molecular es un enunciado compuesto por varios enunciados sim-
19
Ya sabemos que formalizar un lenguaje es convertirlo en un cálculo, esto 
es, en un procedimiento deductivo que consta de símbolos, fórmulas (combi­
naciones de símbolos) y reglas operativas.
La lógica de proposiciones será un cálculo formal de las relaciones de 
inferenda entre enunciados sin analizar, cuando:
a) Se provea de un lenguaje artificial (vocabulario primitivo y ope­
radores).
b) Defina el uso o aplicación de los operadores con objeto de establecer 
la noción de fórmula (enunciado bien hecho).
c) Estipule las relaciones de deducción entre enunciados mediante re­
glas de inferencia (razonamientos válidos).
Veamos cómo la lógica proposicional satisface dichas exigencias.
7.2 ¿Cómo construir la lógica proposicional como cálculo formal?
8. VOCABULARIO Y OPERADORES DE LA LOGICA 
PROPOSICIONAL
La tabla de símbolos utilizada por la lógica proposicional consta de:
a) Variables o letras enunciativas: se corresponden con las letras del 
alfabeto, en minúscula, a partir de la «m»: «m», «n», «o», «p», 
«q», «r», etc., con un subíndice si es preciso como, por ejemplo, «pi», 
«p¡», «p¡» . . . «Pn*>.
Se denominan letras enunciativas porque sirven para simbolizar enun­
ciados. Así, «Llueve» podría simbolizarse «p».
Se denominan variables porque su contenido varía; por definición 
pueden representar cualquier enunciado.
b) Constantes u operadores: son signos que denotan relaciones u opera­
ciones lógicas y sirven para establecer conexiones —de ahí que se 
denominen también conectores o conectivas— entre enunciados.
Se denominan constantes lógicas porque su sentido es fijo —no va­
ría— al denotar relaciones lógicas.
pies o atómicos (o varios moleculares) enlazados por conectivas. Por ejemplo, «El hierro es 
un metal y la pirita un mineral».
20
Las conectivas más comunes de la lógica proposicional son de dos 
tipos: monódicas —porque se aplican a un solo enunciado— y diádi- 
cas —porque se aplican a dos enunciados— .
De entre las conectivas monódicas, la más usual es el negador (—7) 
que equivale a la negación del lenguaje natural.
De entre las conectivas diádicas, las más usuales son: el conjuntor (A) 
que se corresponde con la conjunción «y» del lenguaje natural; el 
disyuntor (V) que se corresponde con el uso inclusivo de la conjun­
ción «o» del lenguaje natural; el condicionador (—>) que equivale a 
la expresión «si... entonces» y el bicondicionador (<— ») que corres­
ponde a la expresión «si y sólo si» del lenguaje natural.
c) Signos auxiliares: paréntesis, corchetes y comas, usados para la for- 
malización de enunciados complejos y argumentos con varias premisas.
En el próximo apartado definiremos cada una de las conectivas y presen­
taremos ejemplos de formalización.
9. LAS FORMULAS DE LA LOGICA PROPOSICIONAL
9.1 ¿Qué es una fórm ula?
En el cálculo lógico, una fórmula es toda expresión bien hecha, esto es, 
formada según reglas previamente establecidas.
Ejemplos de fórmulas del lenguaje de la lógica proposicional: «p», «r», 
«~7r A p», «(p A q )—► (r V s)».
9.2 ¿Qué es lo que estipu lan las reglas de form ación de fó rm ulas?
Determinan, en primer lugar, qué símbolos sirven para representar los 
enunciados simples o fórmulas atómicas. Además, y en relación a los enunciados 
compuestos o fórmulas moleculares, determinan, mediante definiciones de uso 
o sintácticas, la forma de Ibperar de las conectivas.
Por ejemplo, establecen que si «A» y «B» son fórmulas11 y «<— »» un
11. Conviene distinguir entre «fórmula» y «nombre o esquema de fórmula». La 
distinción se fundamenta en los niveles de lenguaje ya tratados (ver nota 1). Las fórmu­
las pertenecen al lenguaje objeto; los nombres o esquemas de fórmula, al metalenguaje.
21
operador, podemos relacionarlas en la expresión «A <— > B», que es, a su vez, 
una fórmula bien formada del cálculo.
9 3 Definición s in tác tica de las conectivas
a) Definición del negador (—7)
Es el símbolo conector que aplicado a una fórmula «A» da como re­
sultado la expresión «t A».
Se lee: «no», «no es cierto que», «no es el caso que», etc. Equivale 
al sentido dado en el lenguaje natural a la conjunción negativa «no».
b) Definición del conjuntor (A)
Es el conector que aplicado a dos fórmulas «A» y «B» da como re­
sultado la expresión «A A B».
Se lee: «y».
Equivale al sentido dado en el lenguaje natural a la conjunción copu­
lativa «y».
c) Definición del disyuntor (V)
Es el conector que aplicado a dos fórmulas «A» y «B» da como re­
sultado la expresión «A V B».
Se lee: «o».
El disyuntor equivale en el lenguaje natural al sentido inclusivo de 
la conjunción «o» 12.
Para referirnos a los enunciados o a las fórmulas utilizaremos letras mayúsculas. Por ejemplo, 
la expresión
(pAq)-*(r Vs)
puede considerarse una fórmula del lenguaje objeto a la que, desde el nivel metalingüístico 
llamaremos «A», para referirnos a ella.
12. En el lenguaje natural, la conjunción disyuntiva «o» tiene dos usos: exclusivo 
e inclusivo. En la expresión «Está vivo o muerto» se excluye necesariamente uno de los 
dos extremos. En cambio, en la expresión «Le aceptaré la solicitud si sabe inglés o alemán» 
queda claro que si sabe uno de los dos idiomas o ambos, se le aceptará la solicitud. Este 
último es el uso inclusivo de la partícula «o». En lógica, y mientras no se especifique 
lo contrario, el disyuntor (V) se interpreta como una disyunción inclusiva. Así pues, 
la expresión «A V B » se leerá «o A o B o ambos a la vez».
La expresión formalizada de la disyunción exclusiva podría ser la siguiente:
(A V B )A —t( A A B)
22
d) Definición del eondicionador (—*)
Es el conector que aplicado a dos fórmulas «A» y «B» da como re­
sultado la expresión «A —* B».
Se lee: «si... entonces».
Se emplea para expresar condiciones suficientes.
La expresión que antecede al eondicionador se denomina antecedente, 
y la que le sucede, consecuente o consiguiente.
e) Definición del bicondkionador (•«— >)
Es el símbolo conector que aplicado a dos fórmulas «A» y «B» da 
como resultado la expresión «A <— > B».
Se lee: «si y sólo si», «cuando y solamente cuando», «equivale», etc.
