MATE2_U6

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UNIDAD
130 En marcha
6
Al terminar esta 
unidad lograré:
 -Aplicar los exponentes 
y radicales para 
resolver operaciones y 
situaciones diversas.
 -Plantear y resolver 
situaciones diversas 
que necesiten para su 
solución las fracciones.
 -Convertir números 
racionales a números 
decimales y viceversa. 
 -Ubicar en la recta 
numérica números 
decimales y racionales.
 -Explicar la diferencia 
entre un número 
racional e irracional.
 -Resolver situaciones 
que involucren los 
números racionales, 
números decimales e 
irracionales.
SESIÓN 1
Sinfonía numérica
Triomino
Paso 1
Elaboramos18 triángulos equiláteros congruentes y señalamos 
cada uno de sus vértices con los números, tal como se muestra 
en la Figura 1. 
Actividad 1
Figura 1
4
41
0
24
0
00
2
52
3
45
4 0
4
5 0
0
1
55
1 4
5
5
05
1
20
5 5
5
1 1
2
5
11
2 5
1
0 2
2
0 1
0
2 3
5
UNIDAD6
131En marcha
Paso 2
Formamos hexágonos.
Seguimos las instrucciones:
 - Repartimos las piezas en partes iguales entre tres jugadores.
 - Elegimos quién inicia el juego: este coloca una pieza sobre la mesa, el segundo 
coloca la próxima pieza haciendo coincidir los vértices los cuales deben tener el 
mismo valor.
 - La idea es que entre los tres deben formar un hexágono.
 - Gana quien cierra un hexágono y se le premia con 50 puntos. La Figura 1 muestra 
un ejemplo.
 - Repetimos el juego y gana quien primero se queda sin fichas o, si el juego no 
puede seguir, quien tiene menos fichas.
Figura 2
Guardamos nuestras piezas las cuales serán útiles en la Sesión 3.
1
01
0
50
2
50
1 2
0
0 5
5
1 0
0 50 puntos
UNIDAD 6
132 Mochila de herramientas Taller de exponenTes y radicales 
Explicamos: 
 - ¿Qué diferencia encontramos entre: – a2 y ( – a )2?
 - ¿Qué diferencia encontramos entre: – a3 y ( – a )3?
Escribimos como potencia el 64 y el – 64.
SESIÓN 2
Taller de exponenTeS y radicaleS 
PoTencias de base PosiTiva y negaTiva 
Paso 1 
Leemos: 
Alejandra y Javier juegan con dos dados. 
El juego consiste en tirar los dados. El puntaje 
en cada tirada lo calculan de la siguiente forma: 
Lo obtenido en el lanzamiento, menos 7 
y luego, el resultado de esta sustracción 
lo elevan al cuadrado. 
Gana el jugador que obtenga el mayor puntaje. 
 - Observamos que la Tabla 1 registra el resultado 
de 2 de los lanzamientos con el dado.
Respondemos: ¿Quién ganó cada tirada?
Paso 2 
Copiamos la Tabla 2 en el cuaderno y sustituimos los valores: 1, 2, 3, 4 en a.
Paso 3 
Actividad 2
Tabla 2
alejandra Pedro
Lanzamiento 1 3 12
Lanzamiento 2 10 5
a -a2 (-a)3 -a3 (-a)2
1
2
3
¿Qué necesitamos saber? 
base exponente ejemplo proceso Respuesta signo
Positiva par 4 2 4 x 4 16 +
Positiva impar ( +4) 3 4 x 4 x 4 64 +
Negativa par (- 4) 2 (-4) (-4) 16 +
Negativa impar (-4) 3 (-4) (-4) (-4) - 64 -
Las potencias pueden tener base 
positiva o negativa y el exponente 
puede ser par o impar. 
El cuadro explica esta situación:
Elaboramos en el cuaderno un ejemplo similar al anterior.
base exponente signo del resultado
Positiva
Par Positiva
Impar Positiva
Negativa
Par Positiva
Impar Negativo
UNIDAD6
133Taller de exponenTes y radicales Mochila de herramientas
Paso 5
Leemos:
Alfredo tiene una sastrería y recibe 5 cajas. En cada caja hay cinco bolsas 
y en cada bolsa hay 125 botones. 
Resolvemos y luego exponemos en un cartel el resultado:
a. ¿Cuántos botones hay en cada caja? Expresamos este resultado como una potencia.
b. ¿Cuántos botones hay en total? Expresamos este resultado como una potencia.
Paso 6
Resolvemos:
Un insecto puede poner 200 huevos. Cada uno de estos huevos da origen a un nuevo insecto 
que a su vez, pone otros 200 huevos y así se reproducen en el tiempo. Asumiremos que todos 
ellos ponen el mismo número de huevos y que ninguno muere.
Respondemos:
a. Escribimos la potencia la cantidad de insectos para la cuarta generación.
b. Escribimos este número en potencias de base 106 y 109.
SESIÓN 2
Paso 4
Expresamos los siguientes enunciados en potencias y determinamos su valor.
 - Respondemos en el cuaderno.
¿Qué necesitamos saber? 
En potenciación existe propiedad la cual se escribe como: (a)n * (a)m entonces se 
suman los exponentes y se copia la base: a n + m . Ejemplo: 34 * 32 = 36 De igual 
manera, para el cociente queda 34/ 32 = 34-2= 32
a. Tres veces tres por tres:
c. (-9) (-9) (-9) (-9) =
b. Menos 2 elevado a cinco
d. Menos siete al cuadrado
e. Menos tres elevado 
 a la quinta potencia
abrimos brecha:
Copiamos los ejercicios.
 - Identificamos las igualdades con valor v de verdad y F si es falso.
