TAZ-TFG-2021-3479_ANE

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Anexo
A.1. Cálculo de trayectorias en agujeros negros esta-
cionarios
Para calcular las trayectorias de un objeto en un espacio curvo basta con plantear la
relación entre el lagrangiano y la métrica:
2L = gµν
dxµ
dτ
dxν
dτ
(A.1)
Aqúı, τ es el tiempo propio de la part́ıcula.
Agujero negro de Schwarzschild
En este caso, el lagrangiano viene dado por:
L = 1
2
[
−
(
1− 2M
r
)
ṫ2 +
ṙ2
1− 2M
r
+ r2θ̇2 + r2 sin2 θφ̇2
]
(A.2)
Por simetŕıa, podemos tratar θ como constante y definir las siguientes constantes de
movimiento a través de los momentos generalizados:
pt =
(
1− 2M
r
)
dt
dτ
= E
pφ =r
2 sin2 θ
dφ
dτ
= L
(A.3)
Donde E se corresponde con la enerǵıa por unidad de masa en el infinito de la part́ıcula,
y L el momento angular de la part́ıcula por unidad de masa en reposo.
De esta manera, sustituyendo en la ecuación A.2 e imponiendo 2L = cte. llegamos a
la siguiente ecuación del movimiento:
i
BIBLIOGRAFÍA
− E
2
1− 2M
r
+
ṙ2
1− 2M
r
+
L2
r2
= κ (A.4)
Aqúı, κ es −1 si se trata de una trayectoria de tipo tiempo (una part́ıcula con masa)
y 0 si se trata de una geodésica nula (una part́ıcula sin masa).
Trayectorias radiales de tipo tiempo. Si imponemos que la trayectoria sea radial
(L = 0 y κ = −1) las ecuaciones de movimiento nos quedan:
(
dr
dτ
)2
=E2 − 1 + 2M
r
dt
dτ
=
E
1− 2M
r
(A.5)
Podemos relacionar E con la distancia inicial de la part́ıcula respecto del agujero negro
R, en la que la part́ıcula tiene velocidad nula, según:
R =
2M
1− E2
(A.6)
Por tanto, podemos escribir:
dr
dτ
=
√
2M
(
1
r
− 1
R
)
dt
dτ
=
E
1− 2M
r
dr
dt
=
√
2M
(
1
r
− 1
R
)
1− 2M
r
E
(A.7)
Trayectorias radiales en geodésicas nulas. Procediendo de la misma manera que
en el caso anterior y anulando κ llegamos a
(
dr
dτ
)2
=E2
dt
dτ
=
E
1− 2M
r
(A.8)
Finalmente, las ecuaciones de movimiento quedan:
ii
BIBLIOGRAFÍA
dr
dτ
=E
dt
dτ
=
E
1− 2M
r
dr
dt
=1− 2M
r
(A.9)
Agujero negro de Kerr
El lagrangiano para un agujero negro de Kerr viene dado por:
L =1
2
[
−
(
1− 2Mr
Σ
)
ṫ2 − 4Mar sin
2 θ
Σ
ṫ φ̇+
Σ
∆
ṙ2 + Σ θ̇2+
+
(
r2 + a2 +
2Ma2r
Σ
sin2 θ
)
sin2 θ φ̇2
] (A.10)
A partir del lagrangiano podemos definir los momentos generalizados e identificar las
cantidades conservadas E y Lz:
pt =
(
1− 2M
Σ
)
ṫ+
2Mar sin2 θ
Σ
φ̇ = E
pφ =−
2Mar sin2 θ
Σ
ṫ+
(
r2 + a2 +
2Ma2r
Σ
sin2 θ
)
sin2 θ φ̇ = Lz
pr =
Σ
∆
ṙ
pθ =Σ θ̇
(A.11)
De nuevo, sustituyendo en la ecuación A.10 e imponiendo 2L = cte. llegamos a la
ecuación de movimiento:
− Eṫ+ Lz φ̇+
Σ
∆
ṙ2 + Σ θ̇2 = κ (A.12)
Donde κ es −1 si se trata de una trayectoria de tipo tiempo (una part́ıcula con masa)
y 0 si se trata de una geodésica nula (una part́ıcula sin masa). Estas ecuaciones se pueden
tratar para aislar las expresiones para las derivadas de las distintas variables.
A modo de ejemplo se analizan las ecuaciones de movimiento en el plano ecuatorial,
donde más patente se hará el efecto de la rotación del agujero negro.
iii
BIBLIOGRAFÍA
Trayectorias ecuatoriales. Para obtener las ecuaciones del movimiento en el plano
ecuatorial, sustitúımos θ = π/2 en A.11 y A.12 e imponemos θ̇ = 0. Llegamos a:
ṫ =
1
∆
[(
r2 + a2 +
2Ma2
r
)
E − 2Ma
r
L
]
φ̇ =
1
∆
[(
1− 2M
r
)
L+
2Ma
r
E
]
ṙ2 =E2 +
2M
r3
(aE − L)2 + 1
r2
(
a2E2 − L2
)
+ κ
∆
r2
(A.13)
A.2. Proceso de Penrose original
Suponemos inicialmente una part́ıcula en reposo en el infinito que se adentra en la
ergosfera, desplazándose por una geodésica en el plano ecuatorial, alcanzando un punto
(r < 2M) en el que se anula la velocidad radial ṙ = 0. En este punto, la part́ıcula (con
enerǵıa E0 y momento angular L0) se desintegra en dos fotones (con enerǵıas E1 y E2 y
momentos angulares L1 y L2) conservándose tanto la enerǵıa como el momento angular
totales.
Asumiendo que E0 = 1, podemos obtener el valor inicial del momento angular de la
part́ıcula en función del radio en el que ṙ = 0 a partir de la ecuación radial en A.13
haciendo κ = −1:
L0 =
1
r − 2M
[
−2aM +
√
2Mr∆
]
= α0 (A.14)
Repitiendo el proceso para los dos fotones resultantes (κ = 0), llegamos a:
L1 =
1
r − 2M
[
−2aM − r
√
∆
]
E1 = α1E1
L2 =
1
r − 2M
[
−2aM + r
√
∆
]
E2 = α2E2
(A.15)
En estos cálculos, se selecciona el signo + para aquellas part́ıculas con enerǵıa positiva
y el signo − para aquellas part́ıculas con enerǵıa negativa.
Aplicando la conservación de la enerǵıa y del momento angular, llegamos a las siguien-
tes expresiones para las enerǵıas finales de los fotones:
iv
BIBLIOGRAFÍA
E1 =
α0 − α2
α1 − α2
= −1
2
(√
2M
r
− 1
)
E2 =
α1 − α0
α1 − α2
=
1
2
(√
2M
r
+ 1
) (A.16)
De modo que comprobamos que el fotón 1 tiene enerǵıa E1 < 0 y cae al agujero negro,
y el fotón 2 sale de la ergosfera con una enerǵıa E2 > E0 = 1.
v
	Anexo
	Cálculo de trayectorias en agujeros negros estacionarios
	Proceso de Penrose original