Suele emplearse para establecer equivalencias y definiciones y para 
expresar condiciones necesarias y suficientes.
94 ¿Cómo podem os sab er si u n a expresión está b ien o m al fo rm ada?
Para comprobar si una expresión es una fórmula bien formada del cálculo 
basta que cumpla las condiciones estipuladas por las reglas de formación.
Las reglas de formación de fórmulas para el cálculo proposicional son las 
siguientes:
I . Una letra enunciativa (con o sin subíndice) es una fórmula bien 
formada.
Ej. «p», «r», «qj», «sn».
II. Si «A» es una fórmula, «—?A» también lo es.
Ej. «—7p», «T ri» .
III. Si «A» y «B» son fórmulas, «A A B», «A V B», «A —> B» y 
«A <— »B» también lo son.
Ej. «p A q», «~'P A “ *!»> - > ( r A s)», «p V q»,
«(“ r p - ^ p H — »(p V q)».
IV. Ninguna expresión es una fórmula del cálculo proposicional sino en 
virtud de I-III.
23
REGLAS Y EJERCICIOS DE SIMBOLIZACION
Simbolizar un lenguaje, en nuestro caso, aquella parte del lenguaje natural 
que utilizamos para formar razonamientos con enunciados sin analizar, es una 
operación consistente en sustituir —traducir— los signos de ese lenguaje por 
símbolos —esto es, por los símbolos del cálculo proposicional— de tal modo 
que a cada objeto perteneciente al universo deldiscurso de las relaciones de 
inferencia entre enunciados, corresponda uno y sólo un símbolo lógico, y a cada 
símbolo lógico uno y sólo un objeto del discurso (este tipo de corresponden­
cia se denomina biunívoca y su uso viene a garantizar la univocidad de la 
interpretación).
En la formación de argumentos, el lenguaje natural se sirve de enunciados, 
conjunciones y adverbios.
Ejemplos:
Todo lo que está en el centro de algo es inmóvil, y la Tierra está 
en el centro del Universo, luego la Tierra es inmóvil.
(En este razonamiento nos hemos servido de tres enunciados y 
de dos partículas: «y», «luego».)
A continuación introduciremos en forma de reglas las distintas corres­
pondencias que se establecen entre ambos lenguajes —lenguaje natural y cálcu­
lo proposicional— para construir las fórmulas que entrarán luego a formar 
parte de los razonamientos.
Regla de simbolización I
Cada uno de los enunciados simples del lenguaje natural se 
sustituirá por variables preposicionales simbolizadas medíante 
las letras minúsculas: «m», «n», «o», «p», «q». «r», etc., con sub­
índices, si fuera preciso.
Ejemplos:
Ludovico es un buen estudiante = «p»
Ser número primo = «q»
Quizá lo mejor sea ver todo esto con un ejemplo = «m» 
Llueve = «n»
i
24
Debajo de la bóveda se ve un retablo con un lienzo ennegre­
cido = «r>
Que es lo que se quería demostrar = «w» 
x + y = 4 — 3 = «z»
(Todas las expresiones anteriores son enunciados simples 
porque no contienen conectivas o partículas de enlace.)
Ejercicios de aplicación I
Indicar con una A cualquier enunciado atómico y con una M cada enun­
ciado molecular. En el caso de que se trate de enunciado atómico, simbolizarlo 
mediante una variable proposicional.
1. Margarita lloraba con el rostro oculto entre las manos.
2. Allí, entre las sombras, he visto brillar un rayo de luz.
3. Si estamos en mayo, pronto llegará el verano.
4. La brisa del crepúsculo comenzaba a acariciar mi frente.
5. H oy no se fia, mañana tampoco.
6. La felicidad es la suma de los bienes.
7. Si a usted le gusta la lógica, ordene sus ideas.
8. O te vas o me marcho.
9. Haz lo que quieras y verás lo mal que te sale.
10. Cuando lloro no m e salen las lágrimas.
11. N o puedo dormir pensando en los exámenes.
12. N o es cierto que no te escuche.
13. La vida cenobítica es esencial para cambiar el mundo.
14. Todavía no tienes edad para ser impertinente.
15. D e haber tenido un tío en América me hubiera dedicado a cazar mariposas.
25
Regla de simbolización II
Las expresiones del lenguaje natural tales como «no», «no es 
cierto», «no es el caso que», «es falso», «no es posible», «es Im­
posible», etc., se sustituirán por el símbolo «“ *».
Ejemplos:
* No la volví a ver más = «-rp»
No es cierto que Platón recibiera el premio Nobel = «~/q»
No es verdad que no te conozca = *-r—rr*
Ejercicios de aplicación I I ____________________
Simbolizar las siguientes expresiones:
1. N o es cierto que la lógica sea difícil.
2. N o ocurre que 2 + 2 = 5.
3. Pedro no es médico.
4. Todo lo que til dices es falso.
5. N o es verdad que todo lo que tu digas sea falso.
6. La cuadratura del círculo es imposible.
7. N o es el caso que lo infinito esté limitado por algo.
8. Es imposible que no sea cierto lo que dices.
9. El sol no es una estrella.
10. N o es verdad que el sol no sea una esrella.
Regla de simbolización III
Las expresiones del lenguaje natural tales como «y», «ni», 
«pero», «que», «e», «mas», etc., se sustituirán por el símbo­
lo «A».
26
Pasaba arrolladora en su hermosura y el paso le deje = 
= «p A q*
Simónides juraba pero evitaba blasfemar = «p A ~~r<i w 
No es cierto que me escuches y no hables = *~AP A “̂ q)»
Ejemplos:
Ejercicios de aplicación III _
1. Estos problemas no son muy difíciles para mí, aunque he tardado en resol­
verlos.
2. Los tejados son de pizarra y las puertas de madera.
3. Ella tiene la luz, tiene el perfume, d ador y h linea.
4. Me van bien los estudios pero no apruebo.
3. Cantaban, bailaban, jugaban y telan.
6. No es cierto que cantaran y bailaran.
7. No creo en lo que dices y, sin embargo, sigo confiando en ti.
8. Ni puedo prohibirlo ni puedo tolerarlo.
9. La riqueza ayuda a ser feliz, pero la cultura todavía mis.
10. Llegó, vio y venció.
Regla de simbolización IV
Las expresiones del lenguaje natural tales como «o», «o...o...», 
«bien...bien...», «ya...ya...», etc., se sustituirán por el símbo­
lo «V».
Ejemplos:
O cierras la puerta o pillaré un resfriado = «p V q»
O te callas o no te escucho = «p V ->q»
O no viene tu nombre en la guía telefónica o he olvidado el 
alfabeto = « -rr V s»
27
Ejercicios de aplicación tv
1. Demostrar esta proposición sea por el método directo sea por el indirecto.
2. Ya sea por el estudio, ya sea por la suerte, aprobará las oposiciones.
3. M e entero de la situación política leyendo «El País» o «La Vanguardia».
4. Una de dos: o se acepta que hay ideas innatas o el idealismo es imposible.
5 . O me eligen presidente o abandono la política.
