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Math Quick Reference Card ─ ECUACIONES EXPONENCIALES 1.2 ─ (cc) www.3con14.com 
Ecuaciones EXPONENCIALES 
 
Es aquella en la que aparecen potencias con una o más variables 
(o incógnitas) en el exponente ( o exponentes). 
Por ej.:   
3 4 1 32 7 ; 5 125 ; 9 1 ; 2 2 1 0x x x x x       
En general, de una otra manera, una ecuación exponencial se puede 
reducir a una ecuación de la forma 
xa b , donde  a  y b  son números 
reales mayores que cero. 
La función exponencial  f dada por ( ) 0 1 1xf x a donde a ó a     
es biyectiva, por tanto, se satisfacen las condiciones equivalentes 
siguientes para el par de números reales  1 2yx x  
1 2
1 2
1 2
1 2
1) ,
2) ,
x x
x x
si x x entonces a a
si a a entonces x x
 
 
 
Luego la resolución de ecuaciones exponenciales se basa en la 
siguiente propiedad: 
Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la 
unidad son iguales si, y sólo si, son iguales sus exponentes. 
p.ej.  2 2a bSi entonces a b   
Aprovechando esta propiedad, la ecuación   xa b  donde 
0, 1, 0a a b    debe resolverse así:    logx aa b x b    
OBSERVACIONES: 
 Una potencia de base positiva nunca toma un valor negativo 
 Una igualdad de dos potencias con distinta base positiva sólo se 
verifica para un exponente igual a cero. 
  0y ySi a b entonces y   
 No hay un procedimiento general para resolver ecuaciones 
exponenciales, pero sí que es conveniente conocer bien y aplicar 
las propiedades de las potencias, de las raíces y, en su caso, de los 
logaritmos, además de saber factorizar. 
En general, para resolver una ecuación exponencial, es 
habitual tomar logaritmos (con base la más conveniente): 
1. Aislamos la expresión exponencial en un lado de la ecuación 
2. Tomamos logaritmos en cada miembro y usamos las 
propiedades de los logaritmos para “bajar x” del exponente 
3. Despejamos la variable y calculamos su valor 
Por tanto, algunos tipos elementales de ecuaciones exponenciales, 
se pueden resolver si utilizamos una de estas estrategias: 
 Conseguir una igualdad de exponenciales de la misma base: 
escribimos los dos miembros de la ecuación como potencias de la 
misma base y así podemos igualar los exponentes. 
    2 65 5 2 6 3x x x      
 Tomar logaritmos: aplicamos logaritmos a ambos miembros, 
(después de dejar un término en cada lado de la igualdad) y 
despejamos la incógnita, por último, empleamos la calculadora 
para hallar un valor aproximado de x . 
    1
log15
15 3 1.682606194
log5
x x x x       
 Utilizar un cambio de variable: realizamos un cambio de variable 
para reducir la ecuación a otra ecuación algebraica de 1º, 2º,… 
 
Otros métodos pueden ser:  
‐ Sacar factor común una potencia (realizamos cambios 
convenientes hasta conseguir potencias comunes). 
‐ Aplicar suma de términos de progresión geométrica. 
‐ Comprobar si las bases son números positivos inversos entre sí. 
  etc… 
Ejemplos previos: 
 Reduciendo ambos miembros a una misma base 
 
 
3 1 35 4
5 2 1 7 2
5 3 3
2 2 93
4 5
5 1 5 14
2
2 2 1
10 2 2 2102 2
2 25 3 3
10 10 2 2 9
114
23
5
2 8 40.1 1000 12
2 8
3
4
5
8
2xx x
x x
x x
x x
x
x x xx
x
x x
x
x
xx
x
x
x
 
 
 

  


 


   

    
  
     


 

 
 
 Sacando una potencia como factor común 
2 1 2 1 1 1 1 2
2 2
2
2 4
2 3 3
3 1 1 1
5 5 5 550 3 3 3 3 117 4 1 336
5 3 4 16
3 1 16
5 5 550 3 3 1 117 4 336
5 3 21
5 3
5 550 3 117 4
5 3
4
3
2
5 550 3 3 3 117 4 4 4
4
22 13
5 5
336
2 3 3 3
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x
x
x
x x x
x
     
             
 
            
       
   
    
    
 


 3x 
 
 Utilizando un cambio de variable 
2 2 2
2 2 2
1 1
2
2 2 2
1
1
3 7 3 18 0 2 2 2 2 (2 ) 3 2 1 0
3 0 2 0 2 0
7 18 0 2 0 2 3 1 0
9 2 17 11 1 3 3 1
2 1 1 2
9 7 3 18 0 4 2 2 2 3 2 1
2 2 4
3 9 2 2 2 1
3
0
2 1 0
2
x x x x x x
x x x
x
x x x x x x
x x
x
t t t
t t t t t t
t t t
t t t
t t t
x
N
x x

          
     
        
    
     
    
  
         
  






1
2 1 2
2
1x xO O xN      
 
 Tomando logaritmos 
Ecuaciones de la forma:    
( ) ( ) logf x aa b f x b    
Donde  0, 1 y 0a a b   ,  puede resolverse por logaritmación 
de ambos miembros. Esto es posible puesto que ambos miembros 
de la ecuación son positivos. 
 
     
 
2 1
1
3
1
1
2 3
log5 log7 log3 log2
2 1 log5 3 log7 1 log3 log2
2 log5 log5 3log7 log7 log3 log2 log3
(2 log5 log7) 3log7 log5 log3 log2 log3
3log7 log5 log1715
2 log5 log7 log17
1.441
5 7 3
9
2
5
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x

 



 
    
    
   
 



  

log3 log3
log3 log2 log(
2.709
)
5
3 2
x 