 - En el caso que sea falsa, corregimos el ejercicio en el cuaderno a nuestro criterio.
h. 912 / 910 = 94f. (-2)5 * 35 = 56e. 78 / 76 = 712 g. 39 * (-4)9 = (-12)9
d. 87 / 85 = 83b. 73 x 23 = 143a. 54 * 54 = 158 c. 37 * (-3)7 = (-3)7 
UNIDAD 6
134 Mochila de herramientas Taller de exponenTes y radicales 
Paso 2 
Copiamos las operaciones del Cuadro 1 en el cuaderno.
 - Operamos y escribimos como una potencia.
Paso 3
Comentamos qué estrategia nos funcionó para llegar a la parte superior y salir con 6. 
SESIÓN 3
Reglas de los exPonenTes
Paso 1 
Observamos el tablero que se muestra en la 
Figura 1 y seguimos las instrucciones:
 - Partimos de cualquier casilla blanca de la 
fila inferior y efectuamos las operaciones.
 - Con el dedo índice buscamos un camino 
por las casillas numeradas hasta llegar a la 
fila superior y obtener 6 de salida.
 - Si sube por la izquierda divide .
 - Si sube por la derecha multiplica .
Actividad 3
¿Qué necesitamos saber? 
Leemos y discutimos cada caso que presenta el cuadro de las leyes de los exponentes. 
cuadro 1
a. 4 x 4 x 4 x 4 / 5 x 5 = b. 6 x 6 x 6 x 6 x 6 / 2 + 2 + 2 +2 +2 +2 +2 + 16 = 
c. 3 + 3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 + 3 / 10 + 10 +10 + 10 + 10 + 10 + 40
Figura 1
2·3 3222
223 22
2·3 2·32
233 223
6
ley ejemplo descripción
1. am an = am+n 32 · 35 = 32+5=37 Para multiplicar dos potencias del mismo número, sume los exponentes.
2. Para dividir dos potencias del mismo número, reste los exponentes.
3. (am)n = a m (32)5 = 32·5= 310 Para elevar una potencia a una nueva potencia, multiplique los exponentes.
4. (ab)n = anbn (3 · 4)2 = 32 · 42 Para elevar una producto a una potencia, multiplique los exponentes.
5. Para elevar un cociente a una potencia, eleve tanto el numerador y denominador a la potencia.
6. Para elevar una fracción a una potencia negativa, invierta la fracción y cambie el signo exponente.
7.
Para pasar un número elevado a una potencia desde el 
numerador al denominador o desde el denominador al 
numerador, cambie el signo del exponente.
a m – n=a
m
an
35 – 2 = 33=3
5
32
 n
=a
b
an
bn
 2
=3
4
32
42
– n n
=a b
b a
– 2 2
=3 4
4 3
=a
– n
b– m
bm
an
=3
–2
4–5
45
32
UNIDAD6
135Taller de exponenTes y radicales Mochila de herramientas
Paso 5
Seguimos las leyes para determinar el valor de verdad de las siguientes operaciones.
Paso 6
Las 24 piezas que se muestran a continuación son parte de un Triomino. 
 - Utilizamos las piezas elaboradas en la Sesión 1 y las completamos con 6 triángulos equiláteros 
adicionales.
 - Escribimos sobre cada vértice, la operación u número indicado.
 - Unimos todas las piezas hasta formar un hexágono, cumpliendo con la regla de unir vértices 
iguales.
 - Exponemos nuestros resultados en un cartel.
SESIÓN 3
Paso 4
Discutimos en clase cada 
ejemplo descrito en la 
Tabla 1.
 - ¿Qué ley corresponde 
a cada ejemplo? 
Tabla 1
ley ejemplo
1. x2 x3= x2+3 = x5
2. x4/x2 = x 4–2= x2
3. (x2)3 = x 2x3 = x6
4. (xy)3 = x3y3
5. (x / y)2 = x2 / y2
22 · (-3)2 ·62= 62
(39)0= 39 (38 · 32)5= 380 = 425
210
215
(74 ) 5 3= 760 = 41
420 : 414
43 · 42
(5
0) 3
2
3 ÷ 2
4
35
33
625
(08 )
2
(10 2 x 10) 2
(10
2 )2
8
4 ÷ 8
5
64
10
00
(a
3 x
 a2
)2
25
6 a 18
a
3 x a
7
2 20 ÷ 2 15
1 81 1
49
1000
211 ÷
 21
6
9
a
10
a 10
(a3
 x a
2 x a
2 )3
2 2 x 2 2100000
(2
2 )3
a11
a 6
1
1 8
65 67
132
(3
2÷
 34
)2 10 3 x 10
2
1
3
38
39
70 ÷ 
72
10
4
10
6
1
36
a
21
0
(a
3)2 x a
5
(4
2)2
2 2 x 28
32
16
10
00
00
0
(2
2 /
23
)3
64
((a
2 )3
)3 (2
2) 3
1
100
1
2
(52 )
2 2
(a2 )
3
10
1 x 10
2
2
5
2
4
1
8
UNIDAD 6
136 Mochila de herramientas Taller de exponenTes y radicales 
SESIÓN 4
la Radicación – Raíz cuadRada –
Actividad 4
Paso 1 
Leemos:
Alberto ha comprado un reloj matemático 
tal como se muestra en la Figura 1.
 - Explicamos cómo funciona y qué hora marca.
Paso 2 
Respondemos:
 - ¿Qué número se multiplica por sí mismo tres veces y el resultado es 8?
 - ¿Qué número se multiplica por sí mismo dos veces y el resultado es 25?
 - ¿Qué número se multiplica por sí mismo seis veces y el resultado es 1 millón?
Paso 3 
Figura 1
¿Qué necesitamos saber? 