6. O estudias y trabajas o serás un desgraciado.
7. N o es posible que o no queden macarrones en la despensa o que el super­
mercado no esté abierto los domingos.
8. El consomé se servirá frío o templado.
9. O se queda o se marcha: no es posible que se quede y se marche.
10. Y el muy maleducado, ya se rascaba una oreja, ya se rascaba el sobaco.
Regla de simbolización V
Las expresiones del lenguaje natural tales como: «si...enton­
ces», «...luego...», «...por tanto...», «...en consecuencia...», 
«cuando», «con tal que», «...se infiere...», «...se deduce...», «...se 
deriva...», «...se demuestra...», etc., se sustituirán por el símbo­
lo «-»».
Ejemplos:
Si Juan pierde el autobús, llegará tarde = «p—*q»
Como me inviten, iré = « r-» s»
Si hoy no es lunes, mañana no será martes = «—rt-*~ rw »
Ejercicios de aplicación V -
1. Para poder vivir, basta con tener un trabajo fijo.
2. Se convertirá en un demócrata con tal de que pueda ocupar un caigo.
3. Hace frío, luego no es verano.
28
4. El hombre es un animal político, por tanto no es un salvaje.
5. Si hoy es lunes, mañana no será jueves.
6. Cuando hay abundancia, desaparece la miseria.
7. Si no crees en Dios pero blasfemas, te estás contradiciendo.
8. Tú dedícate a la electrónica y verás como ganas dinero.
9. Siempre que empiezo a jugar no sé cuándo acabaré.
10. Si eres licenciado, no es posible que no sepas leer ni escribir.
Regla de simbolización VI
Las expresiones del lenguaje natural tales como: «...si y 
sólo si...», «...equivale a ...», «...es igual a...», «...vale por...», 
«...es lo mismo que...», etc., se sustituirán por el símbolo «<— ►».
Ejemplos:
Un pueblo es democrático si y sólo si hay elecciones li­
bres = «p 4— ► q»
Sólo en el supuesto de que tú no la hayas matado, quedarás 
libre = «-?r<— ► s»
Podrás entrar en la comunidad sólo si eres vegetariano y 
no practicas el amor libre = «p«— ►(m A —?n)»
Ejercicios de aplicación V I_______________________________________
1. Un mineral es metal si y sólo si es un buen conductor de la electricidad.
2. La suma de los ángulos de un triángulo equivale a 180°.
3. Dejaré el tabaco si y sólo si tú dejas el alcohol.
4. Tener malos pensamientos equivale a practicarlos.
5 . Como decía Alfredo, sólo los que conocen O viedo pueden disfrutar a fondo 
leyendo La Regenta.
6. Unicamente los esquimales atolondrados cazan las focas a pedradas.
7. La voz de la conciencia es lo mismo que la voz de la ignorancia.
29
8. Sólo aplicando la racionalidad puede la vida tener sentido.
*9. No es cierto que sólo aplicando la racionalidad pueda tener sentido la vida.
10. Si no es verdad lo que dices, entonces únicamente en el caso de que te re­
tractes, te volveré a dirigir la palabra.
NORMAS REFEREN TES AL USO DE LOS PARENTESIS
Los conectores, según su colocación en las expresiones, pueden ser pre­
fijos o infijos. Un conector es prefijo si va antepuesto o precede a un enun­
ciado como, por ejemplo,el negador. Un conector es infijo cuando está colo­
cado entre dos enunciados: el conjuntor, el disyuntor, el condicionador y el 
bicondicionador son conectores infijos.
Ejemplos:
(a) ~>P
(b) p A q
(0 P V q
(d) p - » q
(e) p <— >q
(f) ~/(p A q)
(8) (p —* q) V (r -» s )
(H) (p<— »q)«-- M q «
(i) -Kp A q ) - > (“ *q V
(j) (m V n) A (n Vm )
P)
rP)
N orm as sobre el uso de los parén tesis
Ni No se utilizará el paréntesis en aquellos casos en que los conectores 
— prefijos o infijos— afecten a enunciados simples o atómicos.
Ejemplo:
Las expresiones (a), (b), (c), (d) y (e) del apartado anterior cum­
plen con esta regla.
N2 Se utilizará el paréntesis cuando el conector prefijo afecte a toda una 
conjunción, disyunción, condicional o bicondicional.
30
Ejemplos:
- t(r A s)
~r(m V n)
^(p^q)
~r{u <— > w )
N] Se utilizará el paréntesis en las expresiones conjuntivas y disyuntivas 
precedidas o seguidas de un condicionador o bicondicionador.
Ejemplos:
en lugar de p A q —» r 
m V n —> s 
r - » p A q 
s —> m V n
se escribirá (p A q) -> r 
(m V n )—»• s 
r —> (p A q) 
s - * ( m V n)
en lugar de r A s <— > t 
u V w <— > z 
t4 — > r A s 
z* — >u V w
se escribirá (r A s) <— *■ t 
(u V w )<— >z 
t <— >(r A s) 
z <— >(u V w)
N« Se utilizará el paréntesis en las expresiones que nos interese precisar 
la dominancia del conector, o bien porque los conectores posean la 
misma dominancia —como en el caso del conjuntos y del disyuntor 
que son ¡dempotentes— o bien porque el sentido de la expresión 
exige la alteración de la dominancia de las conectivas fuertes —el 
condicionador y el bicondicionador son las conectivas de mayor ex­
tensión o dominancia.
Ejemplos:
(a) Ante la imprecisión de m V n A p
con el uso de paréntesis podemos obtener 
o una disyunción dominante m V (n A p) 
o una conjunción dominante ( m V n ) A p
31
(b) Si en lugar de escribir (r A s) —> t
o (u V w) <— >z
escribimos r A ( s - » t )
u V (w<— >z)
se altera no sólo la dominancia sino también el sentido de 
las expresiones.