La radicación es operación inversa de la potenciación. La Figura 1 establece un 
procedimiento para el cálculo de la raíz cuadrada y raíz cúbica por descomposición 
en factores primos para aquellas raíces que no son exactas.
 - Encontramos la raíz cuadrada por descomposición de 56, 98 y 147.
Figura 2
144
121
100
36
1664
2549
81 9
1
4
48 = 24 x 3
¿Cuál es la raíz cuadrada de 48?
Elaboramos un diagrama de árbol
482
12 4
3 2
3 22 22
x
x
x
x xx
x x4 2
48
Por lo tanto concluimos:
Como 48 = 16 x 3, entonces 
se puede escribir:
Se calcula la raíz cuadrada de 
cada uno de los factores:
Por lo tanto:
48 16 x 3=
48 16 316 x 3= x=
48 34 x=
UNIDAD6
137Taller de exponenTes y radicales Mochila de herramientas
SESIÓN 5
la Radicación – Raíz cúbica –
Actividad 5
abrimos brecha:
Leemos y analizamos las siguientes leyes de los radicales del Cuadro 1.
continúa
Paso 3
Copiamos en el cuaderno: Para establecer una expresión que defina la raíz cúbica de 324, 
primero realizamos la factorización. El Cuadro 1 muestra la forma de descomponer el número.
Luego:
 - Revisamos que 324 = 22 x 33 x 3 = 4 x 27 x 3
 - Entonces: 3 √ 324 = 3 √ (4 x 27 x 3) = 3 √27 3 √12 = 3 x 3 √12
cuadro 1
Paso 4 
Empleamos las leyes descritas 
en el Cuadro 1 para resolver las 
siguientes operaciones:
Paso 5 
Comprobamos que la siguiente operación es correcta o incorrecta.
 - Explicamos nuestros argumentos.
Paso 6 
Jerónimo ha fabricado pequeñas pelotas típicas, como la que se muestra 
en la Figura 1. Para cada pelota se emplean 216 cm2 de tela típica.
La expresión r = 3√Área superficial / 4 , permite determinar el radio de 
cada pelota. 
 - Determinamos el radio de la pelota y aproximamos su valor 
al decimal cercano.
Figura 1
a.
· =43 63
b.
=4
3
63
c.
=233
d.
=236
= =– –53 4 52 4 54 54(3 – 2)a.
= = =– – –+ + +12 33 33 33 39310753 22 · 3b. 52 · 32 32
=xnm xm·n
=6423 643·2
= =646 2
División de radicales con un mismo índice radical
Raíz de raíces
·xn yn = x · yn
=83 233
= 232 = 3
= = x
m
nxn m xmn =
= 463 = 42 = 16
43 6 463
·33
273
93 = 3 · 93
= = 3
=xn x n
1
Raíz de un número
Potencia de un radical
Producto de radicales con un mismo índice radical
= =x
n
yn
n
y
x x n
1
y n
1 y 0
= 8
3
273
3
27
8
=
(23) 31
(33) 3
1 =
2
3
UNIDAD 6
138 Mochila de herramientas Taller de exponenTes y radicales 
SESIÓN 6
JeRaRQuía de oPeRaciones i
Actividad 6
Paso 1 
Leemos: 
Una historia poco creíble: El caracol de la Figura 1, desea 
trasladarse de un jardín a otro, escalando el muro de separación 
que tiene 10 metros de altura. Trepa verticalmente por el muro, 
recorriendo de día 3 metros y desciende verticalmente de noche, 
2 metros. 
Establezcamos una estrategia para determinar:
 - ¿En cuántos días llegará el caracol a la cima del muro?
Paso 2 
Resolvemos las siguientes operaciones en el cuaderno.
Paso 3 
La Figura 2 expresa la jerarquía de operaciones. 
 - Discutimos en clase cómo se emplean estos niveles de orden en la resolución de 
problemas. 
 - Copiamos y analizamos en el cuaderno la operación del Cuadro 1:
Figura 1
capricho de caracoles 
Figura 2
Resolvemos los productos y cocientes siguientes.
(Recordemos que los signos son los mismos para productos y cocientes) 
cuadro 1
a. +(+3) + (– 5)= e. –(+2) – (+ 5)=
b. – (+4) – (+6) = f. – (+2) + (– 1) + (–4) – (– 5)=
c. – (– 5) + (+7) = g. – (+ 1) – (+3) – (–4) – (– 5) =
d. – (+3) + (+1) – (–4)=
a. (+4) · (+3)= e. (+24) : (+ 3)=
b. (+5) · (– 2) = f. (+15) : (– 3)=
c. (– 4) · (– 5) = g. (–14 ) : (– 2)=
h. (– 30) : (+ 6)=d. (– 3) · (+7) – (–4)=
( ) [ ] Paréntesis
a b √ Potencias y raíces
· x : ÷ Multiplicaciones y divisiones 
+ – Sumas y restas
(6 + 8)2 x 1 + 2 x 42 + 32
(14)2 x 1 + 2 x 16 + 9
196 + 2 x 5
196 + 10
206
196 x 1 + 2 x 25
UNIDAD6
139Taller de exponenTes y radicales Mochila de herramientas
SESIÓN 7
JeRaRQuía de oPeRaciones ii
Actividad 7
Paso 4 
Examinamos cada una de las siguientes operaciones del Cuadro 1 y escribimos a la par 
el procedimiento que siguieron para resolverlo.
Paso 5 
Escribimos una operación similar a la que se 
observa en la Figura 1 en una hoja. Cambiamos 
algunos números y operaciones. Luego, la 
intercambiamos con otro grupo para que la 
resuelva.
 - Debemos tener la respuesta para verificar 
después que lo han resuelto correctamente.