E jercicios de sim bolización y uso de paréntesis
A) Sustituir la variables metalingüísticas por fórmulas y colocar parén­
tesis en las siguientes expresiones:
1. Es falso X e Y.
2. X e Y son falsos.
3. Ni X, ni Y son verdaderos.
4. No es posible ni X, ni Z.
5. No es cierto X y no Z.
6. Si no X y no Z, entonces Y.
7. A, B, C y X o Z.
8. A, B, C y X, o Z.
9. O X o Y pero no ambas.
10. O X o no es el caso que no A y no B.
11. O es cierto A y B, o no es posible A y no B.
12. Una de dos: A o no A.
13. O A, o de lo contrario, B.
14. O es cierto A y B, o X e Y son verdaderos.
15. No es cierto que si X entonces no Y.
16. Si A y no B, entonces X o Y.
17. Si A o B, y B o C, entonces A y B.
18. B si y sólo si B y no C.
19. De A y B se deduce C.
20. C se sigue de A y no B...
32
21. Si de A se infiere B, y de B se infiere C, de A se seguirá también C.
22. Para que se dé B, ha de darse A.
23. Se dará B únicamente si se da A y no C.
24. Si es cierto que A y B se dan conjuntamente, también lo será que se den
alternativamente.
25. Se dará B si se da A y C pero no D.
B) Simbolizar los siguientes enunciados:
1. Un número es racional si y sólo si puede escribirse como un número decimal 
periódico infinito.
2. Todo número decimal periódico infinito, se puede escribir como una fracción.
3. Todo número racional se puede escribir como un decimal finito, o como un
decimal periódico infinito.
4. Un número racional se dice positivo si y sólo si el producto del numerador 
por el denominador es mayor que O.
3. El orden de los sumandos no altera la suma.
6. El orden de los factores no altera el producto.
7. Si a y b son dos elementos distintos, no puede suceder a la vez que a se rela­
cione con b y que b se relacione con a.
8. Si un elemento a se relaciona con otro b y éste con c, también el primero 
deberá relacionarse con el tercero.
9. Una relación definida en un conjunto será una relación de orden cuando tenga 
las propiedades antisimétrica y transitiva.
10. Todo número mayor que 1, o es primo, o puede expresarse como producto 
de factores primos.
11. Todo lo que es, es.
12. Es imposible que una misma cosa sea y no sea.
13. Tenemos observado que cualesquiera objetos que son diferentes, son distin­
guibles, y que cuantos objetos son distinguibles, son separables por el pen­
samiento y la imaginación. Y podemos añadir que estas proposiciones son igual­
mente verdaderas a la inversa y que cualesquiera objetos que son separables, 
son también distinguibles, y que cuantos objetos son distinguibles, son tam­
bién diferentes. (Hume, Tratado de la naturaleza humana, lib. I, primera parte, 
sección séptima.)
14. Es un principio general en filosofía que toda cosa de la naturaleza es indi-
33
vidual, y que e$ completamente absurdo suponer un triángulo realmente exis­
tente que no tenga una exacta proporción de lados y ángulos. (Ibidem.)
15. Preguntar si una ciencia es posible supone que se ha dudado de su realidad. 
(Kant, Prolegómenos, prefacio.)
16. El entendimiento no puede intuir nada y los sentidos no pueden pensar nada. 
Kant, C.R.P., introducción.)
17. Si una sustancia pudiese ser producida por otra, su conocimiento debería de­
pender del conocimiento de su causa. (Spinoza, Ética.)
18. Todo es perfecto al salir de manos del hacedor; todo degenera entre las manos 
del hombre. (Rousseau, El Emilio.)
19. Los grados de velocidad adquiridos por el mismo móvil sobre planos de diversa 
inclinación son iguales si son iguales las alturas de los diversos planos. (Ga* 
lileo, Discursos.)
20. Se dice que un cuerpo está uniformemente acelerado cuando partiendo del re­
poso adquiere, durante intervalos iguales, incrementos iguales de velocidad. 
(Galileo, Discursos.)
21. Si se enuncia el ser como el predicado de lo Absoluto, se obtiene la primera de­
finición de éste; lo Absoluto es el ser. (Hegel, El Ser y la Nada, Ene., 86.)
22. En el ser para sí está introducida la determinación de la idealidad. (Hegel, 
El infinito verdadero y el falso, Enciclopedia, 95.)
23. Toda la objeción se reduce a esta verdad innecesaria: no hay trabajo asalariado 
donde no hay capital. (Marx, Manifiesto Comunista.)
24. Suponiendo que alguien pudiera abarcar con el ojo irónico e independiente de 
un dios epicúreo la comedia prodigiosamente dolorosa y tan grosera como sutil 
del cristianismo europeo, yo creo que no acabaría nunca de asombrarse y de 
reírse. (Nietzsche, Más aüá del bien y del mal.)
25. Quien me comprende acaba por reconocer que mis proposiciones carecen de 
sentido, siempre que el que comprenda haya salido a través de ellas fuera 
de ellas. (Wittgenstein, Trocí alus Logico-Pbilosopbicus.)
10. LA DEDUCCIÓN EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL
10.1 ¿Qué significa deducir?
La deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enuncia­
do —conclusión— a partir de otro(s) — premisa(s)— mediante la aplicación de 
reglas de inferencia.
34
(Decimos que alguien infiere —o deduce— «t» de «r» si acepta que si 
se da «r», entonces se da «t», o si se acepta «t» siendo «r» el punto de par* 
tida.)
Los humanos, en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razo* 
namiento deductivo: partimos de enunciados empíricos —supuestamente ver­
daderos— para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos. Ya hemos 
dicho que la lógica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar las 
reglas que permiten la transformación de unos enunciados —premisas— en 
otros —conclusión— con objeto de convertir las operaciones deductivas en 
un cálculo riguroso y eficaz.
En secciones anteriores hemos tratado de la simbolización de enunciados 
y de la construcción de fórmulas. Ahora vamos a introducir las reglas de infe­
rencia que nos permiten operar con las fórmulas, organizando cadenas deduc­
tivas formalmente válidas.
10.2 ¿Qué es una cadmía deductiva?
Es una secuencia finita de enunciados de los cuales uno, la conclusión, se 
sigue necesariamente de los anteriores. Cada enunciado queforma parte de 
una determinada cadena deductiva, constituye una línea de derivación.
Observaciones técnicas:
— Las distintas líneas de derivación se colocarán una debajo de otra, 
numeradas correlativamente a partir del uno.
— Las líneas correspondientes a las premisas iniciales irán provistas de 
un guión que precederá al número que tengan asignado.
— Si la línea corresponde a una fórmula inferida, se indicará a su de­
recha la regla aplicada y las premisas utilizadas en la operación.
Ejemplo:
— 1 p -> q
- 2 p
3 q M.P. (1, 2)
Las líneas 1 y 2 van precedidas de un guión, lo cual indica que se 
se trata de premisas iniciales.
La línea 3, que es la conclusión inferida, se ha obtenido aplicando la 
regla Modus Ponens sobre las fórmulas de las líneas 1 y 2.
35
10.3 ¿De qué manera puede obtenerse la conclusión?
a) La conclusión puede obtenerse directamente aplicando reglas de in­
ferencia sobre las premisas iniciales.