Paso 6 
Resolvemos las siguientes operaciones empleando la jerarquía e operaciones:
Figura 1
cuadro 1
3 · 23 – (3 – 4)4 + 2 · 9
= 3 · 8 – 1+ 2 · 3
= 24 – 1+ 6
= 29
= 3 · 23 – (– 1)4 + 2 · 9
operación no. 1 operación no. 2
 3
÷ · · –3 –5 +2 1 2 5
3 4 6 2
4
3
 3
÷ · · –5 +2 11 2 5
3 4 6 2
4
3
÷ · · –5 +8 11 2 5
27 4 6 2
4
3
· · –5 +24 11 2 5
108 4 6 2
· –+120 11 2 5
108 4 6 2
–+120 22 5
108 24 2
–+ 1110 5
129 2
–+ 3340 90
3636 36
– –=+ 3340 90
17
36 36
5 X ( 9 + 4 ) – 14 : ( 5 + 9 ) =
5 X ( 9 + 4 ) – 14 : ( 5 + 9 ) =
5 X ( 9 + 4 ) – 14 : ( 5 + 9 ) =
a. (– 2)4 + 5 · { [ (– 4) · (+ 8) – ( – 7) ] – 3 ( – 4)3} – (–2)2
2
=
b. [ 4 · ( – 7) + 2 ] : 169 + [ ( –4) ( –2)2 + 8 ] · ( – 1)100=
c. – –– + 1 –4 – 23 11 13113 6
4 68 363 5
=
UNIDAD 6
140 Mochila de herramientas Taller de NúMeros racioNales e irracioNales
SESIÓN 8
númeRos FiniTos y PeRiódicos
Paso 1 
Leemos:
El promedio de goles por partido en el Mundial de Sudáfrica 2010 apenas superó 
al de Italia 1990, considerado como el más bajo de toda la historia, con 2.1 goles 
por partido. En el Mundial de Sudáfrica se marcaron 145 goles en 64 partidos. 
Resolvemos: 
 - ¿Cuál fue el promedio de goles por partido?
Paso 2 
Leemos:
Para convertir una fracción a decimal, dividimos el numerador 
por denominador. La Figura 1 muestra un ejemplo donde 
el resultado es un decimal exacto.
 - Expresamos las fracciones del Recuadro 1 en decimales.
Paso 3 
Leemos:
Actividad 8
Taller de númeroS racionaleS e irracionaleS
Figura 1
Figura 2
Recuadro 1
clasificación de los números 
atendiendo a su parte decimal.
números decimales exactos: Tienen un 
número finito de cifras, ejemplo: 0.4375
números decimales periódicos: 
Tienen infinitas cifras decimales que se 
repiten y se les llama período. 
Ver Figura 2. 
Estos números decimales pueden ser: 
periódicos puros y números periódicos 
mixtos. 
a. decimales periódicos puros, si la 
parte periódica o período comienza 
inmediatamente después de la coma.
b. decimales periódicos mixtos, si 
la parte periódica o período no 
comienza inmediatamente después 
de la coma.
Discutimos las diferencias 
encontradas entre cada uno de los 
casos de la Figura 2. 
 - Escribimos en el cuaderno las 
conclusiones.
a. 3
4
b. 86
11
c. 29
6
d. 1652
825
31
20
= 1,55
7
16
= 0.4375
Este número decimal es exacto
7
9
= 0.77777
Este número decimal periódico puro
8
33
= 0.242424
Número decimal periódico mixto
5
18
= 0.27777 5
14
= 0.3571428
UNIDAD6
141Taller de Números racioNales e irracioNales mochila de herramientas
SESIÓN 9
númeRo PeRiódicos 
Paso 4
Leemos:
El Cuadro 1 establece que cada fracción, 
al expresarla en númerosdecimales, 
tiene un nombre tal como se muestra. 
 - Demostramos que esto es correcto.
Paso 5
Leemos y resolvemos:
En el Mundial de Suiza en 1954, se convirtieron 140 goles 
en 26 partidos. 
 - ¿Cuál fue el promedio de gol por partido en este 
Mundial? ¿Es un número decimal finito o periódico?
 - ¿Cómo podemos calcular la diferencia entre el 
promedio de goles por partido entre el Mundial 
de Sudáfrica en 2010 y el de Suiza en 1954? 
Exponemos en clase nuestros resultados. 
Paso 6
La Figura 1 muestra un diagrama de números enteros y fracciones. 
Actividad 9
 la parte decimal que sí cuenta.
abrimos brecha:
 - Descomponemos el denominador en factores primos y evaluamos:
a. Si los números primos son 2, 5 o ambos, se trata de un número decimal exacto.
b. Si los números primos son distintos del 2 y del 5, se trata de un número periódico puro.
c. Si los números primos, además del 2 o del 5, hay otros diferentes, se trata 
 de un número periódico mixto.
continúa
Paso 3
cuadro 1
a. 8
15
b. 13
9
a. Decimal mixto c. Decimal mixto
b. Decimal puro d. Decimal exacto
c. 2
9
d. 36
150
Nos informamos:
- Observamos cómo se coloca 
un «arco», sobre el período 
del número decimal.
- Comentamos con el 
facilitador su utilidad.
Período puro: 0.531 ; 27.43
Período mixto: 7.42 ; 0.72531
Figura 1
Fracciones
Números enteros: 4
Números decimales
Exactos: 0.27 
Periódicos
Puros: 2.76
Mixto: 3.57
 - Elaboramos en un cartel un 
diagrama similar con nuestros 
aportes y creatividad.
 - Exponemos en clase nuestro 
trabajo. 
UNIDAD 6
142 Mochila de herramientas Taller de NúMeros racioNales e irracioNales
SESIÓN 10
los decimales Que se convieRTen en FRacciones.
Paso 1 
Leo:
Claudia pondrá un juego de tiro al blanco en la feria de la 
comunidad, Figura 1. Aún no ha decidido en cuántas partes 
dividirá la rueda del juego. El cuadro muestra las diferentes 
formas.
Establezco un número decimal para cada una de las formas 
y explico cómo los obtuve.
Paso 2 
Copio la Tabla 1 en el cuaderno y la completo con las respuestas que se muestran 
en la parte inferior del cuadro.
Observo la recta numérica de la Figura 2, que representa una unidad dividida 
en 8 porciones. 
 - Dibujo la recta en el cuaderno y expreso con una fracción cada uno de los números 
decimales exactos indicados en la Figura 2.
Actividad 10
Figura 1
Tabla 1
cudro 1
Forma 1 Forma 2 Forma 3 Forma 4
1.89 0.45 0.27 0.67 0.17 0.32 2.95 0.08 0.15 0.01 0.09 0.03
1
100
3
100
8
100
9
100
15
100
45
100
67
100
17
100
32
100
27
100
189
100
295
100
Figura 2
0.125 0.25
0.375
0.5
0.625 0.875
UNIDAD6
143Taller de Números racioNales e irracioNales mochila de herramientas
Paso 3
Leo: 
Para transformar un decimal exacto a fracción se convierte el número a fracción decimal 
y, si se puede, se simplifica. Para transformar el número decimal a fracción decimal se utilizan 
potencias de base diez. Veo los ejemplos siguientes en la Figura 3.
Paso 4
El tornillo micrómetro o Palmer es un instrumento 
de medida que permite medir longitudes con cierto 
grado de exactitud. La Figura 4 muestra uno de 
estos tornillos que mide el grosor de un crayón.
Registró una medida de 5.783 mm.
 - ¿Cuál es su medida expresada en fracción? 
Paso 5
Alberto es biólogo. Le ha comentado a su familia que una ameba tiene una longitud 
aproximada de 700 micrómetros. 
 - Explico qué quiere decir Alberto con esta medida. Expreso de dos formas distintas este valor.
Paso 6
La Figura 5 representa un filtro casero 
que se emplea para purificar agua. 
Los decimales representan la porción de 
material y agua que lleva el tonel el cual 
mide 65 centímetros de altura.
Establezco una fracción para cada porción 
y determino la altura de cada parte.
SESIÓN 10
Figura 5
Figura 4
Figura 3
Analizo el ejemplo y 
discuto en clase el 
procedimiento.
45
1,000
9
200
0.045 = =
Simplifico la fracción
Tengo tres cifras decimales 
entonces divido entre 1000
Simplifico la fracción
12
10
6
5
1.2 = =
Tengo una cifra decimal 
entonces divido entre 10
Palanca de ajuste
Vástagos
o sujetadores
Tambor 
giratorio
Agua 0.20
Arena fina 0.30
Arena gruesa 0.10
Gravilla (piedras pequeñas) 0.08
Filtro casero
UNIDAD 6
144 Mochila de herramientas Taller de NúMeros racioNales e irracioNales
Paso 1 
Lourdes vende bolsas de chocolate las cuales 
almacena en cajas. El peso neto de una de estas 
cajas es de 9.9 libras, tal como se observa en la 
Figura 1. Si en el interior de la caja hay 20 bolsas...
Paso 2 
Copio en el cuaderno y completo las siguientes igualdades.
Paso 3 
SESIÓN 11
los decimales PeRiódicos a FRacciones
Actividad 11
Figura 1
 - Expreso en la forma a/b los siguientes decimales periódicos:
a. 0.1717171717… b. 0.125125125125…
9.9 libras
22341 – 
9
20107
9
2234.1 = =a.
102316 – 
999
102214
999
102.316 = =c.
 – 1 112
99
1.13 = =b.
Resuelvo:
 - ¿Qué número racional representa el peso de cada bolsita? 
¿Qué necesitamos saber? 
Transformación de decimal periódico a fracción común
La primera forma de transformación consiste en escribir en el numerador el período 
y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período y luego, se simplifican si es posible. 
Este procedimiento solo se puede realizar cuando el decimal no tiene parte entera. Veo el 
ejemplo en Cuadro 2.
81
99
9
11
:9
:9
0.81 = =
Se simplifica
Dos cifras en 
el período
Se anotan 
dos nuevas
145
999
0.145 =
Tres cifras en 
el período
Se anotan 
tres nuevas
cuadro 2
UNIDAD6
145Taller de Números racioNales e irracioNales mochila de herramientas
SESIÓN 11
Paso 4
Efectúo las operaciones indicadas y explico al facilitador la estrategia seguida:
Paso 5
Rafael vende quesadillas en porciones. Cada una de sus quesadillas las parte en 11 porciones 
iguales, tal como se muestra en la Figura 2. La parte sombreada representa lo vendido este día. 
 - Expreso la parte vendida como un número mixto y decimal periódico.
 - Explico si el resultado es decimal exacto o decimal periódico.
 - Escribo el resultado de la forma racional a/b, con b = 99
Paso 6
Sigo las instrucciones:
 - Estimo la cantidad de habitantes de la comunidad donde vivo, luego establezco dos grupos: 
el primero del sexo femenino y el segundo del sexo masculino.
 - Formo dos números racionales de la forma a/b que representen a estos grupos.