Ejemplos:
I) — 1 p - M r V n )
— 2 m —» p
—3 m
4 p
5 r V n
II) — 1 ( r A s ) V p 
—2 q - » - *p
- 3 q
4 ~rp M.P. (2, 3)
J r A s S.D. (1, 4)
(Tanto la regla Modus Ponens (M.P.) como la regla del Silogismo 
Disyuntivo (S.D.) serán tratadas con detalle más adelante.)
b) Cuando en el desarrollo de la derivación es necesario utilizar premi­
sas adicionales (supuestos no contemplados en las premisas dadas), 
decimos que la derivación es subordinada, esto es, la obtención de 
la conclusión se subordina a la utilización de tales supuestos.
Observaciones técnicas:
— Las líneas de derivación que introducen provisionalmente supues­
tos no contemplados en las premisas iniciales, deberán llevar una 
señal en escuadra mirando hacia abajo:
— 1 p —►q 
—2 m —» p
—3 m
Es evidente que el significado de dicha señal es: supóngase por 
el momento...
— Los supuestos provisionales deberán ser cancelados antes de es­
tablecer la conclusión. Un supuesto provisional queda cancela-
36
M.P. (2, 3) 
M.P. (1, 4)
do cuando, en una línea posterior de dicha derivación, se obtie­
ne una fórmula tal que permite la deducción inmediata de otra 
fórmula que es independiente del referido supuesto. La cancela­
ción de un supuesto se expresa cerrando la escuadra:
—3 supuesto
—n fórmula obtenida a partir del supuesto
c) En caso de que la conclusión no pueda obtenerse por los métodos 
ya reseñados, recurriremos a la derivación indirecta o reducción 
al absurdo.
La reducción al absurdo consiste en suponer como premisa provi­
sional la negación de la fórmula que se pretende demostrar y obte­
ner, mediante este supuesto, una contradicción (A A ~*A). La con­
secuencia lógica será la negación del supuesto, esto es, la afirmación 
de la conclusión deseada.
La reducción al absurdo se fundamenta en el principio lógico que 
excluye aquellas hipótesis de las que pueda derivarse una contra­
dicción. Si de un enunciado (m) se sigue una contradicción (r A ~rt, 
por ejemplo), el enunciado debe ser rechazado.
Observaciones técnicas:
— Las líneas de derivación que-introducen el supuesto (la negación 
de la conclusión) y la contradicción obtenida, observarán las con­
diciones relativas a los supuestos provisionales y a la concelación 
de los mismos que ya hemos comentado.
— Añadamos que todo supuesto provisional y toda fórmula que de 
aquél se derive y quede incluida entre ambas escuadras una vez 
el supuesto se ha cancelado, no podrá volver a utilizarse como 
elemento de nuevas inferencias.
Como ejemplos de reducción al absurdo incluimos la segunda de las 
célebres antinomias de Kant, donde el autor de la «Crítica de la 
Razón pura» demuestra una tesis y su contraria sirviéndose del méto­
do indirecto.
I) Tesis: Toda sustancia compuesta consta de partes simples, esto es, indi­
visibles, no existiendo más que lo simple o lo compuesto de lo simple.
37
Prueba
Hipótesis: supongamos que las sustancias compuestas no constan de par­
tes simples.
Derivación.- lo simple, por definición, no es sustancia y lo compuesto por 
suposición, tampoco lo es. Por tanto, si toda sustancia compuesta no 
consta de partes simples, no se dan sustancias.
Conclusión: luego toda sustancia compuesta consta de partes simples.
II) Antítesis: Ninguna cosa compuesta consta de partes simples y nada en
absoluto puede hallarse que sea simple.
Prueba
Hipótesis: supongamos que una cosa compuesta consta de partes simples.
Derivación: lo compuesto por suposición, consta de partes simples y lo 
simple, si es real, debe ocupar un espacio. En tal caso, lo simple com­
prender! una variedad de elementos —lo que ocupa un espacio es 
algo extenso y lo extenso consta de un conjunto de elementos—. 
Por tanto, lo simple se reduce a un compuesto sustancial.
Conclusión: luego ninguna cosa compuesta consta de partes simples.
Aclaremos que la intención de Kant era establecer k»s límites de la razón 
que, cuando se usaba para especulaciones metafísicas, podía llegar con la misma 
necesidad a la tesis como a la antítesis. En el presente contexto, lo único que 
nos interesa mostrar es la estructura del razonamiento indirecto: sintáctica­
mente, las dos demostraciones de Kant son igualmente válidas. La verdad o 
falsedad de sus conclusiones sólo podría establecerse conociendo el valor de 
verdad de las premisas de cada razonamiento (tesis o antítesis), lo cual, según 
Kant, no es posible.
EJERCICIO___________________________________________________
Reconocer en el siguiente relato las diversas modalidades de demostración 
que hemos estudiado.
Un día de primavera, el profesor de matemáticas propuso a sus alumnos de 
tercero el siguiente razonamiento:
38
«Si un cuadrado es, por definición, un paralelogramo compuesto por cuatro 
ángulos y cuatro lados iguales, tal figura no sólo tendrá las diagonales de 
la misma longitud, sino que además cada diagonal tendrá una longitud igual 
a la raíz cuadrada del doble del cuadrado del lado.»
y les preguntó qué podía inferirse de tales datos sin añadir ningún otro supuesto.
Rápidamente se levantó Juan y dijo:
—Si el razonamiento es correcto, cualquier cuadrado podrá dividirse en cua­
tro triángulos iguales.
—Muy bien —exclamó el profesor. Y a continuación les propuso que resol­
vieran el siguiente problema: ¿es posible demostrar que la pizarra de la dase 
es divisible en cuatro triángulos iguales?
Andrés, con gesto despectivo, manifestó: ¡esto se soluciona fácilmente con un 
metro! A lo que el profesor respondió: quiero una solución lógica y no empírica 
y para ello se utilizarán todos los supuestos que he dado en la formulación del 
aigumento.
—Profesor —terció Pedro—, lo que pides es un imposible a no ser que aña­
damos una premisa provisional.
—¿Qué supuesto añadirías? —le preguntó d profesor.
Pedro, con gesto pensativo, dijo:
—Creo que si suponemos, por un momento, que la pizarra de la clase es 
cuadrada, entonces, de las premisas iniciales más el supuesto provisional que 
hemos admitido, puedo inferir que la pizarra puede dividirse en cuatro triángulos 
iguales. Pero, repito, esto sólo es cierto bajo la condición de que la pizarra sea 
cuadrada.
El profesor, satisfecho por la respuesta de Pedro, propuso un nuevo problema 
a solucionar: ¿qué pasaría si un cuadrado no pudiera dividirse en cuatro triángu­
los iguales?
Sin dejar tiempo a que terminara de hablar d profesor, Ramón, casi gritando, 
dijo: ¡eso es absurdo!