 - Verifico si los resultados obtenidos son decimales exactos o periódicos. 
abrimos brecha:
 - Leo y discuto con mis compañeros el ejemplo:
Cuando el decimal periódico tenga parte entera, se separa la parte entera de la parte decimal 
como suma, luego la parte decimal se escribe como fracción igual que en el primer caso 
y se resuelve la suma. Veamos el ejemplo del Cuadro 3.
continúa
Paso 3
cuadro 3
1
1
45
99
144
99
99 + 45
99
1.45 = 1+ 0.45 = + = =
Se separa la 
parte enera
Se separa la 
parte decimal
Luego el decimal se transforma 
en fracción igual que el primer 
caso y se suma con el entero
a.
Sumo 1 
4
0.25 y
b.
2 
3
(4.8 + 5.7) –
c.
Resto de la suma de1 
6
1 
4
y 0.75
Figura 2
Una quesadilla
Una quesadilla
UNIDAD 6
146 Mochila de herramientas Taller de NúMeros racioNales e irracioNales
Paso 1 
Enrique dice a su amiga Julia que él vive a una distancia aproximada de 13/15 
kilómetros a la derecha de Gilberto. Por su parte, Julia le indica a Enrique que ella 
considera que vive a 7/8 a la izquierda de Gilberto.
Ubicamos la información en una recta numérica y establecemos quién vive más cerca 
de Gilberto.
Paso 2 
Completamos en el 
cuaderno el Cuadro 
1 con la información 
que se solicita.
Paso 3 
SESIÓN 12
exPloRo los decimales y FRacciones.
Actividad 12
Figura 1
Analizamos las siguientes situaciones y las discutimos:
¿Qué necesitamos saber? 
Una de las estrategias para ubicar números decimales en la recta numérica es 
transformarlos a fracción. Es más fácil graficarlos. La Figura 1 representa dos situaciones 
donde se ubican las fracciones: 3/10 ( tres décimos) y 2.45(2 enteros 
y 45 centésimos).
cuadro 1
Representación 
gráfica
Recta 
númerica
Racional decimal
1.33
3 
10
0.3 =
situación 1
Se ubica antes de la unidad
situación 2
2 enteros y 9 veinteavos
45 
100
2 = 9 
20
2
10 2 3
UNIDAD6
147Taller de Números racioNales e irracioNales mochila de herramientas
Paso 4
Copiamos en el cuaderno la recta numérica del Cuadro 2 y ubicamos los números indicados.
Paso 5
Copiamos en el cuaderno la recta numérica del Cuadro 3. 
 - Observamos que la recta está dividida en centésimos. 
Realizamos la operación 18. 6 – 18.5 = 0.1. 
Respondemos:
 - Si realizamos la operación 18. 6 – 18.5, ¿qué resultado obtenemos?
 - Si dividimos 0. 1 en 4 (que son los segmentos entre 18. 5 y 18. 6 por ejemplo), ¿qué número 
decimal obtenemos?
 - Ubicamos los siguientes números en la recta: 18.55, 18.65, 18.825, 18.975.
Paso 6
Leemos:
El cronómetro de la Figura 1 se llama cronómetro 
decimal y se emplea para tomar tiempos muy 
precisos y breves. Cuando la manecilla completa 
una vuelta, esto es 1 minuto en decimales. 
Alfredo es un experto biólogo que estudia la 
reproducción de bacterias las cuales se reproducen 
en tiempo cortos.
Si una bacteria se reproduce en el tiempo señalado 
en el cronómetro de la Figura 1... 
 - ¿Qué medida reporta Alfredo?
cuadro 2
cuadro 3
SESIÓN 12
6 7 8
6.2 7.4 6.5 6.8 7.7
18.5
décimos décimos décimos
centésimos centésimos
18.6 18.7 18.8 18.9 19
Figura 1
UNIDAD 6
148 Mochila de herramientas Taller de NúMeros racioNales e irracioNales
Paso 1 
Respondemos: 
 - ¿Cómo ubicamos en la recta numérica √5?
Discutimos la estrategia y exponemos nuestra conclusión.
Paso 2 
Realizamos las siguientes actividades que 
están relacionadas a la expresión llamada 
regla de oro, que se muestra en la Figura 
1, la cual se puede explicar de esta forma: 
Si divides una línea en dos partes de 
manera que la parte larga (a) dividida 
entre la corta (b) es igual que el total 
dividido entre la parte larga (a).
Paso 3 
SESIÓN 13
los númeRos iRRacionales exisTen. 
Actividad 13
Figura 2 
Observamos e identificamos el símbolo que emplea cada uno de estos números 
irracionales famosos e investigamos su aplicación.
¿Qué necesitamos saber? 
Los números irracionales Son aquellos números decimales infinitos no periódicos y no 
pueden expresarse como fracción. Por ejemplo: La calculadora indica que la raíz de 2 es 1. 
414213562, ¡pero eso no es todo! De hecho, sigue indefinidamente, sin que los números 
se repitan. No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2. Así que la raíz de 
2 es un número irracional. La Figura 2 muestra 2 de los números irracionales famosos.
Figura 1
 - Si sustituimos en la regla de oro, a=6 y b=4, entonces, ¿qué valor obtenemos?
 - Si sustituimos en la regla de oro, a=6.18 y b=3.82, entonces, ¿qué valor obtenemos?
 - Los números calculados anteriormente, ¿qué tipo de número decimal son?
 - Con una cinta métrica medimos nuestra altura e identificamos el valor con la letra (a) 
y luego la altura del piso a la que se encuentra nuestro ombligo; este valor será (b). 
 - Empleamos la regla de oro y enconramos la proporción de alturas. ¿Qué valor 
obtenemos?
Regla de oro
a
a + b
b
a
ab
a + b
=
 pi
Es un número irracional famoso. Se han calculado más 
de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. 
Los primeros son estos: 3.14159265358979
 phi
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos 
son: 1.61803398874989484820... 
UNIDAD6
149Taller de Números racioNales e irracioNales mochila de herramientas
Paso 4
Seguimos el procedimiento para ubicar 
√5 en la recta numérica. 22 + (1)2 =5
 - Descomponemos 5 en suma de cuadrados. 
 - Ubicamos 2 en la recta numérica y luego trazamos 
un segmento perpendicular de 1 unidad, tal como 
se muestra en la Figura 2. Trazamos una diagonal que 
representa √5.
 - Ahora trasladamos la raíz de 5 a la recta numérica con 
un compás colocado en 0 y abierto hasta el extremo 
de la diagonal √5, trazamos un arco de circunferencia, 
tal como se muestra la Figura 3.
Paso 5
Respondemos:
 - Clasificamos los números de la Tabla 1 como naturales, enteros, racionales e irracionales.
 - Comentamos con el grupo nuestra clasificación.
Paso 6
Karina sabe que el número de oro es un irracional 
y que tiene una gran influencia en diferentes culturas.
Investigamos sobre su influencia y la forma de representarlo.
Exponemos nuestros resultados al facilitador.
abrimos brecha:
 - Para asociar la raíz cuadrada de un número con un punto en la recta numérica usamos 
el teorema de Pitágoras. 
continúa
Paso 3
Leemos:
La Figura 1 muestra la ubicación del 
irracional √5 = 2.236067978 en la recta.
Figura 1
-3 2.5 3/7 √4 √7 3√9 1.020020002… 6.1452453454...
-3/2 2/3 1.5 3√8 √13 3√2 2.131331333… 4.123105626
Figura 2
La raíz cuadrada de un número primo es un irracional.
Vemos el video en YouTube:
https://youtu.be/5s69u9jRWcc
Reviso estos enlaces:
Rectángulo áureo:
https://youtu.be/6UQgUFnCR-I
https://youtu.
be/5890mm6ZjVM
SESIÓN 13
0 1 2
1
3 4 5
5
5
5
UNIDAD 6
150 Mesa de Trabajo proyecTo
SESIÓN 14
proyecto 6 
Salud integral: prevención y valor nutricional
fase ii: presentación
Presentación 30 minutos
¿en qué consiste este proyecto? 
En socializar las propuestas planteadas en la unidad anterior, acerca de la 
promoción de la salud, mediante buenos hábitos de alimentación y ejercicio, 
para disfrutar de bienestar físico, mental y social.
¿cuál es el propósito de este proyecto?
Socializar las propuestas desarrolladas en la unidad anterior, para realizar 
actividades físico deportivas y nutricionales, en beneficio de la salud integral 
de la familia. 
¿Qué necesito para construir este proyecto? 
FODA salud, (elaborado en el proyecto de la unidad 3). 
Cronograma de proyectos (elaborado en proyecto de unidad 4). 
Informe de investigación, material de presentación y la actividad didáctica 
de cada equipo de trabajo (elaborado en el proyecto de unidad 5).
entre nosotros
nivel aula: vcc
Paso 1 90 minutos 
identificar la fuente de información y de apoyo
Análisis de la situación actual de la salud en nuestra comunidad (elaborado 
en el proyecto de la unidad 3). 
Estudio del cronograma de proyectos (elaborado en el proyecto de unidad 4). 
Informe de investigación, presentación y la actividad didáctica de cada 
equipo de trabajo (elaborado en el proyecto de la unidad 5).
 
Paso 2 180 minutos
Tabla de análisis 
Consideramos los siguientes interrogantes guía:
 - ¿Cómo influyen las condiciones familiares en nuestra salud, 
en los ámbitos físico, mental y social? 
 - ¿Qué necesita mi familia para alcanzar el bienestar, que favorezca 
un desarrollo sostenible? 
Cada equipo de trabajo se reunirá para discutir acerca de estas interrogantes 
y anotará sus consensos en una tabla como la siguiente: 
 
Perseverancia
Capacidad para seguir 
adelante a pesar de las 
circunstancias adversas.
bienestar 
Calidad de vida que posee 
una persona o comunidad. 
Trabajo en equipo
Cooperar para lograr 
objetivos propuestos. 
Un solo objetivo que lograr 
y un buen plan de trabajo 
para hacerlo.
Preparativos 
Para la presentación 
de nuestros productos 
o servicios, se invitará 
a los miembros de nuestra 
comunidad (autoridades 
educativas, madres 
y padres de familia, invitados 
especiales). 
 - La presentación de 
nuestros proyectos, 
consistirá en la entrega 
del trabajo desarrollado 
por cada equipo. 
 - Coordinamos la 
participación de 
expertos en los temas de 
mayor influencia en la 
promoción de una vida 
sana para todos.
 - La comisión a cargo 
de este proyecto, 
organizará el programa 
de las presentaciones, 
con la ubicación, orden 
y tiempo asignado 
a cada equipo, con 
el fin de que todos 
expongamos nuestro 
trabajoy podamos 
participar de forma 
equitativa. 
Condiciones y requerimientos de mi comunidad y la salud
Actividad 14
UNIDAD6
151Proyecto Mesa de trabajo
Mi ruta de salud 
Hombro.
Músculos
Bíceps y tríceps braquial.
Descripción 
 - Nos ponemos en parejas 
espalda con espalda.
 - Agarrados por las manos 
con brazos estirados
 - Realizamos rotaciones de 
los brazos los dos juntos a 
la vez.
 - Realizamos tres series de 
15 repeticiones.
ambiente saludable
Todo ejercicio físico trae 
consigo la pérdida 
de energías, por lo que es 
conveniente un régimen 
nutricional adecuado para 
disfrutar plenamente 
de un ambiente saludable
 y con armonía familiar.