—¿Por qué? —interrogó el profesor.
—Porque —respondió Ramón— si los datos son dertos, entonces se llegaría 
a la conclusión de que un cuadrado tendría al mismo tiempo los cuatro lados 
iguales y desiguales.
—Muy bien, te felicito —dijo el profesor—. Dado que a partir de este su­
puesto se obtiene un absurdo, esto nos permite concluir la falsedad dd mismo.
39
¡Y YO QUÉ SÉ!
Al confeccionar el presente libro no hemos querido olvidar la dimensión 
lúdica que comparten todos los sistemas deductivos. En efecto, los cálculos y 
los juegos se parecen, porque:
— los símbolos de cálculo (vocabulario y conectivas) desempeñan el 
papel que, en los juegos, corresponde alks fichas, tableros, los dados, 
las cartas o cualquier otro elemento indispensable para poder jugar;
— las reglas de formación de fórmulas equivalen a las instrucciones ini­
ciales del juego (lugar que las piezas deben ocupar, número de cartas 
o fichas a repartir, orden de las jugadas, combinaciones válidas entre 
los elementos del juego, etc.);
— las reglas de transformación corresponden a las normas que legalizan 
—establecen la validez de— las distintas jugadas del juego al que 
nos dediquemos.
Además, los juegos y los cálculos se caracterizan por ser sistemas cerra­
dos en los que no respetar las reglas supone «salir del juego». Por otra parte, 
puede considerarse que cálculos y juegos carecen de finalidades externas a sí 
mismos, esto es, finalidades distintas a las de jugar o calcular. Sólo si se con­
sideran «cálculos interpretados», la matemática puede aplicarse a la construc­
ción de puentes, la lógica a determinar la corrección de los razonamientos ex­
presados en lenguaje natural o el poker a ganar o perder la hacienda.
Consideramos el juego como una herramienta indispensable para el apren­
dizaje de cualquier actividad, bien sea manual o intelectual. Jugar es ejercitar­
se, entrenarse para la realidad sin exponerse a los riesgos que la realidad com­
porta. De ahí que hayamos escogido la presentación de las reglas de inferencia 
mediante ejercicios, para que el lector consiga dominar el cálculo como si de 
un juego se tratase. Junto a los ejercidos de estricta derivadón formal, hemos 
colocado enigmas, jeroglíficos y pasatiempos lógicos y matemáticos, porque cree­
mos que sirven al mismo objetivo: conseguir que el lector se ejercite en el 
razonamiento, ordene sus ideas y se acostumbre al rigor intelectual.
Presentamos a continuación a los personajes que nos acompañarán a lo 
largo de nuestro paseo por las técnicas de deducdón formal. Ellos sugieren pro­
blemas que pueden resolverse sin una preparación lógica espedal, táh sólo es 
necesario atender al planteamiento y razonar ordenadamente. A veces, la solu- 
dón de un problema exige considerar posibilidades inusitadas o poco proba­
bles: considérense como un reto a la capacidad creativa o imaginativa del lector.
40
1. LAS HERMANAS DOBLER
Son gemelas, tan parecidas que 
resulta imposible distinguirlas. An­
gelines Dobler siempre dice la ver­
dad; en cambio, su hermana María 
miente siempre, por sistema. Por 
eso, todo el que quiera saber con 
cuál de las dos está tratando debe 
ingeniárselas para averiguarlo. De 
nada sirve preguntarles su nombre. 
¿Sabrías explicar por qué?
2. DON MARCELÍN CLARABOY
Es el caballero que durante algún tiempo cor­
tejó a la señorita Angelines Dobler. Don Marcelín, 
aficionado a la lógica, ideó un método para descu­
brir con rapidez la identidad de las gemelas. Se di­
rigía a cualquiera de ellas y le preguntaba:
— Si a su hermana le preguntase cómo se llama, ¿qué me respon­
dería?
¿Sabrías demostrar la efectividad de la pregunta?
3. Una vez aclaradas las identidades, don Marcelín pasaba las tardes 
cortejando a la señorita Angelines y sometiéndose a una auténtica tor­
menta de preguntas que ambas hermanas, conocedoras de la afición 
que sentía don Marcelín por la lógica, se apresuraban a plantearle.
— ¿Sabe usted, don Marcelín, qué es lo que lleva todo almohadón 
en su centro? — terciaba Angelines con una sonrisa maliciosa— . Le 
advierto que lo que lleva se ve, pero no se oye.
— ¿Cómo es posible que si se me cae un pendiente en una taza 
llena de café consiga sacar el pendiente completamente seco? — con­
tinuaba Mariví sin dejar que don Marcelín reflexionase.
41
— Vamos a ver, don Marcelín — proseguía Angelines— . ¿en qué se 
parece un cuervo a un escritorio? ¿A qué no lo sabe?
Y luego empezaba Mariví con sus horrendos juegos de palabras:
— ¿Sabe usted, querido amigo, cuál era el queso preferido por 
Sherlock Holmes? ¿Eh? Y si no sé cómo se llama mi perro, ¿sabe usted 
cómo se llama mi perro?
Don Marcelín palidecía.
— ¿Puede explicarme, don Marcelín, cómo puedo poner un barco 
de verdad en la cabecera de mi cama? — ribeteaba Angelines para 
dar paso a su terrible hermaníta que era siempre la encargada de 
rematar.
— He observado, don Marcelín, que pronuncia usted incorrecta­
mente una palabra de quince letras.
— ¿Cómo es posible? — balbuceaba el pobre hombre que se las 
daba de instruido— . ¿Oué palabra?
Una estruendosa carcajada ponía punto final a la reunión y don 
Marcelín se fugaba precipitadamente amparado por cualquier excusa. 
Por aquellas fechas, comenzaba a sospechar que las hermanas Dobler 
le estaban tomando el pelo.
4. Cierto día, armándose de valor, don Marcelín le preguntó a su 
adorada:
— Angelines, recibo de usted un trato que no creo merecer. Res­
póndame con franqueza, ¿hay otro hombre en su vida?
Y Angelines, que nunca mentía, no tuvo más remedio que aceptar­
lo, había otro hombre: Frangois, el lechero de la esquina.
— Pero... — gimió don Marcelín con un hllillo de voz— , ¿puedo al­
bergar alguna esperanza?
—Tómeselo como quiera — respondió Angelines con cierta desga­
na— pero estoy hecha un lío. O le amo a usted o amo a Frangois. Y si 
le amo a usted, amo a Frangois.
Don Marcelín esbozó una sonrisa triste, sabía que aún le queda­
ban esperanzas.
¿Cómo podía estar tan seguro?
42
5. EL DETECTIVE MARTÍNEZ
Es el investigador privado al que acudió don Marcelín para some­
ter a vigilancia a la señorita Angelines Dobler.
— No me andaré con rodeos — se apresuró a decir el detective 
antes de que don Marcelín abriera la boca— . Si lo que viene a ofre­
cerme es un crimen, lo aceptaré con gusto. Pero si lo que quiere es 
vigilar a su muñeca, más vale que se largue y busque a otro. Sobre 
los asuntos de vigilancia mantengo un punto de vista muy especial.
— No lo dudo — apuntó don Marcelín contemplando las gruesas 
gafas de miope tras las que se perdían los diminutos ojos del detec­
tive— . Y también sería capaz de asegurar que, por un asunto seme­
jante, usted no movería ni un dedo de su mano derecha.
— ¿Cómo puede saberlo? — preguntó Martínez ocultando bajo la 
mesa su enguantada mano ortopédica.
— ¡Pura lógical — respondió don Marcelín— . Durante los últimos 
meses he estado ejercitando mi capacidad deductiva en compañía de 
unas viejas amigas. Hoy puedo asegurarle que me he convertido en un 
Auguste Dupin de la lógica hispana.
— ¡Fantástico! — exclamó el detective Martínez— . En tal caso no 
tendrá Inconveniente en solucionar un par de problemas que le plan­
tearé. Comenzaremos por uno que resulta especialmente sorprendente: 
en un ascensor se comete un crimen y sin embargo ninguno de los 
hombres que viajan en él es el asesino. ¿Cómo es posible?
— ¡Un momento! — interrumpió don Marcelín— . Si desea que yo 
solucione sus enigmas, deberá usted solucionar mis jeroglíficos. Ahí 
van los tres primeros — dijo extrayendo unos papeles de su cartera 
y colocándolos sobre la mesa del detective— . No le daré ninguna pis­
ta, sólo le diré que la solución de cada jeroglífico es una palabra. Y aho­
ra, si lo desea, plantéeme otro de sus problemas.
43
O r .
3
G A R
G A R
— En cierta ocasión — comenzó Martínez— me asocié con los de­
tectives «Fernández y Gutiérrez» con la finalidad de repartirnos el 
trabajo: mientras alguno de nosotros permanecería en la oficina aten­
diendo a los clientes, el resto saldría para llevar a cabo las tareas 
de investigación. Como desde un principio me negué a trabajar con 
Gutiérrez, no viene al caso ahora el explicar por qué, Fernández orga­
nizó el reparto de la siguiente manera:
•Siempre que Fernández se quedara en la oficina, yo podría salir 
a investigar.
•Cada día, o Fernández o Gutiérrez se quedarían en la oficina, 
pero no ambos.
•Finalmente, yo no saldría a investigar con Gutiérrez, tal como 
había solicitado.
•Las condiciones me parecieron aceptables y no me opuse. Sin 
embargo, al poco tiempo comprendí mi error y me separé de ellos. 
¿Sabría usted explicarme por qué?
Don Marcelín recogió los datos y prometióvolver con las solu­
ciones al día siguiente.
(Te invitamos, amigo lector, a que respondas a las preguntas de las 
hermanas Dobler, los enigmas del detective Martínez y soluciones los 
jeroglíficos de don Marcelín. ¡Ahí Y una de regalo: no respondas con 
evasivas, ¿cómo se titula este apartado?)
44
II. La lógica proposicional como 
sistema de reglas de inferencia
CUADRO SINÓPTICO DE REGLAS DE INFERENCIA
Conector Esquema Nombre Siglas
r x
—Y A -7 Y 
- tX
Introducción 
del negador 
o reducción 
al absurdo
Abs.
Negador
1) - r - , *
X
2) X . 
- r- rX
Introducción 
y eliminación de la 
doble negación
DN
X
- tX
Y
Eliminación 
del negador
EN
*
-r(X A Y) 
-rX V -rY
Ley distributiva 
del negador o de 
De Morgan 1
DMorg.)
t (X V Y) 
- tx a -^y
Ley distributiva 
del negador o de 
De Morgan 2
DMorg.3
45
Conector Esquema Nombre Siglas
Conjuntor
1) x
Y
X A Y
2) X
Y
Y A X
In tro d u cc ió n d e l 
co n ju n to r o le y 
d e l p ro d u cto
P rod .
13 X A Y 
X
23 X A Y 
Y
E lim in a c ió n d e l 
c o n ju n to r o le y 
d e s im p lif ic a c ió n
S im p .
X A Y 
Y A X
L e y c o n m u ta tiv a 
d e l co n ju n to r
C o n m . C .
X A Y
- t ( X - > - / Y 3
D e fin ic ió n d e l 
c o n ju n to r p o r 
el n e g a d o r y 
e l c o n d ic io n a d o r
D e f. C ,
X A Y
~ r( - rX ]/ - 7Y)
D e fin ic ió n del 
co n ju n to r p o r 
e l n e g a d o r y el 
d is y u n to r
D e f. C 2
Disyuntor
1) X
X V Y
■ 2) Y
X V Y
In tro d u cc ió n d e l 
d is y u n to r o le y 
d e a d ic ió n
A d .
46
Conector Esquema Nombre Siglas
Disyuntor
X V Y
r-X
— z
— Y 
— Z
z
E lim in a c ió n d e l 
d is y u n to r o p ru e b a 
p o r c a s o s
C a s .
X V Y 
Y V X
Leí co n m u ta tiv a 
d e l d isy u n to r
C o n m . D .
x v x
X
E lim in a c ió n 
d e l d is y u n to r
E .D .
1) X V Y 
- tX
Y
2) X V Y
-rW
X
L e y d e l s ilo g is m o 
d is y u n t iv o
S .D .
X V Y 
X - > Z 
* Y —» Z
z v z
L e y d e l d ile m a
c o n s tru c t iv o
s im p le
D ilC i
*
-rX y-rV
z - » x
Z —» Y 
-rZ y-rZ
Ley d e l d ile m a
d e s tru c t iv o
s im p le
D ilD i
47
Conector Esquema Nombre Siglas
D is y u n to r
X V Y
x - » z
Y - * W 
Z V w
L e y d e l d ile m a
c o n s tru c t iv o
c o m p u e s to
D Í lC 2
- r X V - r Y
z - > x
W —» Y
~7Z V t W
L e y d e l d ile m a
d e s tru c t iv o
c o m p u e s to
D ilD 2
X V Y 
- r X - » Y
D e fin ic ió n del 
d is y u n to r p o r e l 
n e g a d o r y el 
c o n d ic io n a d o r
D e f. D,
X V Y
-r(-^X A - 7'Y)
D e fin ic ió n d e l 
d is y u n to r p o r el 
n e g a d o r y el 
co n ju n to r
D e lf . Di
— X
— Y 
X —> Y
T e o re m a d e la 
d e d u c c ió n 0 
in tro d u c c ió n 
d e l c o n d ic io n a d o r
T .D .