SESIÓN 15
entre nosotros
nivel aula: demostración Pública de lo aprendido -dPa-
Paso 3 240 minutos 
ejecución de la actividad
Con base en el programa diseñado, la comisión a cargo de este proyecto, 
dirigirá la actividad.
Los aspectos a considerar en la exposición del trabajo de cada equipo 
incluyen:
 - Presentación del problema investigado y las posibles soluciones 
o sugerencias de acciones a seguir.
 - Preparar el lugar o escenarios para las presentaciones de los estudiantes 
y de los profesionales invitados.
 - Puede incluir una referencia documental de lo investigado, sin olvidar 
que el énfasis se centra en la calidad de vida en nuestras familias y su salud. 
Sitios Web sugeridos 
Pasos para realizar un 
vídeo 
https://www.youtube.com/
watch?v=GOMy3f4FNFQ
Pasos para realizar un 
álbum de recetas
http://es.wikihow.com/
hacer-un-%C3%A1lbum-
de-recetas-con-recortes
cómo realizar una 
entrevista 
http://es.wikihow.com/
hacer-una-entrevista-a-una-
persona
cómo realizar una 
entrevista periodística
http://www.icarito.cl/
enciclopedia/articulo/
primer-ciclo-basico/historia-
geografia-y-ciencias-
sociales/convivencia-
social/2009/12/44-5314-9-
como-realizar-y-redactar-
una-entrevista-periodistica.
shtml
Actividad 15
Ruta de la salud
Con la orientación del facilitador realizo mi ruta de la salud. 
Paso 4 30 minutos
Presentación de productos
Talleres, charlas y conferencias.
 - La comisión y el facilitador, seleccionarán el orden de las actividades 
didácticas a realizar durante el programa y las intervenciones de los expertos 
invitados (enfermeras, deportistas, comadronas, nutricionistas, artesanos, 
agricultores, entre otros.) para que compartan sus experiencias, según 
sus ocupaciones.
Paso 5 30 minutos
diario de clase
El diario clase contiene evidencias y resultados obtenidos en el proceso, con los 
cuales:
 - Identifico situación de avances y progresos de mi aprendizaje
 - Tomo decisiones adecuadas respecto a mi plan de mejoramiento.
 - Determino por mi propia cuenta el compromiso para mejorar, la situación.
 - Resuelvo las pruebas correspondientes a proyectos y a la unidad, aplicadas 
por mi facilitador.
UNIDAD 6
152 Evaluación - Unidad 6-
SESIÓN 16
evaluación de cierre de la unidad
valoRo mi aPRendizaJe.
Problema 1 
Patricia y Gabriel juegan con dos dados. El juego consiste en tirar los 2 dados. El puntaje 
en cada tirada lo calculan de la siguiente forma: lo obtenido en el lanzamiento menos 
7 y luego, al resultado de esta sustracción lo elevan al cubo; por último, extraen la raíz 
cuadrada del número. Gana el jugador que obtenga el mayor puntaje. Si al lanzar el 
dado el resultado es menor que 7, pierde el juego.
La Tabla 1 registra el resultado de 2 de los lanzamientos con el dado.
Problema 2 
La figura ilustra un ciclista en una prueba contra reloj. Los puntos señalados como 
A, B y C, son las posiciones que utilizó el entrenador para darle instrucciones.
Expresamos estas posiciones en fracciones y ubicamos en la recta numérica. 
Actividad 16
Tabla 1
Figura 1
Resolvemos cada lanzamiento según las reglas y establecemos un ganador o empate 
en cada lanzamiento. El resultado lo expresamos con un número entero o por la forma 
factorizada de primos, si la raíz es un número compuesto.
0 km 0.8333 km
a
1.13 km
b
3.26 km
c
Patricia gabriel ganador
Lanzamiento 1
Lanzamiento 2
UNIDAD6
153Evaluación - Unidad 6-
SESIÓN 16
Problema 3
Leemos:
Alfredo se gastó Q 875.50 en la compra de 12.5 cajas 
de jugos de un litro de capacidad, cada caja tiene 15 
jugos y vendió cada jugo en Q 5.50. 
Rosa la contadora de Alfredo a escrito tres expresiones que 
calculan la ganancia de Alfredo en la venta de los jugos.
 - Seleccionamos la opción que expresa correctamente la 
venta de jugos y luego determinamos: ¿Qué ganancia 
obtuvo Alfredo?
 - Expresamos el resultado como un número mixto.
Problema 4
Las pelotas de tripa de coche, son un juguete típico 
guatemalteco. Julio se dedica a la venta de este tipo 
de pelotas. La Figura 3 muestra una pelota típica.
Julio además, utiliza cuero sintético para forrar dichas 
pelotas. Cada pelota tiene un diámetro de 20 centímetros. 
 - ¿Cuánto cuero gasta en forrar una pelota?
 - Consideramos que el valor de π = 3 en esta situación.
Julio compra cuero sintético en la talabartería y esta semana 
solo ha comprado 11,500. 25 centímetros cuadrados para 
forrar 10 pelotas que la han encargado.
 - ¿Alcanzará la cantidad de cuero que compro Julio?
 - Expresamos el resultado con un número mixto.
El talabartero sabe que 1 metro cuadrado son 10,000 
centímetros cuadrados.
 - ¿Qué cantidad de cuero vendió a Julio en metros 
cuadrados?
 Recuerdo analizar y registrar mis progresos.
90 a 100: Lo logré con excelencia. Color verde oscuro
76-89: Lo logré. Color verde claro
60-75: Puedo mejorar. Color amarillo
0-59: En proceso. Color rojo
Figura 2
Figura 3
15 j
ugo
s
opción b: 5.50 x 1875= opción c: 15 x 5.50 x 12.5=opción a: =12.5 x 15 x 5.50
5