C o n d ic io n a d o r "
X - » Y 
X
Y
« M o d u s p on en s» 
0 e lim in a c ió n 
d e l c o n d ic io n a d o r
M .P .
________________
X —> Y 
- tX
« M o d u s to lle n s» M .T .
48
Conector Esquema Nombre Siglas
Condicio-
nador
>
 N
 
N
t 
T 
t
X
 >
 
X
Ley transitiva 
del condicionador
Sil.
X —» Y 
-*(X A ~rY)
Definición del 
condicionador 
por el negador 
y el conjuntor
Def. Cond.i
X -» Y 
—rX V Y
Definición del 
condicionador 
por el negador 
y el disyuntor
Def. Cond.a
Bicondicio-
nador
X Y 
Y -> X 
X<— > Y
Introducción del 
bicondicionador
I.B.
1) X<— > Y 
X Y
2) X-í— > Y 
Y X
Eliminación del 
bicondicionador 
o ley de 
simplificación
EB.
X<—*Y 
Y <— >X
Ley conmutativa 
del bicondicionador
Conm. B.
X
 
-<
 X
t
i
l
N
 
N
 •
<
Ley transitiva 
del bicondicionador Trans. B.
Notas Los esquemas de regla de inferencia pertenecen al metalenguaje, de ahí que se 
representen mediante letras mayúsculas —variables metalingüfsticas— que pueden sustituirse 
por cualquier fórmula del lenguaje objeto. Los esquemas de fórmula que aparecen encima 
de la linea horizontal son las premisas de la regla; los esquemas de fórmula que apa­
recen debajo, corresponden a la conclusión de la regla. Cuando premisa y conclusión se 
encuentran separadas por una doble linea horizontal, debe entenderse que la inferencia 
puede realizarse en ambos sentidos. Por ejemplo, de la fórmula «X A Y » puede inferirse 
directamente «Y A X» y también al contrario.
49
ESTUDIO DE LAS REGLAS
__1. Regla de eliminación del condicionador________________
o «modus ponendo ponens» (M.P.)
SI tenemos como premisas un condicional X - » Y
y su antecedente X
se infiere como conclusión el consecuente: Y
_Simbolización de a r g u m e n t o » _____________________________
a) Si el cobre es un metal (p), será buen conductor de la elec­
tricidad (q). El cobre, efectivamente, es un metal, luego será 
buen conductor de la electricidad.
p -> q , P • q 1
b) Si digo siempre la verdad (p), los demás confían en mí (q). 
Y si los demás confían en mí, me siento seguro (r) e inde­
pendiente (s). Cuando me siento seguro e independiente, soy 
capaz de afrontar cualquier problema (t).
Como yo digo siempre la verdad, se deduce que soy capaz de 
afrontar cualquier problema.
p - * q , q —> (r A s), ( r A s ) - » t , p H t
1. Los argumentos pueden formalizarse escribiendo las premisas separadas por comas. 
y a continuación el símbolo metalingüistico |— (se lee: «da lugar a» o «se deduce de») 
seguido de la conclusión.
50
EJERCICIOS
a) Demostrar «p»
— 1 —rm m
— 2 t —»■
— 3 - r n - » p 
— 4 t
5
6 
7
b) Demostrar «T p V T q »
— 1 ~r(r A s)-> m 
—2 m -> (T p V T q )
— 3 T ( r A s)
4
5
c) Demostrar «t i »
— 1 p —> T q
— 2 T q - » n 
— 3 n —> m 
—4 m —» T r 
— 5 —r r —>~7t
—6 p
¿) Demostrar « T (r —» t s )»
— 1 (p A q ) - » T n 
—2 ~ 7 t-> (p A q)
— 3 ~),n -> ~ 7 (r—»• -7$)
— 4 ~ n
e) Demostrar «~*(~rm A >n)»
— 1 ( - r s V - n ) - * ( - 7 p - > - * q ) 
* — 2 ( T p —» —rq )-» w 
— 3 w -> —r(~7m A -m )
—4 t s V T t
/) Demostrar «p —* ( T t V t u )» 
— 1 —7q —> [p —>(Tt V t u )] 
—2 ( T m —>t d ) - > ( r V s)
— 3 (r V s) —» T q 
— 4 T m —» T n
51
CORAZÓN LOCO
Angelines Dobler está agobiada por problemas 
amorosos. No se aclara. Si ama a Pierre, no ama a 
don Marcelín Claraboy, pero si no ama a don Merce- 
lín, ama a Robert. Si ama a Robert, deja de amar a 
Vincent, pero si no ama a Vincent, entonces ama a 
Fran?o¡s, el lechero de la esquina.
Angelines, por favor, la increpamos, ¿es que no 
estás segura de tus sentimientos?
—Una cosa es cierta —nos responde—. Estoy 
segura de que amo a Pierre.
¿Podrías ayudarla aclarando sus ideas?
\
2. Regla del «modus tn lle n o
o «modus tollendo tollens» (M.T.)
Si tenemos como premisas un condicional X - * Y 
y la negación del consecuente, ~?Y
se infiere como conclusión la negación del
antecedente: ~rX
__Simbolización de argumentos_________________________________
a) Si se estructura la historia desde el punto de vista de la para­
psicología (p). los hechos se interpretarán como consecuencia 
de premoniciones (q). Pero los hechos no pueden interpretar­
se así. por tanto la historia no se puede estructurar desde las 
afirmaciones de la parapsicología.
p -> q . -rq . I— “ rq
52
b) Si fueras un mandarín de la China (p), vivirías con lujo (q) 
y no tendrías que trabajar (~rr). Y si vivieses de esa manera, 
te distraerías haciendo viajes alrededor del mundo (s) o ali­
mentando a los faisanes de tu majestuoso palacio (t).
Como no es el caso que te distraigas con tales cosas, deduz­
co que no eres un mandarín de la China.
p - » (q A ~*r), (q A ~rr) - » ( s V t), - r ( s V t ) h - - r p
_ D erivación---------------------------------- -------
a) — 1 p -»> q 
— 2 -rq
3 —rp M.T. (1, 2)
b) — 1 p -> (q A~rr)
— 2 (q A - 7 r ) - » ( s V t )
—3 -r (s V t)
4 -r(q A ~rr) M.T. (2. 3)
5 ~rp M.T. (1, 4)
EJERCICIOS
a) Demostrar V q)*
— 1 ~ n 
— 2 n —» s 
— 3 s —* t 
— 4 (~rp V q ) —> n 
* 5
« 6
7
b) D em ostrar «~~r(~rp —* —rq)»
— 1 (r A s)-> (“ M V ~7w) 
—2 (~ni V —rw) t 
— 3 ( - r p - »